Dérivée d'une fonction composée — Exercices

Règle de la composée, formules usuelles, étude de fonction, tangente. Corrigé détaillé ci-dessous.

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1Dérivées directes/ 5 pts

Dériver chaque fonction sur un intervalle où elle est définie.

$f(x)=e^{3x-2}$
$g(x)=(x^2+1)^5$
$h(x)=\sqrt{x^2+4}$
$k(x)=\ln(5x+1)$
$m(x)=\dfrac{1}{2x+3}$

2Étude de fonction/ 6 pts

Soit $f(x)=e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$.

Calculer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Préciser l'extremum de $f$ et la valeur correspondante.

3Tangente/ 4 pts

Soit $f(x)=\sqrt{2x+1}$.

Calculer $f'(x)$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0=4$.

Corrigé détaillé

1Dérivées directes

1) $u=3x-2,\ u'=3$ : $f'(x)=3e^{3x-2}$.

2) $u=x^2+1,\ u'=2x$ : $g'(x)=5\times2x\,(x^2+1)^4=10x(x^2+1)^4$.

3) $u=x^2+4,\ u'=2x$ : $h'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$.

4) $u=5x+1,\ u'=5$ : $k'(x)=\dfrac{5}{5x+1}$.

5) $u=2x+3,\ u'=2$ : $m'(x)=-\dfrac{2}{(2x+3)^2}=-\dfrac{2}{(2x+3)^2}$.

2Étude de fonction

1) $u=-x^2,\ u'=-2x$ : $f'(x)=-2x\,e^{-x^2}$.

2) $e^{-x^2}>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $-2x$ : positif si $x<0$, négatif si $x>0$. f croissante sur } ]-\infty,0]\text{, décroissante sur }[0,+\infty[.

3) Maximum en $x=0$ : $f(0)=e^{0}=1$ (maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$).

3Tangente

1) $u=2x+1,\ u'=2$ : $f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

2) $f(4)=\sqrt{9}=3$ et $f'(4)=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}$. Tangente : $y=f'(4)(x-4)+f(4)$ ⟹ } y=\tfrac{1}{3}(x-4)+3=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{5}{3}.