Équations différentielles y' = ay

Les prérequis, en deux lignes

Avant tout, il faut être à l'aise avec deux choses déjà vues cette année.

1. La dérivée. Une fonction $y$ possède une dérivée notée $y'$, qui mesure sa vitesse de variation.

2. La fonction exponentielle. Sa propriété magique : $(e^{ax})' = a\,e^{ax}$. Quand tu dérives une exponentielle, tu récupères la même exponentielle multipliée par $a$. Retiens ça, c'est tout le secret de la notion.

L'essentiel et la formule clé

Une équation différentielle, c'est une équation dont l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction. L'équation $y' = ay$ (avec $a$ un nombre fixé) se lit : « la dérivée de $y$ est égale à $a$ fois $y$ ». On cherche toutes les fonctions qui vérifient cette relation.

La formule à retenir : les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $y(x) = C\,e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelconque.

S'il y a en plus une condition initiale $y(0) = y_0$, alors $C = y_0$ et la solution devient $y(x) = y_0\,e^{ax}$.

Un exemple fait en entier

Résolvons $y' = -2y$ avec la condition $y(0) = 7$.

Étape 1. J'écris la solution générale : $y(x) = C\,e^{-2x}$ (ici $a = -2$).

Étape 2. J'utilise la condition initiale : $y(0) = C\,e^{0} = C$, donc $C = 7$.

Étape 3. Je conclus : $y(x) = 7\,e^{-2x}$.

Et voilà : trois lignes, un contrôle sauvé.

Les définitions propres

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à ses dérivées. L'équation $y' = ay$ est dite du premier ordre (elle ne fait intervenir que la dérivée première $y'$) et linéaire.

Le nombre $a \in \mathbb{R}$ est fixé : c'est une donnée du problème. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que, pour tout $x$, $y'(x) = a\,y(x)$.

Intuition : $y' = ay$ dit que la vitesse de variation de $y$ est proportionnelle à $y$ elle-même. Plus $y$ est grand, plus il varie vite : c'est la signature de l'exponentielle. Ce modèle décrit la désintégration radioactive ($a \lt 0$), la croissance bactérienne ($a \gt 0$), le refroidissement de Newton ou les intérêts composés en temps continu.

La solution générale et les deux cas

Théorème. Les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions $y(x) = C\,e^{ax}$, où $C$ décrit $\mathbb{R}$. Il y en a donc une infinité : une par valeur de $C$.

La constante $C$ se fixe grâce à une condition initiale. Deux cas à distinguer.

Cas 1 — la condition est en $0$ : si $y(0) = y_0$, alors $y(0) = C\,e^{0} = C$, donc $C = y_0$ directement, et $y(x) = y_0\,e^{ax}$.

Cas 2 — la condition est en $x_0 \neq 0$ : si $y(x_0) = y_0$, alors $y_0 = C\,e^{a x_0}$, d'où $C = y_0\,e^{-a x_0}$.

Autre lecture, selon le signe de $a$ : si $a \gt 0$ et $C \gt 0$, la solution croît vers l'infini ; si $a \lt 0$, elle tend vers $0$. Et le signe de $C$ suit celui de $y_0$ : si $y_0 \lt 0$, alors $C \lt 0$.

Deux exemples traités

Exemple A — vérifier qu'une fonction est solution. Montrons que $f(x) = 5\,e^{3x}$ est solution de $y' = 3y$.

On dérive : $f'(x) = 5 \times 3\,e^{3x} = 15\,e^{3x}$.

On calcule le second membre : $3f(x) = 3 \times 5\,e^{3x} = 15\,e^{3x}$.

Les deux sont égaux : $f'(x) = 3f(x)$, donc $f$ est bien solution.

Exemple C — condition initiale hors de zéro. Résolvons $y' = 2y$ avec $y(1) = 6$.

Solution générale : $y(x) = C\,e^{2x}$.

Condition : $y(1) = C\,e^{2} = 6$, donc $C = 6\,e^{-2}$.

Solution particulière : $y(x) = 6\,e^{-2}\,e^{2x} = 6\,e^{2x-2}$.

Exemple type 1 : la condition est en zéro

Énoncé : trouver la fonction $y$ telle que $y' = 3y$ et $y(0) = 5$.

Ligne 1. Je reconnais la forme $y' = ay$ avec $a = 3$. Réflexe immédiat : la solution générale est $y(x) = C\,e^{ax}$, donc ici $y(x) = C\,e^{3x}$.

Pourquoi ? Parce que dériver $C\,e^{3x}$ redonne $3C\,e^{3x} = 3 \times y$ : la forme colle toute seule à l'équation.

Ligne 2. J'utilise la condition initiale. On me donne la valeur en $0$, donc j'écris $y(0) = C\,e^{3 \times 0} = C\,e^{0} = C$.

Ligne 3. Comme $y(0) = 5$, j'obtiens $C = 5$. La condition en $0$ livre directement la constante : c'est le cas le plus simple.

Ligne 4. Je remplace et je conclus : $y(x) = 5\,e^{3x}$. On réécrit toujours la solution en clair à la fin, le correcteur veut la voir.

Exemple type 2 : la condition est hors de zéro

Énoncé : résoudre $y' = -0{,}5\,y$ avec $y(2) = 4$.

Ligne 1. Forme $y' = ay$ avec $a = -0{,}5$. Solution générale : $y(x) = C\,e^{-0{,}5x}$.

Ligne 2. Cette fois la condition est en $x_0 = 2$, pas en $0$. Attention : on ne peut plus lire $C$ directement. J'écris $y(2) = C\,e^{-0{,}5 \times 2} = C\,e^{-1}$.

Ligne 3. Comme $y(2) = 4$ : $C\,e^{-1} = 4$, donc $C = 4\,e^{1} = 4e$. (On multiplie par $e^{1}$ pour isoler $C$.)

Ligne 4. Conclusion : $y(x) = 4e \times e^{-0{,}5x} = 4\,e^{1 - 0{,}5x}$. Regrouper les exponentielles rend la réponse plus propre.

Exemple type 3 : je vérifie une solution proposée

Énoncé : la fonction $g(x) = -3\,e^{4x}$ est-elle solution de $y' = 4y$ ?

Ligne 1. Je calcule la dérivée : $g'(x) = -3 \times 4\,e^{4x} = -12\,e^{4x}$.

Ligne 2. Je calcule le second membre : $4\,g(x) = 4 \times (-3\,e^{4x}) = -12\,e^{4x}$.

Ligne 3. Les deux résultats coïncident : $g'(x) = 4\,g(x)$. Donc oui, $g$ est bien solution.

Au passage, remarque que $C = -3$ est négatif : c'est parfaitement autorisé. La constante peut être de n'importe quel signe.

Un problème concret entièrement résolu : la radioactivité

Énoncé. Un échantillon radioactif a une masse $N(t)$ (en grammes) au bout de $t$ années. Elle vérifie $N' = -0{,}02\,N$ avec $N(0) = 100$. 1) Exprimer $N(t)$. 2) Au bout de combien de temps la masse est-elle réduite de moitié ?

1) Résolution. On a la forme $y' = ay$ avec $a = -0{,}02$. Solution générale : $N(t) = C\,e^{-0{,}02t}$.

Condition initiale en $0$ : $N(0) = C = 100$. Donc $N(t) = 100\,e^{-0{,}02t}$.

2) Demi-vie. On cherche $t$ tel que $N(t) = 50$ (la moitié de $100$).

$100\,e^{-0{,}02t} = 50$, soit $e^{-0{,}02t} = 0{,}5$.

On applique le logarithme népérien : $-0{,}02\,t = \ln(0{,}5)$.

Donc $t = \dfrac{\ln(0{,}5)}{-0{,}02} = \dfrac{\ln 2}{0{,}02} \approx 34{,}7$ années (on a utilisé $\ln(0{,}5) = -\ln 2$).

La masse est réduite de moitié au bout d'environ $35$ ans : c'est la demi-vie de l'échantillon.

Ce que le correcteur attend et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points.

• Toujours écrire d'abord la solution générale $y(x) = C\,e^{ax}$ avant d'utiliser la condition initiale : c'est une étape notée.
• Justifier le calcul de $C$ à partir de la condition, ne pas le sortir du chapeau.
• Réécrire la solution particulière en clair à la fin, encadrée si possible.

Les pièges où l'on perd des points.

• Oublier la constante $C$ : $y = e^{ax}$ n'est qu'une solution parmi toutes les $C\,e^{ax}$.
• Confondre $y' = ay$ avec $y' = a$ : la première a pour solutions les exponentielles $C\,e^{ax}$, la seconde les fonctions affines $y = ax + b$. Rien à voir.
• Mal dériver l'exponentielle : $(e^{ax})' = a\,e^{ax}$, ce n'est ni $e^{ax}$, ni $a x\,e^{ax-1}$ (l'exponentielle n'est pas une puissance).
• Croire que $C \gt 0$ forcément : si la condition donne $y_0 \lt 0$, alors $C \lt 0$.
• Traiter une condition hors de zéro comme en zéro : si on donne $y(x_0)$ avec $x_0 \neq 0$, il faut résoudre $C\,e^{a x_0} = y_0$, donc $C = y_0\,e^{-a x_0}$ ; on ne peut pas lire $C = y_0$.

Pourquoi TOUTES les solutions sont des exponentielles

Le cours affirme que les solutions sont les $C\,e^{ax}$. Vérifier que $C\,e^{ax}$ marche est facile ; le vrai travail est de montrer qu'il n'y en a pas d'autres. Voici l'idée de la démonstration.

Soit $y$ une solution quelconque de $y' = ay$. On introduit la fonction auxiliaire $g(x) = y(x)\,e^{-ax}$.

On la dérive avec la règle du produit : $g'(x) = y'(x)\,e^{-ax} + y(x)\times(-a)\,e^{-ax} = \big(y'(x) - a\,y(x)\big)\,e^{-ax}$.

Or $y$ est solution, donc $y'(x) - a\,y(x) = 0$. Il reste $g'(x) = 0$ pour tout $x$.

Une fonction dont la dérivée est nulle sur $\mathbb{R}$ est constante : $g(x) = C$. Donc $y(x)\,e^{-ax} = C$, c'est-à-dire $y(x) = C\,e^{ax}$.

Conclusion : il n'existe aucune autre forme de solution. L'astuce de multiplier par $e^{-ax}$ pour « geler » l'équation est un grand classique qui resservira.

L'étape suivante : l'équation y' = ay + b

Le programme de terminale prolonge tout de suite $y' = ay$ en $y' = ay + b$ (avec $b$ constant et $a \neq 0$). L'idée : on cherche d'abord la solution constante évidente. Si $y$ est constante, alors $y' = 0$, donc $0 = ay + b$, d'où $y = -\dfrac{b}{a}$.

Les solutions complètes s'écrivent alors $y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ : la même exponentielle qu'avant, décalée de la constante $-\dfrac{b}{a}$. Cette valeur est une asymptote horizontale vers laquelle la solution se rapproche lorsque $a \lt 0$.

C'est exactement le modèle du refroidissement de Newton (un café qui tiédit vers la température de la pièce) ou d'un condensateur qui se charge : d'où l'importance de la notion bien au-delà des maths.

Vers l'an prochain et au-delà

Où mène cette notion ?

• Lien avec les primitives. Résoudre $y' = ay$, c'est retrouver une fonction à partir d'une relation sur sa dérivée : c'est cousin du calcul de primitives, un autre grand chapitre de terminale.
• En sciences physiques. La même équation gouverne la charge d'un condensateur (circuit RC), la vitesse d'un objet freiné par les frottements, ou la concentration d'un médicament dans le sang.
• Après le bac. On rencontre des équations plus riches : $y'' + \omega^2 y = 0$ (oscillations, ressorts, ondes), des équations à coefficients variables, ou des systèmes couplés. Toutes reposent sur le réflexe que tu viens d'acquérir : deviner la forme des solutions, puis fixer les constantes avec les conditions initiales.

Tu tiens là l'une des équations les plus utiles de toutes les mathématiques appliquées. Pas mal, pour trois lignes de calcul.