Dérivée d'une fonction composée

Les prérequis, en vitesse

Avant de composer, il faut savoir dériver les fonctions de base. Garde-les sous la main :

$(x^{n})' = n\,x^{n-1}$  ·  $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$  ·  $(e^{x})' = e^{x}$  ·  $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$  ·  $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^{2}}$.

Il faut aussi savoir dériver un polynôme (par exemple $x^{2}+1$ donne $2x$) : ce sera notre fameux $u'$.

L'essentiel : une fonction dans une fonction

Une fonction composée, c'est une fonction emboîtée dans une autre. On calcule d'abord une quantité $u(x)$, puis on lui applique une seconde fonction. Exemple : dans $e^{x^{2}+1}$, on calcule d'abord $u(x)=x^{2}+1$, puis on prend l'exponentielle du résultat.

Le réflexe unique, celui qui rapporte tous les points : on dérive la fonction du dehors, puis on multiplie par $u'$. Jamais, au grand jamais, sans le $u'$.

Les quatre formules que tu croiseras le plus :

$\big(u^{\,n}\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}$  ·  $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$  ·  $\big(e^{u}\big)' = u'\,e^{u}$  ·  $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$.

Un exemple, du début à la fin

Dérivons $f(x)=e^{x^{2}+1}$.

1. La fonction du dehors est l'exponentielle ; la fonction du dedans est $u(x)=x^{2}+1$.

2. On dérive le dedans : $u'(x)=2x$.

3. On applique la formule $\big(e^{u}\big)' = u'\,e^{u}$ : $f'(x)=2x\,e^{x^{2}+1}$.

Terminé. Le $2x$ devant, c'est le $u'$ : sans lui, la réponse est fausse.

Composée et règle générale

Composer deux fonctions, c'est les enchaîner : on note $g\circ u$ la fonction définie par $\big(g\circ u\big)(x)=g\big(u(x)\big)$. La fonction $u$ (le dedans) agit d'abord, puis $g$ (le dehors) agit sur le résultat.

Règle générale de dérivation. Si $f=g\circ u$, c'est-à-dire $f(x)=g\big(u(x)\big)$, alors :

$f'(x)=u'(x)\times g'\big(u(x)\big).$

Autrement dit : on dérive la fonction du dehors en la prenant en $u(x)$ (on ne touche pas au dedans), puis on multiplie par $u'(x)$.

Le tableau des formules usuelles

Toutes ces formules sont des cas particuliers de la règle générale. Dans chaque ligne, $u$ est une fonction dérivable et $u'$ sa dérivée.

Puissance : $\big(u^{\,n}\big)' = n\,u'\,u^{\,n-1}$ (l'exposant baisse de $1$).

Racine : $\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ (valable là où $u>0$).

Exponentielle : $\big(e^{u}\big)' = u'\,e^{u}$.

Logarithme : $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$ (valable là où $u>0$).

Inverse : $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^{2}}$ (là où $u\neq 0$).

Composée affine : $\big(g(ax+b)\big)' = a\,g'(ax+b)$ — le cas particulier où $u(x)=ax+b$ et $u'=a$.

La méthode pas-à-pas, et des exemples

Pour dériver une composée, toujours les quatre mêmes gestes :

1. Identifier la fonction intérieure $u$ et la fonction extérieure (une puissance, une racine, $\exp$, $\ln$…).
2. Calculer $u'$.
3. Appliquer la formule correspondante — sans oublier le facteur $u'$.
4. Simplifier l'expression obtenue.

Exemple 1 — une racine. $g(x)=\sqrt{2x+3}$. Ici $u=2x+3$ et $u'=2$, donc $g'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$.

Exemple 2 — une puissance. $h(x)=(3x-1)^{4}$. Ici $u=3x-1$ et $u'=3$, donc $h'(x)=4\times 3\times(3x-1)^{3}=12\,(3x-1)^{3}$.

Exemple 3 — un logarithme. $k(x)=\ln(x^{2}+1)$. Ici $u=x^{2}+1$ et $u'=2x$, donc $k'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$.

Échauffement 1 — une exponentielle composée

On veut dériver $f(x)=e^{4x-x^{2}}$. On y va ensemble.

On repère la structure. C'est une exponentielle « de quelque chose » : la fonction du dehors est $\exp$, la fonction du dedans est $u(x)=4x-x^{2}$.

On dérive le dedans. $u'(x)=4-2x$ (dérivée de $4x$ moins dérivée de $x^{2}$).

On applique $\big(e^{u}\big)'=u'\,e^{u}$. On recopie l'exponentielle inchangée et on la multiplie par $u'$ : $f'(x)=(4-2x)\,e^{4x-x^{2}}$.

On vérifie le réflexe. Le facteur $(4-2x)$ est bien là : c'est le $u'$. Si tu l'avais oublié, tu aurais écrit $e^{4x-x^{2}}$ tout seul — faux.

Échauffement 2 — une puissance emboîtée

Objectif : dériver $p(x)=(x^{2}+1)^{5}$.

Structure. Une puissance $u^{\,5}$ avec $u(x)=x^{2}+1$ à l'intérieur ; le dehors est « élever à la puissance $5$ ».

Dedans dérivé. $u'(x)=2x$.

Formule $\big(u^{\,n}\big)'=n\,u'\,u^{\,n-1}$ avec $n=5$. L'exposant passe de $5$ à $4$ : $p'(x)=5\times u'\times u^{4}=5\times 2x\times(x^{2}+1)^{4}$.

On simplifie. $p'(x)=10x\,(x^{2}+1)^{4}$.

Piège évité. L'exposant descend à $4$, pas $5$ : $\big(u^{5}\big)'=5u'u^{4}$, et surtout pas $5u'u^{5}$.

Échauffement 3 — un logarithme, et un $u'$ qui se simplifie

Dérivons $\ell(x)=\ln(3x)$, en soignant un point que beaucoup ratent.

Structure. Un logarithme de $u(x)=3x$ ; on utilisera $\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}$.

Dedans dérivé. $u'(x)=3$.

Formule. $\ell'(x)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{3}{3x}$.

On simplifie. $\dfrac{3}{3x}=\dfrac{1}{x}$. Le $3$ (le $u'$) disparaît… mais il fallait l'écrire pour arriver là honnêtement. Sauter la ligne $\dfrac{3}{3x}$, c'est se priver de comprendre pourquoi ça se simplifie.

Bonus, on enchaîne. $m(x)=\ln(x^{2}+1)$ : $u=x^{2}+1$, $u'=2x$, donc $m'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ (ici rien ne se simplifie, et c'est très bien).

Problème type 1 — variations d'une fonction composée

Énoncé. Soit $f(x)=e^{-x^{2}}$, définie sur $\mathbb{R}$. Étudier le sens de variation de $f$.

Étape 1 — dériver. Fonction du dehors : $\exp$ ; dedans : $u(x)=-x^{2}$, donc $u'(x)=-2x$. Avec $\big(e^{u}\big)'=u'\,e^{u}$ : $f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}$.

Étape 2 — signe de $f'$. L'exponentielle est toujours strictement positive : $e^{-x^{2}}>0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $-2x$.

Étape 3 — conclure. $-2x>0$ pour $x<0$ et $-2x<0$ pour $x>0$. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$ et décroissante sur $[0\,;+\infty[$, avec un maximum en $x=0$ où $f(0)=e^{0}=1$.

Ce que le correcteur attend : la dérivée avec le $u'$ visible, la phrase « $e^{-x^{2}}>0$ » qui justifie que le signe ne dépend que de $-2x$, et une conclusion nette en termes de variations.

Problème type 2 — équation d'une tangente

Énoncé. Soit $g(x)=\sqrt{2x+3}$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $x=3$.

Rappel de cours. La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=g'(a)(x-a)+g(a)$.

Étape 1 — dériver. $u(x)=2x+3$, $u'(x)=2$, et $\big(\sqrt{u}\big)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ donne $g'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$.

Étape 2 — évaluer en $a=3$. $g(3)=\sqrt{2\times 3+3}=\sqrt{9}=3$ et $g'(3)=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}$.

Étape 3 — écrire la tangente. $y=\dfrac{1}{3}(x-3)+3=\dfrac{1}{3}x-1+3=\dfrac{1}{3}x+2$.

Subtilité de domaine. $\sqrt{2x+3}$ n'existe que si $2x+3\ge 0$, soit $x\ge -\dfrac{3}{2}$ ; et $g$ n'est dérivable que si $2x+3>0$, soit $x>-\dfrac{3}{2}$ (en $x=-\dfrac{3}{2}$, le $2\sqrt{u}$ du dénominateur s'annule). Le point $x=3$ est bien dans ce domaine, tout va bien.

Les pièges classiques (et comment les éviter)

Oublier le $u'$. L'erreur numéro un. $\big(e^{x^{2}}\big)'\neq e^{x^{2}}$ : la bonne réponse est $2x\,e^{x^{2}}$. Réflexe : après avoir recopié la fonction du dehors, demande-toi toujours « et le $u'$ ? ».

Ne pas faire descendre l'exposant. Pour une puissance, l'exposant baisse de $1$ : $\big(u^{4}\big)'=4\,u'\,u^{3}$, jamais $4\,u'\,u^{4}$.

Escamoter la simplification. $\big(\ln(3x)\big)'=\dfrac{3}{3x}=\dfrac{1}{x}$ : écris la ligne $\dfrac{3}{3x}$ avant de simplifier, sinon le correcteur ne voit pas que tu as bien mis le $u'=3$.

Oublier les conditions d'existence. Pour $\sqrt{u}$ et $\ln u$, ces formules ne valent que là où $u>0$. Une phrase sur le domaine peut rapporter le point qui manque.

Confondre $g'\big(u(x)\big)$ et $\big(g(u(x))\big)'$. $g'\big(u(x)\big)$ est la dérivée du dehors prise en $u(x)$ ; la dérivée complète est $u'(x)\times g'\big(u(x)\big)$. Le $u'$ fait toute la différence.

Pourquoi ça marche : les vitesses se multiplient

La formule $f'(x)=u'(x)\times g'\big(u(x)\big)$ dit une chose très concrète : dans une composée, les taux de variation se multiplient. Si, autour de $a$, le dedans $u$ varie $u'(a)$ fois plus vite que $x$, et le dehors $g$ varie $g'\big(u(a)\big)$ fois plus vite que $u$, alors l'ensemble varie $u'(a)\times g'\big(u(a)\big)$ fois plus vite.

Idée de démonstration (nombre dérivé). Pour $x$ proche de $a$, on écrit le taux d'accroissement de $f$ en le coupant en deux :

$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\dfrac{g\big(u(x)\big)-g\big(u(a)\big)}{u(x)-u(a)}\times\dfrac{u(x)-u(a)}{x-a}.$

Quand $x\to a$, le second facteur tend vers $u'(a)$, et le premier vers $g'\big(u(a)\big)$ (car $u(x)\to u(a)$). Le produit tend donc vers $g'\big(u(a)\big)\times u'(a)$ : c'est exactement la formule. (La preuve entièrement rigoureuse gère à part le cas où $u(x)=u(a)$, mais l'idée est là.)

Le chemin retour : les primitives

Chaque formule de dérivation composée se lit à l'envers et devient une formule de primitive — la notion sœur du même programme, qui prépare l'intégration.

Puisque $\big(e^{u}\big)'=u'\,e^{u}$, une primitive de $u'\,e^{u}$ est $e^{u}$.

Puisque $\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}$, une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u|$ (là où $u$ garde un signe constant).

Puisque $\big(\sqrt{u}\big)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, une primitive de $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ est $\sqrt{u}$.

Puisque $\big(u^{\,n}\big)'=n\,u'\,u^{\,n-1}$, une primitive de $u'\,u^{\,n}$ est $\dfrac{u^{\,n+1}}{n+1}$ (pour $n\neq -1$).

Reconnaître un « $u'$ fois quelque chose en $u$ », c'est déjà savoir intégrer.

L'an prochain : la règle de la chaîne en grand

Notation compacte. Dans le supérieur, on écrit la règle sous la forme $\big(g\circ u\big)'=\big(g'\circ u\big)\times u'$ : c'est la règle de la chaîne (chain rule). Tu la retrouveras partout, notamment en physique.

Plus de deux étages. On peut composer trois fonctions, ou plus : $\big(g\circ v\circ u\big)'$ se dérive de proche en proche, en multipliant tous les $u'$ successifs. Chaque couche ajoute son facteur.

Un point de vue plus profond. Dériver, c'est approcher une fonction par sa meilleure droite (la tangente) autour d'un point. Composer deux fonctions revient alors à composer deux approximations linéaires, et composer deux fonctions linéaires… c'est multiplier leurs coefficients directeurs. D'où le produit $u'\times g'(u)$. Généralisée à plusieurs variables, cette idée devient le cœur du calcul différentiel — et, au passage, de l'algorithme qui entraîne les réseaux de neurones (la rétropropagation n'est qu'une immense règle de la chaîne).