Concentration et estimation — Exercices

De la majoration d'un écart à la construction et à l'interprétation d'un intervalle de confiance.

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1Majoration directe/ 4 pts

Soit $f_{100}$ la fréquence empirique d'une proportion $p$ sur un échantillon de taille $n=100$.

Donner une majoration de $P(|f_{100}-p|\ge 0{,}1)$.
Donner une majoration de $P(|f_{100}-p|\ge 0{,}2)$.
Comparer les deux résultats et interpréter l'effet d'une augmentation de $\varepsilon$.

2Taille minimale/ 4 pts

On souhaite que $P(|f_n-p|\ge 0{,}05)\le 0{,}04$.

En utilisant l'inégalité de concentration, établir une inégalité portant sur $n$.
En déduire la taille minimale de l'échantillon.

3Intervalle de confiance — sondage/ 5 pts

Un institut sonde $n=900$ personnes ; 612 se déclarent favorables à une mesure.

Calculer la fréquence observée $f$.
Calculer $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ puis donner l'IC à 95 % pour $p$.
Peut-on affirmer au niveau 95 % que $p\gt 0{,}5$ ? Justifier.

4Prise de décision/ 4 pts

Un fabricant affirme que son produit est préféré par plus de 60 % des consommateurs. Un test sur $n=400$ personnes révèle que 228 le préfèrent.

Calculer la fréquence observée $f$.
Construire l'IC à 95 % pour $p$.
La valeur $0{,}60$ appartient-elle à l'IC ? Conclure sur l'affirmation du fabricant.

5Comparer les deux méthodes/ 3 pts

On veut estimer $p$ avec une marge d'erreur inférieure à $0{,}04$.

À l'aide de la formule de l'IC à 95 %, trouver le plus petit entier $n$ tel que $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\lt 0{,}04$.
À l'aide de l'inégalité de concentration, trouver le plus petit entier $n$ tel que $P(|f_n-p|\ge 0{,}04)\le 0{,}05$.
Commenter la différence entre les deux valeurs obtenues.

Corrigé détaillé

1Majoration directe

a) $P(|f_{100}-p|\ge 0{,}1)\le\dfrac{1}{4\times 100\times(0{,}1)^2}=\dfrac{1}{4\times 100\times 0{,}01}=\dfrac{1}{4}=$ $0{,}25$

b) $P(|f_{100}-p|\ge 0{,}2)\le\dfrac{1}{4\times 100\times(0{,}2)^2}=\dfrac{1}{4\times 100\times 0{,}04}=\dfrac{1}{16}=$ $0{,}0625$

c) $\text{Doubler }\varepsilon\Rightarrow\varepsilon^2\text{ multiplié par }4\Rightarrow\text{borne divisée par }4\,:\,\tfrac{1}{4}\div 4=\tfrac{1}{16}.$ $\text{Plus }\varepsilon\text{ est grand, plus la borne est petite : les grands écarts sont moins probables.}$

2Taille minimale

a) $\dfrac{1}{4n\times(0{,}05)^2}\le 0{,}04\iff\dfrac{1}{0{,}01n}\le 0{,}04\iff 0{,}01n\ge 25\iff$ $n\ge 2500$

b) $\text{Le plus petit entier satisfaisant la condition est}$ $n_{\min}=2500$

3Intervalle de confiance — sondage

a) $f=\dfrac{612}{900}=$ $0{,}68$

b) $\dfrac{1}{\sqrt{900}}=\dfrac{1}{30}\approx 0{,}033\quad\Rightarrow\quad\text{IC}_{95\%}=\left[0{,}68-\dfrac{1}{30}\,;\,0{,}68+\dfrac{1}{30}\right]\approx$ $[\,0{,}647\,;\,0{,}713\,]$

c) $\text{Borne inférieure }0{,}647\gt 0{,}5\Rightarrow 0{,}5\notin\text{IC}_{95\%}.$ $\text{Oui : l'IC est entièrement supérieur à }0{,}5\text{. On affirme au niveau 95\,\% que }p\gt 0{,}5.$

4Prise de décision

a) $f=\dfrac{228}{400}=$ $0{,}57$

b) $\dfrac{1}{\sqrt{400}}=\dfrac{1}{20}=0{,}05\quad\Rightarrow\quad\text{IC}_{95\%}=$ $[\,0{,}52\,;\,0{,}62\,]$

c) $0{,}52\le 0{,}60\le 0{,}62\Rightarrow 0{,}60\in[0{,}52\,;\,0{,}62].$ $\text{On ne peut pas rejeter l'affirmation : }p=0{,}60\text{ est compatible avec les données au niveau 95\,\%.}$

5Comparer les deux méthodes

a) $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\lt 0{,}04\iff\sqrt{n}\gt 25\iff n\gt 625$ $n_{\min}=626$

b) $\dfrac{1}{4n\times(0{,}04)^2}\le 0{,}05\iff\dfrac{1}{0{,}0064n}\le 0{,}05\iff n\ge\dfrac{1}{0{,}0064\times 0{,}05}=\dfrac{1}{0{,}00032}=$ $n_{\min}=3125$

c) $\text{IC (TCL) : }n\ge 626.\quad\text{Concentration (B-T) : }n\ge 3125.$ $\text{La borne de Bienaymé-Tchebychev est conservative (exacte mais pessimiste). L'IC à 95\,\% repose sur l'approximation normale, plus fine pour les grands }n.$