Compléments sur les suites : convergence et sommes

Théorèmes de convergence, suites récurrentes et sommes — les outils pour maîtriser le comportement asymptotique des suites.

1 L'idée

Une suite $(u_n)$ converge vers $l \in \mathbb{R}$ si ses termes se rapprochent indéfiniment de $l$ lorsque $n \to +\infty$. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$. Si aucune limite finie n'existe, la suite diverge (vers $\pm\infty$ ou par oscillation).

Les outils fondamentaux sont : le théorème des suites monotones bornées, le théorème des gendarmes, et pour les suites définies par récurrence, la méthode du point fixe. Les formules de sommes (arithmétique, géométrique, télescopique) permettent d'exprimer des quantités cumulées sous forme close.

2 Théorèmes de convergence

Monotone bornée

$(u_n)\text{ croissante et majorée (ou décroissante et minorée)} \;\Rightarrow\; (u_n)\text{ converge.}$

Gendarmes

$v_n \le u_n \le w_n \;\text{et}\; \lim v_n = \lim w_n = l \;\Rightarrow\; \lim u_n = l$

Suites adjacentes

$(u_n)\uparrow,\;(v_n)\downarrow,\;v_n - u_n \to 0 \;\Rightarrow\; \lim u_n = \lim v_n \in \mathbb{R}$

Suite géométrique

$|q| \lt 1 \Rightarrow q^n \to 0 \qquad |q| \gt 1 \Rightarrow |q|^n \to +\infty$

3 Sommes usuelles

Entiers

$\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Géométrique

$\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \qquad (q \ne 1)$

Télescopique

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_1$

4 Exemples

Limite par factorisation

$u_n = \dfrac{3n^2-1}{n^2+2}$ : on factorise numérateur et dénominateur par $n^2$.

$u_n = \dfrac{n^2(3 - 1/n^2)}{n^2(1 + 2/n^2)} = \dfrac{3 - 1/n^2}{1 + 2/n^2} \longrightarrow \dfrac{3}{1} = 3$

Suite monotone bornée

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$. Point fixe : $l = \dfrac{l}{2}+1 \Rightarrow l = 2$.

$u_{n+1} - u_n = 1 - \dfrac{u_n}{2}$. Si $u_n \lt 2$ : $u_{n+1} \gt u_n$ (croissante). Par récurrence : $u_n \lt 2$ pour tout $n$.

$(u_n)$ croissante et majorée par $2$ $\Rightarrow$ converge. La limite vérifie $l = \dfrac{l}{2}+1$, d'où $l = 2$.

Somme géométrique

$\displaystyle\sum_{k=0}^{4} 2^k = \dfrac{1-2^5}{1-2} = \dfrac{-31}{-1} = 31$

Méthode — Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$

Chercher le(s) point(s) fixe(s) : résoudre $l = f(l)$.
Poser $v_n = u_n - l$ : si $v_{n+1} = q \cdot v_n$ avec $|q| \lt 1$, la suite est arithmético-géométrique et $u_n \to l$.
Sinon, étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour la monotonie, et trouver un encadrement par récurrence.
Conclure : monotone bornée $\Rightarrow$ converge. Identifier $l$ en écrivant $l = f(l)$ (seulement après avoir établi la convergence).

Erreurs fréquentes

Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ : ne jamais l'écrire — factoriser toujours par le terme dominant.
Suite bornée $\not\Rightarrow$ convergente : $((-1)^n)$ est bornée et diverge.
Écrire $l = f(l)$ avant d'avoir prouvé la convergence est une erreur logique.
Pour $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k$, vérifier que la somme commence bien en $k=0$ ; si elle commence en $k=1$, soustraire le terme $q^0 = 1$.