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Continuité & théorème des valeurs intermédiaires — Exercices
Continuité, TVI, corollaire de la bijection, encadrement d'une solution. Corrigé détaillé ci-dessous.
1Existence par le TVI/ 4 pts
Pour chaque équation, justifier qu'elle admet au moins une solution dans l'intervalle indiqué.
- $x^3-3x+1=0$ sur $[0\,;\,1]$
- $e^x+x=0$ sur $[-1\,;\,0]$
- $\ln x = 2-x$ sur $[1\,;\,e]$
2Existence et unicité/ 6 pts
Soit $f(x)=x^3+3x-5$.
- Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
- Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
- Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
3Lecture d'un tableau de variations/ 5 pts
$g$ est continue sur $[-2\,;\,4]$, avec $g(-2)=3$, un minimum $g(1)=-2$, et $g(4)=5$ ($g$ strictement décroissante sur $[-2\,;\,1]$ puis strictement croissante sur $[1\,;\,4]$).
- Combien de solutions l'équation $g(x)=0$ admet-elle sur $[-2\,;\,4]$ ? Justifier.
- Et l'équation $g(x)=4$ ?
Corrigé détaillé
1Existence par le TVI
1) $f(x)=x^3-3x+1$ continue sur $[0;1]$ ; $f(0)=1>0$, $f(1)=-1<0$. Signes contraires ⟹ une solution dans } [0;1].
2) $f(x)=e^x+x$ continue ; $f(-1)=e^{-1}-1\approx-0{,}63<0$, $f(0)=1>0$ ⟹ une solution dans } [-1;0].
3) $f(x)=\ln x-2+x$ continue sur $[1;e]$ ; $f(1)=-1<0$, $f(e)=1-2+e=e-1>0$ ⟹ une solution dans } [1;e].
2Existence et unicité
1) $f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0$ ⟹ f strictement croissante sur } \mathbb{{R}}.
2) $f$ continue et strictement croissante ; $\lim_{-\infty}f=-\infty$, $\lim_{+\infty}f=+\infty$, et $0$ est entre les deux ⟹ corollaire du TVI : unique solution } \alpha.
3) $f(1)=-1<0$, $f(1{,}2)=1{,}728+3{,}6-5=0{,}328>0$ ⟹ } \alpha\in[1\,;\,1{,}2] (amplitude $0{,}2$) ; on affine : $f(1{,}1)\approx-0{,}37<0$ ⟹ } \alpha\in[1{,}1\,;\,1{,}2].
3Lecture d'un tableau de variations
1) Sur $[-2;1]$ : $g$ continue strictement décroissante de $3$ à $-2$, $0\in[-2;3]$ ⟹ 1 solution. Sur $[1;4]$ : strictement croissante de $-2$ à $5$, $0\in[-2;5]$ ⟹ 1 solution. Total : 2 solutions.
2) Sur $[-2;1]$ : $4\notin[-2;3]$ ⟹ 0 solution. Sur $[1;4]$ : $4\in[-2;5]$ ⟹ 1 solution. Total : 1 solution.