Tu n'as jamais entendu parler de convexité mais ça tombe au contrôle ? Pas de panique, on te donne l'essentiel en accéléré. Avant de plonger, assure-toi de savoir dériver une fonction (dérivée première et seconde) et étudier le signe d'une expression. Ces outils sont les clés de la convexité. On va voir les bases : ce que ça veut dire en forme de courbe et comment le relier au signe de f''.
Rappel : la dérivée seconde
La dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ est la dérivée de la dérivée $f'$. Elle indique comment la pente de la courbe évolue. Si $f'$ donne la vitesse de variation de $f$, $f''$ donne l'accélération.
Définitions graphiques
Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est en forme de cuvette ($\cup$) : elle se situe en dessous de tout segment joignant deux de ses points. Une fonction est concave si sa courbe est en forme de dôme ($\cap$) : elle est au-dessus de tout segment.
Le critère de la dérivée seconde
Propriété fondamentale : $f''(x) \ge 0$ pour tout $x$ d'un intervalle $I$ $\iff$ $f$ est convexe sur $I$ ; $f''(x) \le 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est concave sur $I$. Par exemple, $f(x)=x^2$ donne $f''(x)=2>0$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ (courbe en $\cup$).
Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente et change de convexité (de concave à convexe ou l'inverse). Caractérisation : $f''(a)=0$ et $f''$ change de signe en $a$. Les coordonnées sont $(a, f(a))$. Attention : $f''(a)=0$ ne suffit pas ! Par exemple, $f(x)=x^4$ a $f''(0)=0$ mais $f''(x)=12x^2 \ge 0$, pas de changement de signe, donc pas de point d'inflexion.
À toi de jouer
Corrigé
| $x$ | $-\infty$ | $2$ | $+\infty$ | ||
| $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Complète : $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $]-\infty,2]$ ; $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $[2,+\infty[$. La courbe possède un point d'inflexion d'abscisse $\underline{\hspace{1.1em}}$. Pour obtenir l'ordonnée de ce point, il faut calculer $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Associe chaque courbe à sa propriété : Courbe A : $\underline{\hspace{1.1em}}$ (convexe / concave / point d'inflexion) ; Courbe B : $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; Courbe C : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Ah, ça te dit quelque chose maintenant ? On va réactiver la méthode complète pour étudier la convexité d'une fonction. Tu te souviens ? On calcule $f''$, on étudie son signe, on conclut. Avec ça, tu vas pouvoir traiter n'importe quelle fonction.
Méthode en 4 étapes
Pour étudier la convexité d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ :
1. Calculer $f''(x)$.
2. Résoudre $f''(x) \ge 0$ pour déterminer les intervalles où $f''$ est positive, et ceux où $f'' \le 0$.
3. Dresser le tableau de signes de $f''$.
4. Conclure : $f$ est convexe là où $f'' \ge 0$, concave là où $f'' \le 0$.
Pour les points d'inflexion :
- Résoudre $f''(a) = 0$.
- Vérifier que $f''$ change de signe en $a$ (sinon ce n'est pas un point d'inflexion).
- Calculer l'ordonnée $f(a)$ et donner le point $(a, f(a))$.
Exemples classiques
- $f(x)=e^x$ : $f''(x)=e^x>0$, donc $f$ convexe sur $\mathbb{R}$, pas de point d'inflexion.
- $f(x)=\ln x$ sur $]0,+\infty[$ : $f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$, donc $f$ concave sur son domaine.
À toi de jouer
Calcule : $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $f''(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Signe de $f''$ : $f''(x) \ge 0$ pour $x$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $f''(x) \le 0$ pour $x$ $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$f''$ s'annule en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$ et change de signe, donc la courbe admet un point d'inflexion de coordonnées $(\underline{\hspace{1.1em}} , \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $3$ | $+\infty$ | |||
| $g''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Corrigé
Corrigé
C'est l'heure de la répétition. 5 fonctions différentes, 5 fois la même mécanique. Tu vas automatiser le geste : dériver, tableau de signes, conclure. Objectif : zéro erreur. Tous ces exercices sont à trous, à toi de remplir.
À toi de jouer
$f''(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f''(x) \ge 0 \iff x \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $f''(x) \le 0 \iff x \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $f$ est convexe sur $\underline{\hspace{1.1em}}$, concave sur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Point d'inflexion : $(\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$f''(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f''(x) \ge 0 \iff x \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $f''(x) \le 0 \iff x \underline{\hspace{1.1em}}$
Convexe sur $\underline{\hspace{1.1em}}$, concave sur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Point d'inflexion : $(\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$f''(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f''(x) \ge 0 \iff x \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $f''(x) \le 0 \iff x \underline{\hspace{1.1em}}$
Convexe sur $\underline{\hspace{1.1em}}$, concave sur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Point d'inflexion : $(\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$f''(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Signe de $f''$ : $f''(x) \ge 0$ pour $x \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $f''(x) \le 0$ pour $x \underline{\hspace{1.1em}}$
$f$ est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $\mathbb{R}$.
Point d'inflexion : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$f''(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Signe de $f''$ : sur $]0,+\infty[$, $f''(x) \ge 0$ pour $x \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $f''(x) \le 0$ pour $x \underline{\hspace{1.1em}}$
$f$ est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $]0,+\infty[$.
Point d'inflexion : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
On passe au niveau contrôle. Les exercices qui suivent ressemblent à ceux que tu pourrais avoir. Tu vas mobiliser tout ce que tu sais : étude de convexité complète, points d'inflexion, paramètres et même une belle inégalité prouvée par convexité.
À toi de jouer
1) Calculer $f''(x)$.
2) Étudier le signe de $f''(x)$.
3) En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe, et ceux où $f$ est concave.
4) Déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe de $f$ ; on donnera leurs coordonnées exactes.
Corrigé
2) $f''(x)\ge0 \iff 2x-3\ge0 \iff x\ge \frac{3}{2}$ ; $f''(x)\le0 \iff x\le \frac{3}{2}$.
3) $f$ est convexe sur $[\frac{3}{2}, +\infty[$, concave sur $]-\infty, \frac{3}{2}]$.
4) $f''(\frac{3}{2})=0$, et $f''$ change de signe, donc point d'inflexion en $x=\frac{3}{2}$. Coordonnée : $f(\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18 -4 = \frac{1}{2}$. Point d'inflexion : $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
a) $g(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$.
b) $h(x)=\ln x$ sur $]0,+\infty[$.
Corrigé
b) $h'(x)=1/x$, $h''(x)=-1/x^2<0$ pour tout $x>0$, donc $h$ est concave sur $]0,+\infty[$, pas de point d'inflexion.
1) Calculer $f''(x)$ et le factoriser.
2) Dresser le tableau de signes de $f''(x)$.
3) En déduire la convexité de $f$.
4) Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de la courbe de $f$.
Corrigé
2) Tableau : $f''(x)\ge0 \iff x\le-1$ ou $x\ge1$ ; $f''(x)\le0 \iff -1\le x\le1$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |||
| $f''$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
3) $f$ convexe sur $]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[$, concave sur $[-1,1]$.
4) Points d'inflexion en $x=-1$ et $x=1$ car $f''$ s'annule et change de signe. $f(-1)=(-1)^4-6(-1)^2=1-6=-5$ ; $f(1)=1-6=-5$. Donc $(-1,-5)$ et $(1,-5)$.
1) Calculer $f_a''(x)$.
2) Déterminer $a$ pour que la courbe de $f_a$ admette un point d'inflexion d'abscisse $x=2$.
3) Justifier qu'il s'agit bien d'un point d'inflexion, et donner ses coordonnées complètes pour cette valeur de $a$.
Corrigé
2) On veut $f_a''(2)=0$, soit $12+2a=0 \iff a=-6$.
3) Pour $a=-6$, $f_{-6}''(x)=6x-12=6(x-2)$. Alors $f''$ s'annule en $2$, et change de signe ($f''(x)<0$ pour $x<2$, $f''(x)>0$ pour $x>2$). Il y a donc un point d'inflexion. Coordonnées : $f_{-6}(2)=2^3-6\cdot2^2=8-24=-16$. Point d'inflexion : $(2,-16)$.
Corrigé
Tu veux prendre de l'avance ? Voici des applications plus profondes de la convexité. On va démontrer des inégalités élégantes, interpréter des points d'inflexion dans des situations concrètes, et même anticiper sur l'année prochaine avec une étude de fonction plus poussée.
À toi de jouer
Corrigé
Corrigé
Corrigé
1) Calcul et factorisation de $f''(x)$
$f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$
$f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)\cdot(-2x)e^{-x^2} = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2-1)$
2) Signe de $f''(x)$ et convexité
Comme $e^{-x^2} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de $f''(x)$ est celui de $2x^2 - 1$.
$2x^2 - 1 \ge 0 \iff |x| \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ; $2x^2 - 1 \le 0 \iff |x| \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Donc $f$ est convexe sur $\left]-\infty,\,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right] \cup \left[\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,+\infty\right[$ et concave sur $\left[-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]$.
3) Points d'inflexion
$f''$ s'annule en $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ avec changement de signe : ce sont bien des points d'inflexion.
Les ordonnées correspondantes sont $f\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$.
Les points d'inflexion sont donc $I_1\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$ et $I_2\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)$.
4) Allure de la courbe
La courbe est en cloche, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un maximum en $x=0$ (tangente horizontale en ce point, car $f'(0)=0$).
Aux points d'inflexion, les tangentes sont obliques, non horizontales. En effet :
$f'\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{-1/2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \neq 0$
$f'\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \neq 0$
La courbe traverse sa tangente en chacun de ces points (passage de concave à convexe et inversement), mais ces tangentes sont inclinées, avec des pentes $\pm\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}}$.