Limites de suites

Les prérequis, en 30 secondes

Une suite $(u_n)$, c'est une liste de nombres rangés par leur indice $n$ : $u_0, u_1, u_2, \dots$ Plus $n$ est grand, plus on regarde loin dans la liste.

Étudier sa limite, c'est répondre à une seule question : vers quoi se dirigent les termes quand $n$ devient gigantesque (on note ça $n \to +\infty$) ?

• Soit les termes s'approchent d'un nombre fixe $L$ : la suite converge vers $L$.
• Soit ils deviennent arbitrairement grands, vers $+\infty$ ou $-\infty$ : la suite diverge.

L'essentiel + les limites à connaître par cœur

Le vocabulaire à retenir :

• Converger vers $L$ : $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$ (un nombre fini).
• Diverger vers l'infini : $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ (ou $-\infty$).
• Une suite peut aussi ne pas avoir de limite du tout : par exemple $u_n = (-1)^n$ saute entre $1$ et $-1$ sans jamais se fixer.

Les quatre limites à savoir par cœur (elles reviennent tout le temps) :

• $\lim_{n\to+\infty} n^\alpha = +\infty$ pour tout $\alpha > 0$ (donc $n$, $n^2$, $\sqrt{n}$ filent vers $+\infty$).
• $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$ pour tout $k \ge 1$ (donc $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ s'écrasent vers $0$).
• $\lim_{n\to+\infty} q^n = 0$ si $|q| < 1$ (une raison strictement entre $-1$ et $1$).
• $\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ si $q > 1$.

Sur le schéma, une suite qui converge : les points se rapprochent de plus en plus de la droite $L$.

Un exemple traité en entier

Exemple. Calculons $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ pour $u_n = 3 + \dfrac{1}{n^2}$.

Étape 1. On repère les morceaux : il y a le nombre fixe $3$, et le morceau $\dfrac{1}{n^2}$.

Étape 2. On connaît la limite du morceau : $\dfrac{1}{n^2} \to 0$ (c'est une des limites par cœur, avec $k = 2$).

Étape 3. On additionne les limites : $u_n \to 3 + 0 = 3$.

Conclusion. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(3 + \dfrac{1}{n^2}\right) = 3$. La suite converge vers $3$. Tu vois : rien de méchant.

Définitions propres

Converger. La suite $(u_n)$ converge vers le réel $L$ lorsque ses termes se rapprochent aussi près qu'on veut de $L$ dès que $n$ est assez grand. On écrit $\lim_{n\to+\infty} u_n = L$. Une telle suite est dite convergente.

Diverger vers l'infini. Si les termes deviennent arbitrairement grands, la suite diverge vers $+\infty$ ; s'ils deviennent arbitrairement grands en négatif, vers $-\infty$.

Diverger sans limite. Attention, « diverger » ne veut pas toujours dire « partir à l'infini » : une suite qui n'a aucune limite (ni finie, ni infinie) diverge aussi. Exemple : $u_n = (-1)^n$ oscille indéfiniment entre $1$ et $-1$.

Le théorème fondamental. Toute suite monotone et bornée converge. Concrètement : une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. On ne connaît pas forcément la valeur de sa limite, mais on sait qu'elle existe.

Limites usuelles et opérations

Les limites de référence (à connaître) :

• $\lim_{n\to+\infty} n^\alpha = +\infty$ pour $\alpha > 0$, et $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$ pour $k \ge 1$.
• Suite géométrique $q^n$ : elle tend vers $0$ si $|q| < 1$, vers $+\infty$ si $q > 1$, vaut constamment $1$ si $q = 1$, et n'a pas de limite si $q \le -1$.

Opérations sur les limites. Quand les limites existent et que le résultat est défini :

• Somme : $\lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n$.
• Produit : $\lim(u_n \times v_n) = \lim u_n \times \lim v_n$.
• Quotient : $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{\lim u_n}{\lim v_n}$, à condition que $\lim v_n \neq 0$.

Les formes indéterminées (FI). Parfois la règle ne donne rien de défini : ce sont les quatre pièges $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$ et $\dfrac{0}{0}$. Dans ces cas, il faut transformer l'expression avant de pouvoir conclure.

La méthode pas-à-pas

Pour déterminer la limite d'une suite, déroule toujours le même réflexe :

• 1. Remplacer mentalement chaque morceau par sa limite ($n \to +\infty$, $\frac{1}{n} \to 0$, $q^n \to 0$…).
• 2. Appliquer les opérations (somme, produit, quotient) si le résultat est défini : c'est terminé.
• 3. Détecter une FI si tu tombes sur $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$ ou $\frac{0}{0}$.
• 4. Transformer : factoriser par le terme dominant (quotient de polynômes), multiplier par la quantité conjuguée (différence de racines), ou encadrer (théorème des gendarmes).
• 5. Recommencer à l'étape 1 sur l'expression transformée, puis conclure.

À droite, l'allure d'une suite qui diverge vers $+\infty$ : les termes montent sans jamais s'arrêter.

FI ∞/∞ : on factorise par le terme dominant

Exemple 1. $u_n = \dfrac{3n^2 + n}{n^2 - 2}$.

Ligne 1 — on teste. En haut $3n^2 + n \to +\infty$, en bas $n^2 - 2 \to +\infty$. On obtient $\dfrac{\infty}{\infty}$ : forme indéterminée, on ne conclut pas.

Ligne 2 — on repère le terme dominant. Le plus fort en haut comme en bas est $n^2$. On le factorise partout.

Ligne 3 — on factorise. $u_n = \dfrac{n^2\left(3 + \frac{1}{n}\right)}{n^2\left(1 - \frac{2}{n^2}\right)}$.

Ligne 4 — on simplifie le facteur $n^2$ commun : $u_n = \dfrac{3 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{2}{n^2}}$.

Ligne 5 — on repasse à la limite. Comme $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{2}{n^2} \to 0$, on a $u_n \to \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3$.

Conclusion. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 3$.

FI ∞ − ∞ : on multiplie par la conjuguée

Exemple 2. $v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.

Ligne 1 — on teste. $\sqrt{n+1} \to +\infty$ et $\sqrt{n} \to +\infty$ : on obtient $\infty - \infty$, forme indéterminée.

Ligne 2 — l'astuce. Une différence de racines se débloque en multipliant par la quantité conjuguée $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ (en haut et en bas, pour ne rien changer à la valeur).

Ligne 3 — on développe le haut avec $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ : $v_n = \dfrac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$.

Ligne 4 — on simplifie le haut : $v_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$. La FI a disparu.

Ligne 5 — on repasse à la limite. Le dénominateur $\to +\infty$, donc le quotient $v_n \to 0$.

Conclusion. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = 0$.

Théorème des gendarmes : on encadre

Exemple 3. $w_n = \dfrac{\cos(n^2)}{n}$ pour $n \ge 1$.

Ligne 1 — le problème. $\cos(n^2)$ n'a pas de limite (ça oscille sans se fixer). Impossible d'appliquer les opérations directement.

Ligne 2 — on encadre le numérateur. Pour tout entier, $-1 \le \cos(n^2) \le 1$.

Ligne 3 — on divise par $n > 0$ (le sens des inégalités est conservé) : $-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\cos(n^2)}{n} \le \dfrac{1}{n}$.

Ligne 4 — les deux gendarmes. $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$ : les deux bornes tendent vers la même limite $0$.

Ligne 5 — on conclut. Coincée entre deux suites qui tendent vers $0$, la suite $w_n$ tend elle aussi vers $0$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\cos(n^2)}{n} = 0$.

Le schéma montre l'idée : $w_n$ est prise en sandwich entre $-\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n}$, deux gendarmes qui se referment sur $0$.

Les pièges classiques (ceux qui coûtent des points)

Les erreurs qui reviennent le plus souvent en copie :

• $\infty - \infty$ n'est pas $0$. C'est une FI : il faut calculer (conjuguée, factorisation…). Écrire directement $0$ est faux.
• $\dfrac{\infty}{\infty}$ n'est pas $1$. C'est une FI : on factorise par le terme dominant. Le résultat dépend des coefficients, pas seulement du fait que « les deux sont infinis ».
• $(0{,}9)^n \to 0$, et non $1$. Toute suite géométrique de raison $|q| < 1$ converge vers $0$, même si $q$ est très proche de $1$. Ne confonds pas la valeur de $q$ avec la limite de $q^n$.
• Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ : passer à la limite donne bien $\ell = f(\ell)$, mais cette équation ne vaut que si tu as d'abord prouvé que la suite converge. Sortir la valeur de $\ell$ sans justifier la convergence, c'est la faute classique.

Problème type 1 : quotient d'exponentielles

Énoncé. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ pour $u_n = \dfrac{2^n - 3^n}{2^n + 3^n}$.

Étape 1 — on teste. $2^n \to +\infty$ et $3^n \to +\infty$ : le haut est du type $\infty - \infty$ et le bas $\infty + \infty$, on tombe sur une FI $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Étape 2 — terme dominant. Comme $3 > 2$, la puissance $3^n$ l'emporte sur $2^n$. On factorise $3^n$ en haut et en bas.

Étape 3 — on factorise. $u_n = \dfrac{3^n\left(\left(\frac{2}{3}\right)^n - 1\right)}{3^n\left(\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1\right)} = \dfrac{\left(\frac{2}{3}\right)^n - 1}{\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1}$.

Étape 4 — limite du morceau. Ici $q = \dfrac{2}{3}$ vérifie $|q| < 1$, donc $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0$.

Étape 5 — on conclut. $u_n \to \dfrac{0 - 1}{0 + 1} = -1$. Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -1$.

Problème type 2 : suite récurrente et point fixe

Énoncé. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$. On admet (ou on démontre par récurrence) que $(u_n)$ est croissante et majorée par $6$. Déterminer sa limite.

Étape 1 — l'existence de la limite. La suite est croissante et majorée : d'après le théorème fondamental, elle converge. Notons $\ell$ sa limite. (C'est cette phrase que le correcteur cherche avant tout calcul de $\ell$.)

Étape 2 — on passe à la limite dans la relation. Quand $n \to +\infty$, on a $u_n \to \ell$ et aussi $u_{n+1} \to \ell$. La relation $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ devient à la limite : $\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 3$.

Étape 3 — on résout l'équation. $\ell - \dfrac{1}{2}\ell = 3$, soit $\dfrac{1}{2}\ell = 3$, donc $\ell = 6$.

Étape 4 — cohérence. On trouve $\ell = 6$, ce qui colle avec « majorée par $6$ ». La suite converge vers $6$.

Le schéma montre les termes $u_0, u_1, u_2, \dots$ qui montent en se rapprochant de la droite limite $\ell = 6$.

La définition formelle (celle du supérieur)

En Terminale, « les termes se rapprochent aussi près qu'on veut de $L$ » reste une phrase. Dans le supérieur, on la rend parfaitement précise avec des quantificateurs :

$\lim_{n\to+\infty} u_n = L$ signifie : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \ge N$, on a $|u_n - L| < \varepsilon$.

En clair : donne-moi une marge d'erreur $\varepsilon$ aussi petite que tu veux ; à partir d'un certain rang $N$, tous les termes sont à moins de $\varepsilon$ de $L$. Le schéma illustre cette « bande » $[\,L - \varepsilon,\ L + \varepsilon\,]$ dans laquelle la suite finit par rester définitivement.

C'est exactement cette définition qui justifie, proprement, toutes les règles de calcul que tu utilises depuis le début.

Croissances comparées : qui gagne entre deux infinis ?

Quand $n^2$ et $2^n$ partent tous les deux vers $+\infty$, lequel va « plus vite » ? La réponse structure énormément de FI : une exponentielle $q^n$ (avec $q > 1$) l'emporte sur toute puissance de $n$. Par exemple :

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n}{2^n} = 0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^2}{2^n} = 0.$

Autrement dit, dans une FI $\frac{\infty}{\infty}$ qui mêle puissances et exponentielles, c'est l'exponentielle qui décide. C'est la version « suites » des croissances comparées, que tu retrouveras du côté des fonctions avec $\dfrac{e^x}{x}$ et $\dfrac{\ln x}{x}$.

Où ça te resservira

Ces limites de suites ne s'arrêtent pas à ce chapitre :

• Limites de fonctions et continuité. Le même vocabulaire ($\varepsilon$, se rapprocher de $L$) sert pour $\lim_{x\to+\infty} f(x)$. Et pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, si $f$ est continue, la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ : c'est la continuité qui autorise ce « passage à la limite ».
• Séries (additions infinies). Additionner une infinité de termes $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots$ revient à étudier la limite de la suite des sommes partielles : encore une limite de suite.
• L'idée derrière le théorème fondamental. Pourquoi toute suite croissante et majorée converge-t-elle ? Parce que l'ensemble de ses valeurs admet une borne supérieure (le plus petit des majorants), et la suite vient se coller dessus. Cette propriété profonde de $\mathbb{R}$, la propriété de la borne supérieure, est l'un des premiers résultats que tu verras en prépa ou en licence.