Puissances : carré et cube

Les prérequis en 30 secondes

Tu as besoin de deux choses seulement : tes tables de multiplication, et l'ordre des opérations : les parenthèses d'abord, puis les multiplications, puis les additions — c'est le chapitre des priorités opératoires, au programme de 5e lui aussi.

Un repère utile pour comprendre à quoi ça sert : l'aire d'un carré de côté $4$ vaut $4 \times 4 = 16$, et le volume d'un cube d'arête $3$ vaut $3 \times 3 \times 3 = 27$. Ces deux calculs reviennent si souvent qu'on leur a donné une écriture raccourcie : c'est exactement le sujet de ce chapitre.

La notation, et le piège n°1

On écrit :

Le petit nombre écrit en haut s'appelle l'exposant : il dit combien de fois on écrit le nombre dans la multiplication. Le nombre du bas s'appelle la base.

Le piège n°1, celui qui coûte le plus de points : $2^3$ n'est pas $2 \times 3$. L'exposant n'est pas un facteur, c'est un compteur. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, alors que $2 \times 3 = 6$. Deux résultats différents, ne les confonds jamais.

Un calcul fait en entier : $5^2 + 2 \times 3^3$

Étape 1 — je repère les puissances. Il y en a deux : $5^2$ et $3^3$. Dans une expression, une fois les parenthèses traitées, les puissances se calculent avant les multiplications et avant les additions.

Étape 2 — je les calcule. $5^2 = 5 \times 5 = 25$ et $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$. L'expression devient $25 + 2 \times 27$.

Étape 3 — la multiplication. $2 \times 27 = 54$. L'expression devient $25 + 54$.

Étape 4 — l'addition. $25 + 54 = 79$. C'est la réponse.

Le réflexe qui sauve. Recopie l'expression à chaque étape, en ne changeant qu'un morceau à la fois. C'est ce qui empêche d'additionner avant d'avoir calculé la puissance — l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Les définitions au propre

Soit $a$ un nombre. On appelle :

• carré de $a$ le produit $a \times a$, que l'on note $a^2$ ;
• cube de $a$ le produit $a \times a \times a$, que l'on note $a^3$.

Dans l'écriture $a^2$, le nombre $a$ est la base et le nombre $2$ est l'exposant. On lit « $a$ au carré » ou « $a$ puissance $2$ » ; de même $a^3$ se lit « $a$ au cube » ou « $a$ puissance $3$ ».

Ces deux mots viennent de la géométrie, et c'est le meilleur moyen de ne plus les mélanger : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ (une surface, donc en $\text{cm}^2$ ou en $\text{m}^2$), et le volume d'un cube d'arête $c$ vaut $c^3$ (un volume, donc en $\text{cm}^3$ ou en $\text{m}^3$). Retiens-le sur les unités : dans une unité, l'exposant $2$ signale une aire et l'exposant $3$ un volume.

Deux cas particuliers à ne pas rater. $1^2 = 1 \times 1 = 1$ et $1^3 = 1$ : élever $1$ à n'importe quelle puissance redonne $1$. De même $0^2 = 0$ et $0^3 = 0$.

À connaître par cœur : les carrés de 0 à 12, et le cube de 10

Ces treize résultats sont exigibles au contrôle, sans calcul et sans calculatrice :

Et un cube à connaître, lui aussi par cœur : $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$.

Les autres cubes ne sont pas à apprendre : on les calcule quand on en a besoin, en multipliant trois fois. Les plus fréquents, que tu retiendras vite à force de les croiser : $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$ et $5^3 = 125$.

Une vérification qui rassure. $10^2 = 100$ et $10^3 = 1\,000$ : l'exposant compte les zéros. Deux zéros pour le carré, trois pour le cube.

Écrire un nombre sous la forme d'une puissance 2 ou 3

C'est le trajet inverse : on te donne un nombre, tu dois retrouver de quelle puissance il s'agit.

• Pour un carré : cherche dans la ligne du tableau ci-dessus. Le nombre y figure-t-il ? Si oui, tu as ta réponse. Ainsi $49 = 7^2$, $81 = 9^2$, $144 = 12^2$. Attention : la table s'arrête à $144$, donc si le nombre est plus grand elle ne permet pas de conclure — il faut continuer à la main, $13 \times 13 = 169$, $14 \times 14 = 196$…
• Pour un cube : essaie les petits nombres dans l'ordre, $2 \times 2 \times 2$, $3 \times 3 \times 3$, $4 \times 4 \times 4$… jusqu'à tomber sur le nombre cherché. Ainsi $27 = 3^3$ et $1\,000 = 10^3$.
• Un même nombre peut avoir deux écritures : $64 = 8 \times 8 = 8^2$, et aussi $64 = 4 \times 4 \times 4 = 4^3$. Les deux réponses sont justes ; lis bien ce que l'énoncé demande.

L'ordre des opérations quand il y a une puissance

La règle des priorités s'enrichit d'un étage, et cet étage passe devant presque tous les autres :

1. ce qui est entre parenthèses ;
2. les puissances ;
3. les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
4. les additions et les soustractions, de gauche à droite.

Conséquence directe, et c'est là que se jouent les points : dans $2 \times 3^2$, l'exposant ne porte que sur le $3$. On calcule d'abord $3^2 = 9$, puis $2 \times 9 = 18$. Si l'on voulait élever le produit tout entier au carré, il faudrait écrire $(2 \times 3)^2$, qui vaut $6^2 = 36$.

On le fait ensemble — écrire $81$, $1\,000$ et $144$ sous forme de puissance

Je commence par $81$. Est-ce un carré ? Je parcours la ligne des carrés : $\ldots\ 64,\ \mathbf{81},\ 100 \ldots$ Oui, $81$ y figure, en face de $9$. Donc $81 = 9 \times 9 = 9^2$.

Ensuite $1\,000$. La table des carrés s'arrête à $144$ : bien plus bas que $1\,000$, elle ne permet donc pas de conclure ici. J'essaie le cube : $10 \times 10 \times 10 = 1\,000$. Donc $1\,000 = 10^3$. C'est le cube à connaître par cœur.

Enfin $144$. Dernière case de la table des carrés, en face de $12$ : $144 = 12 \times 12 = 12^2$.

Le contrôle à faire à chaque fois : repasse dans l'autre sens. $9^2$, c'est bien $9 \times 9 = 81$ ; $10^3$, c'est bien $10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ ; $12^2$, c'est bien $12 \times 12 = 144$. Trente secondes, et l'erreur est impossible.

On le fait ensemble — deux expressions à calculer : $4 + 3 \times 2^3$ puis $5^2 - 2 \times 3^2$

Première expression, $4 + 3 \times 2^3$. Je repère la puissance : $2^3$. Elle passe avant tout le reste.

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, donc l'expression devient $4 + 3 \times 8$.

La multiplication vient avant l'addition : $3 \times 8 = 24$, donc l'expression devient $4 + 24$.

Enfin $4 + 24 = 28$. Réponse : $28$.

Deuxième expression, $5^2 - 2 \times 3^2$. Cette fois il y a deux puissances, et je les calcule toutes les deux avant de continuer : $5^2 = 25$ et $3^2 = 9$. L'expression devient $25 - 2 \times 9$.

La multiplication d'abord : $2 \times 9 = 18$. L'expression devient $25 - 18$.

Et $25 - 18 = 7$. Réponse : $7$.

Ce qu'il ne fallait surtout pas faire : commencer par $5^2 - 2 = 23$. La soustraction est la dernière servie, jamais la première.

On le fait ensemble — une expression avec une lettre : $A = x^2 + 3x$ pour $x = 4$

Ici il n'y a rien de nouveau : on remplace la lettre par sa valeur, puis on calcule comme d'habitude, en respectant les priorités.

Je remplace $x$ par $4$. Attention à l'écriture : $3x$ signifie $3 \times x$, donc $3x$ devient $3 \times 4$. L'expression devient $4^2 + 3 \times 4$.

La puissance d'abord : $4^2 = 16$. L'expression devient $16 + 3 \times 4$.

Puis la multiplication : $3 \times 4 = 12$. L'expression devient $16 + 12$.

Enfin l'addition : $16 + 12 = 28$. Donc $A = 28$ lorsque $x = 4$.

Et une formule de géométrie, pour finir. Le volume d'un cube d'arête $c$ s'écrit $V = c^3$. Pour une arête de $5$ cm : $V = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$, soit $125\ \text{cm}^3$. La lettre change, la méthode ne change pas.

Ce que le correcteur attend, et les quatre pièges classiques

Ce qui rapporte les points :

1. La puissance transformée en produit, écrite noir sur blanc : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, et non un $8$ tombé du ciel.
2. L'expression recopiée à chaque étape, en ne changeant qu'un morceau à la fois. C'est cette colonne de lignes qui prouve que tu as respecté les priorités.
3. L'unité juste quand le calcul vient de la géométrie : $\text{m}^2$ pour une aire, $\text{m}^3$ pour un volume.
4. Une phrase de conclusion qui répond à la question posée, pas seulement un nombre entouré.

Les erreurs qui coûtent des points :

• Confondre l'exposant et un facteur. $2^3 \neq 2 \times 3$ : le premier vaut $8$, le second vaut $6$. De même $5^2 = 25$ et non $10$.
• Faire entrer l'exposant dans une somme. $3^2 + 4^2 \neq (3+4)^2$ : à gauche $9 + 16 = 25$, à droite $7^2 = 49$. Ce n'est pas le même nombre.
• Faire porter l'exposant sur tout un produit. Dans $2 \times 5^2$, l'exposant ne concerne que le $5$ : $2 \times 25 = 50$. Avec les parenthèses, $(2 \times 5)^2 = 10^2 = 100$. Deux écritures, deux résultats.
• Doubler au lieu d'élever au carré. Pour $x = 3$, l'expression $x^2$ vaut $3 \times 3 = 9$, et non $3 + 3 = 6$. Élever au carré et doubler sont deux opérations différentes : elles ne donnent le même résultat que pour $0$ et pour $2$.

Problème résolu n°1 — la cour de récréation

Énoncé. Une cour carrée mesure $12$ m de côté. On y délimite un terrain de jeu carré de $5$ m de côté. Quelle aire reste-t-il libre ? Le règlement impose au moins $100\ \text{m}^2$ de surface libre : est-il respecté ?

Étape 1 — l'aire de la cour. C'est un carré de côté $12$ m, donc son aire vaut $12^2 = 12 \times 12 = 144$, soit $144\ \text{m}^2$.

Étape 2 — l'aire du terrain de jeu. Carré de côté $5$ m : $5^2 = 5 \times 5 = 25$, soit $25\ \text{m}^2$.

Étape 3 — l'aire libre. Je retire l'une à l'autre : $144 - 25 = 119$, soit $119\ \text{m}^2$.

Étape 4 — la comparaison. $119$ est plus grand que $100$ : le règlement est respecté.

Conclusion à écrire : il reste $119\ \text{m}^2$ de surface libre dans la cour, ce qui dépasse le minimum de $100\ \text{m}^2$ imposé par le règlement.

Le piège de l'énoncé : beaucoup calculent $12 - 5 = 7$ puis $7^2 = 49$. C'est faux, et le schéma ci-dessous montre pourquoi : le petit carré ne s'enlève pas « sur un côté », il s'enlève à l'intérieur de la surface.

Problème résolu n°2 — la boîte cubique et le programme de calcul

Énoncé, partie A. Une boîte a la forme d'un cube de $10$ cm d'arête. Quel est son volume ?

Le volume d'un cube d'arête $c$ vaut $c^3$. Ici $c = 10$ cm, donc $V = 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$, soit $1\,000\ \text{cm}^3$.

C'est le cube à connaître par cœur, et il donne un repère très utile : $10$ cm, c'est $1$ dm, donc cette boîte est un cube de $1$ dm d'arête, dont le volume vaut $1\ \text{dm}^3$, c'est-à-dire $1$ litre. Retiens le lien : $1\,000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{dm}^3 = 1$ L.

Énoncé, partie B. Voici un programme de calcul : « choisis un nombre ; élève-le au carré ; ajoute le triple du nombre choisi ». Écris l'expression littérale correspondante, puis calcule le résultat pour le nombre $6$.

Étape 1 — la formule. J'appelle $n$ le nombre choisi. « Élevé au carré » donne $n^2$ ; « le triple du nombre » donne $3n$. Le programme s'écrit donc $n^2 + 3n$.

Étape 2 — je remplace. Pour $n = 6$, l'expression devient $6^2 + 3 \times 6$.

Étape 3 — je calcule dans l'ordre. La puissance : $6^2 = 36$. La multiplication : $3 \times 6 = 18$. Il reste $36 + 18 = 54$.

Conclusion à écrire : le programme de calcul se traduit par l'expression $n^2 + 3n$, et pour le nombre $6$ il donne $54$.

L'an prochain : des exposants plus grands que 3

En 5e, l'exposant vaut $2$ ou $3$, pas davantage. En 4e, on lève cette limite : pour un exposant entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$. L'objectif officiel de 4e porte sur les puissances d'exposant positif ; les exposants négatifs, eux, attendent la 3e.

Par exemple $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$, et $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$. Le carré et le cube ne sont donc que les deux premiers cas d'une famille beaucoup plus large ; c'est aussi pour cela qu'on parle de puissance dès la 5e, alors qu'on n'en manipule que deux.

Tu verras aussi en 4e que les puissances de $10$ servent à écrire commodément les très grands nombres : $10^4 = 10\,000$, et ainsi de suite, l'exposant comptant les zéros. En 3e, la même idée étendue aux très petits nombres donnera la notation scientifique, utilisée partout en physique-chimie.

Le piège du signe moins : $-3^2$ et $(-3)^2$

Voici la question que posent tous les professeurs une fois les nombres relatifs multipliés — ce qui arrive en 4e, car en 5e on se limite à l'addition et à la soustraction des nombres relatifs. Autant comprendre le mécanisme dès maintenant, il ne dépend que des priorités que tu connais déjà.

• $-3^2$ : il n'y a pas de parenthèses, donc l'exposant ne porte que sur le $3$. On calcule $3^2 = 9$, puis on prend l'opposé : $-3^2 = -9$.
• $(-3)^2$ : les parenthèses passent avant, la base est donc le nombre $-3$ tout entier. On calcule $(-3) \times (-3)$, et le produit de deux nombres négatifs est positif (règle de 4e) : $(-3)^2 = 9$.

Ces deux écritures se ressemblent, mais elles désignent des nombres opposés : $-9$ d'un côté, $9$ de l'autre. C'est la même leçon que $2 \times 5^2 = 50$ contre $(2 \times 5)^2 = 100$ : ce sont les parenthèses, et elles seules, qui disent sur quoi l'exposant travaille.

Le trajet inverse, et une jolie régularité

Tu sais passer du côté à l'aire : côté $7$ m, aire $49\ \text{m}^2$. En 4e tu apprendras à faire le trajet inverse — retrouver le côté d'un carré dont on connaît l'aire — et l'opération qui le permet porte un nom : la racine carrée.

Pour finir, regarde la suite des carrés et les écarts entre deux carrés consécutifs :

Les écarts sont exactement les nombres impairs, dans l'ordre. On le voit sur un dessin : pour passer d'un carré de côté $4$ à un carré de côté $5$, on ajoute une colonne de $4$ carreaux, une ligne de $4$ carreaux et le carreau du coin, soit $4 + 4 + 1 = 9$ carreaux.

Et une curiosité qui mélange carrés et cubes : $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$, qui est justement $10^2$. Ce n'est pas un hasard, mais l'explication attendra quelques années.