Salut ! Pas encore vu le cours sur les limites de suites et pourtant le contrôle est annoncé ? On va rattraper le retard à toute vitesse. Ce qu'il te faut avant tout : bien connaître ce qu'est une suite (définition, termes, suites arithmétiques et géométriques) et savoir factoriser une expression algébrique. Si ces bases sont solides, tu vas voir que l'essentiel se résume à quelques gestes simples. On y va !
Qu'est-ce qu'une limite ?
Intuitivement, une suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ si les termes $u_n$ se rapprochent indéfiniment de $\ell$ quand $n$ devient très grand. On écrit $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell$.
Si $(u_n)$ ne se rapproche d'aucun nombre, on dit qu'elle diverge. Elle peut tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$, ou encore osciller comme $(-1)^n$.
Calculer une limite par factorisation
Pour les suites de la forme $u_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes, on factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré. Exemple : $u_n = \dfrac{3n^2+2}{n^2-5} = \dfrac{n^2(3+2/n^2)}{n^2(1-5/n^2)} = \dfrac{3+2/n^2}{1-5/n^2} \longrightarrow 3$.
Cas des suites géométriques
Pour $q$ réel : si $|q|>1$, $q^n$ tend vers $\pm\infty$ (diverge) ;
si $|q|<1$, $q^n$ tend vers $0$ (converge) ;
si $q=1$, la suite est constante (converge vers $1$) ;
si $q=-1$, $(-1)^n$ diverge par oscillation.
Formules de sommes incontournables
Somme des $n$ premiers entiers : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
Somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q
eq1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
À toi de jouer
1. Complète les étapes pour calculer la limite de $u_n = \dfrac{4n^2-1}{2n^2+3}$ :
On factorise : $u_n = \dfrac{n^2(\underline{\hspace{1.1em}} - \frac{1}{n^2})}{n^2(\underline{\hspace{1.1em}} + \frac{3}{n^2})}$
En simplifiant : $u_n = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \frac{1}{n^2}}{\underline{\hspace{1.1em}} + \frac{3}{n^2}}$
Comme $\frac{1}{n^2}\to0$ et $\frac{3}{n^2}\to0$, on obtient $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_n = \dfrac{n^2(4 - \frac{1}{n^2})}{n^2(2 + \frac{3}{n^2})} = \dfrac{4 - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n^2}} \longrightarrow \dfrac{4}{2} = 2$.
2. Soit $v_n = \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$. Complète : la raison $q = \underline{\hspace{1.1em}}$ vérifie $|q| \; \underline{\hspace{1.1em}} \; 1$ (choisis < ou >) donc $(v_n)$ converge vers $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$q = \frac{1}{5}$, $|q| < 1$, donc $(v_n)$ converge vers $0$.
3. Utilise la formule pour calculer $S = 1+2+3+\dots+20$. Complète : $S = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}\times(\underline{\hspace{1.1em}}+1)}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$S = \dfrac{20\times21}{2} = 210$.
Ah oui, c'est ça ! Tu te souviens maintenant : les théorèmes de convergence (gendarmes, suite monotone bornée) et la méthode pour les suites récurrentes. On va remettre tout ça en ordre et s'entraîner à appliquer les méthodes pas à pas. Prêt à confirmer que tu maîtrises ?
Théorème des gendarmes
Si pour tout $n$ assez grand, $v_n \le u_n \le w_n$ et si $\displaystyle\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\displaystyle\lim u_n = \ell$.
C'est utile quand une suite est encadrée par deux suites qui tendent vers la même limite.
Suite monotone bornée
Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.
Pour étudier une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$, on démontre par récurrence qu'elle est bornée, on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour la monotonie, puis on utilise ce théorème.
Attention ! On ne résout $l=f(l)$ qu'après avoir prouvé la convergence (sinon c'est une erreur logique).
Méthode pour $u_{n+1}=f(u_n)$
1. Calculer les premier termes pour conjecturer.
2. Chercher un point fixe $l$ en résolvant $l=f(l)$ (il donne un candidat pour la limite).
3. Montrer par récurrence que la suite est bornée (majorée ou minorée).
4. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour déterminer la monotonie.
5. Conclure avec le théorème de la convergence monotone.
6. La limite $L$ vérifie alors $L=f(L)$ (par passage à la limite).
À toi de jouer
1. On considère $u_n = \dfrac{3n + \cos n}{n}$. Encadrer $u_n$ puis conclure sur sa limite.
Pour tout $n\ge 1$, $-1 \le \cos n \le 1$ donc :
$\dfrac{3n - \underline{\hspace{1.1em}}}{n} \le u_n \le \dfrac{3n + \underline{\hspace{1.1em}}}{n}$, c'est-à-dire $3 - \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{n} \le u_n \le 3 + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{n}$.
Or $\displaystyle\lim \left(3 - \dfrac{1}{n}\right) = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $\displaystyle\lim \left(3 + \dfrac{1}{n}\right) = \underline{\hspace{1.1em}}$. Par le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$-1 \le \cos n \le 1$ donne $\dfrac{3n - 1}{n} \le u_n \le \dfrac{3n + 1}{n}$ soit $3 - \dfrac{1}{n} \le u_n \le 3 + \dfrac{1}{n}$. Les limites des deux bornes sont $3$, donc $\lim u_n = 3$.
2. Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{2}$. On va prouver que $(u_n)$ converge et trouver sa limite.
a) Conjecture : calcule $u_1$, $u_2$, $u_3$ : $u_1 = \dfrac{0+3}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u_2 = \dfrac{\dots}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u_3 = \underline{\hspace{1.1em}}$. La suite semble $\underline{\hspace{1.1em}}$ (croissante/décroissante) et s'approcher de $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Point fixe probable : $l = \dfrac{l+3}{2}$ donne $l = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Preuve : par récurrence, on montre que pour tout $n$, $0 \le u_n < 3$. Complète l'hérédité : si $0 \le u_n < 3$, alors $u_{n+1} = \dfrac{u_n+3}{2} \ge \dfrac{0+3}{2} > \underline{\hspace{1.1em}}$ et $u_{n+1} < \dfrac{3+3}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $0 \le u_n < 3$.
d) Monotonie : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{3}{2} - \dfrac{u_n}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - u_n}{2}$. Comme $u_n < 3$, on a $3-u_n > 0$, donc $u_{n+1} - u_n > 0$ : la suite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
e) Croissante et majorée par $3$ $\Rightarrow$ converge vers $L$. Par passage à la limite, $L = \dfrac{L+3}{2}$, donc $L=\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $u_1=3/2$, $u_2=9/4=2,25$, $u_3=21/8=2,625$, croissante, tend vers 3. b) $l=3$. c) $>0$, $<3$. d) $\dfrac{3 - u_n}{2}$, strictement croissante. e) $L=3$.
3. Rappel de somme : complète $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 2^k = \dfrac{1 - \underline{\hspace{1.1em}}^{n+1}}{1 - \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}^{n+1} - \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 2^k = \dfrac{1-2^{n+1}}{1-2} = 2^{n+1}-1$.
Cinq mini-exercices quasi identiques pour te faire la main sur le calcul de limites de suites rationnelles. C'est le même geste à chaque fois, tu vas voir, ça devient automatique. Prends ton élan !
Rappel express
Pour $u_n = \dfrac{a n^d + \dots}{c n^d + \dots}$ (même degré), on factorise par $n^d$ et on simplifie. La limite est alors $\dfrac{a}{c}$.
À toi de jouer
1. $u_n = \dfrac{2n^2+3}{n^2+5}$ : $u_n \to \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$u_n \to 2$
2. $v_n = \dfrac{4n^2+1}{2n^2-3}$ : $v_n \to \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$v_n \to 2$
3. $w_n = \dfrac{3n^2-2}{n^2+1}$ : $w_n \to \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$w_n \to 3$
4. $a_n = \dfrac{5n^2}{n^2+10}$ : $a_n \to \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$a_n \to 5$
5. $b_n = \dfrac{7n^2-1}{n^2}$ : $b_n \to \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$b_n \to 7$
Maintenant, on passe au niveau exigé en devoir. Savoir calculer des limites, manipuler les théorèmes, dérouler une étude complète de suite récurrente et jongler avec les formules de sommes. Voici cinq exercices types, sans filet : à toi de justifier proprement.
À toi de jouer
1. Calculer la limite de chaque suite (en justifiant) :
a) $u_n = \dfrac{3n^2-1}{n^2+2}$
b) $v_n = \dfrac{n+2}{\sqrt{4n^2+1}}$ (pense à factoriser la racine)
c) $w_n = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
Corrigé
a) $u_n = \dfrac{n^2(3-1/n^2)}{n^2(1+2/n^2)} = \dfrac{3-1/n^2}{1+2/n^2} \to 3$.
b) $v_n = \dfrac{n(1+2/n)}{\sqrt{n^2(4+1/n^2)}} = \dfrac{n(1+2/n)}{n\sqrt{4+1/n^2}} = \dfrac{1+2/n}{\sqrt{4+1/n^2}} \to \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \frac12$.
c) $|w_n| = \left(\frac14\right)^n \to 0$ car $\frac14<1$, donc $w_n \to 0$.
2. En utilisant le théorème des gendarmes, déterminer la limite de $u_n = \dfrac{2n + \sin n}{n}$.
Corrigé
Pour tout $n\ge1$, $-1\le\sin n\le 1$, donc $\dfrac{2n-1}{n}\le u_n\le\dfrac{2n+1}{n}$, i.e. $2-\frac1n\le u_n\le 2+\frac1n$. Les deux bornes tendent vers $2$, donc par les gendarmes $\lim u_n = 2$.
3. Soit $u_0=1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$.
a) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. Conjecturer le comportement.
b) Démontrer par récurrence que pour tout $n$, $0 < u_n < 2$.
c) Étudier la monotonie de $(u_n)$.
d) Conclure sur la convergence et déterminer la limite.
Corrigé
a) On calcule :
$u_1 = \dfrac{u_0}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$
$u_2 = \dfrac{u_1}{2} + 1 = \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{7}{4}$
$u_3 = \dfrac{u_2}{2} + 1 = \dfrac{7}{8} + 1 = \dfrac{15}{8}$
La suite est croissante et semble tendre vers $2$.
b) Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n < 2$.
Initialisation : $u_0 = 1$ et $0 < 1 < 2$. La propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : Supposons que $0 < u_n < 2$ pour un certain $n \geq 0$. Montrons que $0 < u_{n+1} < 2$.
En divisant l'encadrement $0 < u_n < 2$ par $2$ :
$$0 < \frac{u_n}{2} < 1$$
En ajoutant $1$ à chaque membre :
$$1 < \frac{u_n}{2} + 1 < 2$$
Donc $1 < u_{n+1} < 2$, ce qui implique en particulier $0 < u_{n+1} < 2$.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n < 2$.
c) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2} + 1 - u_n = 1 - \frac{u_n}{2} = \frac{2 - u_n}{2}$$
Or d'après b), $u_n < 2$, donc $2 - u_n > 0$, et par suite $u_{n+1} - u_n > 0$.
La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
d) La suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par $2$ (d'après b)). D'après le théorème de convergence des suites monotones bornées, elle converge vers une limite $L \geq 0$.
En passant à la limite dans la relation $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$ :
$$L = \frac{L}{2} + 1 \implies \frac{L}{2} = 1 \implies L = 2$$
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.
4. Calculer :
a) $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ (vérifier que c'est la somme des $n$ premiers nombres impairs)
b) $T_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} 3^k$
c) $R_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ après avoir vérifié que $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
Corrigé
a) $S_n = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - n = n^2+n - n = n^2$. (Somme des impairs = $n^2$).
b) Suite géométrique de raison $3$, $n$ termes (de $k=0$ à $n-1$) : $T_n = \frac{1-3^n}{1-3} = \frac{3^n-1}{2}$.
c) $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$, donc $R_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$ (télescopage).
5. Soit $u_0=0$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{3} + 2$.
a) Trouver $l$ tel que $l = \frac{l}{3} + 2$.
b) On pose $v_n = u_n - l$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et préciser son premier terme.
c) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
d) En déduire $\lim u_n$.
Corrigé
a) $l = \frac{l}{3}+2 \Rightarrow \frac{2}{3}l = 2 \Rightarrow l=3$.
b) $v_{n+1} = u_{n+1}-3 = (\frac{u_n}{3}+2) - 3 = \frac{u_n-3}{3} = \frac{v_n}{3}$. $(v_n)$ est géométrique de raison $1/3$, $v_0 = u_0 - 3 = -3$.
c) $v_n = -3\cdot(\frac13)^n$, donc $u_n = v_n + 3 = 3 - 3\cdot(\frac13)^n = 3 - (\frac13)^{n-1}$.
d) $\lim (\frac13)^n = 0$, donc $\lim u_n = 3$.
Un petit aperçu de ce qui t'attend l'an prochain, si tu poursuis en maths. On va rencontrer des sommes infinies et des techniques plus élaborées. Pas d'inquiétude, ce sont juste des prolongements naturels !
Vrai calcul de série
Une série est la somme infinie de tous les termes d'une suite, $\sum_{k=0}^{+\infty} u_k$, définie comme la limite de la somme partielle $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ quand $n\to+\infty$. Si la limite existe, on dit que la série converge.
À toi de jouer
1. Série géométrique infinie : pour $|q|<1$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \frac{1}{1-q}$ (car $q^{n+1}\to0$). Applique cette formule pour calculer :
a) $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k$
b) $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k$ (attention au début de l'indice).
Corrigé
a) $q=1/2$, somme $= \frac{1}{1-1/2} = 2$.
b) $\sum_{k=1}^{+\infty} (1/3)^k = \sum_{k=0}^{+\infty} (1/3)^k - 1 = \frac{1}{1-1/3} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac12$.
2. Série télescopique : on reprend $R_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, déduis la somme infinie $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)}$.
Corrigé
$\lim_{n\to+\infty} R_n = 1 - 0 = 1$, donc $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1$.
3. Technique du conjugué pour lever une indétermination : déterminer la limite de $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
Indication : multiplie et divise par l'expression conjuguée $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$.
Corrigé
$u_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0$.