Salut ! Tu découvres ce chapitre la veille du contrôle ? Rassure-toi : en 5e, ce chapitre ne demande qu'une petite expression, « en fonction de », pour dire qu'une grandeur dépend d'une autre. On range ça dans un tableau à deux lignes, et on le dessine dans un repère. On reprend depuis le début, avec des exercices à trous pour que tu comprennes en faisant.
« En fonction de » : ce que ça veut dire
Quand la valeur d'une grandeur est déterminée par la valeur d'une autre, on dit que la première est donnée en fonction de la seconde. Par exemple : le prix payé en fonction du nombre de croissants.
La grandeur qui vient après « en fonction de » est celle qu'on choisit librement. L'autre suit.
Le tableau de valeurs
C'est un tableau à deux lignes : en haut la grandeur qui vient après « en fonction de », en bas celle qui en dépend. Chaque colonne donne un couple de valeurs.
Côté du carré $c$ (cm)
1
2
3
Périmètre $P$ (cm)
4
8
12
Pour le remplir à partir d'une formule, on remplace la lettre par le nombre et on calcule : ici $P = 4 \times c$, donc pour $c = 3$ on obtient $4 \times 3 = 12$.
Le repère et les coordonnées
Un repère orthogonal, c'est deux axes gradués perpendiculaires qui se coupent à l'origine. L'axe horizontal est l'axe des abscisses, l'axe vertical celui des ordonnées.
Un point s'écrit avec ses deux coordonnées, abscisse d'abord : $(3\,;12)$ se lit « abscisse $3$, ordonnée $12$ ». En 5e, le repère t'est toujours donné : tu n'as qu'à y placer les points.
À toi de jouer
1. « En fonction de » — On le fait ensemble. Dans chaque situation, dis quelle grandeur dépend de l'autre, puis complète la phrase. a) Le prix payé et le nombre de croissants achetés. On étudie le $\underline{\hspace{1.1em}}$ en fonction du $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) L'aire d'un carré et la longueur de son côté. On étudie $\underline{\hspace{1.1em}}$ en fonction de $\underline{\hspace{1.1em}}$. c) La hauteur d'une bougie allumée et le temps écoulé. On étudie $\underline{\hspace{1.1em}}$ en fonction du $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Le prix dépend du nombre de croissants (c'est moi qui choisis combien j'en achète) : on étudie le prix payé en fonction du nombre de croissants. b) L'aire dépend du côté : on étudie l'aire du carré en fonction de la longueur de son côté. c) La hauteur dépend du temps : on étudie la hauteur de la bougie en fonction du temps écoulé.
2. D'une formule au tableau de valeurs. Le périmètre d'un carré de côté $c$ est donné par $P = 4 \times c$. Complète. Pour $c = 2$ : $P = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $c = 5$ : $P = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $c = 7$ : $P = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $c = 10$ : $P = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
3. Lire un tableau de valeurs. On a mesuré la température d'une tasse de thé toutes les deux minutes.
Temps écoulé (min)
0
2
4
6
8
10
12
Température (°C)
90
70
55
45
40
35
30
a) Au bout de $4$ minutes, la température vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$ °C. b) La température vaut $45$ °C au bout de $\underline{\hspace{1.1em}}$ minutes. c) Entre $0$ et $2$ minutes, le thé perd $90 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ °C. d) Entre $10$ et $12$ minutes, il perd $35 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ °C. e) Le thé refroidit donc de plus en plus vite / de moins en moins vite (entoure la bonne réponse).
Corrigé
a) $55$ °C. b) $6$ minutes. c) $90 - 70 = 20$ °C. d) $35 - 30 = 5$ °C. e) De moins en moins vite : il perd $20$ °C sur les deux premières minutes, mais seulement $5$ °C sur les deux dernières.
4. Du tableau aux points. Un ticket de tramway coûte $2$ €. Le prix $p$ payé pour $n$ tickets est donné par $p = 2 \times n$. a) Complète le tableau.
Nombre de tickets $n$
1
2
3
4
Prix $p$ (€)
2
$\underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}}$
b) Les quatre points à placer sont $(1\,;2)$, $(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\underline{\hspace{1.1em}})$, $(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\underline{\hspace{1.1em}})$ et $(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\underline{\hspace{1.1em}})$. c) Place-les dans le repère ci-dessous.
Corrigé
a) $2 \times 2 = 4$ ; $2 \times 3 = 6$ ; $2 \times 4 = 8$. Le tableau se lit donc $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$. b) $(1\,;2)$, $(2\,;4)$, $(3\,;6)$ et $(4\,;8)$. c) Pour placer $(2\,;4)$ : je repère $2$ sur l'axe horizontal, je monte jusqu'à la ligne du $4$, je marque le point. Les quatre points tombent sur les croisements du quadrillage.
Ah, là ça te rappelle des souvenirs ! Les tableaux à deux lignes, les points à placer, les graphiques du cours de physique. Ici on structure : la méthode pour passer d'une formule à un tableau, celle pour lire un graphique, celle pour trancher sur la proportionnalité. Puis on répète les gestes.
Méthode : d'une formule au tableau de valeurs
1. Je lis la formule et je repère la lettre. 2. Je prends les valeurs de la ligne du haut une par une. 3. Pour chacune, je remplace la lettre par le nombre — parenthèses comprises — et je calcule. 4. J'écris le résultat dans la case du dessous, avec la bonne unité.
Méthode : lire un graphique cartésien
1. Je lis d'abord le nom de chaque axe et la valeur d'une graduation (elle ne vaut pas toujours $1$). 2. Je repère la valeur connue sur son axe. 3. Je me déplace jusqu'à rencontrer la courbe ou le point. 4. Je lis sur l'autre axe, et j'écris la réponse avec son unité.
Méthode : caractériser graphiquement la proportionnalité
Les points représentent une situation de proportionnalité exactement quand ils sont alignéset que la droite qui les porte passe par l'origine.
Attention : « alignés » ne suffit pas. Des points alignés dont la droite coupe l'axe vertical ailleurs qu'en $0$ signalent qu'il y avait déjà quelque chose au départ — donc pas de proportionnalité.
À toi de jouer
1. Remplir un tableau à partir d'une formule. Pour une location de vélo, le prix en euros est donné par $p = 3 + 2 \times h$, où $h$ est le nombre d'heures. Pour $h = 1$ : $p = 3 + 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = 3 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $h = 2$ : $p = 3 + 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = 3 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $h = 3$ : $p = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $h = 4$ : $p = \underline{\hspace{1.1em}}$.
2. Produire une formule simple. a) Un cahier coûte $2$ €. Le prix $p$ de $n$ cahiers est $p = \underline{\hspace{1.1em}}$. b) Un livreur facture $5$ € de frais fixes, puis $3$ € par colis. Le prix $p$ pour $n$ colis est $p = \underline{\hspace{1.1em}}$. c) Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur $c$. Son périmètre est $P = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $p = 2 \times n$. b) $p = 5 + 3 \times n$ : les $5$ € se paient une seule fois, les $3$ € se paient à chaque colis. c) $P = 3 \times c$.
3. Lire un graphique cartésien. Une baignoire se vide. Voici la hauteur d'eau en fonction du temps écoulé.
a) Au départ, la hauteur d'eau vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm. b) Au bout de $4$ minutes, elle vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm. c) La baignoire est complètement vide au bout de $\underline{\hspace{1.1em}}$ minutes. d) Chaque minute, la hauteur baisse de $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
a) $30$ cm : c'est la valeur lue à l'instant $0$, là où le graphique touche l'axe vertical. b) $18$ cm. c) $10$ minutes : c'est là que le graphique touche l'axe horizontal, donc la hauteur vaut $0$. d) $3$ cm : de $30$ cm à $0$ cm en $10$ minutes, soit $30 \div 10 = 3$ cm par minute.
4. L'ordre des coordonnées. Une part de galette coûte $3$ €. On note en abscisse le nombre de parts et en ordonnée le prix payé. a) Pour $4$ parts, le point à placer a pour coordonnées $(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\underline{\hspace{1.1em}})$. b) Un élève a écrit « le point $(12\,;4)$ ». Est-ce correct ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ c) Explique en une phrase : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) $(4\,;12)$. b) Non. c) Il a inversé les coordonnées : l'abscisse s'écrit toujours en premier, et c'est le nombre de parts. Le point $(12\,;4)$ voudrait dire « $12$ parts pour $4$ € », ce qui n'est pas la situation.
On se muscle les neurones en douceur. Cinq fois exactement le même geste : remplacer la lettre par un nombre et calculer, pour remplir un tableau de valeurs. Des formules différentes, une seule méthode. Tranquille, non ?
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Formule $P = 4 \times c$. Complète le tableau.
Place au contrôle ! Plus de trous, cette fois tu voles de tes propres ailes. Ce sont des exercices types comme ceux que tu pourrais avoir en évaluation. Prends ton temps, écris chaque calcul, et finis toujours par une phrase avec les unités.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Une formule, puis le tableau lu dans les deux sens Une salle de sport facture $6$ € d'entrée, puis $3$ € par cours suivi. Le prix payé est donné par $p = 6 + 3 \times n$, où $n$ est le nombre de cours. a) Recopie et complète le tableau de valeurs pour $n = 1$, $2$, $3$ et $4$. b) Un adhérent a payé $15$ €. En te servant du tableau, dis combien de cours il a suivis. c) De combien le prix augmente-t-il d'une colonne à la suivante ? Que représente ce nombre ? d) Que coûterait une visite sans aucun cours ? Rédige une phrase.
Corrigé
a) $6 + 3 \times 1 = 9$ ; $6 + 3 \times 2 = 12$ ; $6 + 3 \times 3 = 15$ ; $6 + 3 \times 4 = 18$. Nombre de cours $n$ : $1$ · $2$ · $3$ · $4$ — Prix $p$ (€) : $9$ · $12$ · $15$ · $18$. b) Je cherche $15$ dans la ligne du bas, je remonte dans sa colonne : $3$ cours. « Cet adhérent a suivi $3$ cours. » c) De $3$ € à chaque fois : c'est le prix d'un cours. d) Pour $n = 0$, la formule donne $6 + 3 \times 0 = 6$. « Sans aucun cours, la visite coûte $6$ €. »
2. Exercice 2 — Lire et interpréter un nuage de points Une compagnie de taxis a relevé le prix payé par cinq clients selon la distance parcourue.
a) Lis les coordonnées des cinq points du nuage. b) De combien le prix augmente-t-il à chaque kilomètre ? c) Combien coûterait une course de $0$ km ? Où lis-tu cette valeur sur le graphique ? d) Ce nuage est-il associé à une situation de proportionnalité ? Justifie graphiquement. e) Écris la formule qui donne le prix $p$ en fonction de la distance $d$.
Corrigé
a) $(1\,;6)$, $(2\,;8)$, $(3\,;10)$, $(4\,;12)$ et $(5\,;14)$. b) De $2$ € : d'un point au suivant, le prix monte toujours de $2$ €. c) $4$ €. On le lit à l'endroit où la droite en pointillés coupe l'axe vertical (le petit cercle). d) Non. Les cinq points sont bien alignés, mais la droite qui les porte coupe l'axe vertical à $4$ € et non à l'origine : on paie déjà $4$ € avant d'avoir parcouru le moindre kilomètre. e) $p = 4 + 2 \times d$.
3. Exercice 3 — Placer les points et conclure Une feuille de papier pèse $5$ g. a) Écris la formule qui donne la masse $m$, en grammes, en fonction du nombre $n$ de feuilles. b) Recopie et complète le tableau de valeurs pour $n = 2$, $4$, $6$ et $8$. c) Place les quatre points dans le repère ci-dessous. d) Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Justifie graphiquement.
Corrigé
a) $m = 5 \times n$. b) $5 \times 2 = 10$ ; $5 \times 4 = 20$ ; $5 \times 6 = 30$ ; $5 \times 8 = 40$. Nombre de feuilles $n$ : $2$ · $4$ · $6$ · $8$ — Masse $m$ (g) : $10$ · $20$ · $30$ · $40$. c) Les points à placer sont $(2\,;10)$, $(4\,;20)$, $(6\,;30)$ et $(8\,;40)$. d) Oui. Les quatre points sont alignés, et la droite qui les porte passe par l'origine : $0$ feuille pèse $0$ g. Les deux conditions sont remplies.
4. Exercice 4 — Lire et interpréter une courbe Un vétérinaire pèse un chaton toutes les deux semaines et trace la courbe de sa masse en fonction de son âge.
a) Quelle était la masse du chaton à la naissance ? b) Quelle est sa masse à $6$ semaines ? c) À quel âge atteint-il $900$ g ? d) Entre quelles semaines grossit-il le plus vite ? Justifie par un calcul. e) La masse du chaton est-elle proportionnelle à son âge ? Justifie graphiquement.
Corrigé
a) $100$ g : c'est la valeur lue à l'âge $0$. b) $700$ g (lecture montrée par les pointillés). c) À $8$ semaines. d) Entre $4$ et $6$ semaines : il passe de $450$ g à $700$ g, soit $250$ g de plus. C'est le plus gros écart du graphique — entre $0$ et $2$ semaines il ne prend que $150$ g, et entre $10$ et $12$ semaines seulement $100$ g. e) Non : les points ne sont pas alignés, la courbe est d'abord de plus en plus raide puis de moins en moins. Et à l'âge $0$ la masse n'est pas nulle, elle vaut déjà $100$ g.
5. Exercice 5 — Produire une formule Un plombier facture $40$ € de déplacement, puis $35$ € par heure de travail. a) Écris la formule qui donne le prix $p$ à payer en fonction du nombre $h$ d'heures de travail. b) Établis le tableau de valeurs pour $h = 1$, $2$ et $3$. c) Rédige une phrase donnant le prix d'une intervention de $3$ heures.
Corrigé
a) $p = 40 + 35 \times h$. b) $40 + 35 \times 1 = 75$ ; $40 + 35 \times 2 = 110$ ; $40 + 35 \times 3 = 145$. Nombre d'heures $h$ : $1$ · $2$ · $3$ — Prix $p$ (€) : $75$ · $110$ · $145$. c) « Une intervention de $3$ heures coûte $145$ €. »
6. Exercice 6 — Lire et interpréter un tableau de valeurs Une station de ski a relevé l'épaisseur de neige au sommet, le premier jour de chaque mois.
Mois
déc.
janv.
févr.
mars
avril
mai
Épaisseur de neige (cm)
40
75
110
95
50
10
a) Quelle est l'épaisseur relevée le 1er mars ? b) À quel mois l'épaisseur vaut-elle $75$ cm ? c) Quel mois la neige est-elle la plus épaisse ? Et la moins épaisse ? d) Entre quels mois consécutifs la neige fond-elle le plus vite ? Justifie par un calcul. e) L'épaisseur de neige est-elle proportionnelle au numéro du mois ? Justifie en une phrase.
Corrigé
a) $95$ cm. b) En janvier. c) La plus épaisse en février ($110$ cm), la moins épaisse en mai ($10$ cm). d) Je calcule les écarts entre mois consécutifs : $110 - 95 = 15$ cm de février à mars ; $95 - 50 = 45$ cm de mars à avril ; $50 - 10 = 40$ cm d'avril à mai. Le plus grand écart est $45$ cm : la neige fond le plus vite entre mars et avril. e) Non : l'épaisseur augmente puis diminue, alors que le numéro du mois, lui, ne fait qu'augmenter. Aucun nombre fixe ne permet de passer de l'un à l'autre.
7. Exercice 7 — Vrai ou faux, en justifiant a) Le point $(2\,;5)$ et le point $(5\,;2)$ sont le même point. b) Si des points sont alignés, alors la situation est proportionnelle. c) La grandeur qui vient après « en fonction de » se place sur l'axe des abscisses. d) Dans un tableau de valeurs, chaque colonne donne un point du repère.
Corrigé
a) Faux. L'abscisse s'écrit toujours en premier : $(2\,;5)$ a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $5$, l'autre l'inverse. Ce sont deux points différents. b) Faux. Il faut en plus que la droite qui les porte passe par l'origine. Des points alignés dont la droite coupe l'axe vertical ailleurs qu'en $0$ ne sont pas associés à une situation de proportionnalité. c) Vrai. C'est la grandeur qu'on choisit librement, et elle se lit à l'horizontale. d) Vrai. Une colonne donne un couple, donc un point et un seul.
Tu as déjà tout bon au contrôle ? Alors regardons par-dessus la clôture. Ces exercices sont ceux de l'an prochain, en $4^{\text{e}}$ : appliquer un programme de calcul à une lettre, le remonter à l'envers, et construire toi-même le repère au lieu qu'on te le donne. Prends une feuille de brouillon.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Un programme de calcul à deux étapes Voici le programme : « Choisis un nombre, multiplie-le par $4$, puis retire $3$. » a) Applique-le au nombre $6$, en détaillant les deux étapes. b) Applique-le au nombre $10$. c) Applique-le à une lettre $n$ : quelle expression obtiens-tu ?
Corrigé
a) $6 \times 4 = 24$, puis $24 - 3 = 21$. b) $10 \times 4 = 40$, puis $40 - 3 = 37$. c) $4 \times n - 3$. C'est le même calcul, écrit une fois pour toutes — autrement dit une formule, exactement comme celles de cette année.
2. Exercice 2 — Remonter un programme de calcul Nouveau programme : « Choisis un nombre, multiplie-le par $5$, puis ajoute $5$. » Le résultat obtenu est $45$. Quel était le nombre de départ ? Vérifie ta réponse.
Corrigé
On remonte par les opérations inverses, dans l'ordre inverse : $45 - 5 = 40$, puis $40 \div 5 = 8$. Vérification : $8 \times 5 = 40$, puis $40 + 5 = 45$. Le nombre de départ était $8$.
3. Exercice 3 — Produire une formule littérale Un rectangle a une largeur de $\ell$ centimètres, et sa longueur mesure $3$ cm de plus que sa largeur. a) Exprime la longueur en fonction de $\ell$. b) Exprime le périmètre du rectangle en fonction de $\ell$. c) Calcule ce périmètre pour $\ell = 5$ cm.
Corrigé
a) La longueur vaut $\ell + 3$. b) Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur : $P = 2 \times (\ell + 3 + \ell)$, ce qui s'écrit aussi $P = 4 \times \ell + 6$. c) Pour $\ell = 5$ : $P = 4 \times 5 + 6 = 20 + 6 = 26$ cm. On vérifie : largeur $5$ cm, longueur $8$ cm, donc $2 \times (5 + 8) = 2 \times 13 = 26$ cm.
4. Exercice 4 — Construire soi-même le repère Un cours particulier coûte $7$ € de l'heure. On veut représenter le prix payé en fonction du nombre d'heures, pour $1$ à $5$ heures. a) Établis le tableau de valeurs. b) Sur une feuille, choisis des graduations qui font tenir toutes les valeurs, puis trace et gradue le repère toi-même. N'oublie ni les noms des grandeurs, ni les unités. c) Place les points, puis conclus sur la proportionnalité.
Corrigé
a) $7 \times 1 = 7$ ; $7 \times 2 = 14$ ; $7 \times 3 = 21$ ; $7 \times 4 = 28$ ; $7 \times 5 = 35$. Nombre d'heures : $1$ · $2$ · $3$ · $4$ · $5$ — Prix (€) : $7$ · $14$ · $21$ · $28$ · $35$. b) Un choix commode : $2$ cm pour $1$ heure en abscisse, et $1$ cm pour $5$ € en ordonnée — il faut monter jusqu'à $35$ €, donc $7$ cm de hauteur suffisent. c) Les points $(1\,;7)$, $(2\,;14)$, $(3\,;21)$, $(4\,;28)$ et $(5\,;35)$ sont alignés, et la droite qui les porte passe par l'origine ($0$ heure de cours coûte $0$ €). C'est donc bien une situation de proportionnalité.
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