Convexité

L'essentiel en deux minutes

Ce qu'il faut déjà savoir : dériver une fonction, la dériver une deuxième fois (on dérive $f'$ pour obtenir $f''$), et étudier le signe d'une expression simple. C'est tout ce dont tu as besoin.

L'idée en une phrase : la convexité décrit la façon dont une courbe se courbe. Une fonction est convexe quand sa courbe a la forme d'une vallée (un creux), et concave quand elle a la forme d'un dôme (une bosse).

Pour trancher sans avoir à dessiner, un seul outil : le signe de la dérivée seconde $f''$.

Les formules clés à retenir :

• $f''(x) \ge 0$ sur un intervalle $I$ $\iff$ $f$ est convexe sur $I$.
• $f''(x) \le 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est concave sur $I$.
• Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité : $f''(a) = 0$ et $f''$ change de signe en $a$.

Un exemple pour se rassurer

Étudions $f(x) = x^2 - 2x$ sur $\mathbb{R}$. On suit trois étapes, toujours les mêmes.

Étape 1. On dérive une première fois : $f'(x) = 2x - 2$.

Étape 2. On dérive une seconde fois : $f''(x) = 2$.

Étape 3. On lit le signe de $f''$ : $f''(x) = 2 > 0$ pour tout $x$.

Conclusion : comme $f'' \ge 0$ partout, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est une parabole en forme de vallée : tout est cohérent.

Tu vois le schéma ? Dériver deux fois, lire le signe, conclure. Tu as déjà le réflexe qui rapporte des points au contrôle.

Les définitions propres

Soit $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative sur un intervalle $I$.

Fonction convexe. $f$ est convexe sur $I$ lorsque sa courbe se situe en dessous de tout segment — appelé corde — qui joint deux de ses points. Entre deux points de la courbe, celle-ci « creuse » sous la corde.

Fonction concave. C'est exactement le cas contraire : la courbe se situe au-dessus de chaque corde. Concave, c'est le dôme.

Propriété des tangentes. Si $f$ est convexe sur $I$, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Si $f$ est concave, la courbe est en dessous de ses tangentes.

Point d'inflexion. C'est un point où la courbe change de convexité : elle passe de concave à convexe, ou de convexe à concave.

La caractérisation par la dérivée seconde

La définition avec les cordes est visuelle, mais peu pratique pour calculer. Heureusement, la dérivée seconde fournit un critère direct. Sur un intervalle $I$ :

• $f''(x) \ge 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ convexe sur $I$ ;
• $f''(x) \le 0$ sur $I$ $\iff$ $f$ concave sur $I$.

Pour un point d'inflexion en $x = a$, il faut deux conditions réunies : $f''(a) = 0$ et $f''$ change de signe de part et d'autre de $a$.

Méthode pas à pas pour étudier la convexité :

• Calculer $f''(x)$.
• Dresser le tableau de signe de $f''$.
• Conclure : $f$ est convexe là où $f'' \ge 0$, concave là où $f'' \le 0$.
• Pour chaque point d'inflexion : résoudre $f''(a) = 0$, vérifier le changement de signe, puis calculer l'ordonnée $f(a)$ pour donner les coordonnées complètes $(a,\, f(a))$.

Exemple entièrement traité

Étudions la convexité de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$.

Dérivée première : $f'(x) = 3x^2 - 3$.

Dérivée seconde : $f''(x) = 6x$.

Signe de $f''$ : $f''(x) = 6x > 0 \iff x > 0$, et $f''(x) < 0 \iff x < 0$.

Conclusion sur la convexité : $f$ est concave sur $]-\infty,\, 0]$ (là où $f'' \le 0$) et convexe sur $[0,\, +\infty[$ (là où $f'' \ge 0$).

Point d'inflexion : $f''(0) = 0$ et $f''$ change de signe en $0$ (négatif avant, positif après). Il y a donc bien un point d'inflexion. Son ordonnée : $f(0) = 0^3 - 3 \times 0 = 0$. Le point d'inflexion est $(0,\, 0)$.

Exemple 1 : un polynôme avec point d'inflexion

On étudie ensemble $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ sur $\mathbb{R}$.

On dérive une première fois : $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$. On n'en aura pas besoin pour la convexité, mais il faut passer par là pour pouvoir dériver de nouveau.

On dérive une seconde fois : $f''(x) = 6x - 12$. On factorise pour lire le signe plus vite : $f''(x) = 6(x - 2)$.

On cherche où $f''$ s'annule : $6(x - 2) = 0 \iff x = 2$.

On lit le signe : pour $x < 2$, $f''(x) < 0$ ; pour $x > 2$, $f''(x) > 0$.

On conclut : $f$ est concave sur $]-\infty,\, 2]$ et convexe sur $[2,\, +\infty[$.

Le signe change en $x = 2$, donc il y a un point d'inflexion. On calcule son ordonnée : $f(2) = 2^3 - 6 \times 2^2 + 9 \times 2 = 8 - 24 + 18 = 2$. Le point d'inflexion est $(2,\, 2)$.

Exemple 2 : le piège qui coûte des points

Maintenant une fonction qui a tout du piège de contrôle : $g(x) = x^4$ sur $\mathbb{R}$.

On dérive : $g'(x) = 4x^3$, puis $g''(x) = 12x^2$.

On remarque que $g''(0) = 12 \times 0^2 = 0$. Tentant de conclure « point d'inflexion en $0$ »... mais on ne se précipite pas.

On regarde le signe de $g''$ : $g''(x) = 12x^2 \ge 0$ pour tout $x$ (un carré est toujours positif). Le signe ne change pas : $g''$ reste positif de chaque côté de $0$.

Conclusion : $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$, et il n'y a pas de point d'inflexion en $0$, même si $g''(0) = 0$. La courbe est une vallée à fond plat, qui reste au-dessus de sa tangente horizontale.

La leçon à emporter : $f''(a) = 0$ ne suffit jamais. Il faut toujours vérifier le changement de signe.

Exemple 3 : une fonction concave

Dernier échauffement, avec la fonction logarithme : $h(x) = \ln(x)$ sur $]0,\, +\infty[$.

On dérive : $h'(x) = \dfrac{1}{x}$.

On dérive encore : $h''(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

On étudie le signe : pour tout $x > 0$, on a $x^2 > 0$, donc $-\dfrac{1}{x^2} < 0$. Ainsi $h''(x) < 0$ sur tout $]0,\, +\infty[$.

Conclusion : $h$ est concave sur $]0,\, +\infty[$. Pas de changement de signe, donc aucun point d'inflexion. La courbe du logarithme est bien un dôme, toujours en dessous de ses tangentes.

Problème type 1 : étude complète de convexité

Énoncé. Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ sur $\mathbb{R}$ et préciser son (ou ses) point(s) d'inflexion.

Rédaction attendue.

$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On calcule $f'(x) = 3x^2 - 6x$, puis $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

On étudie le signe de $f''$ : $6(x - 1) < 0 \iff x < 1$ et $6(x - 1) > 0 \iff x > 1$.

Donc $f$ est concave sur $]-\infty,\, 1]$ et convexe sur $[1,\, +\infty[$.

En $x = 1$ : $f''(1) = 0$ et $f''$ change de signe, donc la courbe admet un point d'inflexion. On calcule l'ordonnée : $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$. Le point d'inflexion est $(1,\, 2)$.

Ce que le correcteur attend : le calcul explicite de $f''$, une justification du signe (idéalement un tableau de signe), la conclusion donnée en intervalles, et surtout les deux coordonnées du point d'inflexion, pas seulement l'abscisse.

Problème type 2 : démontrer une inégalité par convexité

Énoncé. Démontrer que pour tout réel $x$, $e^x \ge 1 + x$.

C'est un grand classique : on utilise la propriété « une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes ».

Posons $f(x) = e^x$. Alors $f'(x) = e^x$ et $f''(x) = e^x$.

Or $e^x > 0$ pour tout $x$, donc $f''(x) > 0$ : la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$.

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes. Écrivons la tangente au point d'abscisse $0$ : son équation est $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

Comme $f(0) = e^0 = 1$ et $f'(0) = e^0 = 1$, cette tangente est $y = 1 + x$.

La courbe étant au-dessus de sa tangente, on obtient pour tout réel $x$ : $e^x \ge 1 + x$. C'est démontré.

Les pièges classiques à éviter

Trois erreurs reviennent à chaque contrôle. Coche-les mentalement avant de rendre ta copie.

• Croire que $f''(a) = 0$ donne un point d'inflexion. Faux à lui seul : il faut le changement de signe. Contre-exemple à garder en tête : $f(x) = x^4$, avec $f''(0) = 0$ mais $f''(x) = 12x^2 \ge 0$ partout — aucune inflexion en $0$.
• Confondre convexe et concave. Convexe : $f'' \ge 0$, forme de vallée, courbe au-dessus de ses tangentes. Concave : $f'' \le 0$, forme de dôme, courbe en dessous de ses tangentes.
• Oublier l'ordonnée du point d'inflexion. On donne toujours les deux coordonnées $(a,\, f(a))$, jamais l'abscisse toute seule.

Le lien caché : f convexe équivaut à f' croissante

La caractérisation par $f''$ n'a rien de magique : elle cache un autre point de vue, lui aussi au programme. Sur un intervalle $I$, les trois affirmations suivantes sont équivalentes :

$f$ convexe sur $I$ $\iff$ $f'$ croissante sur $I$ $\iff$ $f''(x) \ge 0$ sur $I$.

L'idée est très visuelle : dire que $f$ est convexe, c'est dire que la pente de la tangente augmente quand on avance vers la droite. Les tangentes sont de plus en plus inclinées vers le haut.

Et comme $f''$ mesure justement la variation de $f'$, on retrouve le critère : $f'$ croissante signifie exactement $f'' \ge 0$. Les trois formulations disent la même chose sous trois habits différents.

Idée de justification de la propriété des tangentes. Si les pentes des tangentes ne font qu'augmenter, alors de chaque côté du point de contact la courbe « remonte » plus vite que la tangente : elle reste donc au-dessus d'elle. C'est exactement « convexe = courbe au-dessus des tangentes ».

À quoi ça sert vraiment : optimisation et inégalités

Trouver un minimum sans se fatiguer. Pour une fonction convexe, un point où $f'$ s'annule n'est pas un point quelconque : c'est un minimum, et même le minimum global. Plus besoin de comparer plusieurs candidats. Cette idée est le cœur de l'optimisation, un domaine énorme dans le supérieur (économie, apprentissage automatique, physique).

Démontrer des inégalités. Tu l'as vu avec $e^x \ge 1 + x$. Le même principe, poussé plus loin, mène à l'inégalité de convexité (aussi appelée inégalité de Jensen) : pour une fonction convexe, l'image d'une moyenne est inférieure ou égale à la moyenne des images. Un outil que tu recroiseras en analyse et en probabilités.

Les fonctions de référence. Un réflexe à emporter : l'exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$, le logarithme est concave sur $]0,\, +\infty[$, et les paraboles $x \mapsto ax^2 + bx + c$ sont convexes si $a > 0$, concaves si $a < 0$. De quoi vérifier tes résultats d'un simple coup d'œil.

L'an prochain, la convexité ne sera plus un chapitre isolé : elle deviendra une propriété qu'on exploite partout, de l'étude de fonctions à l'optimisation. Tu pars avec une longueur d'avance.