Équations différentielles y' = ay

Toute fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle.

1 L'idée

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à ses dérivées. L'équation $y' = ay$ (avec $a \in \mathbb{R}$ fixé) exprime que la vitesse de variation de $y$ est proportionnelle à $y$ elle-même.

Cette équation modélise de nombreux phénomènes naturels : désintégration radioactive ($a \lt 0$), croissance bactérienne ($a \gt 0$), refroidissement de Newton, intérêts composés en temps continu.

2 Solution générale

Solution générale de y' = ay

$y(x) = C\,e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$

Condition initiale y(0) = y₀

$y(x) = y_0\,e^{ax}$

Condition initiale y(x₀) = y₀

$C = y_0\,e^{-ax_0}$

3 Exemples

Exemple A — Vérification

Montrons que $f(x) = 5e^{3x}$ est solution de $y' = 3y$.

$f'(x) = 5 \times 3\,e^{3x} = 15e^{3x}$

$3f(x) = 3 \times 5\,e^{3x} = 15e^{3x}$

On a bien $f'(x) = 3f(x)$ : $f$ est solution.

Exemple B — Condition initiale

Résoudre $y' = -2y$ avec $y(0) = 7$.

Solution générale : $y(x) = Ce^{-2x}$.

$y(0) = C \cdot e^0 = C = 7$.

Solution particulière : $y(x) = 7e^{-2x}$.

Méthode — Résoudre y' = ay avec condition initiale

Écrire la solution générale : $y(x) = Ce^{ax}$.
Substituer la condition initiale $y(x_0) = y_0$.
Si $x_0 = 0$ : directement $C = y_0$.
Si $x_0 \neq 0$ : calculer $C = y_0\,e^{-ax_0}$.
Écrire la solution particulière en clair.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante : $y = e^{ax}$ n'est qu'une solution parmi toutes les $Ce^{ax}$.
Confondre $y' = ay$ (exponentielle) avec $y' = a$ (affine $y = ax + b$).
Dériver incorrectement : $(e^{ax})' = a\,e^{ax}$, pas $e^{ax}$, ni $axe^{ax-1}$.
Penser que $C$ est forcément positif : si $y_0 \lt 0$, alors $C \lt 0$.