Compléments sur les suites : convergence et sommes

Les prérequis, en 30 secondes

Avant tout, remets-toi trois choses en tête :

• Une suite $(u_n)$, c'est une liste de nombres numérotés : $u_0$, $u_1$, $u_2$, ... Le terme $u_n$ est celui de rang $n$.
• Une suite peut être donnée explicitement ($u_n$ en fonction de $n$) ou par récurrence ($u_{n+1}$ en fonction de $u_n$).
• Tu connais déjà les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même raison) et géométriques (on multiplie toujours par la même raison $q$).

Ici, la question n'est plus « combien vaut $u_n$ » mais « où vont les termes quand $n$ devient très grand ». C'est ça, la convergence.

L'essentiel + les formules à retenir

Une suite $(u_n)$ converge vers un nombre $l$ si ses termes se rapprochent indéfiniment de $l$ quand $n$ devient très grand. On écrit $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$. Sinon, elle diverge (elle file vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou elle oscille sans se fixer).

Les deux théorèmes à connaître par cœur :

• Suites monotones bornées : une suite $\text{croissante et majorée}$ (ou $\text{décroissante et minorée}$) converge. Traduction : si ça monte toujours mais que ça reste sous un plafond, ça finit par se poser.
• Théorème des gendarmes : si $v_n \le u_n \le w_n$ et que $v_n$ et $w_n$ tendent vers le même $l$, alors $u_n$ tend aussi vers $l$. Encadré des deux côtés, $u_n$ n'a pas le choix.

Et les trois formules de sommes qui reviennent :

• $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$
• $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (pour $q \ne 1$)
• Pour une suite géométrique : $|q| \lt 1 \Rightarrow q^n \to 0$.

Un exemple traité de bout en bout

Cherchons la limite de $u_n = \dfrac{3n^2 - 1}{n^2 + 2}$.

Étape 1. Le piège serait d'écrire $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ : interdit, ça ne veut rien dire. On factorise plutôt par le terme le plus fort, ici $n^2$, en haut et en bas.

Étape 2. $u_n = \dfrac{n^2\left(3 - \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)}$.

Étape 3. On simplifie les $n^2$ : $u_n = \dfrac{3 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n^2}}$.

Étape 4. Quand $n \to +\infty$, $\frac{1}{n^2} \to 0$ et $\frac{2}{n^2} \to 0$. Il reste $\dfrac{3 - 0}{1 + 0} = 3$.

Conclusion : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$. Retiens le réflexe : factoriser par le terme dominant.

Converger, diverger : les définitions

Convergence. On dit que $(u_n)$ converge vers le réel $l$ lorsque ses termes deviennent aussi proches de $l$ qu'on veut, dès que $n$ est assez grand. On note alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$, et cette limite $l$ est unique.

Divergence. Si une suite n'a pas de limite finie, elle diverge. Attention, il y a trois façons de diverger :

• vers $+\infty$ (les termes dépassent tout seuil), par exemple $u_n = n^2$ ;
• vers $-\infty$, par exemple $u_n = -n$ ;
• par oscillation, sans se fixer, par exemple $u_n = (-1)^n$ qui saute entre $-1$ et $1$.

Une suite qui converge a donc une seule limite, et elle est finie. « Diverger » ne veut pas dire « exploser » : ça veut simplement dire « ne pas converger ».

Les théorèmes de convergence

Quatre outils, à connaître et à savoir citer :

1. Théorème des suites monotones bornées. Si $(u_n)$ est $\text{croissante et majorée}$, alors elle converge. De même si elle est $\text{décroissante et minorée}$. Elle converge vers un réel, mais ce théorème ne dit pas lequel : il garantit seulement l'existence de la limite.

2. Théorème des gendarmes. Si, à partir d'un certain rang, $v_n \le u_n \le w_n$ et si $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors $\lim u_n = l$. Les deux « gendarmes » $v_n$ et $w_n$ encadrent $u_n$ et le forcent à la même limite (voir la figure).

3. Suites adjacentes. Si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ décroissante et $v_n - u_n \to 0$, alors les deux convergent vers la même limite $l \in \mathbb{R}$. Elles se referment l'une sur l'autre comme un étau.

4. Suite géométrique. Pour les puissances $q^n$ : si $|q| \lt 1$ alors $q^n \to 0$ ; si $|q| \gt 1$ alors $|q|^n \to +\infty$. C'est la brique de base de presque tous les calculs de limite contenant des puissances.

Les sommes usuelles

Trois sommes reviennent sans arrêt. Il faut les reconnaître et les écrire sans hésiter.

Somme des entiers. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Somme géométrique. $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, valable pour $q \ne 1$ (si $q = 1$, la somme vaut tout simplement $n+1$).

Somme télescopique. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_1$ : quand chaque terme s'annule avec le suivant, il ne reste que le premier et le dernier. Un vrai gain de temps quand on sait faire apparaître une différence.

On calcule une limite ensemble

Objectif : $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{5n^2 + n}{2n^2 - 3}$. On applique le réflexe « terme dominant ».

On repère le plus fort. En haut comme en bas, c'est $n^2$. On factorise par $n^2$ partout.

On factorise. $\dfrac{5n^2 + n}{2n^2 - 3} = \dfrac{n^2\left(5 + \frac{1}{n}\right)}{n^2\left(2 - \frac{3}{n^2}\right)}$.

On simplifie les $n^2$ : $= \dfrac{5 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{3}{n^2}}$.

On passe à la limite. $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{3}{n^2} \to 0$, donc le tout tend vers $\dfrac{5 + 0}{2 - 0} = \dfrac{5}{2}$.

Conclusion : $\lim_{n\to+\infty} u_n = \dfrac{5}{2}$. À retenir : la limite d'un quotient de deux polynômes de même degré, c'est le rapport des coefficients dominants — ici $\dfrac{5}{2}$.

Une suite récurrente, pas à pas

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$. On veut montrer qu'elle converge et trouver sa limite. Ici $f(x) = \dfrac{x}{2} + 1$.

Étape 1 — on flaire la limite (point fixe). Si $(u_n)$ converge vers $l$, alors en passant à la limite dans la relation, $l = \dfrac{l}{2} + 1$. On résout : $l - \dfrac{l}{2} = 1$, soit $\dfrac{l}{2} = 1$, donc $l = 2$. Attention : ce $2$ n'est qu'un candidat tant qu'on n'a pas prouvé la convergence.

Étape 2 — on encadre par récurrence. Montrons que $u_n \lt 2$ pour tout $n$. C'est vrai au rang $0$ car $u_0 = 1 \lt 2$. Si $u_n \lt 2$, alors $\dfrac{u_n}{2} \lt 1$, donc $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1 \lt 2$. La propriété se transmet : $u_n \lt 2$ pour tout $n$.

Étape 3 — on étudie le sens de variation. $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n}{2} + 1 - u_n = 1 - \dfrac{u_n}{2}$. Comme $u_n \lt 2$, on a $\dfrac{u_n}{2} \lt 1$, donc $u_{n+1} - u_n \gt 0$ : la suite est croissante.

Étape 4 — on conclut. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc d'après le théorème des suites monotones bornées, elle converge. Maintenant qu'on sait qu'une limite existe, l'égalité $l = \dfrac{l}{2} + 1$ est légitime et donne $l = 2$.

Bilan : $\lim_{n\to+\infty} u_n = 2$. Sur la figure, on lit la « toile d'araignée » : on rebondit entre la courbe $y = f(x)$ et la droite $y = x$, en se rapprochant à chaque tour du point fixe $l = 2$.

Une somme géométrique ensemble

Calculons $\displaystyle\sum_{k=0}^{4} 2^k = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4$.

On identifie. C'est une somme géométrique de raison $q = 2$, qui commence bien à $k = 0$ et va jusqu'à $k = 4$ : on applique $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ avec $q = 2$ et $n = 4$.

On remplace. $\displaystyle\sum_{k=0}^{4} 2^k = \dfrac{1 - 2^{5}}{1 - 2}$.

On calcule. $2^5 = 32$, donc $= \dfrac{1 - 32}{1 - 2} = \dfrac{-31}{-1} = 31$.

On vérifie à la main (toujours rassurant) : $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$. Parfait.

Le piège à éviter : l'exposant est $n+1 = 5$, pas $n = 4$. Et si la somme avait commencé à $k = 1$, il aurait fallu retrancher le terme $2^0 = 1$.

Ce que le correcteur attend, et les pièges

Sur une copie, la rigueur du raisonnement compte autant que le résultat. Les points classiques qui font la différence :

• L'ordre logique est sacré. On écrit $l = f(l)$ seulement après avoir prouvé que la suite converge. Écrire l'équation du point fixe avant, c'est supposer ce qu'on doit démontrer — faute de logique, points retirés.
• Jamais de forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. Cette écriture ne veut rien dire. On factorise toujours par le terme dominant avant de conclure.
• Bornée n'implique pas convergente. Contre-exemple à connaître : $u_n = (-1)^n$ est bornée (elle reste entre $-1$ et $1$) mais elle diverge, car elle oscille sans se fixer (voir la figure). Ce qu'il faut, c'est monotone et bornée.
• Somme géométrique : gare aux bornes. Dans $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k$, vérifie que la somme part bien de $k = 0$. Si elle commence à $k = 1$, retranche le terme $q^0 = 1$.

Réflexe de rédaction pour une récurrence : énonce toujours dans l'ordre point fixe candidat, puis encadrement, puis monotonie, puis conclusion par le théorème, et enfin identification de $l$.

Problème type 1 : une limite par les gendarmes

Énoncé. Étudier la limite de $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$ pour $n \ge 1$.

Le bon réflexe. Impossible de calculer $\sin(n)$ terme à terme, mais on sait que le sinus est borné : pour tout entier $n$, $-1 \le \sin(n) \le 1$.

On encadre $u_n$. En divisant par $n \gt 0$ (le sens de l'inégalité est conservé) : $\dfrac{-1}{n} \le \dfrac{\sin(n)}{n} \le \dfrac{1}{n}$.

On regarde les gendarmes. $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{-1}{n} = 0$ et $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ : les deux bornes tendent vers $0$.

On conclut. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\sin(n)}{n} = 0$.

Ce que le correcteur coche : l'encadrement justifié ($-1 \le \sin(n) \le 1$), le passage à la limite des deux bornes, et la citation explicite du théorème des gendarmes.

Problème type 2 : une somme télescopique

Énoncé. Calculer $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$, puis sa limite.

L'astuce à voir. On décompose la fraction : $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$. Vérification : $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} = \dfrac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k(k+1)}$.

La somme devient télescopique. $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right)$. Chaque terme $-\dfrac{1}{k+1}$ s'annule avec le $+\dfrac{1}{k}$ du terme suivant.

Il ne reste que les bouts. $S_n = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$.

La limite. Quand $n \to +\infty$, $\dfrac{1}{n+1} \to 0$, donc $S_n \to 1$.

Ce que le correcteur attend : la décomposition vérifiée, l'écriture explicite du télescopage, et le résultat sous forme close $1 - \dfrac{1}{n+1}$ avant de passer à la limite.

D'où viennent les formules : une idée de preuve

La somme géométrique se démontre en une ligne. Pose $S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$. Multiplie par $q$ : $qS = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}$. Soustrais les deux : presque tout se simplifie (c'est un télescopage déguisé) et il reste $S - qS = 1 - q^{n+1}$. Donc $S(1 - q) = 1 - q^{n+1}$, d'où $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \ne 1$. Tu retrouves la formule sans l'apprendre par cœur.

Le théorème des monotones bornées, lui, est plus profond. Il repose sur une propriété fondamentale de l'ensemble $\mathbb{R}$ : toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure (le plus petit des majorants). Une suite croissante majorée « pousse » vers cette borne supérieure, qui est justement sa limite. C'est pour ça que le théorème donne l'existence de $l$ sans en donner la valeur : $l$ est un plafond, pas un calcul.

Vers les séries : quand la somme ne s'arrête jamais

Que se passe-t-il si on additionne une infinité de termes ? On regarde les sommes partielles $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k$ et on fait tendre $n$ vers $+\infty$. On sait déjà que $S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Si $|q| \lt 1$, alors $q^{n+1} \to 0$ (le théorème sur les suites géométriques), donc $S_n \longrightarrow \dfrac{1 - 0}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - q}$.

Par exemple avec $q = \tfrac{1}{2}$ : $1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \cdots = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$. La figure montre les sommes partielles $1$, $\tfrac{3}{2}$, $\tfrac{7}{4}$, $\tfrac{15}{8}$, ... qui s'accumulent vers $2$ sans jamais le dépasser.

Ça a l'air paradoxal — additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini — mais c'est exactement l'idée de série convergente, une notion centrale l'an prochain (et déjà cachée dans le fameux paradoxe de Zénon, Achille et la tortue).

Les ponts avec le reste du programme

Les suites ne vivent pas dans leur coin. Quelques passerelles pour situer ce chapitre :

• Avec les fonctions. Une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ n'est qu'une fonction qu'on itère. Étudier $f$ (sens de variation, points fixes) éclaire directement le comportement de la suite — c'est le lien avec toute la partie analyse.
• Avec l'exponentielle. Les croissances géométriques $q^n$ sont les cousines discrètes de l'exponentielle $e^{x}$ : même idée de « multiplier par un facteur constant » à chaque pas.
• Avec les probabilités. Beaucoup de calculs (loi géométrique, marches aléatoires, espérances) débouchent sur des sommes géométriques ou télescopiques exactement comme ici.
• Avec l'intégration. Additionner des tranches de plus en plus fines (sommes de Riemann) prolonge l'idée de somme : la somme discrète $\sum$ devient l'intégrale continue $\int$.

L'an prochain (prépa, licence) : les séries (sommes infinies et leurs critères de convergence), les suites de fonctions, et une définition parfaitement rigoureuse de la limite avec les fameux « $\varepsilon$ ». Toutes les intuitions de base, tu les as déjà ici.