Compléments sur les suites — Exercices

Limites, gendarmes, suite récurrente, sommes et suite arithmético-géométrique. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~35 min✎ Calculatrice non indispensable

1Limite de suites — calcul direct/ 4 pts

Calculer la limite de chaque suite, ou préciser qu'elle diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.

$u_n = \dfrac{4n^2-1}{2n^2+3}$
$v_n = \dfrac{n+2}{\sqrt{4n^2+1}}$
$w_n = \left(-\dfrac{1}{5}\right)^n$

2Théorème des gendarmes/ 3 pts

Soit $u_n = \dfrac{3n + \cos n}{n}$. Encadrer $u_n$ entre deux suites de limite connue, puis conclure sur $\lim u_n$.

3Suite récurrente — monotonie et convergence/ 6 pts

Soit la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n+3}{2}$.

Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. Conjecturer le comportement de la suite.
Démontrer par récurrence que $0 \le u_n \lt 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Conclure sur la convergence et déterminer la limite.

4Calcul de sommes/ 5 pts

Calculer chacune des sommes suivantes et donner une expression simplifiée en $n$.

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$
$T_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} 3^k$
$R_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$ — décomposer d'abord $\dfrac{1}{k(k+1)}$ en éléments simples.

5Suite arithmético-géométrique/ 5 pts

Soit la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{3} + 2$.

Trouver le réel $l$ vérifiant $l = \dfrac{l}{3} + 2$.
Poser $v_n = u_n - l$ et montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ et vérifier la cohérence avec la question 1.

Corrigé détaillé

1Limite de suites — calcul direct

a) $u_n = \dfrac{n^2(4 - 1/n^2)}{n^2(2 + 3/n^2)} = \dfrac{4 - 1/n^2}{2 + 3/n^2} \longrightarrow$ $\dfrac{4}{2} = 2$

b) $v_n = \dfrac{n(1+2/n)}{n\sqrt{4+1/n^2}} = \dfrac{1+2/n}{\sqrt{4+1/n^2}} \longrightarrow$ $\dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$

c) $\left|w_n\right| = \left(\dfrac{1}{5}\right)^n \to 0 \;\text{car}\; \dfrac{1}{5} \lt 1,\quad\text{donc}$ $w_n \to 0$

2Théorème des gendarmes

$-1 \le \cos n \le 1 \;\Rightarrow\; \dfrac{3n-1}{n} \le u_n \le \dfrac{3n+1}{n},\quad\text{c'est-à-dire}\quad 3-\dfrac{1}{n} \le u_n \le 3+\dfrac{1}{n}.$ $\lim\left(3-\dfrac{1}{n}\right) = \lim\left(3+\dfrac{1}{n}\right) = 3,\;\text{donc par le théorème des gendarmes :}\;\lim u_n = 3.$

3Suite récurrente — monotonie et convergence

a) $u_1 = \dfrac{0+3}{2} = \dfrac{3}{2},\quad u_2 = \dfrac{\frac{3}{2}+3}{2} = \dfrac{9}{4},\quad u_3 = \dfrac{\frac{9}{4}+3}{2} = \dfrac{21}{8}.$ $\text{La suite est croissante et semble tendre vers }3.$

b) $\textit{Initialisation :}\; u_0 = 0,\;0 \le 0 \lt 3\;\checkmark.\quad\textit{Hérédité :}\;\text{si }0 \le u_n \lt 3,\text{ alors }u_{n+1} = \dfrac{u_n+3}{2} \lt \dfrac{3+3}{2} = 3\text{ et }u_{n+1} \ge \dfrac{0+3}{2} \gt 0.$ $\text{Donc }0 \le u_n \lt 3\text{ pour tout }n \in \mathbb{N}.$

c) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n+3}{2} - u_n = \dfrac{3 - u_n}{2}.$ $\text{Comme }u_n \lt 3,\text{ on a }3-u_n \gt 0,\text{ donc }u_{n+1}-u_n \gt 0 : (u_n)\text{ est strictement croissante.}$

d) $(u_n)\text{ croissante et majorée par }3 \Rightarrow (u_n)\text{ converge vers }l.\quad l = \dfrac{l+3}{2} \Rightarrow 2l = l+3 \Rightarrow$ $l = 3.$

4Calcul de sommes

a) $S_n = \sum_{k=1}^{n}(2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}1 = 2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1)-n =$ $n^2$

b) $T_n = \sum_{k=0}^{n-1}3^k = \dfrac{1-3^{n}}{1-3} = \dfrac{1-3^n}{-2} =$ $\dfrac{3^n-1}{2}$

c) $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}.\quad R_n = \sum_{k=1}^{n}\!\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} =$ $\dfrac{n}{n+1}$

5Suite arithmético-géométrique

1) $l = \dfrac{l}{3}+2 \;\Rightarrow\; l - \dfrac{l}{3} = 2 \;\Rightarrow\; \dfrac{2l}{3} = 2 \;\Rightarrow\;$ $l = 3.$

2) $v_{n+1} = u_{n+1}-3 = \dfrac{u_n}{3}+2-3 = \dfrac{u_n-3}{3} = \dfrac{v_n}{3}.$ $\text{Suite géométrique de raison }q = \dfrac{1}{3},\text{ premier terme }v_0 = u_0-3 = -3.$

3) $v_n = -3\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^n,\quad\text{donc }u_n = 3+v_n =$ $3 - 3\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 3\left(1 - \dfrac{1}{3^n}\right).$

4) $\left|\dfrac{1}{3}\right| \lt 1 \;\Rightarrow\; \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \to 0,\quad\text{donc}$ $\lim_{n\to+\infty} u_n = 3 = l.\quad\text{Cohérent avec la question 1.}$