Contrôle bientôt et tu découvres le théorème des valeurs intermédiaires à l'instant ? Respire, tu connais déjà l'idée sans le savoir : si tu mesurais 1,20 m à 8 ans et 1,60 m à 14 ans, tu es forcément passé un jour par 1,45 m. C'est tout le TVI. On pose juste les mots dessus, et tu seras paré.
Les prérequis à sortir du placard
Avant de te lancer, assure-toi d'avoir ces réflexes sous la main. Rien de neuf, tu les as déjà vus.
- Calculer une image : remplacer $x$ par un nombre, par exemple $f(0)$ ou $f(1)$.
- Dériver un polynôme : $x^n$ a pour dérivée $n\,x^{n-1}$, donc la dérivée de $x^3+x-1$ est $3x^2+1$.
- Lire le signe d'une dérivée : si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors $f$ y est strictement croissante ; si $f'(x)<0$, elle est décroissante.
- Repérer une limite simple aux bornes, par exemple pour un polynôme quand $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$.
L'essentiel en une minute
Une fonction est continue sur un intervalle si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon : aucun trou, aucun saut. Bonne nouvelle : toutes les fonctions que tu connais (polynômes, $\sqrt{\;}$, $\exp$, $\ln$, $\cos$, $\sin$...) sont continues là où elles sont définies.
Le théorème des valeurs intermédiaires dit une chose très intuitive : si $f$ est continue et passe de la valeur $f(a)$ à la valeur $f(b)$, alors en chemin elle prend toutes les valeurs situées entre $f(a)$ et $f(b)$. Donc pour un nombre $k$ compris entre les deux, l'équation $f(x)=k$ a au moins une solution.
Retiens le combo gagnant : continue + strictement monotone = une solution et une seule. C'est 90 % des exercices.
Un exemple fait du début à la fin
1. On pose $f(x)=x^3+x-1$. C'est un polynôme, donc $f$ est continue sur $[0,1]$ (les polynômes sont continus partout).
2. On calcule aux bornes : $f(0)=0+0-1=-1$ et $f(1)=1+1-1=1$.
3. On regarde : $-1 < 0 < 1$, donc $0$ est bien compris entre $f(0)$ et $f(1)$.
4. $f$ est continue et $0$ est entre $f(0)$ et $f(1)$ : d'après le TVI, il existe au moins un nombre $c\in[0,1]$ tel que $f(c)=0$.
Conclusion : l'équation $x^3+x-1=0$ a (au moins) une solution entre $0$ et $1$. Le crayon part sous zéro, arrive au-dessus : il a forcément croisé zéro.
La flèche oblique du tableau de variations, le fameux « d'après le corollaire du TVI »... ça te revient, non ? On reprend tout proprement, avec les vraies définitions. Cette fois tu ne vas pas seulement réciter la formule : tu vas voir pourquoi elle marche.
Continuité : la définition propre
On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ : la valeur vers laquelle on tend en s'approchant de $a$ est exactement la valeur en $a$. Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chacun de ses points.
En pratique, tu n'auras presque jamais à revenir à cette limite. Il suffit de connaître le catalogue :
- Toutes les fonctions usuelles — polynômes, fonctions rationnelles, $\sqrt{\;}$, $\exp$, $\ln$, $\cos$, $\sin$, $|\cdot|$ — sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
- Les sommes, produits, quotients (tant que le dénominateur ne s'annule pas) et composées de fonctions continues sont encore continues.
Enfin, un lien à ne jamais oublier : une fonction dérivable sur un intervalle y est automatiquement continue. Attention, la réciproque est fausse : $x\mapsto |x|$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable (la courbe fait un angle).
Le théorème des valeurs intermédiaires
Voici l'énoncé officiel, puis le cas particulier le plus utile.
Le deuxième encadré n'est que le TVI avec $k=0$ : si la fonction part d'en dessous de zéro et arrive au-dessus (ou l'inverse), elle traverse forcément zéro.
La continuité est vitale. Si la courbe a le droit de « sauter », elle peut enjamber la valeur $k$ sans jamais l'atteindre. C'est exactement ce que montre le schéma : la droite $y=k$ passe dans le trou.
Le corollaire : existence ET unicité
Le TVI tout seul garantit qu'il existe au moins une solution, mais pas combien. Pour obtenir une seule solution, on ajoute une hypothèse : la stricte monotonie.
Deux extensions très pratiques :
- Intervalles ouverts ou infinis : le corollaire s'applique encore en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes (par exemple $\lim_{x\to+\infty} f$).
- Lecture du tableau de variations : une flèche oblique sous-entend « $f$ continue et strictement monotone » sur la ligne. Tu peux appliquer le corollaire directement à partir du tableau.
Soit $f(x)=x^3+x-1$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée $f'(x)=3x^2+1$ est strictement positive, donc $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Comme $\lim_{x\to-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} f = +\infty$, la valeur $0$ est bien entre les deux limites.
Par le corollaire, l'équation $f(x)=0$ a une unique solution réelle. On la note souvent $\alpha$.
Assez discuté, on met les mains dedans. Je rédige tout, ligne à ligne, comme si on était côte à côte à la même table. Regarde bien : c'est toujours le même mouvement en quatre temps qui revient. Une fois que tu l'as vu trois fois, tu ne pourras plus le rater.
Exemple 1 : existence, unicité et encadrement
Continuité. On pose $f(x)=x^3+x-1$. C'est un polynôme : $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. (On coche la première case.)
Monotonie. $f'(x)=3x^2+1$. Un carré est positif, donc $3x^2+1>0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Bornes. Aux extrémités : $\lim_{x\to-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} f = +\infty$. La valeur cherchée $0$ est bien comprise entre $-\infty$ et $+\infty$.
Conclusion (existence + unicité). $f$ est continue et strictement croissante, et $0$ est entre les deux limites : d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in\mathbb{R}$.
Encadrement. On teste : $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$, donc $\alpha\in[0\,;1]$.
On affine par balayage à la calculatrice : $f(0{,}6)\approx -0{,}18<0$ et $f(0{,}7)\approx 0{,}04>0$. Comme $f$ est croissante, $\alpha\in[0{,}6\,;0{,}7]$.
Le mouvement en quatre temps : continuité → monotonie → bornes → corollaire. Garde-le en tête, on le refait tout de suite.
Exemple 2 : quand une exponentielle se cache
Astuce de départ. On ramène tout d'un même côté pour se ramener à « $g(x)=0$ ». On pose $g(x)=e^x + x - 2$. Résoudre $e^x=2-x$ revient à résoudre $g(x)=0$.
Continuité. $g$ est une somme de l'exponentielle et d'un polynôme, toutes deux continues : $g$ est continue (et dérivable) sur $\mathbb{R}$.
Monotonie. $g'(x)=e^x+1$. Or $e^x>0$, donc $g'(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Bornes. On n'a même pas besoin des limites ici : $g(0)=e^0+0-2=1-2=-1<0$ et $g(1)=e+1-2=e-1\approx 1{,}72>0$. La valeur $0$ est entre $g(0)$ et $g(1)$.
Conclusion. $g$ continue et strictement croissante, $0$ entre $g(0)$ et $g(1)$ : par le corollaire du TVI, $g(x)=0$ a une unique solution, située dans $[0\,;1]$. Donc l'équation de départ $e^x=2-x$ aussi.
Même mouvement, autre déguisement. Dès qu'une équation mêle exp, ln et polynômes, on regroupe tout d'un côté et on étudie la fonction obtenue.
Exemple 3 : lire directement un tableau de variations
Souvent, l'énoncé t'a déjà fait dresser le tableau de variations. Il n'y a plus qu'à compter les solutions, branche par branche.
Branche de gauche (sur $]-\infty\,;1]$) : $f$ décroît continûment de $+\infty$ jusqu'à $-2$. La valeur $3$ est entre $-2$ et $+\infty$ : par le corollaire, il y a exactement une solution sur cette branche.
Branche de droite (sur $[1\,;+\infty[$) : $f$ croît continûment de $-2$ jusqu'à $+\infty$. La valeur $3$ est de nouveau comprise entre $-2$ et $+\infty$ : encore une solution.
Bilan. Chaque flèche oblique donne une solution, donc $f(x)=3$ a exactement deux solutions.
Le réflexe : une flèche = une branche strictement monotone. Sur chaque flèche, on regarde si $k$ est entre la valeur de départ et la valeur d'arrivée. Si oui, une solution ; si non, aucune.
Ici on joue pour les points du barème. Le correcteur a une check-list mentale et il coche case par case : continuité citée ? monotonie justifiée ? valeurs aux bornes données ? corollaire nommé ? Oublie une case et ton existence est juste... mais tes points s'envolent. On blinde la rédaction et on démonte les pièges.
Ce que le correcteur attend vraiment
Une réponse « prouver que $f(x)=k$ a une unique solution » rapporte des points à chaque étape, pas seulement à la conclusion. Voici la rédaction type, dans l'ordre.
- Continuité : dire pourquoi. « $f$ est un polynôme / une somme de fonctions usuelles, donc $f$ est continue sur $I$. »
- Stricte monotonie : étudier le signe de $f'$ et conclure « $f'>0$ sur $I$, donc $f$ est strictement croissante ».
- Valeurs ou limites aux bornes : les écrire, et vérifier que $k$ est entre elles.
- Nommer le théorème : « d'après le corollaire du TVI (fonction continue strictement monotone), l'équation admet une unique solution ». Le mot « unique » doit apparaître.
- Encadrer si demandé, par balayage ou dichotomie à la calculatrice.
- Le TVI seul donne l'existence, pas l'unicité. Pour l'unicité, il faut la stricte monotonie (le corollaire).
- Oublier de justifier la continuité : sans elle, rien n'est valable, même si « ça se voit ».
- Mal comparer $k$ aux bornes : si $k$ n'est pas entre $f(a)$ et $f(b)$ (ou entre les limites), on ne peut rien conclure.
- Confondre la solution (le $x$ cherché) avec la valeur $k$ : on cherche le $x$ tel que $f(x)=k$, pas $k$ lui-même.
Problème type 1 : compter le nombre de solutions
Le grand classique du bac : une fonction qui n'est pas monotone sur tout $\mathbb{R}$. On la découpe en morceaux strictement monotones et on applique le corollaire sur chaque morceau.
Cadre. On pose $f(x)=x^3-3x+1$, polynôme donc continu et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Dérivée et variations. $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Donc $f'>0$ sur $]-\infty\,;-1[$, $f'<0$ sur $]-1\,;1[$, $f'>0$ sur $]1\,;+\infty[$.
Valeurs clés. $f(-1)=-1+3+1=3$ (maximum local) et $f(1)=1-3+1=-1$ (minimum local). Aux bornes : $\lim_{x\to-\infty}f=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f=+\infty$.
Branche 1 sur $]-\infty\,;-1]$ : $f$ croît de $-\infty$ à $3$. Comme $0$ est entre $-\infty$ et $3$ : une solution.
Branche 2 sur $[-1\,;1]$ : $f$ décroît de $3$ à $-1$. Comme $0$ est entre $-1$ et $3$ : une solution.
Branche 3 sur $[1\,;+\infty[$ : $f$ croît de $-1$ à $+\infty$. Comme $0$ est entre $-1$ et $+\infty$ : une solution.
Conclusion. L'équation $x^3-3x+1=0$ a exactement trois solutions réelles. Le graphe le confirme : la courbe traverse l'axe des abscisses trois fois.
Problème type 2 : bornes infinies et limites
Quand l'intervalle est ouvert ou infini, on remplace simplement $f(a)$ et $f(b)$ par les limites. La méthode ne change pas d'un poil.
Continuité. On pose $f(x)=\ln x + x$ sur $]0\,;+\infty[$. C'est une somme de $\ln$ et d'un polynôme, continues sur $]0\,;+\infty[$ : $f$ y est continue.
Monotonie. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$. Sur $]0\,;+\infty[$, $\dfrac{1}{x}>0$ donc $f'(x)>0$ : $f$ est strictement croissante.
Limites aux bornes. Quand $x\to 0^+$, $\ln x\to -\infty$ donc $f(x)\to -\infty$. Quand $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty$. La valeur $0$ est entre ces deux limites.
Conclusion. $f$ continue et strictement croissante, $0$ entre les limites : par le corollaire du TVI, $f(x)=0$ a une unique solution $\alpha\in\,]0\,;+\infty[$.
Encadrement. $f(0{,}5)=\ln(0{,}5)+0{,}5\approx -0{,}19<0$ et $f(1)=\ln 1+1=1>0$, donc $\alpha\in[0{,}5\,;1]$.
Note que sur un intervalle ouvert, la solution est bien à l'intérieur : $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des valeurs atteintes, ce sont juste des limites qui encadrent $k$.
Tu tiens le TVI ? Regarde les portes qu'il ouvre. Rien ici n'est exigible au bac, mais c'est exactement là que les maths deviennent belles : d'où sort ce théorème, comment ta calculatrice trouve $\alpha$, et ce que « continu » cache vraiment dessous.
D'où vient le théorème : l'idée de la démonstration
Pourquoi le TVI est-il vrai ? L'idée la plus parlante s'appelle la dichotomie (« couper en deux »). Supposons $f$ continue sur $[a,b]$ avec $f(a)<0<f(b)$ ; on cherche un $c$ où $f(c)=0$.
- On coupe l'intervalle en son milieu $m=\dfrac{a+b}{2}$ et on regarde le signe de $f(m)$.
- On garde la moitié où le changement de signe se produit (celle dont les bornes ont des $f$ de signes contraires).
- On recommence. On fabrique ainsi deux suites $(a_n)$ (qui monte) et $(b_n)$ (qui descend), adjacentes : leur écart $b_n-a_n$ est divisé par deux à chaque étape, donc tend vers $0$.
- Ces deux suites convergent vers un même réel $c$. C'est là que la continuité entre en scène : elle garantit que $f(a_n)$ et $f(b_n)$ tendent vers $f(c)$, et comme l'un reste négatif et l'autre positif, on est coincé : $f(c)=0$.
Autrement dit, la continuité est précisément l'ingrédient qui empêche la fonction de « sauter » par-dessus zéro pendant qu'on resserre l'étau. Sans elle, la construction se poursuit mais la conclusion tombe.
Comment la machine trouve la solution
Cette démonstration est aussi un algorithme. C'est exactement ce que fait ta calculatrice (ou un programme Python en spécialité maths et en NSI) pour approcher $\alpha$ aussi précisément que voulu.
- Partir de $a$ et $b$ tels que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires.
- Tant que $b-a$ dépasse la précision voulue : calculer $m=\dfrac{a+b}{2}$ ; si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, remplacer $b$ par $m$, sinon remplacer $a$ par $m$.
- À la fin, $a$ et $b$ encadrent $\alpha$ à la précision demandée.
Chaque tour divise l'incertitude par deux : dix tours suffisent à gagner environ trois décimales. Plus tard, tu croiseras des méthodes bien plus rapides, comme la méthode de Newton, qui utilise la tangente (donc la dérivée) pour foncer vers la solution.
Les grands frères du TVI
Le TVI n'est que la première pièce d'une famille de théorèmes sur les fonctions continues, que tu retrouveras après le bac.
- Théorème des bornes atteintes. Une fonction continue sur un segment $[a,b]$ y atteint son minimum et son maximum. Combiné au TVI, cela dit que l'image d'un segment par une fonction continue est encore un segment $[m\,;M]$.
- Théorème de la bijection (version complète). Une fonction continue et strictement monotone réalise une bijection de $[a,b]$ sur $[f(a),f(b)]$ ; sa fonction réciproque est elle aussi continue et strictement monotone. C'est ce qui fait de $\ln$ la réciproque de $\exp$, ou de $\sqrt{\;}$ celle de $x\mapsto x^2$ (sur $[0\,;+\infty[$).
- Théorème du point fixe. Sous de bonnes hypothèses, une fonction continue de $[a,b]$ dans $[a,b]$ possède un point $c$ tel que $f(c)=c$ — une conséquence directe du TVI appliqué à $x\mapsto f(x)-x$.
Les ponts avec le reste du programme : le lien « dérivable $\Rightarrow$ continue » te ramène à la dérivation ; les suites adjacentes de la dichotomie, aux suites et à leur convergence ; les bijections réciproques, à l'étude de $\exp$, $\ln$ et des fonctions racines. Le TVI est un carrefour : c'est pour ça qu'il tombe si souvent.