Pas de stress ! Le contrôle approche, mais on va voir l'essentiel en un temps record. Les probas avec des combinaisons, c'est juste compter sans tout écrire. On commence par les bases.
Prérequis 1 : La factorielle
La factorielle d'un entier $n$ est le produit de tous les entiers de 1 à $n$. On note $n!$.
Exemple : $5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120$. Par convention, $0! = 1$.
Utilité : compter les permutations (tous les ranger).
Prérequis 2 : Le principe multiplicatif
Si une situation se déroule en étapes indépendantes avec $n_1, n_2, \dots, n_p$ possibilités, le nombre total de chemins est $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p$.
Exemple : un menu avec 2 entrées, 3 plats, 2 desserts donne $2\times3\times2=12$ repas possibles.
Les coefficients binomiaux en deux minutes
Quand l'ordre ne compte pas et sans répétition, on utilise une combinaison. Le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ est le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (on lit « $k$ parmi $n$ »). Formule : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$.
Propriétés immédiates : $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ ; $\binom{n}{1}=n$. Symétrie : $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Exemple : comité de 3 personnes parmi 10 : $\binom{10}{3}=120$.
À toi de jouer
Complète pour calculer $6!$ :
$6! = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
Associe chaque formule à son outil :
$\frac{n!}{(n-k)!}$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ (écris arrangement ou combinaison)
$\binom{n}{k}$ $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\frac{n!}{(n-k)!}$ : arrangement. $\binom{n}{k}$ : combinaison.
Calcule $\binom{5}{2}$ en complétant :
$\binom{5}{2} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}!}{\underline{\hspace{1.1em}}!\,\underline{\hspace{1.1em}}!} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}\times\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}\times\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{5\times4}{2\times1} = 10$
Ah, ça te dit quelque chose ! On va remettre tout ça en ordre avec la méthode pour ne plus confondre arrangement et combinaison.
La méthode pas-à-pas
Pour dénombrer, pose-toi trois questions dans l'ordre :
- L'ordre compte-t-il ? (podium, tirage successif) ou pas ? (comité, tirage simultané)
- Y a-t-il répétition possible ? (tirage sans remise la plupart du temps)
- Utilise-t-on tous les éléments ?
En découlent trois outils :
- Ordre et pas de répétition, tous les éléments : permutation $n!$
- Ordre, pas de répétition, on en choisit $k$ : arrangement $\frac{n!}{(n-k)!}$
- Pas d'ordre, pas de répétition, choix de $k$ : combinaison $\binom{n}{k}$
Relation de Pascal et symétrie
Relation de Pascal : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ (utile pour bâtir le triangle de Pascal).
Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
Lien avec la loi binomiale
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
À toi de jouer
Identifie le bon outil et calcule :
Un code de 4 chiffres distincts choisis parmi 0–9. L'ordre compte ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non). Donc on utilise $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}!}{(\underline{\hspace{1.1em}}-\underline{\hspace{1.1em}})!}$.
Complète le calcul : $\frac{10!}{6!} = 10\times\underline{\hspace{1.1em}}\times\underline{\hspace{1.1em}}\times\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ codes possibles.
Corrigé
Oui, l'ordre compte (un code est une séquence). Arrangement : $\frac{10!}{6!}=10\times9\times8\times7 = 5040$.
Dans une main de 5 cartes parmi 32, l'ordre ne compte pas. Nombre de mains : $\binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Calcule en simplifiant : $\binom{32}{5} = \frac{32\times31\times30\times29\times28}{5\times4\times3\times2\times1} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\binom{32}{5}=201376$. (Calculatrice autorisée).
Relation de Pascal : $\binom{7}{3} = \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Vérifie avec les valeurs : $\binom{6}{2}=15$, $\binom{6}{3}=20$ donc $\binom{7}{3}= \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\binom{7}{3} = \binom{6}{2} + \binom{6}{3} = 15+20=35$.
On chauffe les neurones ! Cinq fois le même petit calcul, pour que ça devienne automatique.
À toi de jouer
$\binom{6}{2} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}!}{\underline{\hspace{1.1em}}!\,\underline{\hspace{1.1em}}!} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\,4!} = 15$
$\binom{7}{3} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}!}{\underline{\hspace{1.1em}}!\,\underline{\hspace{1.1em}}!} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!\,4!} = 35$
$\binom{8}{4} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}!}{\underline{\hspace{1.1em}}!\,\underline{\hspace{1.1em}}!} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!\,4!} = 70$
$\binom{9}{5} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}!}{\underline{\hspace{1.1em}}!\,\underline{\hspace{1.1em}}!} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!\,4!} = 126$
$\binom{10}{6} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}!}{\underline{\hspace{1.1em}}!\,\underline{\hspace{1.1em}}!} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!\,4!} = 210$
C'est l'heure du vrai contrôle. Des exercices variés, comme en classe, pour être sûr de cartonner.
À toi de jouer
Calculer :
a) $8!$
b) $\binom{9}{4}$
c) $\binom{11}{0}$
d) Nombre de manières d’attribuer les trois premières places d’une course à 7 chevaux.
Corrigé
a) $8! = 40320$ ; b) $\binom{9}{4} = 126$ ; c) $\binom{11}{0} = 1$ ; d) $\frac{7!}{4!} = 7\times6\times5 = 210$.
Un sac contient 15 jetons numérotés 1 à 15.
a) On tire simultanément 5 jetons. Nombre de tirages ?
b) On tire 5 jetons l’un après l’autre sans remise. Nombre de résultats ?
c) Combien de tirages simultanés contiennent exactement les jetons 1 et 2 (et 3 autres) ?
Corrigé
a) $\binom{15}{5}=3003$ ; b) $\frac{15!}{10!}=15\times14\times13\times12\times11=360360$ ; c) $\binom{13}{3}=286$.
On lance 7 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « pile ».
a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
b) Exprimer puis calculer $P(X=3)$ (arrondir à $10^{-3}$).
c) Vérifier la symétrie : comparer $\binom{7}{3}$ et $\binom{7}{4}$.
Corrigé
a) 7 épreuves identiques indépendantes, succès « pile » de probabilité 0,5, donc $X\sim\mathcal{B}(7;0,5)$.
b) $P(X=3)=\binom{7}{3}(0,5)^3(0,5)^4 = 35 \times (0,5)^7 = 35/128 \approx 0,273$.
c) $\binom{7}{3}=35$ et $\binom{7}{4}=35$ donc ils sont égaux.
Sachant que $\binom{7}{3}=35$ et $\binom{7}{4}=35$, calcule $\binom{8}{4}$ avec la relation de Pascal.
Corrigé
$\binom{8}{4}=\binom{7}{3}+\binom{7}{4}=35+35=70$.
Pour aller plus loin, on découvre une formule magique : le binôme de Newton, qui relie les coefficients binomiaux et les puissances. Tu verras ça l’an prochain, mais en avant-première...
À toi de jouer
Le binôme de Newton affirme : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
Applique cette formule pour développer $(x+2)^3$. Écris chaque terme avec son coefficient binomial, puis simplifie.
Corrigé
$(x+2)^3 = \binom{3}{0}x^3\cdot 2^0 + \binom{3}{1}x^2\cdot 2^1 + \binom{3}{2}x^1\cdot 2^2 + \binom{3}{3}x^0\cdot 2^3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
On rappelle que $\binom{n}{k}$ est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. En remarquant que le nombre total de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$, que vaut $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}$ ? Vérifie pour $n=4$ en calculant la somme des coefficients binomiaux.
Corrigé
$\sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} = \binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4} = 1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$. En général, $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n$.
On développe $(2x-1)^5$ avec le binôme de Newton. Pour obtenir un terme en $x^3$, quelle valeur de $k$ dans $\binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-1)^k$ donne un exposant 3 sur $x$ ? Calcule alors ce coefficient.
Corrigé
On veut $5-k=3$ donc $k=2$. Le terme est $\binom{5}{2}(2x)^3(-1)^2 = 10 \times 8x^3 \times 1 = 80x^3$. Le coefficient est $80$.