Pas de panique ! On va découvrir ensemble la dérivée d'une fonction composée. L'idée est simple : tu sais déjà dériver des fonctions de base, et cette notion te permet de dériver des fonctions 'emboîtées' comme une poupée russe. Pour bien comprendre, on va d'abord réactiver les prérequis : la dérivée des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, racine, puissance) et le calcul de la dérivée d'une somme ou d'un produit. Ensuite, on attaque le vif du sujet : reconnaître une composée et appliquer la règle sans oublier le facteur u'. Allez hop, on devient fonctionnel en un rien de temps !

Rappels éclair : les dérivées usuelles

Voici les dérivées des fonctions de base que tu dois avoir en tête. Ce sont nos 'briques' de départ.

  • Fonction puissance : si $f(x)=x^n$, alors $f'(x)=n\,x^{n-1}$. Exemple : $(x^3)' = 3x^2$.
  • Exponentielle : $(e^x)' = e^x$.
  • Logarithme népérien : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ (pour $x>0$).
  • Racine carrée : $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (pour $x>0$).
  • Inverse : $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ (pour $x \neq 0$).

Et si on compose ? La règle d'or

Quand une fonction $f$ est une composée $g \circ u$ ($f(x) = g(u(x))$), on dérive $g$ (la 'fonction du dessus') en gardant $u(x)$ à l'intérieur, puis on multiplie par $u'(x)$. C'est la multiplication par $u'$ qu'on oublie souvent ! Retiens la formule simplissime : $f' = u' \times g'(u)$.

Les quatre formules à connaître direct :

  • Puissance : $\big(u^n\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}$.
  • Exponentielle : $\big(e^u\big)' = u'\,e^u$.
  • Racine : $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.
  • Logarithme : $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$.

On lit : 'dérivée du dessus évaluée en u, fois dérivée du dessous'.

À toi de jouer

1. On va reconnaître la forme. Pour chaque fonction, on te donne $u$ et $u'$. À toi de compléter la dérivée en utilisant la bonne formule.

a) $f(x) = e^{2x+5}$. Ici $u = 2x+5$, $u' = 2$. Formule : $f'(x) = u' \times e^u = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{2x+5} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) $g(x) = \ln(4x-3)$. Ici $u = 4x-3$, $u' = 4$. Formule : $g'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{4x-3}$.
c) $h(x) = \sqrt{3x+1}$. Ici $u = 3x+1$, $u' = 3$. Formule : $h'(x) = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2\sqrt{3x+1}}$.
Corrigé
a) $f'(x) = 2 \times e^{2x+5} = 2e^{2x+5}$.
b) $g'(x) = \dfrac{4}{4x-3}$.
c) $h'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.
2. On monte d'un cran : trouve $u$ et $u'$ toi-même, puis complète la dérivée.

a) $f(x) = (x^2+3)^7$. Ici $u = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. Formule puissance : $f'(x) = 7 \times u' \times u^{6} = 7 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times (x^2+3)^6$.
b) $g(x) = e^{-x^3}$. Ici $u = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. Formule exponentielle : $g'(x) = u' \times e^u = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{-x^3}$.
Corrigé
a) $u = x^2+3$, $u' = 2x$. $f'(x) = 7 \times 2x \times (x^2+3)^6 = 14x(x^2+3)^6$.
b) $u = -x^3$, $u' = -3x^2$. $g'(x) = -3x^2 \times e^{-x^3} = -3x^2 e^{-x^3}$.
3. Pense à l'inverse ! $m(x) = \dfrac{1}{5x+2}$. On peut l'écrire $m(x) = (5x+2)^{-1}$. Formule puissance avec $n=-1$. Complète :
$u = 5x+2$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $m'(x) = -1 \times u' \times u^{-2} = -\underline{\hspace{1.1em}} \times (5x+2)^{-2} = -\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{(5x+2)^2}$.
Corrigé
$u' = 5$. $m'(x) = -5 \times (5x+2)^{-2} = -\dfrac{5}{(5x+2)^2}$.

Ah, la lumière revient ! Oui, la dérivée d'une composée, c'est cette règle où on dérive 'l'extérieur' et on multiplie par la dérivée de 'l'intérieur'. On va structurer tout ça avec une méthode pas-à-pas et des exercices d'application directe pour que ça devienne un réflexe. On repart des formules clés en mémoire, on les applique, et on n'oublie jamais le facteur u'. Prêt pour la réactivation ?

Formules essentielles (rappel structuré)

Voici les quatre dérivées de composées à savoir par cœur (avec $u$ une fonction dérivable sur un intervalle, et les conditions usuelles de définition) :

  • $\big(u^n\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}$ (valable pour tout $n \in \mathbb{Z}$, donc aussi pour l'inverse $n=-1$).
  • $\big(e^u\big)' = u'\,e^u$.
  • $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.
  • $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$.

Cas particulier utile : si $u(x) = ax+b$ (affine), alors $u'(x) = a$ et $\big(g(ax+b)\big)' = a \times g'(ax+b)$.

Méthode pas-à-pas pour dériver une composée

  1. Identifier la fonction 'intérieure' $u(x)$ et la fonction 'extérieure' (exponentielle, puissance, racine, ln...).
  2. Calculer $u'(x)$.
  3. Appliquer la formule de la composée correspondante, sans oublier le facteur $u'$.
  4. Simplifier l'expression obtenue.

Erreur classique : oublier $u'$ ! Par exemple, $\big(e^{x^2}\big)' = 2x e^{x^2}$ et pas $e^{x^2}$.

À toi de jouer

1. Exercices à trous : à toi de compléter la dérivée en suivant la méthode.

1) $f(x) = e^{4x-1}$. $u = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{4x-1} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
2) $g(x) = \sqrt{5x+2}$. $u = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $g'(x) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2\sqrt{5x+2}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (on peut laisser ainsi).
3) $h(x) = (2x-3)^5$. $u = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $h'(x) = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times (2x-3)^4 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
1) $u = 4x-1$, $u' = 4$. $f'(x) = 4 \times e^{4x-1} = 4e^{4x-1}$.
2) $u = 5x+2$, $u' = 5$. $g'(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{5x+2}}$.
3) $u = 2x-3$, $u' = 2$. $h'(x) = 5 \times 2 \times (2x-3)^4 = 10(2x-3)^4$.
2. Application directe du logarithme et de l'inverse.

1) $k(x) = \ln(3x^2+1)$. Ici $u = 3x^2+1$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. Complète : $k'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{3x^2+1}$.
2) $m(x) = \dfrac{1}{x^2+4}$. Écris $m(x) = (x^2+4)^{-1}$. $u = x^2+4$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $m'(x) = -1 \times u' \times u^{-2} = \underline{\hspace{1.1em}} \times (x^2+4)^{-2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{(x^2+4)^2}$.
Corrigé
1) $u' = 6x$. $k'(x) = \dfrac{6x}{3x^2+1}$.
2) $u' = 2x$. $m'(x) = -2x \times (x^2+4)^{-2} = -\dfrac{2x}{(x^2+4)^2}$.

Maintenant, place à la répétition mécanique pour ancrer les réflexes. Cinq mini-exercices quasi identiques : à chaque fois, tu identifies u et u', puis tu appliques la formule de l'exponentielle composée. C'est le même moule, juste des nombres différents. Enchaîne, ça va rentrer !

Fiche éclair : exponentielle composée

Rappel : $\big(e^u\big)' = u' \, e^u$. On dérive l'exposant, on le met devant, et on garde l'exponentielle telle quelle.

À toi de jouer

1. Dérive $f(x) = e^{2x}$. Ici $u = 2x$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{2x}$.
Corrigé
$u' = 2$. $f'(x) = 2 e^{2x}$.
2. Dérive $g(x) = e^{5x-3}$. Ici $u = 5x-3$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $g'(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{5x-3}$.
Corrigé
$u' = 5$. $g'(x) = 5 e^{5x-3}$.
3. Dérive $h(x) = e^{-x}$. Ici $u = -x$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $h'(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{-x}$.
Corrigé
$u' = -1$. $h'(x) = -1 \times e^{-x} = -e^{-x}$.
4. Dérive $k(x) = e^{4x+7}$. Ici $u = 4x+7$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $k'(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{4x+7}$.
Corrigé
$u' = 4$. $k'(x) = 4 e^{4x+7}$.
5. Dérive $m(x) = e^{-2x}$. Ici $u = -2x$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. $m'(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{-2x}$.
Corrigé
$u' = -2$. $m'(x) = -2 e^{-2x}$.

Attention, ça devient sérieux ! On passe à des exercices type contrôle, avec des études de fonction complètes, des tangentes, et des mélanges de formules. On va appliquer la mécanique apprise, mais cette fois en autonomie et avec un niveau d'exigence digne d'une copie de terminale. Vérifie bien tes domaines de définition et n'oublie pas de simplifier.

À toi de jouer

1. Dérive les fonctions suivantes sur leur intervalle de définition. Tu préciseras l'intervalle.
a) $f(x) = e^{-3x+5}$
b) $g(x) = (4x^2+1)^6$
c) $h(x) = \sqrt{3x^2+2}$
d) $k(x) = \ln(2x-1)$
e) $m(x) = \dfrac{1}{1-x^2}$
Corrigé
a) $f$ définie sur $\mathbb{R}$. $u=-3x+5,\ u'=-3$. $f'(x) = -3e^{-3x+5}$.
b) Définie sur $\mathbb{R}$. $u=4x^2+1,\ u'=8x$. $g'(x) = 6 \times 8x \times (4x^2+1)^5 = 48x(4x^2+1)^5$.
c) Définie là où $3x^2+2 \ge 0$, donc $\mathbb{R}$. $u=3x^2+2,\ u'=6x$. $h'(x) = \dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2+2}} = \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+2}}$.
d) Définie pour $2x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1/2$. $u=2x-1,\ u'=2$. $k'(x) = \dfrac{2}{2x-1}$.
e) Définie pour $1-x^2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 1$. $u=1-x^2,\ u'=-2x$. $m'(x) = -\dfrac{-2x}{(1-x^2)^2} = \dfrac{2x}{(1-x^2)^2}$.
2. Soit $f(x) = \sqrt{2x+3}$ définie sur $[-3/2; +\infty[$.
1) Calcule $f'(x)$ et donne le tableau de variations de $f$.
2) Détermine l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 3$.
Corrigé
1) $u=2x+3,\ u'=2$. $f'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$. Sur $]-3/2; +\infty[$, $f'(x) > 0$. Variations : $f$ strictement croissante sur $[-3/2; +\infty[$, de $f(-3/2)=0$ à $+\infty$.
2) $f(3) = \sqrt{9} = 3$. $f'(3) = \dfrac{1}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$. Tangente : $y = f'(3)(x-3) + f(3) = \dfrac{1}{3}(x-3) + 3 = \dfrac{1}{3}x - 1 + 3 = \dfrac{1}{3}x + 2$.
3. Soit $g(x) = e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
1) Calcule $g'(x)$ et étudie son signe.
2) Déduis-en le tableau de variations de $g$ ainsi que le maximum de $g$.
Corrigé
1) $u=-x^2,\ u'=-2x$. $g'(x) = -2x e^{-x^2}$. L'exponentielle est toujours strictement positive, donc $g'(x)$ a le signe de $-2x$ : positive pour $x < 0$, nulle en $0$, négative pour $x > 0$.
2) $g$ croissante sur $]-\infty; 0]$, décroissante sur $[0; +\infty[$. Maximum en $x=0$ : $g(0) = e^0 = 1$.
4. On donne $h(x) = \ln(x^2+1)$.
1) Justifie que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calcule $h'(x)$.
2) Étudie les variations de $h$ et dresse son tableau de variations.
Corrigé
1) $x^2+1 \ge 1 > 0$ pour tout réel $x$, donc $h$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $u=x^2+1,\ u'=2x$. $h'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
2) Le dénominateur est toujours positif. $h'(x)$ a le signe de $2x$ : négative si $x < 0$, positive si $x > 0$. $h$ décroît sur $]-\infty;0]$ et croît sur $[0; +\infty[$. Minimum $h(0) = \ln 1 = 0$.

Tu maîtrises la base, bravo ! Voyons maintenant comment la dérivée composée s'étend à des situations plus riches qu'on retrouve souvent dans le supérieur : composée de composées, ou encore cos et sin composées. On touche aux prémices de la dérivation en chaîne version post-bac. Allez, on se projette !

Extension : cos et sin composées

En terminale, on ne te demande pas de le savoir, mais pour 'préshooter' l'année prochaine : les fonctions trigonométriques obéissent à la même règle de dérivation en chaîne. $\big(\cos u\big)' = -u' \sin u$ et $\big(\sin u\big)' = u' \cos u$. L'esprit est le même : dérivée du 'dessus' évaluée en u, fois u'.

À toi de jouer

1. Composée de composée (hors programme strict, mais accessible). Dérivons $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ sur $]0;+\infty[$. Ici on emboîte deux fonctions : $v(x) = \sqrt{x}$ et $g(v) = e^v$. On applique la règle : $f'(x) = v'(x) \times g'(v(x))$. Calcule $v'(x)$ puis $f'(x)$.
Corrigé
$v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. $g'(v) = e^v$, donc $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}}$.
2. Anticipe la trigo composée : inspire-toi de la règle pour dériver $f(x) = \sin(2x+1)$. Identifie $u = \underline{\hspace{1.1em}}$, $u' = \underline{\hspace{1.1em}}$. En appliquant $\big(\sin u\big)' = u' \cos u$, complète : $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(2x+1)$.
Corrigé
$u = 2x+1$, $u' = 2$. $f'(x) = 2 \cos(2x+1)$.
3. Pour finir, un défi : dérive $g(x) = \sqrt{\ln x}$ (sur $]1;+\infty[$). Une racine qui contient un logarithme ! Pose $u = \underline{\hspace{1.1em}}$ (l'intérieur de la racine), puis applique la formule de la racine composée $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$. Tu devras dériver $u = \ln x$. Exprime $g'(x)$.
Corrigé
$u = \ln x$, donc $u' = \dfrac{1}{x}$. $g'(x) = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{1/x}{2\sqrt{\ln x}} = \dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$.