Limites de suites

Comprendre le comportement d'une suite quand son indice tend vers l'infini — définitions, méthodes, pièges.

1 L'idée

Étudier la limite d'une suite $(u_n)$, c'est décrire son comportement à long terme, c'est-à-dire quand $n$ devient arbitrairement grand.

Si les termes se rapprochent indéfiniment d'un réel $L$, la suite converge vers $L$ : $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$.
Si les termes deviennent arbitrairement grands (positivement ou négativement), la suite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Une suite peut aussi diverger sans avoir de limite (ex. $u_n = (-1)^n$).

Le théorème fondamental : toute suite monotone et bornée converge.

2 Limites de suites usuelles

Puissance (α > 0)

$\lim_{n \to +\infty} n^\alpha = +\infty$

Inverse (k ≥ 1)

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$

Géom. |q| < 1

$\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$

Géom. q > 1

$\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$

3 Opérations sur les limites

Somme

$\lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n \quad (\text{si défini})$

Produit

$\lim(u_n \cdot v_n) = \lim u_n \times \lim v_n \quad (\text{si défini})$

Quotient

$\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{\lim u_n}{\lim v_n} \quad (\lim v_n \neq 0)$

Formes indéterminées

$\dfrac{\infty}{\infty},\quad \infty - \infty,\quad 0 \times \infty,\quad \dfrac{0}{0}$

4 Lever une forme indéterminée

FI ∞/∞ — factoriser par le terme dominant au numérateur et au dénominateur

Soit $u_n = \dfrac{3n^2 + n}{n^2 - 2}$ : forme $\dfrac{\infty}{\infty}$.

On factorise $n^2$ : $u_n = \dfrac{n^2\!\left(3 + \frac{1}{n}\right)}{n^2\!\left(1 - \frac{2}{n^2}\right)} = \dfrac{3 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{2}{n^2}}$.

Quand $n \to +\infty$ : $u_n \to \dfrac{3+0}{1-0} = 3$.

FI ∞ − ∞ — multiplier par l'expression conjuguée

Soit $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ : forme $\infty - \infty$.

On multiplie et divise par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ : $v_n = \dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$.

Quand $n \to +\infty$ : dénominateur $\to +\infty$, donc $v_n \to 0$.

Théorème des gendarmes

Exemple. Pour tout $n \ge 1$, $-1 \le \cos(n^2) \le 1$, donc $-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\cos(n^2)}{n} \le \dfrac{1}{n}$. Les deux gendarmes tendent vers $0$, donc $\lim \dfrac{\cos(n^2)}{n} = 0$.

Supposer qu'il existe $a_n \le u_n \le b_n$ pour tout $n$ assez grand.
Vérifier que $\lim a_n = \lim b_n = L$ (limite finie commune).
Conclure : $\lim u_n = L$.

Erreurs fréquentes

$\infty - \infty$ n'est pas $0$ : c'est une FI, il faut calculer (conjugué, factorisation…).
$\dfrac{\infty}{\infty}$ n'est pas $1$ : factoriser par le terme dominant.
$(0{,}9)^n \to 0$ et non $1$ : toute suite géométrique de raison $|q| \lt 1$ converge vers $0$.
Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, passer à la limite donne $\ell = f(\ell)$, mais il faut d'abord prouver la convergence.