Fonction logarithme népérien — Exercices

De la simplification d'expressions à la démonstration d'une inégalité. Corrigé en fin de fiche.

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1Calculs avec ln/ 4 pts

Donner la valeur exacte de chaque expression.

$\ln(e^5)$
$\ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right)$
$\ln(e\sqrt{e})$
$2\ln 3+\ln 5-\ln 45$

2Équations et inéquations/ 4 pts

Résoudre dans $\mathbb{R}$. Préciser le domaine de résolution avant de calculer.

$\ln(x+2)=\ln 5$
$2\ln x=\ln(4x-4)$
$\ln x\le\ln 3$

3Dériver/ 6 pts

Calculer la dérivée de chaque fonction sur son domaine de définition.

$f(x)=\ln(3x+1)$
$g(x)=x^2\ln x$
$h(x)=\dfrac{\ln x}{x}$

4Étude de fonction/ 6 pts

Soit $f(x)=x-\ln x$ définie sur $]0\,;+\infty[$.

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser le minimum.
Calculer $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
En déduire que $f(x)\ge 1$ pour tout $x\gt 0$.

5Inégalité fondamentale/ 5 pts

On veut établir que $\ln x\le x-1$ pour tout $x\gt 0$.

Poser $g(x)=\ln x-x+1$ et calculer $g'(x)$.
Montrer que $g$ admet un maximum global en $x=1$ et calculer $g(1)$.
Conclure que $\ln x\le x-1$ pour tout $x\gt 0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.

Corrigé détaillé

1Calculs avec ln

a) $\ln(e^5) =$ $5$

b) $\ln\!\left(\dfrac{1}{e^2}\right)=\ln(e^{-2})=$ $-2$

c) $\ln(e\sqrt{e})=\ln\!\left(e^{1+\frac{1}{2}}\right)=\ln\!\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=$ $\dfrac{3}{2}$

d) $2\ln 3+\ln 5-\ln 45=\ln 9+\ln 5-\ln 45=\ln\dfrac{9\times 5}{45}=\ln 1=$ $0$

2Équations et inéquations

a) $\text{Domaine : }x+2\gt 0\Rightarrow x\gt -2.\quad \ln(x+2)=\ln 5\Rightarrow x+2=5\Rightarrow x=3$ $S=\{3\}$

b) $\text{Domaine : }x\gt 0\text{ et }4x-4\gt 0\Rightarrow x\gt 1.\quad 2\ln x=\ln(4x-4)\Rightarrow \ln(x^2)=\ln(4x-4)\Rightarrow x^2=4x-4\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow (x-2)^2=0\Rightarrow x=2\;(\text{valide : }2\gt 1)$ $S=\{2\}$

c) $\text{Domaine : }x\gt 0.\quad \ln\text{ est croissante, donc }\ln x\le\ln 3\Rightarrow x\le 3$ $S=\,]0\,;3]$

3Dériver

a) $u=3x+1,\;u'=3 \Rightarrow f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}\quad \text{sur }\left]-\dfrac{1}{3}\,;+\infty\right[$ $f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}$

b) $g'(x)=2x\cdot\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}=2x\ln x+x$ $g'(x)=x(2\ln x+1)$

c) $h'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ $h'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

4Étude de fonction

a) $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}.\quad x\gt 0\text{ donc signe de }f'=\text{signe de }(x-1)\;:\;f'\lt 0\text{ sur }]0\,;1[,\;f'\gt 0\text{ sur }]1\,;+\infty[$ $f\text{ décroissante sur }]0\,;1],\text{ croissante sur }[1\,;+\infty[$

b) $\text{Minimum en }x=1\;:\;f(1)=1-\ln 1=1-0=$ $1\quad(\text{minimum global})$

c) $\lim_{x\to 0^+}(x-\ln x)=0-(-\infty)=+\infty\;; \quad\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty\;\text{car }\dfrac{\ln x}{x}\to 0\text{ donc }\ln x\ll x$ $+\infty\text{ dans les deux cas}$

d) $f\text{ est continue sur }]0\,;+\infty[\text{ et admet un minimum global égal à }1 \Rightarrow f(x)\ge 1\text{ pour tout }x\gt 0$ $f(x)\ge 1,\quad\forall\,x\gt 0$

5Inégalité fondamentale

a) $g'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$ $g'(x)=\dfrac{1-x}{x}$

b) $g'\gt 0\text{ sur }]0\,;1[\text{ et }g'\lt 0\text{ sur }]1\,;+\infty[\Rightarrow\text{maximum en }x=1\;:\;g(1)=\ln 1-1+1=0$ $\max g = g(1)=0$

c) $g(x)\le g(1)=0\text{ pour tout }x\gt 0,\text{ donc }\ln x-x+1\le 0,\text{ d'où }\ln x\le x-1.\text{ Égalité ssi }g(x)=0\text{ ssi }x=1.$ $\ln x\le x-1,\quad\forall\,x\gt 0$