Tu as un contrôle qui arrive sur la concentration et l'estimation, mais tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre ? Pas de panique. On va repartir des bases absolues — ce qu'il faut avoir compris avant — et te rendre opérationnel très vite. On ne va pas tout démontrer, on va viser l'essentiel pour que tu saches faire. Tu vas voir, l'idée centrale est assez simple : quand on sonde des gens, on n'obtient jamais la proportion exacte dans la population, mais on peut mesurer l'écart probable.
Les prérequis indispensables
Pour ce chapitre, tu as besoin de trois choses :
1. La loi binomiale B(n,p) : c'est le modèle quand on répète n fois une expérience à deux issues (succès/échec) avec probabilité de succès p. Par exemple, interroger n personnes au hasard et compter celles qui répondent oui. L'espérance est np.
2. Les probabilités conditionnelles et l'indépendance : deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)×P(B). Ici, on utilise des variables de Bernoulli indépendantes pour modéliser un sondage aléatoire simple.
3. La fréquence empirique : si on a X succès sur n tentatives, la fréquence observée est f = X/n. C'est une variable aléatoire (elle change d'un sondage à l'autre).
L'inégalité de concentration — on fait simple
On cherche à estimer une proportion p inconnue dans une population (par exemple le pourcentage de gens qui aiment le chocolat). On fait un sondage sur n personnes et on obtient une fréquence f. Le problème : f n'est pas égal à p, il fluctue. L'inégalité de concentration nous dit que la probabilité que f s'écarte de p de plus de ε (epsilon, une marge d'erreur) est bornée :
P(|f − p| ≥ ε) ≤ 1 / (4n ε²)
Comprendre la formule : plus n est grand (grand échantillon), plus le terme 1/(4nε²) est petit — donc la probabilité d'un gros écart diminue. Plus ε est grand, plus c'est facile d'être dans l'écart, donc la probabilité d'être au-delà diminue aussi.
Intervalle de confiance à 95% (le truc à savoir faire) : pour n ≥ 30, on estime p par un intervalle centré sur la fréquence observée f :
IC = [ f − 1/√n ; f + 1/√n ]
On l'appelle intervalle de confiance au niveau 95% parce que si on refaisait le sondage 100 fois, environ 95 des intervalles construits contiendraient le vrai p. Attention : ce n'est pas une certitude absolue.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Complète la formule de concentration. On te donne la formule à trous, tu n'as qu'à remplir les cases vides. On le fait ensemble.
Soit f la fréquence observée sur un échantillon de taille n = 100. La probabilité que l'écart entre f et la vraie proportion p dépasse ε = 0,1 est majorée par :
P(|f − p| ≥ 0,1) ≤ 1/(4 × □ × □²) = □.
Indice : remplace n par 100 et ε par 0,1 dans 1/(4nε²).
Corrigé
On remplace n par 100 et ε par 0,1 :
P(|f − p| ≥ 0,1) ≤ 1/(4 × 100 × (0,1)²) = 1/(4 × 100 × 0,01) = 1/4 = 0,25.
2. Exercice 2 — Construis ton premier intervalle de confiance. Même principe, on complète.
Un sondage sur n = 400 personnes donne une fréquence observée f = 0,62. On veut l'intervalle de confiance à 95% pour la vraie proportion p.
La marge d'erreur est δ = 1/√□ = 1/□ = □.
L'intervalle est donc : IC = [f − δ ; f + δ] = [0,62 − □ ; 0,62 + □] = [□ ; □].
Indice : √400 = 20.
Corrigé
δ = 1/√400 = 1/20 = 0,05.
IC = [0,62 − 0,05 ; 0,62 + 0,05] = [0,57 ; 0,67].
Conclusion : on estime au niveau 95% que p est entre 0,57 et 0,67.
3. Exercice 3 — Un petit pas de plus : on te donne tout, tu écris juste la conclusion.
Un sondage sur n = 900 donne f = 0,45. On a 1/√900 = 1/30 ≈ 0,033. L'intervalle de confiance à 95% est [0,417 ; 0,483].
Question : la valeur 0,5 est-elle dans l'intervalle ? Peut-on affirmer au niveau 95% que la vraie proportion p est inférieure à 0,5 ?
Réponse à trous : La valeur 0,5 est □ comprise dans l'intervalle car l'intervalle va jusqu'à □. Toutes les valeurs de l'intervalle sont □ à 0,5. On □ affirmer au niveau 95% que p < 0,5.
Corrigé
La valeur 0,5 n'est pas comprise dans l'intervalle car l'intervalle va jusqu'à 0,483. Toutes les valeurs de l'intervalle sont inférieures à 0,5. On peut affirmer au niveau 95% que p < 0,5.
Ah oui, ce chapitre… tu te souviens des sondages, de la loi binomiale, de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. On va remettre tout ça en ordre, doucement, avec la méthode pas-à-pas. Tu vas retrouver les automatismes.
Rappel structuré : d'où vient l'inégalité de concentration ?
On part de variables X₁, X₂, …, Xₙ indépendantes qui suivent une loi de Bernoulli de paramètre p (1 pour succès, 0 pour échec). La fréquence observée est fₙ = (X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n.
Espérance et variance de fₙ :
E(fₙ) = p (la fréquence moyenne sur un grand nombre de sondages est p).
Var(fₙ) = p(1−p)/n. Or p(1−p) ≤ 1/4 pour tout p dans [0,1] (le maximum est atteint pour p = 1/2). Donc Var(fₙ) ≤ 1/(4n).
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à fₙ :
P(|fₙ − E(fₙ)| ≥ ε) ≤ Var(fₙ)/ε² ≤ 1/(4nε²). C'est l'inégalité de concentration.
Méthode pas-à-pas : majorer un écart
Étape 1 : Note n (taille de l'échantillon) et ε (l'écart).
Étape 2 : Calcule 4 × n × ε².
Étape 3 : La borne est 1 divisé par ce nombre.
Étape 4 : Interprète : « La probabilité que la fréquence observée s'écarte de p de plus de ε est inférieure à cette borne. »
Méthode pas-à-pas : intervalle de confiance à 95%
Étape 1 : Calcule la fréquence observée f = nombre de succès / n.
Étape 2 : Vérifie que n ≥ 30 (condition d'application).
Étape 3 : Calcule δ = 1/√n.
Étape 4 : Écris IC = [f − δ ; f + δ].
Étape 5 : Conclus : « On estime au niveau 95% que p appartient à cet intervalle. »
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Application directe : majoration.
Soit n = 200 et ε = 0,15. Donne une majoration de P(|f₂₀₀ − p| ≥ 0,15) en complétant :
P(|f − p| ≥ 0,15) ≤ 1/(4 × □ × □²) = 1/□ ≈ □ (arrondir à 10⁻³).
Corrigé
4 × 200 × (0,15)² = 800 × 0,0225 = 18. Borne = 1/18 ≈ 0,056.
2. Exercice 2 — Application directe : intervalle de confiance.
Un sondage sur n = 2500 personnes donne 1300 avis favorables. Complète la construction de l'IC à 95% :
f = □/□ = □.
δ = 1/√□ = 1/□ = □.
IC = [□ − □ ; □ + □] = [□ ; □].
Corrigé
f = 1300/2500 = 0,52. δ = 1/√2500 = 1/50 = 0,02. IC = [0,52 − 0,02 ; 0,52 + 0,02] = [0,50 ; 0,54].
3. Exercice 3 — Interprétation.
On a construit un IC à 95% : [0,41 ; 0,49] pour une proportion p. La valeur 0,5 est-elle dans l'intervalle ? Peut-on affirmer au niveau 95% que p < 0,5 ? Complète :
0,5 □ dans l'intervalle car l'intervalle s'arrête à □. Toute valeur de l'intervalle est □ à 0,5, donc on □ affirmer que p < 0,5.
Corrigé
0,5 n'est pas dans l'intervalle car l'intervalle s'arrête à 0,49. Toute valeur de l'intervalle est inférieure à 0,5, donc on peut affirmer que p < 0,5.
Cinq exercices quasi-identiques pour mécaniser le calcul de l'intervalle de confiance. Tu vas répéter le même geste : calculer f, calculer 1/√n, écrire l'intervalle, conclure. Après ça, ce sera un réflexe.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Construis l'intervalle de confiance à 95% pour n = 100 et f = 0,45. Complète :
δ = 1/√□ = 1/□ = □. IC = [□ − □ ; □ + □] = [□ ; □].
Corrigé
δ = 1/√100 = 1/10 = 0,1. IC = [0,45 − 0,1 ; 0,45 + 0,1] = [0,35 ; 0,55].
2. Exercice 2 — Construis l'intervalle de confiance à 95% pour n = 400 et f = 0,72. Complète :
δ = 1/√□ = 1/□ = □. IC = [□ − □ ; □ + □] = [□ ; □].
Corrigé
δ = 1/√400 = 1/20 = 0,05. IC = [0,72 − 0,05 ; 0,72 + 0,05] = [0,67 ; 0,77].
3. Exercice 3 — Construis l'intervalle de confiance à 95% pour n = 900 et f = 0,38. Complète :
δ = 1/√□ = 1/□ ≈ □ (arrondir à 0,001). IC = [□ − □ ; □ + □] ≈ [□ ; □].
Corrigé
δ = 1/√900 = 1/30 ≈ 0,033. IC = [0,38 − 0,033 ; 0,38 + 0,033] ≈ [0,347 ; 0,413].
4. Exercice 4 — Construis l'intervalle de confiance à 95% pour n = 1600 et f = 0,55. Complète :
δ = 1/√□ = 1/□ = □. IC = [□ − □ ; □ + □] = [□ ; □].
Corrigé
δ = 1/√1600 = 1/40 = 0,025. IC = [0,55 − 0,025 ; 0,55 + 0,025] = [0,525 ; 0,575].
5. Exercice 5 — Construis l'intervalle de confiance à 95% pour n = 2500 et f = 0,81. Complète :
δ = 1/√□ = 1/□ = □. IC = [□ − □ ; □ + □] = [□ ; □].
Corrigé
δ = 1/√2500 = 1/50 = 0,02. IC = [0,81 − 0,02 ; 0,81 + 0,02] = [0,79 ; 0,83].
Maintenant on passe au niveau attendu au contrôle. Des problèmes concrets, de la prise de décision, du calcul de taille d'échantillon. Tu vas manipuler l'inégalité de concentration pour majorer une probabilité ou déterminer une taille minimale, et utiliser l'intervalle de confiance pour valider ou rejeter une hypothèse. Pas de trous ici, tu voles de tes propres ailes.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Majoration directe.
Soit f₁₂₀ la fréquence empirique d'une proportion p sur un échantillon de taille n = 120.
a) Donner une majoration de P(|f₁₂₀ − p| ≥ 0,1).
b) Donner une majoration de P(|f₁₂₀ − p| ≥ 0,2).
c) Comparer les deux bornes. Quel effet a le doublement de ε sur la borne ?
Corrigé
a) P(|f − p| ≥ 0,1) ≤ 1/(4 × 120 × 0,1²) = 1/4,8 ≈ 0,2083.
b) P(|f − p| ≥ 0,2) ≤ 1/(4 × 120 × 0,2²) = 1/19,2 ≈ 0,0521.
c) En doublant ε, ε² est multiplié par 4, donc la borne est divisée par 4. Plus ε est grand, plus la borne est petite : les grands écarts sont moins probables.
2. Exercice 2 — Taille minimale d'échantillon.
On souhaite que P(|fₙ − p| ≥ 0,05) ≤ 0,04.
a) En utilisant l'inégalité de concentration, établir une inégalité sur n.
b) En déduire la taille minimale de l'échantillon.
Corrigé
a) 1/(4n × 0,05²) ≤ 0,04 → 1/(0,01n) ≤ 0,04 → 0,01n ≥ 25 → n ≥ 2500.
b) Le plus petit entier n est 2500.
3. Exercice 3 — Sondage et intervalle de confiance.
Un institut sonde 1600 personnes : 880 se déclarent favorables à une proposition.
a) Calculer la fréquence observée f.
b) Donner l'intervalle de confiance à 95% pour p.
c) Peut-on affirmer au niveau 95% que p > 0,5 ? Justifier.
Corrigé
a) f = 880/1600 = 0,55.
b) δ = 1/√1600 = 1/40 = 0,025. IC = [0,55 − 0,025 ; 0,55 + 0,025] = [0,525 ; 0,575].
c) La borne inférieure est 0,525 > 0,5. L'intervalle entier est au-dessus de 0,5, donc on peut affirmer au niveau 95% que p > 0,5.
4. Exercice 4 — Prise de décision.
Un industriel affirme que son produit est préféré par plus de 70% des consommateurs. Un test sur 900 personnes donne 603 préférences pour ce produit.
a) Calculer f et construire l'IC à 95%.
b) La valeur 0,70 est-elle dans l'IC ? Que conclure sur l'affirmation de l'industriel ?
Corrigé
a) f = 603/900 = 0,67. δ = 1/√900 = 1/30 ≈ 0,033. IC ≈ [0,637 ; 0,703].
b) 0,70 est dans l'intervalle [0,637 ; 0,703]. On ne peut donc pas rejeter l'affirmation : p = 0,70 est compatible avec les données au niveau 95%.
5. Exercice 5 — Comparaison des méthodes.
On souhaite une marge d'erreur inférieure à 0,04.
a) Avec l'IC à 95%, trouver le plus petit entier n tel que 1/√n < 0,04.
b) Avec l'inégalité de concentration, trouver le plus petit entier n tel que P(|fₙ − p| ≥ 0,04) ≤ 0,05.
c) Commenter la différence entre les deux valeurs.
Corrigé
a) 1/√n < 0,04 → √n > 1/0,04 = 25 → n > 625. Le plus petit entier est n = 626.
b) 1/(4n × 0,04²) ≤ 0,05 → 1/(0,0064n) ≤ 0,05 → 0,0064n ≥ 20 → n ≥ 3125. Le plus petit entier est n = 3125.
c) L'inégalité de concentration donne une condition plus exigeante (3125 au lieu de 626) car elle garantit une probabilité de 95% pour TOUTE valeur de p, sans l'approximation IC. La formule IC suppose implicitement une approximation gaussienne pour n ≥ 30, mais sa borne n'offre pas la même certitude théorique que Bienaymé-Tchebychev.
Tu as les bases solides ? On va pousser un peu plus loin. Tu vas voir comment ces idées se prolongent : lien avec les intervalles de fluctuation de la loi binomiale, introduction à la notion de niveau de confiance ajustable, et un aperçu de ce qu'on fait en post-bac quand on veut une précision donnée avec une marge d'erreur fixée a priori.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Intervalles de fluctuation exacts (loi binomiale) vs asymptotiques.
Pour n = 50 et p = 0,4, un intervalle de fluctuation au seuil 95% obtenu par la loi binomiale est [a, b] avec a et b tels que P(X ≤ a) > 0,025 et P(X ≥ b) > 0,025. On admet ici que l'intervalle exact est [13;27] (en fréquence : [0,26 ; 0,54]).
a) Calculer l'intervalle de confiance à 95% si on observe f = 0,52. Est-il compatible avec p = 0,4 ?
b) Expliquer pourquoi l'intervalle de confiance est centré sur f et non sur p, et pourquoi c'est une inversion du raisonnement par rapport à l'intervalle de fluctuation.
Corrigé
a) δ = 1/√50 ≈ 0,1414, IC = [0,52−0,1414 ; 0,52+0,1414] ≈ [0,3786 ; 0,6614]. 0,4 est dans cet IC, donc les données sont compatibles avec p = 0,4 au niveau 95%.
b) L'intervalle de fluctuation (p connu) dit : « Si p est la vraie proportion, alors dans 95% des échantillons, la fréquence observée f tombe dans un intervalle centré sur p. » L'intervalle de confiance (p inconnu) dit : « Étant donnée une fréquence observée f, je construis un intervalle de valeurs plausibles pour p. » On passe de p → f à f → p. C'est une inversion du conditionnement.
2. Exercice 2 — Niveau de confiance variable.
En post-bac, on utilise souvent l'intervalle [f − z × √(f(1−f)/n) ; f + z × √(f(1−f)/n)] où z dépend du niveau de confiance souhaité (z = 1,96 pour 95%). La formule du lycée [f − 1/√n ; f + 1/√n] est une approximation simplifiée, car f(1−f) ≤ 1/4.
On prend n = 400 et f = 0,3.
a) Calculer l'IC à 95% avec la formule simplifiée du lycée.
b) Calculer l'IC à 95% avec la formule utilisant z = 1,96 et l'estimation de l'écart-type √(f(1−f)/n).
c) Comparer les largeurs des deux intervalles. Lequel est le plus précis ?
Corrigé
a) 1/√400 = 0,05, IC = [0,25 ; 0,35].
b) Écart-type estimé = √(0,3×0,7/400) = √(0,000525) ≈ 0,0229. IC = [0,3 − 1,96×0,0229 ; 0,3 + 1,96×0,0229] ≈ [0,255 ; 0,345].
c) Largeur lycée = 0,10, largeur post-bac = 0,09. L'intervalle post-bac est plus étroit donc plus précis, car il utilise l'information f pour mieux estimer la variance, sans la majorer par 1/4.
3. Exercice 3 — Dimensionnement d'échantillon avec précision et niveau fixés.
On veut estimer une proportion p avec une marge d'erreur inférieure à 0,03 et un niveau de confiance 95% (z = 1,96). Dans le pire cas p = 0,5 (variance maximale), quelle taille d'échantillon faut-il ?
Utilise la formule n ≥ (z² × 0,25) / m² avec m = 0,03.
Compare avec la taille donnée par la condition simplifiée 1/√n < 0,03.
Corrigé
Formule post-bac : n ≥ (1,96² × 0,25) / 0,03² = (3,8416 × 0,25) / 0,0009 = 0,9604 / 0,0009 ≈ 1067,1 → n ≥ 1068.
Formule lycée : 1/√n < 0,03 → √n > 33,33 → n > 1111,1 → n ≥ 1112.
Le dimensionnement post-bac donne une taille légèrement inférieure (1068 au lieu de 1112) car la formule lycée majore la variance, donc exige un peu plus de sécurité théorique pour une même marge.