Tu n'as jamais entendu parler d'équation différentielle et pourtant on t'annonce un contrôle sur y' = ay ? Pas de panique. C'est une notion toute neuve qui s'appuie sur la fonction exponentielle que tu connais déjà. On va la construire ensemble en partant de ce que tu sais, et tu vas voir que l'idée est très simple. Promis, dans 20 minutes tu sauras faire l'essentiel.
Avant de plonger, vérifions trois briques que tu as déjà vues en cours. 1. La dérivée de l'exponentielle : si $f(x) = e^{kx}$, alors $f'(x) = k e^{kx}$. Le nombre $k$ redescend devant. 2. Proportionnalité : dire que $A$ est proportionnel à $B$ signifie qu'il existe un nombre fixe $a$ tel que $A = a \times B$. Ici, on va parler de vitesse de variation proportionnelle à la quantité elle-même. 3. Résoudre une équation simple : isoler l'inconnue (par exemple $C = 7$ quand on sait que $C \cdot 1 = 7$).
Une équation différentielle, c'est une équation dont l'inconnue est une fonction (pas un nombre). L'équation $y' = ay$ dit simplement : la dérivée de la fonction $y$ est égale à $a$ fois la fonction $y$. Autrement dit, la pente de $y$ à chaque instant est proportionnelle à sa valeur. La seule famille de fonctions qui possède cette propriété est la famille exponentielle.
Solution générale : Toutes les fonctions solutions s'écrivent $y(x) = C\,e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelconque. Si on connaît la valeur de $y$ en un point (une "condition initiale"), on peut déterminer $C$ et obtenir une solution particulière.
Pour $y' = ay$ :
— Sans condition : $y(x) = C\,e^{ax}$ (une infinité de solutions, une par $C$).
— Avec $y(0) = y_0$ : $y(x) = y_0\,e^{ax}$ (car $C = y_0$).
— Avec $y(x_0) = y_0$ (où $x_0
eq 0$) : on trouve $C = y_0\,e^{-a x_0}$, puis on écrit $y(x) = y_0\,e^{a(x - x_0)}$.
On te donne $f(x) = 2e^{4x}$. Complète pour vérifier qu'elle est solution de $y' = 4y$.
$f'(x) = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times e^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
$4f(x) = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}}\,e^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Conclusion : $f'(x) \;\underline{\hspace{1.1em}}\; 4f(x)$ (écris le signe = ou ≠). Donc $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ de l'équation.
$f'(x) = 2 \times 4 \times e^{4x} = 8\,e^{4x}$.
$4f(x) = 4 \times 2\,e^{4x} = 8\,e^{4x}$.
Conclusion : $f'(x) = 4f(x)$. Donc $f$ est solution de l'équation.
Écris la solution générale des équations ci-dessous. Tu as juste à identifier $a$ et à placer $C$.
a) $y' = 3y$ : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}\,e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) $y' = -y$ : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}\,e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $y' = -\frac{1}{2}\,y$ : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}\,e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
a) $y' = 3y$ : $y(x) = C\,e^{3x}$
b) $y' = -y$ : $y(x) = C\,e^{-x}$
c) $y' = -\frac{1}{2}\,y$ : $y(x) = C\,e^{-x/2}$
Résous $y' = -2y$ avec $y(0) = 5$. Complète.
Solution générale : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}\,e^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Condition : $y(0) = \underline{\hspace{1.1em}} = 5$.
Solution particulière : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Solution générale : $y(x) = C\,e^{-2x}$.
Condition : $y(0) = C = 5$.
Solution particulière : $y(x) = 5\,e^{-2x}$.
Ah oui, cette histoire de dérivée proportionnelle à la fonction, ça te rappelle bien quelque chose. On va remettre tout ça en ordre avec une méthode claire pour vérifier, résoudre et exploiter la condition initiale. Après ce palier, tu auras la mécanique bien en main.
Définition : L'équation différentielle $y' = ay$ (avec $a$ réel fixé) a pour solutions toutes les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = C\,e^{ax}$, où $C \in \mathbb{R}$ est une constante. Si on impose $y(x_0) = y_0$, alors $C = y_0\,e^{-a x_0}$, ce qui donne la solution unique $y(x) = y_0\,e^{a(x - x_0)}$.
Deux usages :
— Calculer une longueur/un effectif (sens direct) : on connaît la forme $C e^{ax}$, on veut prédire une valeur.
— Retrouver le paramètre $a$ (problème inverse) : on connaît deux valeurs de $y$, on détermine $a$ puis $C$.
Pour résoudre y' = ay avec condition initiale :
1. Écrire la solution générale $y(x) = C e^{ax}$.
2. Remplacer $x$ par la valeur donnée dans la condition (souvent $0$) et écrire l'égalité avec $y_0$.
3. Résoudre pour trouver $C$ (si $x_0=0$, $C = y_0$ directement).
4. Réécrire la solution particulière avec la valeur de $C$ trouvée.
Vérifions que $f(x) = -3e^{5x}$ est solution de $y' = 5y$.
Calcule $f'(x)$ : $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Calcule $5f(x)$ : $5f(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Est-ce que $f'(x) = 5f(x)$ ? $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$f'(x) = -3 \times 5 e^{5x} = -15 e^{5x}$.
$5f(x) = 5 \times (-3 e^{5x}) = -15 e^{5x}$.
Oui, $f'(x) = 5f(x)$, donc $f$ est solution.
Détermine la solution de $y' = 4y$ avec $y(0) = -1$. Écris chaque étape dans les trous.
1. Solution générale : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
2. $y(0) = \underline{\hspace{1.1em}} = -1$.
3. Donc $C = \underline{\hspace{1.1em}}$.
4. Solution particulière : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
1. Solution générale : $y(x) = C e^{4x}$.
2. $y(0) = C = -1$.
3. Donc $C = -1$.
4. Solution particulière : $y(x) = -e^{4x}$.
Même chose pour $y' = -\frac{1}{3}y$ avec $y(0) = 6$.
1. Solution générale : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
2. $y(0) = \underline{\hspace{1.1em}} = 6$.
3. Donc $C = \underline{\hspace{1.1em}}$.
4. Solution particulière : $y(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
1. Solution générale : $y(x) = C e^{-x/3}$.
2. $y(0) = C = 6$.
3. Donc $C = 6$.
4. Solution particulière : $y(x) = 6 e^{-x/3}$.
Maintenant que la mécanique est en place, on va répéter les gestes de base. Cinq mini-exercices quasi identiques : faire rouler la solution générale et la condition initiale jusqu'à ce que ça devienne automatique. Tu te sentiras en confiance, c'est le but.
Résous $y' = 2y$ avec $y(0) = 4$.
Solution générale : $y(x) = C e^{2x}$. $y(0) = C = 4$. Solution particulière : $y(x) = 4 e^{2x}$.
Résous $y' = 2y$ avec $y(0) = 7$.
Solution générale : $y(x) = C e^{2x}$. $y(0) = C = 7$. Solution particulière : $y(x) = 7 e^{2x}$.
Résous $y' = 1,5y$ avec $y(0) = 10$.
Solution générale : $y(x) = C e^{1,5x}$. $y(0) = C = 10$. Solution particulière : $y(x) = 10 e^{1,5x}$.
Résous $y' = -3y$ avec $y(0) = -2$.
Solution générale : $y(x) = C e^{-3x}$. $y(0) = C = -2$. Solution particulière : $y(x) = -2 e^{-3x}$.
Résous $y' = -0,5y$ avec $y(0) = 1$.
Solution générale : $y(x) = C e^{-0,5x}$. $y(0) = C = 1$. Solution particulière : $y(x) = e^{-0,5x}$.
Voici le niveau attendu pour le contrôle ou le bac. Des exercices variés, avec condition initiale en x=0 ou ailleurs, recherche de paramètres, et un problème concret de désintégration. Tu vas pouvoir montrer que tu maîtrises complètement le sujet.
Vérifie que $f(x) = -4e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$.
$f'(x) = -4 \times 2 e^{2x} = -8e^{2x}$. $2f(x) = 2 \times (-4e^{2x}) = -8e^{2x}$. On a bien $f'(x) = 2f(x)$, donc $f$ est solution.
Détermine la solution de chaque équation vérifiant la condition donnée :
a) $y' = 6y$, $y(0) = -\frac{1}{2}$
b) $y' = -y$, $y(0) = 8$
c) $y' = 2y$, $y(1) = e^6$
a) $y(x) = Ce^{6x}$, $y(0) = C = -\frac{1}{2}$ donc $y(x) = -\frac{1}{2}e^{6x}$.
b) $y(x) = Ce^{-x}$, $y(0) = C = 8$ donc $y(x) = 8e^{-x}$.
c) $y(x) = Ce^{2x}$, $y(1) = Ce^{2} = e^{6}$ donc $C = e^{6}/e^{2} = e^{4}$. $y(x) = e^{4}e^{2x} = e^{2x+4}$.
Une fonction $y$ est solution de $y' = ay$ et vérifie $y(0) = 6$ et $y(2) = 54$.
a) Exprime $y(x)$ sous la forme $y(x) = C e^{ax}$ et déduis-en $C$.
b) Détermine $a$.
c) Écris $y(x)$ sous la forme $y(x) = k \cdot n^x$.
a) $y(x) = C e^{ax}$, $y(0) = C = 6$, donc $y(x) = 6 e^{ax}$.
b) $y(2) = 6 e^{2a} = 54$, donc $e^{2a} = 9$. Ainsi $2a = \ln 9$ soit $a = \frac{1}{2}\ln 9 = \ln 3$.
c) $y(x) = 6 e^{x \ln 3} = 6 \cdot (e^{\ln 3})^x = 6 \cdot 3^x$.
La masse $m(t)$ en grammes d'un isotope radioactif vérifie $m'(t) = -0{,}04\,m(t)$ où $t$ est en années, avec $m(0) = 150$ g.
a) Donne la solution générale de cette équation.
b) Détermine $m(t)$ en utilisant la condition initiale.
c) Calcule la masse après 25 ans (forme exacte puis valeur approchée au dixième de gramme).
a) Solution générale : $m(t) = C e^{-0,04 t}$.
b) $m(0) = C = 150$, donc $m(t) = 150 e^{-0,04 t}$.
c) $m(25) = 150 e^{-0,04 \times 25} = 150 e^{-1} = \frac{150}{e}$. Valeur approchée : $150 / 2,718 \approx 55,2$ g.
Une fonction $f$ est solution de $y' = ay$ et vérifie $f(0) = 1$ et $f(2) = 16$.
a) Détermine $a$.
b) En utilisant la propriété $f(u+v) = f(u)\cdot f(v)$, calcule $f(1)$ et $f(3)$ sans recalculer $a$.
c) Déduis-en $f(6)$.
a) $f(x) = e^{ax}$ car $C = 1$. $f(2) = e^{2a} = 16$ donc $e^{a} = 4$, $a = \ln 4$.
b) $f(1) = e^{a} = 4$. $f(3) = f(2+1) = f(2)f(1) = 16 \times 4 = 64$.
c) $f(6) = f(2+2+2) = f(2)^3 = 16^3 = 4096$.
Tu maîtrises parfaitement y' = ay. Voyons maintenant ce qui se cache juste après dans les programmes post-bac : des équations plus riches, des modèles plus fins, et un lien très fort avec les probabilités continues. Ce ne sont pas des attendus de Terminale, mais tu vas comprendre pourquoi cette brique est si fondamentale.
En physique, on rencontre la loi de refroidissement de Newton : $T'(t) = -k\,(T(t) - T_{\text{ext}})$, où $T_{\text{ext}}$ est la température ambiante constante. Pose $u(t) = T(t) - T_{\text{ext}}$. Montre que $u$ vérifie une équation du type $u' = -k u$ et exprime $T(t)$ si $T(0) = T_0$.
$u'(t) = T'(t) - 0 = -k (T(t) - T_{\text{ext}}) = -k u(t)$. Donc $u$ satisfait $u' = -k u$, ce qui donne $u(t) = C e^{-kt}$. $u(0) = T_0 - T_{\text{ext}} = C$. D'où $T(t) = T_{\text{ext}} + (T_0 - T_{\text{ext}}) e^{-kt}$.
Une population $P(t)$ croît selon $P'(t) = 0{,}02 P(t)$ avec $P(0) = 1000$. À quel instant $t$ la population aura-t-elle doublé ? Résous et exprime $t$ à l'aide d'un logarithme, puis donne une valeur approchée à l'unité si $\ln 2 \approx 0{,}693$.
$P(t) = 1000 e^{0,02 t}$. On cherche $t$ tel que $1000 e^{0,02 t} = 2000$, soit $e^{0,02 t} = 2$. Donc $0{,}02 t = \ln 2$, $t = \frac{\ln 2}{0{,}02} \approx \frac{0{,}693}{0{,}02} = 34{,}65$, soit environ $35$ unités de temps.
Question ouverte : En probabilités continues, la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ a pour densité $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$. Sa fonction de répartition $F(t) = P(X \leq t)$ vérifie $F'(t) = \lambda(1 - F(t))$. Explique pourquoi c'est cohérent avec l'idée que le taux de défaillance est constant et relie cela à l'équation $y' = ay$ en posant $y = 1 - F$.
En posant $y(t) = 1 - F(t)$, on a $y'(t) = -F'(t)$. Or $F'(t) = \lambda (1 - F(t)) = \lambda y(t)$, donc $y'(t) = -\lambda y(t)$. C'est l'équation $y' = -\lambda y$. La solution avec $y(0) = 1 - 0 = 1$ est $y(t) = e^{-\lambda t}$, d'où $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$ et $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$. Cela illustre le lien direct entre équation différentielle et loi de durée de vie sans mémoire.
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