Continuité & théorème des valeurs intermédiaires

Établir l'existence et l'unicité d'une solution d'équation grâce à la continuité et au TVI.

1 L'idée

Une fonction est continue sur un intervalle quand on peut tracer sa courbe « sans lever le crayon » : pas de saut, pas de trou. Formellement, $f$ est continue en $a$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fonctions rationnelles, $\sqrt{\;}$, $\exp$, $\ln$, $\cos$, $\sin$, $|\cdot|$) sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Les sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues.

Une fonction dérivable sur un intervalle y est continue (la réciproque est fausse : $x\mapsto|x|$ est continue mais non dérivable en $0$).

2 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

TVI

$f \text{ continue sur } [a,b],\ k \text{ entre } f(a) \text{ et } f(b) \implies \exists c\in[a,b],\ f(c)=k$

Corollaire (bijection)

$f \text{ continue et } \textbf{strictement monotone} \text{ sur } [a,b] \implies f(x)=k \text{ a une } \textbf{unique} \text{ solution}$

Si f(a) et f(b) opposés

$f \text{ continue, } f(a) \text{ et } f(b) \text{ de signes contraires} \implies f \text{ s'annule au moins une fois sur } [a,b]$

Le corollaire s'étend aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant $f(a)$, $f(b)$ par les limites aux bornes. Dans un tableau de variations, une flèche oblique sous-entend « continue et strictement monotone » : elle autorise à appliquer directement le corollaire.

3 Exemple — existence et unicité d'une solution

Montrer que x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution réelle α, et l'encadrer

$f(x)=x^3+x-1$ est un polynôme, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

$f'(x)=3x^2+1>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

$\lim_{x\to-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} f = +\infty$ ; $0$ est compris entre ces limites.

D'après le corollaire du TVI (fonction continue et strictement croissante), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in\mathbb{R}$.

Comme $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$, on a $\alpha\in[0,1]$. Par balayage : $f(0{,}6)\approx-0{,}18<0$ et $f(0{,}7)\approx0{,}04>0$, donc $\alpha\in[0{,}6\,;\,0{,}7]$.

Méthode — Prouver « f(x)=k a une unique solution »

Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle (fonctions usuelles ⇒ OK).
Étudier le signe de $f'$ pour montrer la stricte monotonie.
Donner les valeurs (ou limites) aux bornes et vérifier que $k$ est entre elles.
Conclure par le corollaire du TVI : existence et unicité.
Encadrer la solution par balayage ou dichotomie à la calculatrice.

Erreurs fréquentes

Le TVI seul donne l'existence, pas l'unicité : pour l'unicité il faut la stricte monotonie (corollaire).
La continuité est indispensable : sans elle, une fonction peut « sauter » par-dessus la valeur $k$.
Bien comparer $k$ aux bornes (valeurs ou limites) : si $k$ n'est pas entre elles, on ne peut rien conclure.