Fonction logarithme népérien

La réciproque de l'exponentielle — propriétés algébriques, dérivée et comportements aux bornes.

1 L'idée

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0\,;+\infty[$. C'est l'unique primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ qui vaut $0$ en $1$. Elle est la réciproque de l'exponentielle : pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$ ; pour tout réel $x\gt 0$, $e^{\ln x}=x$. La fonction $\ln$ est strictement croissante, et $\ln 1=0$, $\ln e=1$.

2 Propriétés algébriques (a, b > 0, n réel)

Somme

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$

Différence

$\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$

Puissance

$\ln(a^n) = n\ln a$

Inverse

$\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$

3 Dérivée, variations et limites

Dérivée

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$

Dérivée composée

$\bigl(\ln u(x)\bigr)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Limite en 0⁺

$\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty$

Limite en +∞

$\lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty$

Croissances comparées

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 \qquad \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$

4 Calculs usuels

Simplifier $\ln(e^3\sqrt{e})$

$e^3\sqrt{e}=e^3\cdot e^{\frac{1}{2}}=e^{\frac{7}{2}}$, donc $\ln(e^3\sqrt{e})=\dfrac{7}{2}$

Simplifier $2\ln 3+\ln 5-\ln 45$

$2\ln 3+\ln 5-\ln 45=\ln 9+\ln 5-\ln 45=\ln\dfrac{9\times 5}{45}=\ln 1=0$

Méthode — étudier une fonction contenant ln

Domaine : résoudre $u(x)\gt 0$ pour tout terme $\ln(u(x))$.
Dérivée : appliquer $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ ; penser à la règle du produit ou du quotient si nécessaire.
Variations : étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations.
Limites aux bornes : utiliser $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ et les croissances comparées si $x$ ou $e^x$ accompagne $\ln x$.

Erreurs fréquentes

$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ : la propriété concerne le produit, pas la somme.
$\ln$ n'est pas défini pour $x\le 0$ : toujours vérifier que l'argument est strictement positif.
$(\ln x)^2\neq 2\ln x$ : $2\ln x=\ln(x^2)$, mais $(\ln x)^2$ est un carré de réel.
Omettre la condition de domaine dans la résolution d'une équation avec $\ln$.