<p>Tu n'as jamais mis les pieds dans le logarithme népérien et tu as un contrôle qui arrive ? Pas de panique. On part de la seule chose que tu dois absolument connaitre : la fonction exponentielle. Si tu sais que $e^x$ est toujours strictement positif et que $\ln$ est sa réciproque, tu vas déjà pouvoir faire beaucoup de choses. Ce premier palier te rendra opérationnel en un temps record.</p>
Prérequis : la fonction exponentielle $\exp(x)=e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$, strictement positive, et pour tout réel $x$, $e^x>0$.
Le logarithme népérien, noté $\ln$, est la réciproque de l'exponentielle. Cela signifie deux choses :
Autrement dit, $\ln$ et $\exp$ s'annulent mutuellement. $\ln$ n'est défini que pour des nombres strictement positifs. Quelques valeurs clés : $\ln 1 = 0$ car $e^0=1$, et $\ln e = 1$ car $e^1=e$.
Complète : $\ln(e^5) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Rappel : $\ln(e^{\text{quelque chose}})$ redonne ce « quelque chose ».
$\ln(e^5) = 5$.
Complète : $\ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Indice : $\dfrac{1}{e^2} = e^{-2}$.
$\dfrac{1}{e^2}=e^{-2}$ donc $\ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right) = \ln(e^{-2}) = -2$.
Complète : $\ln(e\sqrt{e}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Écris $e\sqrt{e}$ comme une seule puissance de $e$.
$e\sqrt{e}=e\cdot e^{\frac12}=e^{1+\frac12}=e^{\frac32}$. Donc $\ln(e\sqrt{e}) = \dfrac{3}{2}$.
<p>Ah oui, c'est ça ! La fonction $\ln$ possède des propriétés algébriques qui ressemblent à celles des exponentielles, mais dans l'autre sens. On va rappeler ces règles et surtout la méthode pour ne plus se tromper entre produit, quotient, somme et différence. Ensuite, on les appliquera pas à pas.</p>
Somme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
Différence : $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$
Puissance : $\ln(a^n) = n\ln a$
Inverse : $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$
Dérivée : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ ; pour une composée $\ln u$, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
Limites : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty$.
Croissances comparées (utiles surtout au palier 4) : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$.
Simplifie $2\ln 3 + \ln 5 - \ln 45$ en complétant :
$2\ln 3 = \ln(\underline{\hspace{1.1em}})$ ; $\ln(\underline{\hspace{1.1em}}) + \ln 5 = \ln(\underline{\hspace{1.1em}} \times 5)$ ; puis $\ln(\underline{\hspace{1.1em}} \times 5) - \ln 45 = \ln\!\left(\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}\right) = \ln(\underline{\hspace{1.1em}})$.
Termine en donnant la valeur exacte : $\ln(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$2\ln 3 = \ln(3^2) = \ln 9$.
$\ln 9 + \ln 5 = \ln(9 \times 5) = \ln 45$.
$\ln 45 - \ln 45 = \ln\!\left(\dfrac{45}{45}\right) = \ln 1 = 0$.
Valeur exacte : $0$.
Résous $\ln(x+2) = \ln 5$ en suivant la méthode :
Domaine : $x+2 > 0 \Rightarrow x > \underline{\hspace{1.1em}}$.
Equation : $x+2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérification : la solution $x=\underline{\hspace{1.1em}}$ est-elle dans le domaine ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).
Domaine : $x+2>0 \Rightarrow x > -2$.
Equation : $x+2 = 5 \Rightarrow x = 3$.
Vérification : $x=3$ est bien supérieur à $-2$, donc solution acceptée. $S=\{3\}$.
Calcule la dérivée de $f(x) = \ln(4x+3)$ sur son domaine : $f'(x) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
On pose $u(x)=4x+3$, $u'(x)=4$. Donc $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{4}{4x+3}$, définie pour $4x+3>0$, soit $x > -\frac34$.
<p>Cinq mini-exercices quasi identiques pour que le geste devienne automatique. Le but : réussir sans réfléchir et emmagasiner de la confiance. Tous portent sur le même type de calcul : $\ln(e^{\text{puissance}})$. À toi de jouer !</p>
$\ln(e^7) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\ln(e^7) = 7$.
$\ln(e^{-4}) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\ln(e^{-4}) = -4$.
$\ln(e^{\frac{5}{2}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\ln(e^{5/2}) = \frac{5}{2}$.
$\ln(\sqrt{e}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ (écris $\sqrt{e}$ comme $e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$ d'abord)
$\sqrt{e}=e^{1/2}$ donc $\ln(\sqrt{e}) = \frac{1}{2}$.
$\ln(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$ (pense que $1 = e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$)
$1 = e^0$ donc $\ln 1 = 0$.
<p>Maintenant que les bases sont solides, on passe aux exercices tels qu'ils peuvent tomber au contrôle ou au bac. Tu vas manipuler des expressions, résoudre des équations après avoir déterminé le domaine, dériver des fonctions avec $\ln$ et mener une étude complète de fonction. Tous les exercices sont ici en autonomie, sans trous, pour que tu puisses t'autoévaluer.</p>
Calculer la valeur exacte de chaque expression :
a) $\ln(e^6)$
b) $\ln\!\left(\dfrac{1}{e^4}\right)$
c) $\ln(e\,e^{\frac12})$
d) $3\ln 2 + \ln 5 - \ln 40$
a) $\ln(e^6)=6$.
b) $\frac{1}{e^4}=e^{-4}$ donc $-4$.
c) $e\,e^{\frac12}=e^{1+\frac12}=e^{\frac32}$ donc $\frac32$.
d) $3\ln2=\ln8$, $\ln8+\ln5=\ln40$, $\ln40-\ln40=\ln1=0$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x+5) = \ln(3x-1)$. On précisera le domaine de résolution avant de calculer.
Domaine : $2x+5>0$ et $3x-1>0$, soit $x>-\frac52$ et $x>\frac13$. Intersection : $x>\frac13$.
$\ln(2x+5)=\ln(3x-1)\Rightarrow 2x+5=3x-1\Rightarrow x=6$.
Vérification : $6>\frac13$. Donc $S=\{6\}$.
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur son domaine de définition :
a) $f(x)=\ln(5x-2)$
b) $g(x)=x^3\ln x$
c) $h(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$
a) $u=5x-2,\;u'=5$ ; $f'(x)=\dfrac{5}{5x-2}$ sur $\left]\frac25;+\infty\right[$.
b) $g'(x)=3x^2\ln x + x^3\cdot\frac1x = 3x^2\ln x + x^2 = x^2(3\ln x+1)$ sur $]0;+\infty[$.
c) $h'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{1-2\ln x}{x^3}$ sur $]0;+\infty[$.
Soit $f(x)=x-\ln x$ définie sur $]0;+\infty[$.
a) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
b) Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser la valeur du minimum.
c) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.
d) En déduire que pour tout $x>0$, $f(x)\ge 1$.
a) $f'(x)=1-\dfrac1x = \dfrac{x-1}{x}$. Pour $x>0$, le signe de $f'$ est celui de $x-1$ : $f'(x)<0$ sur $]0;1[$, $f'(x)>0$ sur $]1;+\infty[$.
b) $f$ décroissante sur $]0;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$. Minimum en $x=1$ : $f(1)=1-\ln1=1$.
c) En 0⁺ : $\lim x = 0$, $\lim\ln x = -\infty$ donc $\lim(x-\ln x)=+\infty$ (car $0-(-\infty)=+\infty$). En +∞ : $\ln x\ll x$ donc $\lim(x-\ln x)=+\infty$.
d) $f$ admet un minimum global égal à 1, donc pour tout $x>0$, $f(x)\ge1$.
On souhaite établir que pour tout $x>0$, $ \ln x \le x-1 $.
On pose $g(x)=\ln x - x + 1$.
a) Justifier que $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et calculer $g'(x)$.
b) Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire les variations de $g$.
c) Calculer $g(1)$ et conclure.
a) $\ln x$ et $-x+1$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$. $g'(x)=\dfrac1x -1 = \dfrac{1-x}{x}$.
b) $x>0$ donc le signe de $g'$ est celui de $1-x$ : $g'(x)>0$ sur $]0;1[$, $g'(x)<0$ sur $]1;+\infty[$. $g$ croît sur $]0;1]$ puis décroît sur $[1;+\infty[$.
c) $g(1)=\ln1 -1 +1 =0$. $g$ admet un maximum global en $x=1$ égal à 0, donc pour tout $x>0$, $g(x)\le0$, soit $\ln x - x +1 \le0$, c'est-à-dire $\ln x \le x-1$.
<p>Tu veux voir ce qui t'attend l'an prochain ? On va ajouter une couche de difficulté avec des équations où le domaine demande un peu plus de soin et une première rencontre avec la notion de primitive, qui sera centrale en intégration. Ces exercices te feront prendre de l'avance sans te noyer.</p>
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x^2-1) - \ln(x-1) = \ln 6$. On déterminera soigneusement le domaine de résolution.
Domaine : $x^2-1>0 \Rightarrow x<-1$ ou $x>1$ ; $x-1>0 \Rightarrow x>1$. L'intersection donne $x>1$.
L'équation devient $\ln\!\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right) = \ln 6$. Or $x^2-1=(x-1)(x+1)$ donc pour $x
eq 1$, $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1$. Ainsi : $\ln(x+1)=\ln 6 \Rightarrow x+1=6 \Rightarrow x=5$.
Vérification : $5>1$, donc $S=\{5\}$.
On considère la fonction $F(x)=x\ln x - x$ définie sur $]0;+\infty[$.
a) Montrer que $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et calculer $F'(x)$.
b) En déduire que $F$ est une primitive de $\ln x$ sur $]0;+\infty[$.
c) Donner l'expression de toutes les primitives de $\ln x$ sur cet intervalle.
a) $x\ln x$ et $-x$ sont dérivables. $F'(x) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.
b) Par définition, une primitive de $\ln x$ est une fonction dont la dérivée est $\ln x$. Comme $F'(x)=\ln x$, $F$ est une primitive de $\ln x$.
c) Toute autre primitive s'écrit $F(x)+C$ avec $C\in\mathbb{R}$, donc $x\ln x - x + C$.
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