Contrôle bientôt et c'est le mot « fonction » qui te fait peur ? Bonne nouvelle : en 5e, il n'y a rien de terrible derrière. On dit juste qu'une grandeur dépend d'une autre, on range ça dans un tableau, et on le lit sur un graphique. En dix minutes tu as l'essentiel.
Avant tout, tu dois juste savoir multiplier, additionner, et savoir ce qu'est un repère — et si tu ne l'as pas encore vu, c'est normal : on le reprend plus bas. C'est tout ce qu'il te faut.
Idée 1 — « en fonction de ». Quand une grandeur dépend d'une autre, on le dit avec ces trois mots. Le périmètre d'un carré dépend de la longueur de son côté : on parle donc du périmètre en fonction du côté.
Idée 2 — le tableau de valeurs. C'est un tableau à deux lignes : en haut la grandeur dont tout dépend, en bas celle qui en dépend. Chaque colonne donne un couple de valeurs.
Idée 3 — le graphique. Chaque colonne du tableau devient un point dans un repère : le nombre du haut se lit sur l'axe horizontal, celui du bas sur l'axe vertical.
Le réflexe à retenir : formule $\rightarrow$ tableau de valeurs $\rightarrow$ points dans le repère. Toujours dans cet ordre.
Une précision qui rassure. Ce chapitre s'appelle « Fonctions », mais en 5e on ne t'en demande pas plus que ça : dire qu'une grandeur dépend d'une autre, remplir un tableau, placer des points, lire un graphique. On ne dit pas encore « une fonction » comme on dirait « un triangle » — seulement « en fonction de ». Le reste, c'est pour les années suivantes.
On veut le périmètre d'un carré en fonction de la longueur de son côté.
Étape 1 — la formule. Un carré a quatre côtés de même longueur. Si le côté mesure $c$ centimètres, alors le périmètre vaut $P = 4 \times c$.
Étape 2 — le tableau de valeurs. Je choisis des valeurs pour $c$, et je calcule $P$ à chaque fois : $4 \times 1 = 4$ ; $4 \times 2 = 8$ ; $4 \times 3 = 12$ ; $4 \times 4 = 16$ ; $4 \times 5 = 20$.
| Côté $c$ (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Périmètre $P$ (cm) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
Étape 3 — les points. Chaque colonne me donne un point : $(1\,;4)$, $(2\,;8)$, $(3\,;12)$, $(4\,;16)$ et $(5\,;20)$. Je les place dans le repère qu'on m'a donné.
Ce qu'on lit. Le graphique ne dit rien de plus que le tableau : il le montre. On voit d'un coup d'œil que plus le côté grandit, plus le périmètre grandit — et régulièrement.
Ça te revient : les tableaux à deux lignes, les points à placer, les graphiques du cours de physique. On reprend tout au propre et dans l'ordre, pour que plus rien ne te surprenne le jour du contrôle.
L'idée. Deux grandeurs sont liées quand la valeur de l'une est entièrement déterminée par la valeur de l'autre. On dit alors que la seconde est donnée en fonction de la première.
Trois exemples, à lire à voix haute :
L'ordre compte. La grandeur qui vient après « en fonction de », c'est celle dont l'autre dépend : celle qu'on fait varier, ou simplement qu'on regarde défiler. Le nombre de croissants, c'est moi qui le choisis ; le temps qui passe, personne ne le choisit — mais dans les deux cas, c'est lui qui commande. Et cet ordre n'est pas décoratif : la grandeur qui vient après « en fonction de » ira sur l'axe horizontal, celle qui en dépend sur l'axe vertical.
Définition. Un tableau de valeurs est un tableau à deux lignes. La ligne du haut porte la grandeur qui vient après « en fonction de » ; la ligne du bas porte celle qui en dépend. Chaque colonne est un couple : une valeur en haut, la valeur correspondante en bas.
Exemple. On mesure la température d'une tasse de thé toutes les deux minutes.
| Temps écoulé (min) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| Température (°C) | 90 | 70 | 55 | 45 | 40 | 35 | 30 |
Le lire, dans un sens. Je pars d'une valeur de la ligne du haut et je descends : au bout de $4$ minutes, le thé est à $55$ °C.
Le lire, dans l'autre sens. Je pars d'une valeur de la ligne du bas et je remonte : le thé est à $45$ °C au bout de $6$ minutes.
L'interpréter. Interpréter, c'est dire ce que le tableau raconte. Entre $0$ et $2$ minutes, le thé perd $90 - 70 = 20$ °C ; entre $10$ et $12$ minutes, seulement $35 - 30 = 5$ °C. Le thé refroidit donc de moins en moins vite.
C'est le geste le plus demandé. La méthode tient en quatre temps :
Exemple. Un rectangle a une largeur de $3$ cm. Son périmètre est donné par $P = 2 \times (L + 3)$, où $L$ est sa longueur en centimètres.
Pour $L = 1$ : $P = 2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8$. Pour $L = 2$ : $P = 2 \times (2 + 3) = 2 \times 5 = 10$. Pour $L = 3$ : $P = 2 \times (3 + 3) = 2 \times 6 = 12$. Pour $L = 4$ : $P = 2 \times (4 + 3) = 2 \times 7 = 14$.
| Longueur $L$ (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Périmètre $P$ (cm) | 8 | 10 | 12 | 14 |
Attention. On remplace la lettre par le nombre sans oublier les parenthèses : $2 \times (1 + 3)$ vaut $8$, alors que $2 \times 1 + 3$ vaudrait $5$. Ce n'est pas le même calcul.
C'est le chemin inverse : on te décrit une situation, tu écris la formule. En trois temps :
Trois situations, trois formules :
Attention. Une formule se lit dans un sens : elle donne la grandeur écrite à gauche à partir de celle écrite à droite. $p = 12 + 2 \times n$ donne le prix quand on connaît le nombre de trajets, pas l'inverse.
Le vocabulaire. Un repère orthogonal, c'est deux axes gradués perpendiculaires. Ils se coupent en un point appelé l'origine, noté $O$. L'axe horizontal est l'axe des abscisses, l'axe vertical l'axe des ordonnées.
Un point est repéré par ses deux coordonnées, écrites entre parenthèses et séparées par un point-virgule : d'abord l'abscisse, ensuite l'ordonnée. Lire et placer un point dans un repère est aussi, cette année, un objectif du chapitre de géométrie sur le repérage : les deux chapitres se répondent.
Placer un point d'un tableau de valeurs, en trois gestes :
Bonne nouvelle. En 5e, le repère t'est toujours donné : déjà tracé, déjà gradué, avec les noms des grandeurs écrits au bout des axes. Tu n'as qu'à y placer les points. Le construire toi-même, ce sera pour l'an prochain.
Définition. Un graphique cartésien, c'est un dessin dans un repère qui montre comment une grandeur varie en fonction d'une autre. Il se présente sous deux formes :
Lire, en trois gestes. Je repère la valeur connue sur son axe ; je me déplace jusqu'à rencontrer la courbe ; je lis sur l'autre axe.
Sur ce graphique, les pointillés font la lecture : au bout de $4$ minutes, le thé est à $55$ °C. Dans l'autre sens : la température vaut $30$ °C au bout de $12$ minutes.
Interpréter, c'est dire ce que le dessin raconte : la courbe descend, donc le thé refroidit ; elle descend d'abord très fort, puis presque plus, donc il refroidit de moins en moins vite.
Attention. Avant de lire quoi que ce soit, regarde les noms des axes et les graduations : une graduation ne vaut pas toujours $1$. Ici, les nombres de l'axe vertical vont de $10$ en $10$ °C, et le quadrillage de $5$ en $5$.
Dernier geste du chapitre : trancher sur le dessin, sans le moindre calcul.
Deux conditions, obligatoires toutes les deux. Pour que des points traduisent une proportionnalité, il faut à la fois qu'ils soient alignés et que la droite qui les porte parte du point $(0\,;0)$. Si l'une des deux manque, la réponse est non.
Le dessin de gauche remplit les deux conditions. Celui du milieu rate la seconde : la droite existe bien, mais elle démarre plus haut que zéro — le signe qu'il y avait déjà quelque chose avant de commencer, une inscription à payer ou de l'eau déjà dans la cuve. Celui de droite rate la première : aucune droite ne porte tous les points.
Où s'arrête cette fiche. Ici, on ne fait que regarder. Tout le reste de la proportionnalité — le coefficient, les pourcentages, les échelles, la vérification par les quotients — est traité dans la fiche « Proportionnalité : pourcentages, échelles et graphiques ».
Assez de théorie, on retrousse les manches. Trois exemples, faits ensemble, ligne par ligne — comme si j'étais assise à côté de toi à commenter chaque calcul. Rien à chercher, tout est écrit.
On y va. On cherche l'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté.
Ligne 1 — la formule. L'aire d'un carré, c'est côté fois côté. Je note $c$ la longueur du côté, en centimètres : $A = c \times c$.
Ligne 2 — le tableau. Je remplace $c$ par chaque valeur, une par une : $1 \times 1 = 1$ ; $2 \times 2 = 4$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $4 \times 4 = 16$ ; $5 \times 5 = 25$.
| Côté $c$ (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Aire $A$ (cm²) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
Ligne 3 — les points. Une colonne, un point : $(1\,;1)$, $(2\,;4)$, $(3\,;9)$, $(4\,;16)$ et $(5\,;25)$. Je les place dans le repère donné.
Ligne 4 — ce que montre le dessin. La droite en pointillés — attention, ici elle ne sert qu'au test — passe par les deux premiers points ; à partir du troisième, les points s'en écartent nettement vers le haut. Ils ne sont donc pas alignés.
Ligne 5 — la conclusion. L'aire n'est pas proportionnelle au côté. On le voit d'ailleurs sans le dessin : quand le côté passe de $2$ à $4$ cm (il est doublé), l'aire passe de $4$ à $16$ cm² — elle est multipliée par $4$, pas par $2$.
On continue. Un jardinier mesure chaque semaine la hauteur d'un plant de tomate et trace le graphique.
Ligne 1 — je lis les axes d'abord. En abscisse, le nombre de semaines ; en ordonnée, la hauteur en centimètres. Les nombres de l'axe vertical vont de $5$ en $5$ cm, mais le quadrillage, lui, est tracé de $1$ en $1$ cm : c'est lui qui permet de lire une valeur exacte.
Ligne 2 — la lecture montrée par les pointillés. Je pars de $4$ sur l'axe horizontal, je monte jusqu'à la courbe, je lis à gauche : au bout de $4$ semaines, le plant mesure $12$ cm.
Ligne 3 — la lecture dans l'autre sens. Quand le plant mesure-t-il $21$ cm ? Je pars de $21$ sur l'axe vertical, je vais à droite jusqu'à la courbe, je descends : au bout de $6$ semaines.
Ligne 4 — interpréter. Entre la semaine $0$ et la semaine $2$, le plant passe de $2$ à $5$ cm : il pousse de $3$ cm. Entre la semaine $4$ et la semaine $6$, il passe de $12$ à $21$ cm : $9$ cm d'un coup. Entre la semaine $6$ et la semaine $8$, il passe de $21$ à $26$ cm : $5$ cm seulement. Le plant pousse donc lentement au début, très vite au milieu, puis ralentit.
Ligne 5 — une remarque utile. Ici on a relié les mesures par un trait, et c'est légitime : le plant grandit à chaque instant, pas seulement le jour de la mesure. Quand les valeurs sont séparées — des cahiers, des séances — on laisse au contraire les points isolés.
Dernier échauffement, et c'est le plus complet. Une cuve contient déjà $20$ litres d'eau. On ouvre un robinet qui y ajoute $15$ litres chaque minute.
Ligne 1 — la formule. Je note $t$ le nombre de minutes depuis l'ouverture. Au départ il y a $20$ L, et il s'ajoute $15$ L par minute, donc $15 \times t$ litres en tout. D'où : $V = 20 + 15 \times t$.
Ligne 2 — le tableau. Je remplace $t$ par chaque valeur : $20 + 15 \times 0 = 20$ ; $20 + 15 \times 1 = 35$ ; $20 + 15 \times 2 = 50$ ; $20 + 15 \times 3 = 65$ ; $20 + 15 \times 4 = 80$.
| Temps $t$ (min) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Volume $V$ (L) | 20 | 35 | 50 | 65 | 80 |
Ligne 3 — les points. $(0\,;20)$, $(1\,;35)$, $(2\,;50)$, $(3\,;65)$ et $(4\,;80)$.
Ligne 4 — proportionnalité ou non ? Les cinq points sont bien alignés : chaque minute ajoute $15$ L, toujours pareil. Mais la droite qui les porte coupe l'axe vertical à $20$ L, et non à $0$ : le point entouré est à $(0\,;20)$.
Ligne 5 — la conclusion. Ce n'est donc pas une situation de proportionnalité : avant même d'ouvrir le robinet, la cuve contenait déjà $20$ litres. Les points alignés ne suffisaient pas.
Le jour du contrôle, la différence se joue sur les détails : l'ordre des coordonnées, la graduation qui ne vaut pas $1$, la phrase de conclusion qu'on oublie d'écrire. On blinde tout ça ensemble.
Un énoncé comme au contrôle. Dans un magasin de location de vélos, le prix payé en euros est donné par la formule $p = 3 + 2 \times h$, où $h$ est le nombre d'heures de location.
Étape 1 — remplir le tableau. Je remplace $h$ par chaque valeur : $3 + 2 \times 1 = 5$ ; $3 + 2 \times 2 = 7$ ; $3 + 2 \times 3 = 9$ ; $3 + 2 \times 4 = 11$.
| Nombre d'heures $h$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Prix $p$ (€) | 5 | 7 | 9 | 11 |
Étape 2 — lire le tableau dans un sens. Combien coûtent $3$ heures de location ? Je cherche $3$ dans la ligne du haut, je descends dans sa colonne : $9$ €.
Étape 3 — le lire dans l'autre sens. Un client a payé $11$ €. Je cherche $11$ dans la ligne du bas, je remonte dans sa colonne : il a loué le vélo pendant $4$ heures.
Étape 4 — interpréter, puis conclure par une phrase. D'une colonne à la suivante, le prix monte toujours de $2$ € : c'est le tarif d'une heure. Et pour $h = 0$, la formule donne $3 + 2 \times 0 = 3$ : il y a $3$ € à payer avant même la première heure. « Avec $11$ €, on loue le vélo pendant $4$ heures. »
Ce que le correcteur attend : le calcul écrit pour chaque case du tableau (pas seulement les résultats), les unités, et la phrase de conclusion.
Une salle d'escalade demande $15$ € d'inscription à l'année, puis $5$ € par séance.
Étape 1 — la formule. Je note $n$ le nombre de séances : $p = 15 + 5 \times n$.
Étape 2 — le tableau. $15 + 5 \times 1 = 20$ ; $15 + 5 \times 2 = 25$ ; $15 + 5 \times 3 = 30$ ; $15 + 5 \times 4 = 35$ ; $15 + 5 \times 5 = 40$.
| Nombre de séances $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Prix $p$ (€) | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
Étape 3 — les points. $(1\,;20)$, $(2\,;25)$, $(3\,;30)$, $(4\,;35)$ et $(5\,;40)$, placés dans le repère donné.
Étape 4 — la question qui rapporte les points. Les cinq points sont alignés — d'une séance à la suivante, le prix monte toujours de $5$ €. Mais la droite qui les porte coupe l'axe vertical à $15$ €, pas à zéro : pour $0$ séance on paie déjà l'inscription.
Conclusion (la phrase à écrire). « Ce n'est pas une situation de proportionnalité, car la droite qui porte les points ne passe pas par l'origine. »
Ce que le correcteur attend : les deux conditions examinées — alignement et origine. Répondre « oui, ils sont alignés » sans regarder l'origine coûte tous les points.
Voici la distance parcourue par un randonneur en fonction de son temps de marche.
Étape 1 — je lis les axes. En abscisse le temps de marche en heures, en ordonnée la distance parcourue en kilomètres. Une graduation verticale vaut $4$ km.
Étape 2 — les lectures directes. Au bout de $2$ heures, il a parcouru $8$ km. Au bout de $5$ heures, $16$ km.
Étape 3 — interpréter le passage plat. Entre $2$ h et $3$ h, le graphique est horizontal : la distance parcourue ne change pas, elle reste à $8$ km. Le randonneur s'est arrêté pendant une heure.
Étape 4 — la proportionnalité. Le graphique part bien de l'origine — à $0$ heure il a parcouru $0$ km — mais les points ne sont pas alignés à cause de la pause. Ce n'est donc pas une situation de proportionnalité.
Ce que le correcteur attend : ne pas se contenter de lire des nombres. « Il s'est arrêté entre la deuxième et la troisième heure » vaut plus que « le graphique est plat ».
Tu as tout compris ? Alors offrons-nous un coup d'œil par-dessus la clôture : voilà exactement ce que le programme te réserve l'an prochain, en $4^{\text{e}}$, à partir de ce que tu viens d'apprendre.
Tu traduis déjà des suites d'opérations en une expression, et tu sais remplacer une lettre par un nombre. En $4^{\text{e}}$, tu systématiseras cela sous le nom de programme de calcul, appliqué non plus seulement à un nombre, mais à une lettre.
Le programme : « Choisis un nombre, multiplie-le par $3$, puis ajoute $4$. »
Tu retrouves ton geste de cette année : cette écriture $3 \times n + 4$, c'est exactement une formule, et elle se remplit dans un tableau de valeurs comme celles que tu manipules déjà.
Toujours en $4^{\text{e}}$, tu feras le chemin à l'envers : on te donne le résultat, tu retrouves le nombre de départ.
Exemple. Avec le programme ci-dessus, le résultat est $31$. Quel était le nombre de départ ?
On remonte en faisant les opérations inverses, et dans l'ordre inverse : $31 - 4 = 27$, puis $27 \div 3 = 9$.
Vérification. $9 \times 3 = 27$, puis $27 + 4 = 31$. C'est bien $9$.
Attention, c'est bien un geste de $4^{\text{e}}$ : cette année, tu remontes un tableau de valeurs colonne par colonne, tu ne remontes pas un calcul à deux étapes.
Cette année, le repère t'est donné : tracé, gradué, avec les noms des grandeurs déjà écrits. En $4^{\text{e}}$, tu devras le construire toi-même, et c'est là que se joue la vraie difficulté :
Tu apprendras aussi à produire des formules plus riches, avec plusieurs opérations, pour représenter une grandeur en fonction d'une autre. Et plus tard au collège, ces formules deviendront des objets qu'on étudie pour eux-mêmes, avec un vocabulaire et des notations à part. Chaque chose en son temps : ce que tu construis cette année — la formule, le tableau, les points, le graphique — restera exactement la base de tout ça.
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