Tu n'as jamais entendu parler de convexité mais ça tombe au contrôle ? Pas de panique, on te donne l'essentiel en accéléré. Avant de plonger, assure-toi de savoir dériver une fonction (dérivée première et seconde) et étudier le signe d'une expression. Ces outils sont les clés de la convexité. On va voir les bases : ce que ça veut dire en forme de courbe et comment le relier au signe de f''.
La dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ est la dérivée de la dérivée $f'$. Elle indique comment la pente de la courbe évolue. Si $f'$ donne la vitesse de variation de $f$, $f''$ donne l'accélération.
Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est en forme de cuvette ($\cup$) : elle se situe en dessous de tout segment joignant deux de ses points. Une fonction est concave si sa courbe est en forme de dôme ($\cap$) : elle est au-dessus de tout segment.
Propriété fondamentale : $f''(x) \ge 0$ pour tout $x$ d'un intervalle $I$ $\iff$ $f$ est convexe sur $I$ ; $f''(x) \le 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est concave sur $I$. Par exemple, $f(x)=x^2$ donne $f''(x)=2>0$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (courbe en $\cup$).
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente et change de convexité (de concave à convexe ou l'inverse). Caractérisation : $f''(a)=0$ et $f''$ change de signe en $a$. Les coordonnées sont $(a, f(a))$. Attention : $f''(a)=0$ ne suffit pas ! Par exemple, $f(x)=x^4$ a $f''(0)=0$ mais $f''(x)=12x^2 \ge 0$, pas de changement de signe, donc pas de point d'inflexion.
Ah, ça te dit quelque chose maintenant ? On va réactiver la méthode complète pour étudier la convexité d'une fonction. Tu te souviens ? On calcule $f''$, on étudie son signe, on conclut. Avec ça, tu vas pouvoir traiter n'importe quelle fonction.
Pour étudier la convexité d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ :
1. Calculer $f''(x)$.
2. Résoudre $f''(x) \ge 0$ pour déterminer les intervalles où $f''$ est positive, et ceux où $f'' \le 0$.
3. Dresser le tableau de signes de $f''$.
4. Conclure : $f$ est convexe là où $f'' \ge 0$, concave là où $f'' \le 0$.
Pour les points d'inflexion :
- Résoudre $f''(a) = 0$.
- Vérifier que $f''$ change de signe en $a$ (sinon ce n'est pas un point d'inflexion).
- Calculer l'ordonnée $f(a)$ et donner le point $(a, f(a))$.
C'est l'heure de la répétition. 5 fonctions différentes, 5 fois la même mécanique. Tu vas automatiser le geste : dériver, tableau de signes, conclure. Objectif : zéro erreur. Tous ces exercices sont à trous, à toi de remplir.
On passe au niveau contrôle. Les exercices qui suivent ressemblent à ceux que tu pourrais avoir. Tu vas mobiliser tout ce que tu sais : étude de convexité complète, points d'inflexion, paramètres et même une belle inégalité prouvée par convexité.
Tu veux prendre de l'avance ? Voici des applications plus profondes de la convexité. On va démontrer des inégalités élégantes, interpréter des points d'inflexion dans des situations concrètes, et même anticiper sur l'année prochaine avec une étude de fonction plus poussée.
1) Calcul et factorisation de $f''(x)$
$f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$
$f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)\cdot(-2x)e^{-x^2} = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2-1)$
2) Signe de $f''(x)$ et convexité
Comme $e^{-x^2} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de $f''(x)$ est celui de $2x^2 - 1$.
$2x^2 - 1 \ge 0 \iff |x| \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ; $2x^2 - 1 \le 0 \iff |x| \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Donc $f$ est convexe sur $\left]-\infty,\,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,+\infty\right[$ et concave sur $\left[-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]$.
3) Points d'inflexion
$f''$ s'annule en $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ avec changement de signe : ce sont bien des points d'inflexion.
Les ordonnées correspondantes sont $f\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$.
Les points d'inflexion sont donc $I_1\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$ et $I_2\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$.
4) Allure de la courbe
La courbe est en cloche, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un maximum en $x=0$ (tangente horizontale en ce point, car $f'(0)=0$).
Aux points d'inflexion, les tangentes sont obliques, non horizontales. En effet :
$f'\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{-1/2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}
eq 0$
$f'\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}
eq 0$
La courbe traverse sa tangente en chacun de ces points (passage de concave à convexe et inversement), mais ces tangentes sont inclinées, avec des pentes $\pm\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}$.
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