Équations différentielles y' = ay — Exercices

De la vérification à la modélisation. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée pour l'exercice 4

1Vérification et solution générale/ 4 pts

Répondre aux trois questions.

Montrer que $f(x) = -4e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$.
Écrire la solution générale de $y' = 5y$.
Écrire la solution générale de $y' = -\dfrac{1}{2}\,y$.

2Condition initiale/ 6 pts

Déterminer la solution de chaque équation différentielle vérifiant la condition initiale donnée.

$y' = 3y$, $\quad y(0) = 2$
$y' = -y$, $\quad y(0) = -5$
$y' = 2y$, $\quad y(1) = e^4$

3Retrouver les paramètres/ 4 pts

Une fonction $y$ est solution de $y' = ay$ et vérifie $y(0) = 3$ et $y(1) = 12$.

Exprimer $y(x)$ à l'aide de $a$.
Déterminer $a$ (résultat sous forme logarithmique accepté).
Écrire la solution sous la forme $y(x) = k \cdot n^x$ avec $k, n \in \mathbb{R}$.

4Désintégration radioactive/ 6 pts

La masse $m(t)$ (en grammes) d'un isotope radioactif vérifie $m'(t) = -0{,}05\cdot m(t)$, $t$ étant exprimé en années. À $t = 0$, on a $m(0) = 200$ g.

Donner la solution générale de cette équation différentielle.
Déterminer $m(t)$ en utilisant la condition initiale.
Calculer la masse après $20$ ans : donner d'abord la forme exacte, puis une valeur approchée au dixième de gramme.

5Calcul sans calculatrice/ 5 pts

Une fonction $f$ est solution de $y' = ay$ et vérifie $f(0) = 1$ et $f(2) = 9$.

Déterminer $a$.
Calculer $f(1)$, puis $f(3)$, en exploitant la propriété $f(x+y) = f(x)\cdot f(y)$ plutôt qu'en recalculant $a$.
Calculer $f(6)$.

Corrigé détaillé

1Vérification et solution générale

a) $f'(x) = -4 \times 2\,e^{2x} = -8e^{2x} \quad ; \quad 2f(x) = 2 \times (-4e^{2x}) = -8e^{2x}$ $f'(x) = 2f(x) : f \text{ est solution.}$

b) $a = 5$ $y(x) = Ce^{5x}, \quad C \in \mathbb{R}$

c) $a = -\dfrac{1}{2}$ $y(x) = Ce^{-\frac{x}{2}}, \quad C \in \mathbb{R}$

2Condition initiale

a) $y(x) = Ce^{3x} \quad ; \quad y(0) = C = 2$ $y(x) = 2e^{3x}$

b) $y(x) = Ce^{-x} \quad ; \quad y(0) = C = -5$ $y(x) = -5e^{-x}$

c) $y(x) = Ce^{2x} \quad ; \quad y(1) = Ce^{2} = e^4 \implies C = \dfrac{e^4}{e^2} = e^2$ $y(x) = e^2 \cdot e^{2x} = e^{2x+2}$

3Retrouver les paramètres

a) $y(0) = C = 3$ $y(x) = 3e^{ax}$

b) $y(1) = 3e^{a} = 12 \implies e^{a} = 4 \implies a = \ln 4$ $a = \ln 4$

c) $y(x) = 3e^{x\ln 4} = 3\cdot(e^{\ln 4})^x = 3\cdot 4^x$ $y(x) = 3 \times 4^x$

4Désintégration radioactive

a) $a = -0{,}05$ $m(t) = Ce^{-0{,}05\,t}, \quad C \in \mathbb{R}$

b) $m(0) = C = 200$ $m(t) = 200\,e^{-0{,}05\,t}$

c) $m(20) = 200\,e^{-0{,}05 \times 20} = 200\,e^{-1} = \dfrac{200}{e}$ $\dfrac{200}{e} \approx 73{,}6 \text{ g}$

5Calcul sans calculatrice

a) $f(x) = e^{ax} \text{ (car } f(0)=1 \Rightarrow C=1\text{)} \quad ; \quad f(2)=e^{2a}=9 \implies e^{a}=3 \implies a=\ln 3$ $a = \ln 3$

b) $f(1) = e^{a} = 3 \quad ; \quad f(3) = f(2+1) = f(2)\cdot f(1) = 9 \times 3 = 27$ $f(1) = 3, \quad f(3) = 27$

c) $f(6) = f(2+2+2) = f(2)^3 = 9^3$ $f(6) = 729$