Fiche Mathématiques Terminale — Fonction logarithme népérien

Contrôle sur le logarithme népérien dans quelques jours et le petit mot « ln » ne t'évoque strictement rien ? Respire. En dix minutes tu auras l'essentiel : à quoi sert cette fonction, les trois ou quatre formules qui rapportent des points, et un calcul déroulé en entier. Le logarithme a l'air d'un code secret ; en vrai, c'est juste l'exponentielle qui fonctionne à l'envers.

Les prérequis + l'essentiel + les formules à connaître

Ce qu'il faut déjà savoir (rien de méchant) : ce qu'est une fonction, ce qu'est l'exponentielle $x\mapsto e^x$, et le fait que $e^a\times e^b=e^{a+b}$ et $(e^a)^n=e^{na}$. C'est tout.

L'essentiel en mots simples. La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la réciproque de l'exponentielle : c'est la machine qui défait ce que $e^x$ a fait. Deux choses à retenir tout de suite : elle n'est définie que pour des nombres strictement positifs (interdit de mettre $0$ ou un négatif dedans), et son super-pouvoir est de transformer les produits en sommes.

Réciproque de exp

$\ln(e^x)=x$
$e^{\ln x}=x$

Produit → somme

$\ln(ab)=\ln a+\ln b$

Valeurs clés

$\ln 1=0$
$\ln e=1$

Dérivée

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$

Sur la courbe ci-dessous, retiens l'allure : $\ln$ monte toujours, elle traverse l'axe en $x=1$ (car $\ln 1=0$) et passe par le point $(e\,;1)$. Quand $x$ se rapproche de $0$, la courbe plonge vers $-\infty$.

Un exemple fait en entier

Un grand classique de contrôle : « simplifier une expression avec des $e$ dedans ». L'idée est toujours la même : tout réécrire sous la forme $e^{\text{quelque chose}}$, puis utiliser $\ln(e^k)=k$.

Exemple entièrement traité — simplifier $\ln\!\left(e^3\sqrt{e}\right)$

Étape 1 — on réécrit la racine en puissance. Une racine carrée, c'est une puissance $\tfrac12$ : $\sqrt{e}=e^{\frac12}$.

Étape 2 — on regroupe les puissances de $e$. On additionne les exposants : $e^3\times e^{\frac12}=e^{3+\frac12}=e^{\frac72}$.

Étape 3 — on applique $\ln(e^k)=k$. Ici $k=\dfrac72$, donc $\ln\!\left(e^3\sqrt{e}\right)=\ln\!\left(e^{\frac72}\right)=\dfrac72$.

Conclusion : $\ln\!\left(e^3\sqrt{e}\right)=\dfrac72$. Pas de calculatrice, pas de décimales : le $\ln$ et le $e$ se sont annulés.

Tu as déjà croisé le « ln » en classe et là c'est un peu la brume. On remet tout d'aplomb : la définition propre, les valeurs à connaître par cœur, les quatre règles de calcul et la dérivée. Rien de neuf, juste bien rangé.

Définition propre et valeurs remarquables

La fonction logarithme népérien $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$. On peut la voir de deux façons, équivalentes :

c'est l'unique primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ qui vaut $0$ en $1$ ;
c'est la fonction réciproque de l'exponentielle. Concrètement : $\ln(e^x)=x$ pour tout réel $x$, et $e^{\ln x}=x$ pour tout $x\gt 0$.

Deux valeurs à connaître absolument : $\boxed{\ln 1=0}$ et $\boxed{\ln e=1}$. La fonction est strictement croissante sur son domaine.

De la stricte croissance et de la réciprocité découlent trois équivalences qui servent à résoudre les équations et inéquations (avec $a\gt 0$ et $b\gt 0$) :

Égalité

$\ln a=\ln b \iff a=b$

Inégalité

$\ln a\lt \ln b \iff a\lt b$

Résoudre $\ln x=k$

$\ln x=k \iff x=e^{k}$

Mini-exemple — résoudre $\ln x=2$

On applique la dernière équivalence : $\ln x=2 \iff x=e^{2}$. On vérifie que $e^2\gt 0$ : la solution est bien dans le domaine. Donc $x=e^2$.

Les propriétés algébriques

Ce sont les règles qui font tout le travail dans les calculs. Elles sont valables pour $a\gt 0$, $b\gt 0$ et $n$ entier (ou réel) :

Somme

$\ln(ab)=\ln a+\ln b$

Différence

$\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$

Puissance

$\ln(a^{n})=n\ln a$

Inverse

$\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln a$

La logique à garder en tête : le $\ln$ fait descendre d'un cran chaque opération. Un produit devient une somme, un quotient une différence, une puissance un simple facteur devant. C'est exactement l'inverse de l'exponentielle, qui elle fait tout remonter.

Exemple traité — exprimer $\ln 8$ en fonction de $\ln 2$

On remarque que $8=2^3$.

On applique la règle de la puissance : $\ln 8=\ln(2^3)=3\ln 2$.

Conclusion : $\ln 8=3\ln 2$. (Au passage, $\ln 4=\ln(2^2)=2\ln 2$ : toutes les puissances de $2$ s'expriment avec le seul nombre $\ln 2$.)

Dérivée, variations et limites

La dérivée de $\ln$ est très simple, et c'est elle qui explique la croissance :

Dérivée

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$

Dérivée composée

$\bigl(\ln u(x)\bigr)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Sur $]0\,;+\infty[$, on a $\dfrac{1}{x}\gt 0$ : la dérivée est toujours positive, donc $\ln$ est strictement croissante. Voilà pourquoi. Les comportements aux bornes du domaine :

Limite en $0^+$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$

Limite en $+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$

Croissances comparées

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$

Les deux croissances comparées disent une seule chose, très utile : face à $\ln$, la puissance de $x$ « gagne ». En $+\infty$, $x$ écrase $\ln x$ (le quotient tend vers $0$) ; en $0^+$, $x$ ramène $x\ln x$ vers $0$ malgré le $-\infty$. Tout ceci se résume dans le tableau de variations ci-dessous.

On a la méthode, on la fait tourner ensemble. Trois exemples rédigés ligne à ligne, comme sur une copie : ne les survole pas, refais chaque étape dans ta tête, c'est là que ça rentre pour de vrai.

On simplifie une expression

Objectif : transformer une somme de logarithmes en un seul $\ln$, en remontant les règles à l'envers (un facteur devant redevient une puissance, une somme redevient un produit).

On le fait ensemble — simplifier $A=2\ln 3+\ln 5-\ln 45$

Ligne 1. On s'occupe d'abord du « $2$ » devant $\ln 3$ : la règle de la puissance dit que $2\ln 3=\ln(3^2)=\ln 9$.

Ligne 2. On réécrit : $A=\ln 9+\ln 5-\ln 45$.

Ligne 3. On regroupe la somme $\ln 9+\ln 5$ en un produit : $\ln 9+\ln 5=\ln(9\times 5)=\ln 45$.

Ligne 4. Donc $A=\ln 45-\ln 45$.

Ligne 5. La différence de deux logarithmes égaux fait $0$ (ou, si tu préfères : $\ln 45-\ln 45=\ln\tfrac{45}{45}=\ln 1=0$).

Conclusion : $A=0$. Astuce de vérification : quand tout se simplifie à $\ln 1$, on tombe sur $0$.

On résout une équation

La règle d'or : on commence toujours par le domaine (les arguments des $\ln$ doivent être strictement positifs), puis on utilise $\ln A=\ln B \iff A=B$, et à la fin on garde seulement les solutions qui respectent le domaine.

On le fait ensemble — résoudre $\ln x+\ln(x-2)=\ln 3$

Étape 1 — le domaine. Il faut $x\gt 0$ et $x-2\gt 0$, c'est-à-dire $x\gt 2$. On cherchera donc uniquement des solutions dans $]2\,;+\infty[$.

Étape 2 — on regroupe le membre de gauche. $\ln x+\ln(x-2)=\ln\bigl(x(x-2)\bigr)$. L'équation devient $\ln\bigl(x(x-2)\bigr)=\ln 3$.

Étape 3 — on « enlève les $\ln$ » grâce à $\ln A=\ln B\iff A=B$ : $x(x-2)=3$.

Étape 4 — on résout l'équation du second degré. $x^2-2x-3=0$. On factorise : $(x-3)(x+1)=0$, donc $x=3$ ou $x=-1$.

Étape 5 — on trie avec le domaine. $x=-1$ n'est pas dans $]2\,;+\infty[$ : on la rejette. $x=3$ est bien $\gt 2$ : on la garde.

Conclusion : l'unique solution est $x=3$.

On dérive une fonction avec ln

Ici l'outil unique est la dérivée composée $\bigl(\ln u\bigr)'=\dfrac{u'}{u}$. Le réflexe : repérer le « $u$ » (ce qui est dans le $\ln$), calculer $u'$, puis écrire le quotient.

On le fait ensemble — dériver $f(x)=\ln(x^2+1)$

Ligne 1. On pose $u(x)=x^2+1$. Bonne nouvelle : $u(x)\gt 0$ pour tout $x$, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Ligne 2. On dérive $u$ : $u'(x)=2x$.

Ligne 3. On applique la formule : $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2x}{x^2+1}$.

Deuxième exemple — dériver $g(x)=x\ln x$ (sur $]0\,;+\infty[$)

Ligne 1. C'est un produit de deux fonctions : $u=x$ et $v=\ln x$. On utilise $(uv)'=u'v+uv'$.

Ligne 2. On a $u'=1$ et $v'=(\ln x)'=\dfrac1x$.

Ligne 3. Donc $g'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac1x=\ln x+1$.

Conclusion : $g'(x)=\ln x+1$. (Ce résultat resservira : il montre au passage que $x\ln x$ a un minimum là où $\ln x+1=0$, soit en $x=e^{-1}$.)

On vise maintenant les points qui font la différence sur la copie : l'étude de fonction complète, l'inéquation avec $\ln$ proprement posée, et surtout le réflexe qui sauve la note — le domaine d'abord, toujours.

Étude complète d'une fonction — le problème type

Le grand classique du contrôle et du bac : étudier une fonction contenant un $\ln$. On déroule toujours le même plan : domaine → dérivée → signe → variations → limites.

Problème résolu — étudier $f(x)=x-\ln x$

1) Domaine. $\ln x$ n'existe que pour $x\gt 0$, donc $f$ est définie sur $]0\,;+\infty[$.

2) Dérivée. $f'(x)=1-\dfrac{1}{x}$. On la met sur le même dénominateur : $f'(x)=\dfrac{x-1}{x}$.

3) Signe de $f'$. Sur $]0\,;+\infty[$ le dénominateur $x$ est positif : le signe de $f'$ est donc celui de $x-1$. Ainsi $f'(x)\lt 0$ sur $]0\,;1[$, $f'(1)=0$, et $f'(x)\gt 0$ sur $]1\,;+\infty[$.

4) Variations. $f$ est donc décroissante sur $]0\,;1]$ puis croissante sur $[1\,;+\infty[$. Elle admet un minimum en $x=1$, qui vaut $f(1)=1-\ln 1=1-0=1$.

5) Limites. En $0^+$ : $x\to 0$ et $\ln x\to-\infty$, donc $-\ln x\to+\infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$.

En $+\infty$ : on factorise par $x$, $f(x)=x\Bigl(1-\dfrac{\ln x}{x}\Bigr)$. Or $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$ (croissance comparée), donc la parenthèse tend vers $1$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Conséquence utile : comme le minimum de $f$ vaut $1\gt 0$, on a $x-\ln x\gt 0$ pour tout $x\gt 0$, autrement dit $\ln x\lt x$ toujours. Le tableau de variations résume tout.

Résoudre une inéquation proprement

Même discipline que pour les équations, mais avec une subtilité : comme $\ln$ est strictement croissante, elle conserve le sens de l'inégalité quand on « enlève les $\ln$ » (pas de changement de signe, contrairement à une multiplication par un négatif).

Problème résolu — résoudre $\ln(2x-1)\le\ln(x+3)$

1) Domaine. Il faut $2x-1\gt 0$ (soit $x\gt\tfrac12$) et $x+3\gt 0$ (soit $x\gt-3$). La condition la plus forte l'emporte : le domaine est $\left]\tfrac12\,;+\infty\right[$.

2) On enlève les $\ln$. Par stricte croissance, $\ln(2x-1)\le\ln(x+3)\iff 2x-1\le x+3$.

3) On résout l'inéquation simple. $2x-1\le x+3 \iff x\le 4$.

4) On croise avec le domaine. On veut à la fois $x\gt\tfrac12$ et $x\le 4$.

Conclusion : l'ensemble des solutions est $S=\left]\tfrac12\,;4\right]$. On note bien le crochet ouvert en $\tfrac12$ (valeur interdite) et fermé en $4$ (inégalité large).

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points

Le domaine, écrit noir sur blanc, avant tout. Une équation ou une étude de fonction avec $\ln$ sans domaine posé, c'est des points perdus d'office.
Justifier le sens de variation par le signe de la dérivée (« $f'\gt 0$ donc $f$ croissante »), pas seulement l'affirmer.
Nommer l'outil quand tu « enlèves un $\ln$ » : cite $\ln A=\ln B\iff A=B$ (ou la stricte croissance pour une inégalité), c'est ce qui rend la ligne valable.
Conclure et trier : reviens toujours au domaine pour rejeter les fausses solutions.

Les pièges qui coûtent cher

$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$. La règle concerne le produit $\ln(ab)$, jamais la somme. Il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$.
$(\ln x)^2\neq 2\ln x$. Attention : $2\ln x=\ln(x^2)$, tandis que $(\ln x)^2$ est le carré du nombre $\ln x$. Rien à voir.
Mettre un négatif ou $0$ dans un $\ln$ : impossible. Toujours vérifier que l'argument est strictement positif.
Oublier de rejeter une solution hors domaine (le fameux « $x=-1$ » qu'on garde par distraction).

Tu maîtrises ? Alors soulevons le capot. D'où sort la formule magique du produit, pourquoi $\ln$ et $\exp$ sont deux miroirs, et ce que le logarithme te réserve plus tard (attention, il y aura des intégrales et des puissances un peu étranges).

D'où vient la formule $\ln(ab)=\ln a+\ln b$

Cette formule n'est pas tombée du ciel : on peut la démontrer en une dizaine de lignes, uniquement avec la dérivée. C'est un excellent exercice pour comprendre « pourquoi ça marche ».

Idée de démonstration — on fixe $a\gt 0$

1) On introduit une fonction auxiliaire. Pour $x\gt 0$, on pose $g(x)=\ln(ax)$ (avec $a$ fixé, c'est une constante positive).

2) On la dérive avec la formule composée $\bigl(\ln u\bigr)'=\dfrac{u'}{u}$, où $u(x)=ax$ donc $u'(x)=a$ : $g'(x)=\dfrac{a}{ax}=\dfrac{1}{x}$.

3) On compare à $\ln$. $g'(x)=\dfrac1x=(\ln x)'$. Les fonctions $g$ et $\ln$ ont la même dérivée sur $]0\,;+\infty[$ : elles diffèrent donc d'une constante, $g(x)=\ln x+C$.

4) On trouve $C$ en un point bien choisi. En $x=1$ : $g(1)=\ln(a\times 1)=\ln a$, et $\ln 1+C=0+C=C$. Donc $C=\ln a$.

5) On conclut. $\ln(ax)=\ln x+\ln a$ pour tout $x\gt 0$. En prenant $x=b$, on obtient bien $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

Toutes les autres règles ($\ln\tfrac{a}{b}$, $\ln a^n$, $\ln\tfrac1a$) se déduisent ensuite de celle-là.

$\ln$ et $\exp$, deux miroirs

On l'a dit dès le début : $\ln$ est la réciproque de $\exp$. Géométriquement, cela a une traduction très visuelle : les courbes de $y=e^x$ et de $y=\ln x$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ (la première bissectrice). Chaque point $(a\,;b)$ de l'une correspond au point « retourné » $(b\,;a)$ de l'autre.

C'est pour ça que les valeurs se répondent : $\exp$ passe par $(0\,;1)$, $\ln$ passe par $(1\,;0)$ ; $\exp$ passe par $(1\,;e)$, $\ln$ passe par $(e\,;1)$.

Une conséquence sympa — la tangente en $1$. Comme $(\ln x)'=\dfrac1x$, la pente de $\ln$ au point $(1\,;0)$ vaut $\dfrac11=1$. L'équation de la tangente y est donc $y=1\times(x-1)+0$, soit $y=x-1$. C'est le miroir exact de la tangente de $\exp$ en $(0\,;1)$, qui est $y=x+1$.

Ce qui t'attend plus tard

Le logarithme est une porte d'entrée vers plein de notions que tu vas retrouver :

Le lien avec l'intégrale. Puisque $\ln$ est la primitive de $\dfrac1x$ qui vaut $0$ en $1$, on a en réalité $\ln x=\displaystyle\int_1^{x}\dfrac{1}{t}\,\mathrm{d}t$. Le logarithme est une aire sous la courbe de $\dfrac1t$. Tu croiseras aussi la primitive $\displaystyle\int\dfrac{u'}{u}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert u\rvert+C$.
Les fonctions puissances. Grâce à $\ln$ et $\exp$, on peut donner un sens à $x^{\alpha}$ pour n'importe quel exposant réel $\alpha$ (pas seulement entier) : on pose $x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}$ pour $x\gt 0$. C'est ce qui permet de dériver $x^{\sqrt2}$ ou $x^{\pi}$.
Les autres logarithmes. À côté du logarithme népérien vit le logarithme décimal $\log$ (en base $10$), relié par $\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$ ; il sert partout en sciences (pH en chimie, décibels, échelle de Richter).
Une approximation utile. Près de $0$, la courbe de $\ln(1+x)$ se confond presque avec sa tangente : $\ln(1+x)\approx x$ quand $x$ est petit. C'est le premier pas vers les développements limités que tu verras dans le supérieur.