MathématiquesTerminaleProbabilitésExercices + corrigé
Combinatoire & dénombrement — Exercices
Principe multiplicatif, n!, arrangements, combinaisons, coefficients binomiaux, lien loi binomiale. Corrigé détaillé ci-dessous.
1Calculs de base/ 4 pts
Calculer (sans calculatrice) :
- $5!$
- $\binom{6}{2}$
- $\binom{8}{8}$ et $\binom{8}{0}$
- $\dfrac{7!}{4!}$ (nombre de 3-listes parmi 7)
2Dénombrer une situation/ 6 pts
Un sac contient 12 jetons numérotés de 1 à 12.
- On tire simultanément 4 jetons. Combien de tirages possibles ?
- On tire 4 jetons l'un après l'autre sans remise (l'ordre compte). Combien de résultats ?
- Combien de tirages simultanés de 4 jetons contiennent exactement les jetons 1 et 2 (et 2 autres) ?
3Coefficients binomiaux & loi binomiale/ 5 pts
On lance 10 fois une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de « pile ».
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
- Exprimer puis calculer $P(X=3)$.
- Vérifier la symétrie $\binom{10}{3}=\binom{10}{7}$.
Corrigé détaillé
1Calculs de base
1) $5!=5\times4\times3\times2\times1=120$.
2) $\binom{6}{2}=\dfrac{6\times5}{2\times1}=15$.
3) $\binom{8}{8}=1$ et $\binom{8}{0}=1$.
4) $\dfrac{7!}{4!}=7\times6\times5=210$.
2Dénombrer une situation
1) Tirage simultané ⟹ sans ordre : $\binom{12}{4}=\dfrac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495$.
2) Successif sans remise ⟹ ordre : $\dfrac{12!}{8!}=12\times11\times10\times9=11\,880$.
3) Les jetons 1 et 2 sont imposés ; il reste à choisir $2$ jetons parmi les $10$ autres : $\binom{10}{2}=45$.
3Coefficients binomiaux & loi binomiale
1) 10 répétitions identiques et indépendantes, deux issues, succès = « pile » de probabilité $0{,}5$ ⟹ } X\sim\mathcal{{B}}(10\,;\,0{,}5).
2) $P(X=3)=\binom{10}{3}\,0{,}5^{3}\,0{,}5^{7}=120\times0{,}5^{10}=\dfrac{120}{1024}\approx0{,}117$.
3) $\binom{10}{3}=120$ et $\binom{10}{7}=120$ ⟹ égaux (symétrie).