Proportionnalité : pourcentages, échelles et graphiques

L'essentiel en quatre idées

Avant tout, tu dois juste savoir multiplier, diviser, et convertir les longueurs : $1\text{ m} = 100\text{ cm}$ et $1\text{ km} = 1000\text{ m}$. C'est tout ce qu'il te faut, le reste on le construit.

L'idée en une phrase. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe toujours de l'une à l'autre en multipliant par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité, noté $k$.

Un pourcentage, c'est une part sur $100$ : « $t\,\%$ » veut dire $\dfrac{t}{100}$ de la quantité. Une échelle $1:n$, c'est le zoom d'une carte : $1$ cm sur la carte représente $n$ cm en vrai.

Quatrième idée, la plus neuve : la proportionnalité se voit. Si tu places les couples $(x\,;y)$ dans un repère, tu obtiens un nuage de points ; quand la situation est proportionnelle, ces points sont alignés et la droite qui les porte passe par l'origine.

Les quatre réflexes à retenir :

• Coefficient : $y = k \times x$, avec $k = \dfrac{y}{x}$.
• Prendre $t\,\%$ d'une quantité $Q$ : $\dfrac{t}{100} \times Q$.
• Échelle $1:n$ : $d_{\text{réelle}} = d_{\text{carte}} \times n$.
• Nuage de points : proportionnalité $=$ points alignés avec l'origine.

Un exemple tout simple, du début à la fin

Un pull coûte $80$ € et il est soldé à $-25\,\%$. Combien vas-tu le payer ?

Étape 1 — la réduction. On cherche $25\,\%$ de $80$ € : $\dfrac{25}{100} \times 80 = 0{,}25 \times 80 = 20$ €.

Étape 2 — le nouveau prix. On retire la réduction du prix de départ : $80 - 20 = 60$ €.

Réponse. Le pull soldé coûte $60$ €. Garde le réflexe : $-25\,\%$ ne veut pas dire « $-25$ € », mais $25\,\%$ du prix.

La proportionnalité, au propre

Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque leur quotient est constant : il existe un nombre fixe $k$ tel que, pour chaque couple de valeurs, $y = k \times x$. Ce nombre $k$ est le coefficient de proportionnalité.

On le calcule à partir d'un couple connu : $k = \dfrac{y}{x}$. Une fois trouvé, il sert pour toutes les autres valeurs.

Le tableau de proportionnalité. On range les grandeurs sur deux lignes ; on passe d'une ligne à l'autre en multipliant par $k$ (jamais en additionnant). Par exemple, si $1$ croissant coûte $1{,}20$ €, alors $3$ croissants coûtent $3 \times 1{,}20 = 3{,}60$ € et $7$ croissants coûtent $7 \times 1{,}20 = 8{,}40$ €.

Les pourcentages

Prendre $t\,\%$ d'une quantité $Q$, c'est calculer $\dfrac{t}{100} \times Q$. C'est bien de la proportionnalité : le coefficient vaut $\dfrac{t}{100}$.

Exemple. Dans un collège de $240$ élèves, $15\,\%$ étudient l'allemand.

Nombre d'élèves : $\dfrac{15}{100} \times 240 = 0{,}15 \times 240 = 36$ élèves.

Deux directions à distinguer :

• Réduction (solde). On calcule le pourcentage, puis on le soustrait : prix soldé $= Q - \dfrac{t}{100}\times Q$.
• Augmentation (hausse). On calcule le pourcentage, puis on l'ajoute : nouveau prix $= Q + \dfrac{t}{100}\times Q$.

Attention au piège. $20\,\%$ de $60$ vaut $0{,}20 \times 60 = 12$, et surtout pas $60 + 20 = 80$.

Les échelles

Une échelle $1:n$ relie une distance sur la carte à la distance réelle, par la règle $d_{\text{réelle}} = d_{\text{carte}} \times n$. Le coefficient de proportionnalité est ici $n$.

Sens 1 — de la carte au réel (on multiplie). Carte au $1:25\,000$, un chemin mesure $6$ cm sur la carte.

Distance réelle : $6 \times 25\,000 = 150\,000$ cm $= 1\,500$ m $= 1{,}5$ km.

Sens 2 — du réel à la carte (on divise). Toujours au $1:25\,000$, deux points sont distants de $2$ km en vrai.

On convertit d'abord : $2$ km $= 200\,000$ cm. Puis $d_{\text{carte}} = 200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm.

Le réflexe : sur la carte c'est petit, en vrai c'est grand — et on convertit toujours les unités.

Le nuage de points

Définition. Souvent on ne connaît qu'une poignée de couples de valeurs — des données discrètes : $1$ cahier, $2$ cahiers, $3$ cahiers... On place alors chaque couple $(x\,;y)$ comme un point dans un repère, $x$ en abscisse (l'axe horizontal) et $y$ en ordonnée (l'axe vertical). L'ensemble de ces points s'appelle un nuage de points.

Le tracer, en trois gestes.

1. Je trace le repère et je choisis des graduations qui font tenir toutes les valeurs du tableau.
2. Je prends les colonnes du tableau une par une : chaque colonne me donne un couple $(x\,;y)$, donc un point.
3. Je place les points... et je ne les relie pas. Je regarde seulement s'ils sont alignés.

Exemple. Un cahier coûte $3$ €.

Les points à placer sont donc $(1\,;3)$, $(2\,;6)$, $(3\,;9)$, $(4\,;12)$ et $(5\,;15)$.

Le lire. Un nuage de points est associé à une situation de proportionnalité exactement quand ses points sont alignés et que la droite qui les porte passe par l'origine $(0\,;0)$. La deuxième condition n'est pas un caprice : $0$ cahier coûte $0$ €.

Il y a donc deux façons pour un nuage de ne pas être associé à une situation de proportionnalité :

• ses points sont alignés, mais la droite rate l'origine : c'est le signe qu'on paie un « prix de départ » (un abonnement, des frais fixes) même pour zéro ;
• ses points ne sont pas alignés du tout.

La vérification par le calcul. Le graphique donne l'intuition, les quotients donnent la preuve : la situation est proportionnelle exactement quand tous les quotients $\dfrac{y}{x}$ sont égaux — et cette valeur commune, c'est le coefficient $k$. Pour les cahiers : $\dfrac{3}{1} = \dfrac{6}{2} = \dfrac{9}{3} = \dfrac{12}{4} = \dfrac{15}{5} = 3$.

Exemple 1 — une augmentation, pas à pas

On y va. Un vélo coûte $250$ € ; à la rentrée, son prix augmente de $8\,\%$. Quel est le nouveau prix ?

Ligne 1. Je repère les données : quantité de départ $Q = 250$ €, taux $t = 8$, et c'est une augmentation.

Ligne 2. Je calcule la hausse : $\dfrac{8}{100} \times 250 = 0{,}08 \times 250 = 20$ €.

Ligne 3. Comme le prix monte, j'ajoute : $250 + 20 = 270$ €.

Conclusion. Le vélo coûte maintenant $270$ €.

Exemple 2 — un tableau de proportionnalité

On continue. Chez le boulanger, $3$ croissants coûtent $3{,}60$ €. Combien coûtent $7$ croissants (même prix à l'unité) ?

Ligne 1. Je cherche le coefficient, c'est-à-dire le prix d'un croissant : $k = 3{,}60 \div 3 = 1{,}20$ € par croissant.

Ligne 2. Je multiplie par le nombre voulu : $7 \times 1{,}20 = 8{,}40$ €.

Vérification. Je repars du résultat : $8{,}40 \div 7 = 1{,}20$ € l'unité — ça colle.

Conclusion. $7$ croissants coûtent $8{,}40$ €.

Exemple 3 — une échelle, du réel vers la carte

On enchaîne. Une carte est au $1:50\,000$. Deux villages sont distants de $12$ km en réalité. Quelle distance les sépare sur la carte ?

Ligne 1. Je convertis la distance réelle en centimètres : $12$ km $= 12\,000$ m $= 1\,200\,000$ cm.

Ligne 2. Du réel vers la carte, je divise par l'échelle : $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Conclusion. Sur la carte, les deux villages sont à $24$ cm l'un de l'autre.

Exemple 4 — un nuage de points, lu ligne par ligne

Dernier échauffement, et c'est le plus neuf. Un site de tirage photo affiche ce qu'ont payé quatre clients :

Ce nuage de points est-il associé à une situation de proportionnalité ?

Ligne 1. Je place les quatre points $(10\,;8)$, $(20\,;13)$, $(30\,;18)$ et $(40\,;23)$. Ils sont bien alignés : chaque fois que j'avance de $10$ photos, je monte de $5$ €.

Ligne 2. Je prolonge la droite jusqu'à l'axe vertical : elle le coupe à $3$ €, et pas à $0$. Autrement dit, on paie déjà $3$ € sans commander une seule photo.

Ligne 3 — le contrôle par le calcul. Je compare les quotients : $\dfrac{8}{10} = 0{,}8$ ; $\dfrac{13}{20} = 0{,}65$ ; $\dfrac{18}{30} = 0{,}6$ ; $\dfrac{23}{40} = 0{,}575$. Ils ne sont pas égaux.

Conclusion. Le nuage de points n'est pas associé à une situation de proportionnalité : le tarif est de $3$ € de frais fixes, puis $0{,}50$ € par photo.

Problème type 1 — la carte et les unités

Un énoncé comme au contrôle. Sur une carte au $1:200\,000$, quelle distance, en centimètres, sépare deux villes réellement distantes de $30$ km ?

Étape 1 — convertir. $30$ km $= 30\,000$ m $= 3\,000\,000$ cm.

Étape 2 — appliquer l'échelle. Du réel vers la carte, on divise : $3\,000\,000 \div 200\,000 = 15$ cm.

Étape 3 — conclure par une phrase. « Sur la carte, les deux villes sont séparées de $15$ cm. »

Ce que le correcteur attend : l'opération écrite (pas seulement le résultat), les unités converties et gardées, et une phrase de conclusion. Bon réflexe : vérifier l'ordre de grandeur — $15$ cm sur une carte, c'est crédible.

Problème type 2 — le pourcentage qui piège

Un article coûte $48$ €. Le magasin affiche $-30\,\%$. Quel est le prix à payer ?

Étape 1 — la remise. $\dfrac{30}{100} \times 48 = 0{,}30 \times 48 = 14{,}40$ €.

Étape 2 — le prix final. $48 - 14{,}40 = 33{,}60$ €.

Réponse. Tu paieras $33{,}60$ €.

Le piège classique. $-30\,\%$ ne signifie pas « enlever $30$ € » (ce qui donnerait $18$ €), mais enlever $30\,\%$ du prix. Écrire d'abord le calcul de la remise t'évite l'erreur.

Problème type 3 — lire un nuage de points

L'exercice tout neuf du programme. Un club de sport a relevé ce qu'ont payé quatre adhérents sur l'année :

On a tracé le nuage de points correspondant. Est-il associé à une situation de proportionnalité ? Justifie.

Étape 1 — l'alignement. Les quatre points sont alignés : d'une séance à la suivante, le prix monte toujours de $4$ €.

Étape 2 — l'origine. C'est là que tout se joue : la droite coupe l'axe vertical à $12$ €, elle ne passe pas par l'origine. Zéro séance coûte déjà $12$ € — l'inscription.

Étape 3 — confirmer par les quotients. $\dfrac{16}{1} = 16$ ; $\dfrac{20}{2} = 10$ ; $\dfrac{24}{3} = 8$ ; $\dfrac{32}{5} = 6{,}4$. Ils ne sont pas égaux : il n'existe aucun coefficient de proportionnalité.

Conclusion (la phrase à écrire). « Le nuage de points n'est pas associé à une situation de proportionnalité, car la droite qui porte les points ne passe pas par l'origine. »

Ce que le correcteur attend : les deux conditions vérifiées — alignement et origine — ou bien le calcul des quotients, puis une phrase de conclusion. Répondre « oui, ils sont alignés » sans regarder l'origine coûte tous les points.

Les pièges à connaître par cœur

• Dans un tableau de proportionnalité, on multiplie par le coefficient, on n'additionne jamais.
• $20\,\%$ de $60$, c'est $0{,}20 \times 60 = 12$, pas $60 + 20 = 80$.
• Après un calcul d'échelle, on convertit : $200\,000$ cm $= 2$ km, $3\,000\,000$ cm $= 30$ km.
• On ne confond pas la distance sur la carte (petite) et la distance réelle (grande).
• Des points alignés ne suffisent pas : pour qu'il y ait proportionnalité, la droite doit aussi passer par l'origine.
• Devant un nuage de points, on peut toujours trancher par le calcul : tous les quotients $\dfrac{y}{x}$ égaux, ou pas.
• Un pourcentage de réduction se soustrait, un pourcentage d'augmentation s'ajoute — mais on calcule toujours d'abord $\dfrac{t}{100}\times Q$.

De y = k x à la fonction linéaire

Ce petit $y = k \times x$ que tu manipules cette année deviendra en $3^{\text{e}}$ une fonction linéaire, notée $f(x) = k\,x$. Même règle, nouveau vocabulaire : $k$ s'appellera le coefficient directeur.

Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Pourquoi par l'origine ? Parce que si $x = 0$, alors $y = k \times 0 = 0$ : « zéro croissant, zéro euro ». Et comme le rapport $\dfrac{y}{x}$ reste toujours le même, tous les points sont parfaitement alignés — c'est la proportionnalité vue en image.

Tu y retrouveras, sous un autre nom, la lecture de nuage de points que tu fais déjà cette année : « caractériser graphiquement la proportionnalité », c'est exactement vérifier que les points sont alignés avec l'origine. Et la droite qui rate l'origine aura elle aussi son nom en $3^{\text{e}}$ : elle représentera une fonction affine $f(x) = a\,x + b$, où le $b$ est précisément le « prix de départ » qui casse la proportionnalité.

Coefficient multiplicateur et pourcentages successifs

En $4^{\text{e}}$ et $3^{\text{e}}$, tu apprendras un raccourci : appliquer $-25\,\%$ revient à multiplier par $0{,}75$ (car il reste $75\,\%$), et augmenter de $10\,\%$ revient à multiplier par $1{,}10$. On appelle ce nombre le coefficient multiplicateur.

Cela révèle un piège savoureux : baisser un prix de $25\,\%$ puis le remonter de $25\,\%$ ne redonne pas le prix de départ. En effet $0{,}75 \times 1{,}25 = 0{,}9375$ : il reste $93{,}75\,\%$, on a donc perdu $6{,}25\,\%$ au passage. Les pourcentages ne s'additionnent pas, ils se multiplient.

D'autres portes qui s'ouvrent

• Le produit en croix (la « quatrième proportionnelle ») : dès la $4^{\text{e}}$, un outil rapide pour retrouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité.
• Les grandeurs composées : la vitesse, avec $\text{distance} = \text{vitesse} \times \text{temps}$, est une proportionnalité tant que la vitesse est constante — exactement la même logique que le coefficient $k$.
• Les échelles en sciences et en techno : plans, maquettes, cartes de géographie... la même formule $d_{\text{réelle}} = d_{\text{carte}} \times n$ te suivra partout.