Proportionnalité : pourcentages et échelles

Un rapport constant entre deux grandeurs — la clé pour comprendre les pourcentages et lire les cartes.

1 L'idée

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque leur quotient est toujours le même. Ce quotient s'appelle le coefficient de proportionnalité $k$ : on a $y = k \times x$.

Les pourcentages et les échelles sont deux applications directes de la proportionnalité. Un taux de $t\,\%$ signifie que la part vaut $\dfrac{t}{100}$ de la quantité totale. Une échelle $1:n$ signifie que $1$ cm sur la carte correspond à $n$ cm dans la réalité.

2 Formules à connaître

Coefficient k

$k = \dfrac{y}{x} \qquad y = k \times x$

t % d'une quantité Q

$\dfrac{t}{100} \times Q$

Échelle 1 : n

$d_{\text{réelle}} = d_{\text{carte}} \times n$

3 Exemples

Exemple A — Pourcentage

Un vêtement coûte $80$ €, soldé à $-25\,\%$.

Réduction : $\dfrac{25}{100} \times 80 = 0{,}25 \times 80 = 20$ €.

Prix soldé : $80 - 20 = 60$ €.

Exemple B — Échelle

Carte à l'échelle $1:25\,000$. Un chemin mesure $6$ cm sur la carte.

Distance réelle : $6 \times 25\,000 = 150\,000$ cm $= 1\,500$ m $= 1{,}5$ km.

Méthode — résoudre un problème de proportionnalité

Identifier les deux grandeurs liées (ex. : distance carte / distance réelle).
Trouver le coefficient $k$ à partir d'un couple de valeurs connues.
Calculer la valeur cherchée : $y = k \times x$ ou $x = y \div k$.
Vérifier l'unité du résultat et convertir si nécessaire (cm $\to$ m $\to$ km).

Erreurs fréquentes

Dans un tableau de proportionnalité, multiplier par $k$, ne pas additionner.
$20\,\%$ de $60$ vaut $0{,}20 \times 60 = 12$, pas $60 + 20 = 80$.
Après un calcul d'échelle, penser à convertir les unités : $200\,000$ cm $= 2$ km.
Ne pas confondre distance sur la carte (petite) et distance réelle (grande).