V VIDYALAYA · Soutien scolaire
MathématiquesTerminaleAnalyseExercices + corrigé

Limites et asymptotes — Exercices

Des limites directes jusqu'à l'étude complète d'une courbe. Corrigé détaillé en fin de fiche.
⏱ ~35 min✎ Sans calculatrice
1Limites directes/ 4 pts
Calculer les limites suivantes. Justifier par le terme dominant ou par substitution directe.
  1. $\lim_{x \to +\infty}(2x^3-5x^2+1)$
  2. $\lim_{x \to -\infty}(-x^4+3x-7)$
  3. $\lim_{x \to 3}(x^2-2x+4)$
  4. $\lim_{x \to 1^+}\dfrac{5}{x-1}$
2Formes indéterminées/ 6 pts
Identifier la forme indéterminée, choisir la méthode et calculer.
  1. $\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$
  2. $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{3x^2-x+2}{x^2+5}$
  3. $\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$
3Asymptotes d'une fraction rationnelle/ 6 pts
Soit $f(x)=\dfrac{2x^2-x+1}{x-2}$.
  1. Donner le domaine de définition $D_f$.
  2. Calculer $\lim_{x \to 2^+}f(x)$ et $\lim_{x \to 2^-}f(x)$. En déduire l'asymptote verticale.
  3. Effectuer la division euclidienne de $2x^2-x+1$ par $x-2$ et écrire $f(x)$ sous la forme $ax+b+\dfrac{r}{x-2}$.
  4. Déterminer l'asymptote oblique et préciser la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote.
4Théorème des gendarmes/ 4 pts
On pose $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ pour $x\gt 0$.
  1. Justifier que pour tout $x\gt 0$ : $-\dfrac{1}{x}\le g(x)\le\dfrac{1}{x}$.
  2. En déduire $\lim_{x \to +\infty}g(x)$ par le théorème des gendarmes.
  3. Quelle asymptote horizontale cela implique-t-il pour la courbe de $g$ ?
5Étude complète — position relative/ 5 pts
Soit $h(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
  1. Calculer $\lim_{x \to 1^+}h(x)$ et $\lim_{x \to 1^-}h(x)$. En déduire l'asymptote verticale.
  2. Calculer $\lim_{x \to +\infty}h(x)$ et $\lim_{x \to -\infty}h(x)$. Y a-t-il une asymptote horizontale ?
  3. Calculer $h(x)-(x+1)$. En déduire l'asymptote oblique.
  4. Pour quelles valeurs de $x$ la courbe est-elle strictement au-dessus de l'asymptote oblique ?
Corrigé détaillé
1Limites directes
a) \(\text{Terme dominant : }2x^3 \xrightarrow{x\to+\infty}+\infty\) \(\lim_{x\to+\infty}(2x^3-5x^2+1)=+\infty\)
b) \(\text{Terme dominant : }-x^4.\quad x\to-\infty\Rightarrow x^4\to+\infty\Rightarrow -x^4\to-\infty\) \(\lim_{x\to-\infty}(-x^4+3x-7)=-\infty\)
c) \(3^2-2\times 3+4=9-6+4\) \(7\)
d) \(x\to 1^+\Rightarrow x-1\to 0^+\text{ et }5\gt 0\) \(\lim_{x\to 1^+}\dfrac{5}{x-1}=+\infty\)
2Formes indéterminées
a) \(\text{FI : }\tfrac{0}{0}.\quad \dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\xrightarrow{x\to 2}\) \(4\)
b) \(\text{FI : }\tfrac{\infty}{\infty}.\quad \dfrac{3x^2-x+2}{x^2+5}=\dfrac{3-\tfrac{1}{x}+\tfrac{2}{x^2}}{1+\tfrac{5}{x^2}}\xrightarrow{x\to+\infty}\) \(3\)
c) \(\text{FI : }\infty-\infty.\quad (\sqrt{x+4}-\sqrt{x})\cdot\dfrac{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}=\dfrac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}\xrightarrow{x\to+\infty}\) \(0\)
3Asymptotes
1. \(x-2=0\iff x=2\) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
2. \(\text{En }x=2:\;2(4)-2+1=7\gt 0.\quad x\to 2^+\Rightarrow x-2\to 0^+\Rightarrow f(x)\to+\infty.\quad x\to 2^-\Rightarrow x-2\to 0^-\Rightarrow f(x)\to-\infty.\) \(\text{Asymptote verticale : }x=2\)
3. \(2x^2-x+1=(x-2)(2x+3)+7\quad\bigl[(x-2)(2x+3)=2x^2-x-6,\;\text{reste }=1-(-6)=7\bigr]\) \(f(x)=2x+3+\dfrac{7}{x-2}\)
4. \(\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{7}{x-2}=0\Rightarrow\text{AO : }y=2x+3.\quad f(x)-(2x+3)=\dfrac{7}{x-2}\gt 0\text{ si }x\gt 2,\;<0\text{ si }x\lt 2.\) \(\text{Courbe au-dessus de l'AO pour }x\gt 2,\text{ en dessous pour }x\lt 2.\)
4Théorème des gendarmes
1. \(-1\le\sin x\le 1.\text{ Pour }x\gt 0,\text{ diviser par }x\gt 0 :\) \(-\dfrac{1}{x}\le\dfrac{\sin x}{x}\le\dfrac{1}{x}\)
2. \(\lim_{x\to+\infty}\!\left(-\dfrac{1}{x}\right)=0=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}.\text{ Théorème des gendarmes :}\) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0\)
3. \(\text{La limite en }+\infty\text{ est }0\in\mathbb{R}\) \(\text{Asymptote horizontale : }y=0\text{ en }+\infty\)
5Étude complète
1. \(x\to 1^+\Rightarrow\dfrac{4}{x-1}\to+\infty.\quad x\to 1^-\Rightarrow\dfrac{4}{x-1}\to-\infty.\) \(\lim_{x\to 1^+}h(x)=+\infty\;;\;\lim_{x\to 1^-}h(x)=-\infty.\quad\text{Asymptote verticale : }x=1.\)
2. \(\dfrac{4}{x-1}\to 0\text{ quand }x\to\pm\infty,\text{ donc }h(x)\to\pm\infty\text{ (terme dominant }x\text{).}\) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty,\;\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty.\text{ Pas d'asymptote horizontale.}\)
3. \(h(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x-1}\xrightarrow{x\to\pm\infty}0\) \(\text{Asymptote oblique : }y=x+1\)
4. \(\dfrac{4}{x-1}\gt 0\iff x-1\gt 0\iff x\gt 1\) \(\text{La courbe est strictement au-dessus de l'AO pour }x\gt 1.\)