Dérivée d'une fonction composée

Dériver les fonctions emboîtées : (uⁿ)', (√u)', (eᵘ)', (ln u)' — sans oublier le facteur u'.

1 L'idée

Beaucoup de fonctions sont emboîtées : on applique une fonction $u$, puis une autre fonction à ce résultat — par exemple $x\mapsto e^{x^2+1}$ ou $x\mapsto\sqrt{2x+3}$. Pour les dériver, on utilise la dérivée d'une composée.

Règle générale : si $f = g\circ u$ (c'est-à-dire $f(x)=g\big(u(x)\big)$), alors $f'(x)=u'(x)\times g'\big(u(x)\big)$. On dérive « la fonction du dehors » prise en $u(x)$, puis on multiplie par $u'(x)$.

2 Les formules à connaître

Puissance

$\big(u^{\,n}\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}$

Racine

$\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Exponentielle

$\big(e^{u}\big)' = u'\,e^{u}$

Logarithme

$\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$

Inverse

$\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^{2}}$

Composée affine

$\big(g(ax+b)\big)' = a\,g'(ax+b)$

3 Exemples

Dériver chaque fonction

$f(x)=e^{x^2+1}$ : ici $u=x^2+1$, $u'=2x$, donc $f'(x)=2x\,e^{x^2+1}$.

$g(x)=\sqrt{2x+3}$ : $u=2x+3$, $u'=2$, donc $g'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$.

$h(x)=(3x-1)^4$ : $u=3x-1$, $u'=3$, donc $h'(x)=4\times3\times(3x-1)^3=12(3x-1)^3$.

$k(x)=\ln(x^2+1)$ : $u=x^2+1$, $u'=2x$, donc $k'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.

Méthode — Dériver une composée

Identifier la fonction intérieure $u$ et la fonction extérieure ($\;{}^n$, $\sqrt{\;}$, $\exp$, $\ln$…).
Calculer $u'$.
Appliquer la formule correspondante : on n'oublie jamais le facteur $u'$.
Simplifier l'expression obtenue.

Erreurs fréquentes

Oublier le $u'$ : $\big(e^{x^2}\big)' \ne e^{x^2}$, mais $2x\,e^{x^2}$.
$\big(\ln(3x)\big)'=\dfrac{3}{3x}=\dfrac{1}{x}$ : le $u'=3$ se simplifie, mais il faut l'écrire.
Pour une puissance, l'exposant baisse de 1 : $\big(u^4\big)'=4u'u^3$ (et non $4u'u^4$).