Convexité — Exercices

Dérivée seconde, points d'inflexion, paramètre, inégalité classique. Corrigé détaillé ci-dessous.

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1Convexité directe/ 4 pts

Pour chaque fonction, calculer $f''(x)$, étudier son signe, préciser les intervalles de convexité et de concavité, et déterminer les éventuels points d'inflexion avec leurs coordonnées.

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = e^x$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = \ln x$ sur $]0,\,+\infty[$

2Points d'inflexion/ 5 pts

Soit $f(x) = x^4 - 6x^2$.

Calculer $f''(x)$ et le factoriser.
Dresser le tableau de signe de $f''$.
En déduire les intervalles de convexité et de concavité de $f$.
Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de $f$.

3Influence d'un paramètre/ 5 pts

Soit $f_a(x) = x^3 + ax^2$, où $a \in \mathbb{R}$.

Calculer $f_a''(x)$.
Pour quelle valeur de $a$ la courbe de $f_a$ admet-elle un point d'inflexion d'abscisse $x = 3$ ? Justifier que c'est bien un point d'inflexion.
Pour cette valeur de $a$, donner les coordonnées du point d'inflexion.

4Inégalité classique par convexité/ 6 pts

Soit $f(x) = e^x$.

Montrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
Écrire l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 0$.
En utilisant la propriété « courbe convexe $\Rightarrow$ au-dessus de ses tangentes », démontrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $e^x \ge 1 + x$.
Donner une valeur approchée par défaut de $e^{0{,}1}$ à l'aide de cette inégalité.

Corrigé détaillé

1Convexité directe

a) Dérivée seconde $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \implies f''(x) = 12x - 18 =$ $6(2x - 3)$

a) Convexité $f''(x) \ge 0 \iff 2x - 3 \ge 0 \iff x \ge \dfrac{3}{2}$ $f \text{ convexe sur } \left[\tfrac{3}{2},+\infty\right[,\; f \text{ concave sur } \left]-\infty,\tfrac{3}{2}\right]$

a) Point d'inflexion $f\!\left(\tfrac{3}{2}\right) = 2 \cdot \tfrac{27}{8} - 9 \cdot \tfrac{9}{4} + 12 \cdot \tfrac{3}{2} - 4 = \tfrac{27}{4} - \tfrac{81}{4} + 18 - 4 = -\tfrac{54}{4} + 14 =$ $\tfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \text{ point d'inflexion : } \left(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2}\right)$

b) g'' $g'(x) = e^x \implies g''(x) = e^x \gt 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$ $g \text{ convexe sur } \mathbb{R} \text{ (pas de point d'inflexion)}$

c) h'' $h'(x) = \dfrac{1}{x} \implies h''(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0 \text{ pour tout } x \in ]0,+\infty[$ $h \text{ concave sur } ]0,+\infty[ \text{ (pas de point d'inflexion)}$

2Points d'inflexion

1. Calcul et factorisation $f'(x) = 4x^3 - 12x \implies f''(x) = 12x^2 - 12 =$ $12(x-1)(x+1)$

2. Signe de f'' $12(x-1)(x+1) \ge 0 \iff x \le -1 \text{ ou } x \ge 1$ $f'' \ge 0 \text{ sur } ]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\;; \quad f'' \le 0 \text{ sur } [-1,1]$

3. Convexité  $f \text{ convexe sur } ]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\;; \quad f \text{ concave sur } [-1,1]$

4. Coordonnées $f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 = 1 - 6 = -5 \;; \quad f(1) = (1)^4 - 6(1)^2 = 1 - 6 = -5$ $\text{Points d'inflexion : } (-1,\,-5) \text{ et } (1,\,-5)$

3Influence d'un paramètre

1. Dérivée seconde $f_a'(x) = 3x^2 + 2ax \implies$ $f_a''(x) = 6x + 2a$

2. Valeur de a $f_a''(3) = 0 \iff 18 + 2a = 0 \iff$ $a = -9$

2. Vérification (changement de signe) $f_{-9}''(x) = 6x - 18 = 6(x-3) :\; \lt 0 \text{ si } x \lt 3,\; \gt 0 \text{ si } x \gt 3$ $f_{-9}'' \text{ change de signe en } 3 \implies \text{point d'inflexion confirmé}$

3. Coordonnées $f_{-9}(3) = 3^3 + (-9) \times 3^2 = 27 - 81 =$ $\text{Point d'inflexion : } (3,\,-54)$

4Inégalité classique par convexité

1. Convexité $f'(x) = e^x \implies f''(x) = e^x$ $f''(x) = e^x \gt 0 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} \implies f \text{ convexe sur } \mathbb{R}$

2. Tangente en 0 $f(0) = 1,\; f'(0) = 1 \implies T :\; y = 1 \cdot (x - 0) + 1 =$ $y = x + 1$

3. Inégalité $f \text{ convexe} \implies \forall x \in \mathbb{R},\; f(x) \ge y_T(x) = x + 1$ $e^x \ge 1 + x \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$

4. Application $x = 0{,}1 \implies e^{0{,}1} \ge 1 + 0{,}1 =$ $e^{0{,}1} \ge 1{,}1 \quad (\text{valeur exacte : } e^{0{,}1} \approx 1{,}105)$