Convexité

Lire la courbure d'une courbe grâce à la dérivée seconde et exploiter le lien avec les tangentes.

1 L'idée

La convexité décrit comment une courbe se courbe. Une fonction est convexe (en forme de vallée) quand sa courbe se situe en dessous de tout segment joignant deux de ses points ; elle est concave (en forme de dôme) dans le cas contraire.

L'outil opérationnel est la dérivée seconde $f''$ : son signe indique directement la nature de la courbure. Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité.

2 Caractérisation par la dérivée seconde

Convexe

$f''(x) \ge 0 \text{ sur } I \iff f \text{ convexe sur } I$

Concave

$f''(x) \le 0 \text{ sur } I \iff f \text{ concave sur } I$

Point d'inflexion

$f''(a) = 0 \text{ et } f'' \text{ change de signe en } a$

Propriété — tangentes

$f \text{ convexe} \implies \text{courbe au-dessus de chaque tangente}$

3 Exemple — étude complète

f(x) = x³ − 3x sur ℝ

$f'(x) = 3x^2 - 3$, donc $f''(x) = 6x$.

$f''(x) \gt 0 \iff x \gt 0$ : $f$ est convexe sur $[0,\,+\infty[$.

$f''(x) \lt 0 \iff x \lt 0$ : $f$ est concave sur $]-\infty,\,0]$.

$f''(0) = 0$ et $f''$ change de signe en $0$ : le point $(0,\,0)$ est un point d'inflexion.

Méthode — Étudier la convexité

Calculer $f''(x)$.
Dresser le tableau de signe de $f''$.
Conclure : $f$ convexe là où $f'' \ge 0$ ; $f$ concave là où $f'' \le 0$.
Points d'inflexion : résoudre $f''(a) = 0$, vérifier le changement de signe de $f''$, puis calculer les coordonnées $(a,\,f(a))$.

Erreurs fréquentes

$f''(a) = 0$ ne suffit pas à conclure à un point d'inflexion : $f''$ doit changer de signe. Contre-exemple : $f(x) = x^4$, $f''(0) = 0$ mais $f''(x) = 12x^2 \ge 0$ partout — pas de point d'inflexion en $0$.
Ne pas confondre convexe et concave : convexe ($f'' \ge 0$, forme de V) $\Rightarrow$ courbe au-dessus de ses tangentes ; concave ($f'' \le 0$, forme de dôme) $\Rightarrow$ courbe en dessous de ses tangentes.
Toujours donner les deux coordonnées du point d'inflexion : l'abscisse $a$ et l'ordonnée $f(a)$.