Salut ! Tu découvres les limites de suites et le contrôle approche ? On va droit au but. D’abord, on réactive les indispensables de première : qu’est-ce qu’une suite, comment elle varie. Ensuite, on te donne l’idée intuitive de limite et les résultats à connaître absolument. Tu verras, c’est plus simple qu’il n’y paraît.
Rappels : suites numériques (1ère)
Une suite numérique $(u_n)$ est une liste de nombres indexée par $n$ (entier naturel) : $u_0, u_1, u_2, \dots, u_n, \dots$.
On dit que $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$. Elle est décroissante si $u_{n+1} \le u_n$.
L’idée de limite
Étudier la limite, c’est observer le comportement de $u_n$ quand $n$ devient infiniment grand ($n \to +\infty$).
Si les termes se rapprochent indéfiniment d’un nombre $L$, on dit que la suite converge vers $L$ et on note $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$.
Si les termes deviennent aussi grands que l’on veut (positifs ou négatifs), la suite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Une suite peut aussi ne pas avoir de limite (ex. $(-1)^n$).
Les limites à connaître par cœur
| Type de suite | Limite |
|---|
| Puissance : $n^\alpha \; (\alpha > 0)$ | $+\infty$ |
| Inverse : $\frac{1}{n^k} \; (k \ge 1)$ | $0$ |
| Géométrique : $q^n$ avec $|q| < 1$ | $0$ |
| Géométrique : $q^n$ avec $q > 1$ | $+\infty$ |
À toi de jouer
1. On le fait ensemble.
Soit $u_n = \frac{1}{n}$. Quand $n$ devient très grand, $u_n$ se rapproche de quel nombre ? Complète.
$u_n = \frac{1}{n}$ donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$. (Aide : regarde la ligne « Inverse » dans le tableau.)
Corrigé
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ donc la réponse est $0$. En effet, $1/n$ devient de plus en plus petit quand $n$ augmente.
2. Sur le même modèle, donne la limite de $v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$v_n$ est une suite géométrique de raison $\underline{\hspace{1.1em}}$ (remplis : un nombre). Puisque $|\underline{\hspace{1.1em}}| < 1$, la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
La raison est $\frac{1}{2}$. On a $|\frac{1}{2}| < 1$ donc $\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$.
3. Même question pour $w_n = n^3$ et $z_n = (1,1)^n$.
$w_n = n^3$ : $\lim w_n = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$z_n = (1,1)^n$ : la raison est $1,1 > 1$ donc $\lim z_n = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$w_n = n^3$ : $\lim n^3 = +\infty$.
$z_n = (1,1)^n$ : $1,1 > 1$ donc $\lim (1,1)^n = +\infty$.
Tu sens que ça te revient ? Parfait. Maintenant, on ajoute les opérations sur les limites et on s’attaque aux formes indéterminées. Deux méthodes clés : la factorisation du terme dominant et l’expression conjuguée. Accroche-toi, on t’explique tout pas à pas.
Opérations sur les limites
Quand on additionne, multiplie ou divise deux suites, la limite du résultat est (en général) la somme, le produit ou le quotient des limites, à condition qu’on ne tombe pas sur une forme indéterminée.
| Opération | Règle | Formes indéterminées |
|---|
| Somme | $\lim(u_n+v_n) = \lim u_n + \lim v_n$ | $+\infty - \infty$ |
| Produit | $\lim(u_n \times v_n) = \lim u_n \times \lim v_n$ | $0 \times \infty$ |
| Quotient | $\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\lim u_n}{\lim v_n}$ (si $\lim v_n
e 0$) | $\frac{\infty}{\infty},\ \frac{0}{0}$ |
Méthode 1 : Factoriser par le terme dominant (FI $\frac{\infty}{\infty}$)
Quand on a un quotient de deux polynômes en $n$, on factorise numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de $n$. Puis on simplifie et on utilise $\lim \frac{1}{n^k}=0$.
Exemple : $u_n = \frac{3n^2+n}{n^2-2}$.
Factorisation : $u_n = \frac{n^2(3 + \frac{1}{n})}{n^2(1 - \frac{2}{n^2})} = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{2}{n^2}}$.
Quand $n\to+\infty$, $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{2}{n^2}\to 0$, d’où $u_n \to \frac{3+0}{1-0} = 3$.
Méthode 2 : Utiliser l’expression conjuguée (FI $\infty - \infty$)
Pour une différence de deux racines carrées, on multiplie et on divise par la somme de ces mêmes racines (l'expression conjuguée).
Exemple : $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
On multiplie et divise par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$:
$v_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$.
Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $v_n \to 0$.
À toi de jouer
1. Applique la méthode 1.
$u_n = \frac{5n^3 - 2n + 1}{2n^3 + n^2 - 3}$ (FI $\frac{\infty}{\infty}$).
Étape 1 : Le terme dominant au numérateur et au dénominateur est $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$ (exposant).
Étape 2 : Factorise :
$u_n = \frac{n^{\underline{\hspace{1.1em}}} \left( 5 - \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}} + \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}} \right)}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}} \left( 2 + \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}} - \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}} \right)}$
Étape 3 : Simplifie les $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$ et conclus :
$\lim u_n = \frac{5 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le terme dominant est $n^3$.
$u_n = \frac{n^3 (5 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3})}{n^3 (2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^3})}$.
Après simplification par $n^3$, on obtient $\frac{5 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^3}} \to \frac{5}{2}$.
Donc $\lim u_n = \frac{5}{2}$.
2. Applique la méthode 2.
$v_n = \sqrt{n^2 + 3n} - n$ (FI $\infty - \infty$).
Étape 1 : Multiplie et divise par l’expression conjuguée : $v_n = \frac{(\sqrt{n^2+3n} - n)(\underline{\hspace{1.1em}})}{(\underline{\hspace{1.1em}})}$ (remplis par l’expression conjuguée).
Étape 2 : Développe le numérateur : numérateur = $(n^2+3n) - n^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 3 : Réécris : $v_n = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\sqrt{n^2+3n} + n}$.
Étape 4 : Factorise $n$ au dénominateur si besoin et conclus : $\lim v_n = \underline{\hspace{1.1em}}$.
(Aide : tu dois trouver une limite finie, pas 0 cette fois.)
Corrigé
Expression conjuguée : $\sqrt{n^2+3n} + n$.
$v_n = \frac{(\sqrt{n^2+3n} - n)(\sqrt{n^2+3n} + n)}{\sqrt{n^2+3n} + n} = \frac{(n^2+3n) - n^2}{\sqrt{n^2+3n} + n} = \frac{3n}{\sqrt{n^2+3n} + n}$.
Factorisons $n$ au dénominateur : $\sqrt{n^2+3n} = n\sqrt{1+3/n}$, donc $v_n = \frac{3n}{n(\sqrt{1+3/n}+1)} = \frac{3}{\sqrt{1+3/n}+1}$.
Quand $n\to+\infty$, $\sqrt{1+3/n} \to 1$, donc $v_n \to \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$.
3. Un dernier pour la route, toujours méthode 1 mais avec des degrés différents.
$w_n = \frac{4n^2 + n}{n^3 - 2}$.
Degré dominant : numérateur degré $\underline{\hspace{1.1em}}$, dénominateur degré $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Factorise par $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$ en bas (le plus grand) :
$w_n = \frac{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(\frac{4}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}} + \frac{1}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(1 - \frac{2}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})} = \frac{\frac{4}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}} + \ldots}{\ldots}$
Déduis la limite : $\lim w_n = \underline{\hspace{1.1em}}$ (attention, sens de la limite).
Corrigé
Numérateur degré 2, dénominateur degré 3. On factorise par $n^3$ au dénominateur et aussi au numérateur (ou bien on réécrit directement) :
$w_n = \frac{4n^2 + n}{n^3 - 2} = \frac{n^2(4 + 1/n)}{n^3(1 - 2/n^3)} = \frac{4 + 1/n}{n(1 - 2/n^3)}$.
Quand $n\to+\infty$, le numérateur tend vers 4, le dénominateur $n(1 - 0) \to +\infty$, donc $w_n \to 0$.
C'est parti pour l'automatisation. Cinq limites, même technique : factorisation du terme dominant. Tu maîtrises déjà le principe, on va le faire en boucle pour que ça devienne un réflexe.
Petit rappel : FI ∞/∞ avec polynômes
Pour toute suite du type $\frac{a n^d + \dots}{b n^d + \dots}$ (même degré), factorise par $n^d$ puis simplifie. La limite est $\frac{a}{b}$.
À toi de jouer
1. $u_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - 5n + 7}$
Complète :
- Le terme dominant est $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- Factorisation : $u_n = \frac{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(2 - \frac{5}{n} + \frac{7}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}$
- Simplifie par $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- $\lim u_n = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Degré 2.
$u_n = \frac{n^2(3 + 2/n - 1/n^2)}{n^2(2 - 5/n + 7/n^2)} = \frac{3 + 2/n - 1/n^2}{2 - 5/n + 7/n^2} \to \frac{3}{2}$.
2. $v_n = \frac{4n^2 - n + 3}{5n^2 + 2n - 6}$
Complète :
- Le terme dominant est $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- Factorisation : $v_n = \frac{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(5 + \frac{2}{n} - \frac{6}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}$
- Simplifie par $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- $\lim v_n = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Degré 2.
$v_n = \frac{n^2(4 - 1/n + 3/n^2)}{n^2(5 + 2/n - 6/n^2)} = \frac{4 - 1/n + 3/n^2}{5 + 2/n - 6/n^2} \to \frac{4}{5}$.
3. $w_n = \frac{2n^2 + 5}{3n^2 - n}$
Complète :
- Le terme dominant est $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- Factorisation : $w_n = \frac{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(2 + \frac{5}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(3 - \frac{1}{n})}$
- Simplifie par $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- $\lim w_n = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Degré 2.
$w_n = \frac{n^2(2 + 5/n^2)}{n^2(3 - 1/n)} = \frac{2 + 5/n^2}{3 - 1/n} \to \frac{2}{3}$.
4. $p_n = \frac{n^2 + n}{2n^2 + 1}$
Complète :
- Le terme dominant est $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- Factorisation : $p_n = \frac{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(1 + \frac{1}{n})}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(2 + \frac{1}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}$
- Simplifie par $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- $\lim p_n = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Degré 2.
$p_n = \frac{n^2(1 + 1/n)}{n^2(2 + 1/n^2)} = \frac{1 + 1/n}{2 + 1/n^2} \to \frac{1}{2}$.
5. $q_n = \frac{5n^2 - 2n}{7n^2 + 3n - 4}$
Complète :
- Le terme dominant est $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- Factorisation : $q_n = \frac{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(5 - \frac{2}{n})}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}(7 + \frac{3}{n} - \frac{4}{n^{\underline{\hspace{1.1em}}}})}$
- Simplifie par $n^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
- $\lim q_n = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Degré 2.
$q_n = \frac{n^2(5 - 2/n)}{n^2(7 + 3/n - 4/n^2)} = \frac{5 - 2/n}{7 + 3/n - 4/n^2} \to \frac{5}{7}$.
Maintenant, on simule un sujet de contrôle. Exercices variés, rédaction complète, pas de trous : à toi de jouer ! N’oublie pas le théorème des gendarmes et les suites récurrentes.
Théorème des gendarmes
Si on encadre une suite $(u_n)$ entre deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ qui convergent vers la même limite $L$, alors $(u_n)$ converge aussi vers $L$.
Exemple classique : $-1 \le \cos(3n) \le 1$ donc $-\frac{1}{n} \le \frac{\cos(3n)}{n} \le \frac{1}{n}$. Les deux gendarmes tendent vers 0, donc la suite tend vers 0.
Suites récurrentes et convergence monotone
Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge vers une limite finie. Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ et une valeur initiale, on procède ainsi :
1. Conjecturer la limite éventuelle en résolvant $\ell = f(\ell)$.
2. Démontrer que la suite est monotone (par récurrence ou en étudiant $u_{n+1} - u_n$).
3. Démontrer qu’elle est bornée (majorée/minorée).
4. Conclure à la convergence et préciser la limite.
À toi de jouer
1. 1. Calculer la limite de $u_n = \frac{3n^3 - n + 2}{2n^3 + 5n}$. Justifier brièvement.
Corrigé
On factorise par $n^3$ :
$u_n = \frac{n^3(3 - 1/n^2 + 2/n^3)}{n^3(2 + 5/n^2)} = \frac{3 - 1/n^2 + 2/n^3}{2 + 5/n^2}$.
Quand $n \to +\infty$, $1/n^2 \to 0$, $1/n^3 \to 0$ donc $u_n \to \frac{3}{2}$.
2. 2. Déterminer $\lim_{n\to\infty} \left( \sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 1} \right)$.
Corrigé
Forme $\infty - \infty$. On multiplie et divise par l’expression conjuguée :
$\sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-1} = \frac{(n^2+2n) - (n^2-1)}{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-1}} = \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n} + \sqrt{n^2-1}}$.
Factorisons $n$ au dénominateur : $\sqrt{n^2+2n} = n\sqrt{1+2/n}$, de même $\sqrt{n^2-1} = n\sqrt{1-1/n^2}$. Alors
$\frac{2n+1}{n(\sqrt{1+2/n} + \sqrt{1-1/n^2})} = \frac{2 + 1/n}{\sqrt{1+2/n} + \sqrt{1-1/n^2}} \to \frac{2}{1+1} = 1$.
3. 3. $v_n = \frac{2 + \sin(n^2)}{n}$ pour $n \ge 1$.
En utilisant le théorème des gendarmes, montrer que $(v_n)$ converge et préciser sa limite.
Corrigé
On sait que $-1 \le \sin(x) \le 1$ pour tout $x$. Donc
$-1 + 2 \le 2 + \sin(n^2) \le 1 + 2$ soit $1 \le 2+\sin(n^2) \le 3$.
Par conséquent, pour tout $n \ge 1$,
$\frac{1}{n} \le v_n \le \frac{3}{n}$.
Or $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n} = 0$. D’après le théorème des gendarmes, $v_n$ converge et \$\lim v_n = 0$.
4. 4. Soit $w_n = \frac{n!}{(n+1)!}$ pour $n\in\mathbb{N}$. Simplifier l’expression puis déterminer sa limite.
Corrigé
Rappel : $(n+1)! = (n+1) \times n!$. Donc
$w_n = \frac{n!}{(n+1) \times n!} = \frac{1}{n+1}$.
Clairement, $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$.
5. 5. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2$.
a) Montrer par récurrence que pour tout $n$, $u_n \le 3$.
b) Calculer $u_{n+1} - u_n$ et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.
c) Justifier que la suite converge puis déterminer sa limite.
Corrigé
a) Initialisation : $u_0 = 1 \le 3$, vrai.
Hérédité : Supposons $u_n \le 3$. Alors $u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \le \frac{1}{3}\times 3 + 2 = 1+2 = 3$. Donc l’hérédité est vérifiée. Par récurrence, $u_n \le 3$ pour tout $n$.
b) $u_{n+1} - u_n = (\frac{1}{3}u_n + 2) - u_n = 2 - \frac{2}{3}u_n = \frac{2}{3}(3 - u_n)$. Comme $u_n \le 3$, $3 - u_n \ge 0$, donc $u_{n+1} - u_n \ge 0$. La suite est croissante.
c) La suite est croissante et majorée par 3, donc elle converge. Notons $\ell$ sa limite. En passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient $\ell = \frac{1}{3}\ell + 2$, soit $\frac{2}{3}\ell = 2$, donc $\ell = 3$.
Trois exercices qui t'emmènent un cran au-dessus. Tu vas rencontrer la constante e, un classique des études supérieures, et manipuler des suites avec racines pour approfondir la convergence monotone. Prêt à briller ?
La constante $e$ comme limite
On démontre que la suite $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ est croissante et majorée, donc convergente. Sa limite est notée $e \approx 2,71828$. C'est un résultat fondamental pour l'année prochaine.
À toi de jouer
1. 1. On pose $u_n = \frac{n!}{n^n}$ pour $n \ge 1$.
a) Montrer que pour tout entier $n$, on a $0 < u_n \le \frac{1}{n}$.
(Indice : $n! = 1\times 2 \times \dots \times n$ et $n^n = n \times n \times \dots \times n$.)
b) En déduire $\lim_{n\to+\infty} u_n$.
Corrigé
a) $u_n = \frac{1\cdot 2\cdot \dots \cdot n}{n\cdot n\cdot \dots \cdot n} = \left(\frac{1}{n}\right) \cdot \left(\frac{2}{n}\right) \cdot \dots \cdot \left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot 1$. Chaque facteur $\frac{k}{n}$ pour $1 \le k \le n-1$ est inférieur ou égal à 1. De plus, le premier facteur est $\frac{1}{n}$. Donc $u_n \le \frac{1}{n} \times 1 \times 1 \times \dots \times 1 = \frac{1}{n}$. Par ailleurs, tous les termes sont strictement positifs, donc $0 < u_n \le \frac{1}{n}$.
b) Par le théorème des gendarmes, comme $\frac{1}{n} \to 0$ et $0 \to 0$, on a $\lim u_n = 0$.
2. 2. Soit la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ pour tout $n$.
a) Démontrer par récurrence que $0 \le u_n \le 2$ pour tout $n$.
b) Montrer que la suite est croissante.
c) En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.
Corrigé
a) Initialisation : $u_0=0$, donc $0 \le u_0 \le 2$.
Hérédité : Supposons $0 \le u_n \le 2$. Alors $0+2 \le 2+u_n \le 2+2$, soit $2 \le 2+u_n \le 4$. La fonction racine carrée est croissante sur $[0,+\infty[$, donc
$\sqrt{2} \le u_{n+1} \le 2$. Comme $\sqrt{2} \approx 1,4 > 0$, on a bien $0 \le u_{n+1} \le 2$.
b) On calcule $u_{n+1}^2 - u_n^2 = (2+u_n) - u_n^2 = 2 + u_n - u_n^2 = -(u_n^2 - u_n - 2) = -(u_n - 2)(u_n + 1)$. Or $u_n \le 2$, donc $u_n-2 \le 0$, et $u_n+1 > 0$. Le produit $(u_n-2)(u_n+1) \le 0$, donc $-(u_n-2)(u_n+1) \ge 0$. Ainsi $u_{n+1}^2 - u_n^2 \ge 0$, d’où $u_{n+1} \ge u_n$ (car les termes sont positifs). La suite est croissante.
c) Croissante et majorée par 2, elle converge vers une limite $\ell \ge 0$. En passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{2+u_n}$, on obtient $\ell = \sqrt{2+\ell}$. Alors $\ell^2 = 2+\ell$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, équation du second degré de solutions $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $\ell \ge 0$, on retient $\ell = 2$.
3. 3. On admet que la suite $u_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ est croissante et qu'elle est majorée par 3.
Expliquer pourquoi elle converge. Sa limite, appelée constante de Neper, est une célébrité des mathématiques : sais-tu son nom ?
Corrigé
La suite est croissante et majorée (par 3), donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel noté $e$. La limite est la constante de Neper, souvent notée $e \approx 2,718$.