Limites de suites — Exercices

Du calcul direct aux formes indéterminées et aux suites récurrentes, avec corrigé détaillé.

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1Limites directes/ 3 pts

Calculer la limite de chacune des suites suivantes (justifier brièvement).

$u_n = \dfrac{2n^3 - n + 4}{n^3 + 1}$
$v_n = \dfrac{3n + 1}{n^2 + 2}$
$w_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + 5$

2Formes indéterminées/ 6 pts

Les suites suivantes présentent une forme indéterminée. Identifier la forme, lever l'indétermination et calculer la limite.

$u_n = \dfrac{5n^2 - 3n}{2n^2 + n + 1}$
$v_n = \sqrt{n^2 + n} - n$
$w_n = n^2 - 3n$

3Théorème des gendarmes/ 3 pts

Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{\cos(3n)}{n}$ converge et préciser sa limite.

4Suite récurrente/ 8 pts

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$.

Montrer par récurrence que, pour tout entier $n \ge 0$, $u_n \le 6$.
Montrer que la suite est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.

Corrigé détaillé

1Limites directes

a) $u_n = \dfrac{n^3\!\left(2 - \frac{1}{n^2} + \frac{4}{n^3}\right)}{n^3\!\left(1 + \frac{1}{n^3}\right)} = \dfrac{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{4}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^3}} \to \dfrac{2}{1} =$ $2$

b) $v_n = \dfrac{n\!\left(3 + \frac{1}{n}\right)}{n^2\!\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)} = \dfrac{3 + \frac{1}{n}}{n\!\left(1 + \frac{2}{n^2}\right)} \to \dfrac{3}{+\infty} =$ $0$

c) $\left|\dfrac{2}{3}\right| \lt 1 \Rightarrow \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0, \text{ donc } w_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + 5 \to 0 + 5 =$ $5$

2Formes indéterminées

a) FI ∞/∞ $u_n = \dfrac{n^2\!\left(5 - \frac{3}{n}\right)}{n^2\!\left(2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{5 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} \to \dfrac{5}{2} =$ $\dfrac{5}{2}$

b) FI ∞ − ∞ $v_n = \dfrac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \dfrac{1}{1+1} =$ $\dfrac{1}{2}$

c) Terme dominant $w_n = n^2 - 3n = n^2\!\left(1 - \dfrac{3}{n}\right) \to +\infty \text{ car } n^2 \to +\infty \text{ et } 1 - \dfrac{3}{n} \to 1 \gt 0$ $+\infty$

3Théorème des gendarmes

Encadrement $-1 \le \cos(3n) \le 1 \text{ pour tout } n \ge 1, \text{ donc } -\dfrac{1}{n} \le u_n \le \dfrac{1}{n}.$ $\lim_{n\to+\infty}\!\left(-\dfrac{1}{n}\right) = \lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n} = 0$

Conclusion $\text{Les deux suites encadrantes tendent vers } 0. \text{ Par le théorème des gendarmes :}$ $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

4Suite récurrente

a) Récurrence — init. $u_0 = 0 \le 6 \;\checkmark$ $\text{Initialisation vraie}$

a) Récurrence — hérédité $\text{Si } u_n \le 6, \text{ alors } u_{n+1} = \tfrac{1}{2}u_n + 3 \le \tfrac{1}{2}\cdot 6 + 3 = 3 + 3 =$ $6 \;\checkmark \quad \text{Donc } u_n \le 6 \text{ pour tout } n$

b) Croissance $u_{n+1} - u_n = \tfrac{1}{2}u_n + 3 - u_n = 3 - \tfrac{1}{2}u_n. \text{ Or } u_n \le 6 \Rightarrow \tfrac{1}{2}u_n \le 3 \Rightarrow 3 - \tfrac{1}{2}u_n \ge$ $0 \quad \text{donc } (u_n) \text{ est croissante}$

c) Convergence et limite $(u_n) \text{ croissante et majorée par } 6 \Rightarrow \text{elle converge vers } \ell. \text{ En passant à la limite dans } u_{n+1} = \tfrac{1}{2}u_n + 3 : \ell = \tfrac{1}{2}\ell + 3 \Rightarrow \tfrac{1}{2}\ell = 3 \Rightarrow$ $\ell = 6$