Pas de panique si tu n'as jamais étudié les limites, on va te donner l'essentiel pour t'en sortir. Tu te souviens du nombre dérivé et de la tangente ? La limite est au cœur de tout ça. On va découvrir pas à pas comment décrire le comportement d'une courbe loin vers l'infini ou à l'approche d'un point qui pose problème. On part de zéro et on avance vite.
1. Dérivation et limite : point de départ
Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a$ est la limite du taux d'accroissement :
$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
C'est aussi la pente de la tangente. La tangente est la droite qui épouse localement la courbe. Cette idée de s'approcher d'une valeur se généralise : on parle de limite d'une fonction quand $x$ tend vers un réel ou vers l'infini.
2. Limites et asymptotes : l'essentiel
Étudier une limite, c'est répondre à : vers quelle valeur se rapproche $f(x)$ quand $x$ devient très grand ou s'approche d'un point interdit ?
- Limite finie $\ell$ : la courbe se rapproche de la droite horizontale $y=\ell$. C'est une asymptote horizontale.
- Limite infinie (+$\infty$ ou -$\infty$) : la courbe part vers le haut ou vers le bas.
- Quand $x$ tend vers une valeur $a$ et que $f(x)\to \pm\infty$, la droite verticale $x=a$ est une asymptote verticale.
Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche infiniment sans jamais l'atteindre (ou en la croisant parfois).
À toi de jouer
Complète en observant le graphique.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
La droite d'équation $y=\underline{\hspace{1.1em}}$ est une asymptote horizontale.
Corrigé
La droite d'équation $y=70$ est une asymptote horizontale.
Complète.
$\lim_{x \to 2^+} g(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $\lim_{x \to 2^-} g(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
La droite d'équation $x=\underline{\hspace{1.1em}}$ est une asymptote verticale.
Corrigé
Remarque : selon le tracé, on observe une branche infinie de part et d'autre de x=2.
Ah oui, les limites... Ça te revient ? On avait vu ces droites mystérieuses qui collent à la courbe. On va remettre tout ça en ordre avec la méthode pas-à-pas, tu vas voir, c'est plus simple qu'il n'y paraît. Prêt à réactiver la machine ?
Méthode : déterminer les asymptotes d'une fraction rationnelle
1. Domaine de définition : valeurs qui annulent le dénominateur.
2. Asymptotes verticales (AV) : pour chaque valeur interdite $a$, calculer les limites à gauche et à droite. Si la limite est infinie, la droite $x=a$ est une AV.
3. Comportement en $\pm\infty$ :
- Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur : $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0$ → AH: $y=0$.
- Si les degrés sont égaux : la limite est le quotient des coefficients dominants → AH: $y=\ell$.
- Si le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur de 1 : asymptote oblique (AO) obtenue par division euclidienne.
- Si le degré dépasse de plus de 1 : branche parabolique.
4. Position relative : étudier le signe de $f(x)-(ax+b)$.
À toi de jouer
Domaine : $\mathbb{R}\setminus\{\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Calcul des limites en $3$ :
$\lim_{x\to 3^+} f(x)=\underline{\hspace{1.1em}}$ car le dénominateur tend vers $0$ par valeurs positives.
$\lim_{x\to 3^-} f(x)=\underline{\hspace{1.1em}}$ car le dénominateur tend vers $0$ par valeurs négatives.
Conclusion : la droite $x=\underline{\hspace{1.1em}}$ est une asymptote verticale.
Corrigé
$\lim_{x\to 3^+} f(x)=+\infty$ (car $x-3>0$ tend vers 0 par valeurs positives, le numérateur est positif).
$\lim_{x\to 3^-} f(x)=-\infty$ (car $x-3<0$, négatif).
Asymptote verticale : $x=3$.
En $+\infty$ : forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme de plus haut degré.
$g(x)=\frac{x(2+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{5}{x})} = \frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{5}{x}}$.
$\lim_{x\to+\infty} g(x) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}= \underline{\hspace{1.1em}}$.
La droite $y=\underline{\hspace{1.1em}}$ est une asymptote horizontale.
Corrigé
Effectue la division euclidienne de $x^2+2$ par $x+1$.
On trouve : $x^2+2 = (x+1)(\underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $h(x) = \underline{\hspace{1.1em}} + \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{x+1}$.
Comme $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{x+1}=0$, l'asymptote oblique a pour équation $y=\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Donc $h(x)=x-1+\frac{3}{x+1}$.
L'asymptote oblique est $y=x-1$.
C'est l'heure de la répétition mécanique : cinq mini-exercices quasi identiques pour ancrer la technique du terme dominant. Tu enchaînes, ça rentre tout seul. Pas de panique, les nombres changent, la méthode reste la même.
Rappel éclair
Le terme dominant d'un polynôme est le monôme de plus haut degré. Sa limite en $\pm\infty$ donne celle du polynôme.
À toi de jouer
Le terme dominant est $\underline{\hspace{1.1em}} x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Quand $x\to+\infty$, $x^{\underline{\hspace{1.1em}}}\to\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $3x^4\to\underline{\hspace{1.1em}}$.
Ainsi la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le terme dominant est $\underline{\hspace{1.1em}} x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Quand $x\to+\infty$, $x^{\underline{\hspace{1.1em}}}\to\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $-2x^3\to\underline{\hspace{1.1em}}$.
Ainsi la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le terme dominant est $\underline{\hspace{1.1em}} x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Quand $x\to-\infty$, $x^{\underline{\hspace{1.1em}}}\to\underline{\hspace{1.1em}}$ (signe ?), donc $7x^5\to\underline{\hspace{1.1em}}$.
Ainsi la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le terme dominant est $\underline{\hspace{1.1em}} x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Quand $x\to-\infty$, $x^{\underline{\hspace{1.1em}}}\to\underline{\hspace{1.1em}}$ (signe ?), donc $-4x^6\to\underline{\hspace{1.1em}}$.
Ainsi la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le terme dominant est $\underline{\hspace{1.1em}} x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Quand $x\to+\infty$, $x^{\underline{\hspace{1.1em}}}\to\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $\underline{\hspace{1.1em}}\to\underline{\hspace{1.1em}}$.
Ainsi la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Place au type contrôle. Les exercices sont variés, parfois avec un piège ou une position relative, mais tu as les outils. Prends ton temps, justifie chaque étape comme en devoir. C'est là que tu montres que tu maîtrises.
À toi de jouer
Calcule les limites suivantes en justifiant par le terme dominant.
a) $\lim_{x\to+\infty} (5x^3-3x^2+2x-7)$
b) $\lim_{x\to-\infty} (-2x^4+8x-9)$
c) Quand $x\to 2$, $\lim_{x\to 2} (x^2-3x+1)$ par substitution directe.
d) $\lim_{x\to 1^+} \frac{4}{x-1}$
Corrigé
b) Terme dominant $-2x^4$. $x^4\to +\infty$ donc $-2x^4\to -\infty$. $\lim = -\infty$.
c) $2^2-3\times 2+1 = 4-6+1 = -1$.
d) $x\to 1^+$ donc $x-1\to 0^+$ et le numérateur est positif. $\lim = +\infty$.
Identifier la forme indéterminée et calculer la limite.
a) $\lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$
b) $\lim_{x\to +\infty} \frac{4x^2-2x+5}{2x^2+3}$
c) $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x})$ (multiplie par la quantité conjuguée)
Corrigé
b) FI $\frac{\infty}{\infty}$. On divise par $x^2$ : $\frac{4-2/x+5/x^2}{2+3/x^2}\to \frac{4}{2}=2$.
c) FI $\infty - \infty$. $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x})\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}=\frac{5}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}\to 0$.
Soit $f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}$.
a) Donne le domaine de définition.
b) Calcule $\lim_{x\to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x\to 1^-} f(x)$. Déduis-en l'asymptote verticale.
c) Effectue la division euclidienne et écris $f(x)$ sous la forme $ax+b+\frac{r}{x-1}$.
d) Détermine l'asymptote oblique et sa position relative.
Corrigé
b) $f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}$. En $x=1$, numérateur : $2-3+1=0$ (racine). Factorisation : $2x^2-3x+1=(x-1)(2x-1)$. Donc pour $x\neq 1$, $f(x)=2x-1$. Ainsi $\lim_{x\to 1} f(x) = 2(1)-1=1$, limite finie, pas d'AV ! Erreur classique. On corrige : il n'y a pas d'asymptote verticale, juste un trou.
En réalité, la factorisation donne $2x-1$ donc la fonction s'approche de 1. C'est une discontinuité amovible.
c) Division : $2x^2-3x+1$ divisé par $x-1$ donne quotient $2x-1$ et reste 0. Donc $f(x)=2x-1$. Pas d'asymptote oblique car c'est une droite elle-même.
d) Pas d'asymptote, la courbe est la droite $y=2x-1$ privée du point (1,1).
Note : si on avait une vraie fraction avec reste, on aurait une AO.
On définit $g(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+1}$ pour $x\in\mathbb{R}$.
a) Justifie que pour tout $x$, $ -1 \le \cos x \le 1$.
b) Déduis un encadrement de $g(x)$ pour $x\neq 0$.
c) Calcule $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ et $\lim_{x\to -\infty} g(x)$.
d) Quelle asymptote horizontale la courbe de $g$ possède-t-elle ?
Corrigé
b) Pour tout $x$, $\frac{-1}{x^2+1} \le g(x) \le \frac{1}{x^2+1}$.
c) En $\pm\infty$, $\frac{1}{x^2+1}\to 0$. Par le théorème des gendarmes, $g(x)\to 0$.
d) La droite $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale.
Soit $h(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
a) Calcule $\lim_{x\to 2^+} h(x)$ et $\lim_{x\to 2^-} h(x)$. Donne l'asymptote verticale.
b) Calcule $\lim_{x\to +\infty} h(x)$ et $\lim_{x\to -\infty} h(x)$. Y a-t-il une asymptote horizontale ?
c) Calcule $h(x)-(x+1)$. Déduis-en l'asymptote oblique.
d) Détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est strictement au-dessus de l'asymptote oblique.
Corrigé
b) En $\pm\infty$, $\frac{4}{x-2}\to 0$, donc $h(x)\to \pm\infty$ selon le signe de $x+1$ : pas d'AH. En $+\infty$, $x+1\to +\infty$ donc $+\infty$; en $-\infty$, $x+1\to -\infty$ donc $-\infty$.
c) $h(x)-(x+1) = \frac{4}{x-2}$. Limite en $\pm\infty$ vaut 0, donc AO d'équation $y=x+1$.
d) Signe de $\frac{4}{x-2}$ : positif si $x>2$, négatif si $x<2$. Donc courbe au-dessus de l'AO pour $x>2$, en dessous pour $x<2$.
Tu veux voir au-delà du programme ? On va explorer des limites qui te préparent à l'année prochaine, avec des fonctions trigonométriques et des compositions plus subtiles. Tu vas utiliser le théorème des gendarmes comme un pro et manipuler des limites qui te serviront en supérieur.
Limites et continuité en un clin d'œil
L'année prochaine, tu verras que la notion de limite sert à définir la continuité et la dérivabilité. Savoir jongler avec les formes indéterminées et les encadrements facilite l'étude des fonctions usuelles (trigonométriques, exponentielles...).
À toi de jouer
Aide : tu sais que $\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u}=1$.
On pose $u=\underline{\hspace{1.1em}}$. Alors $3x = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $x=\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\frac{\sin(3x)}{2x} = \frac{\sin(u)}{\underline{\hspace{1.1em}}\cdot u}$.
Donc la limite vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Pour tout $x>0$, on a $-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$.
En multipliant par $x>0$ : $\underline{\hspace{1.1em}} \le x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \le \underline{\hspace{1.1em}}$.
Quand $x\to 0^+$, les bornes tendent vers $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Par le théorème des gendarmes, la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Montre que $k(x) = \frac{4x}{2(\sqrt{x^2+4x}+x)}$.
Déduis $\lim_{x\to +\infty} k(x)$ et interprète géométriquement.
Astuce : multiplie par la quantité conjuguée.
Corrigé
Étape 1 — Multiplication par la quantité conjuguée
On multiplie numérateur et dénominateur par $\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)$ :
$k(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+4x}-x}{2} = \dfrac{\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)}{2\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)} = \dfrac{x^2+4x-x^2}{2\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)} = \dfrac{4x}{2\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)}$
Attention : le résultat de cette multiplication est $\dfrac{4x}{2\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)}$, et non $\dfrac{4}{2\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)}$ comme indiqué dans l'énoncé — le numérateur est bien $4x$.
Étape 2 — Simplification pour $x > 0$
On divise numérateur et dénominateur par $x > 0$. Au dénominateur, $\sqrt{x^2+4x} = x\sqrt{1+4/x}$ (car $x > 0$) :
$k(x) = \dfrac{4x}{2x\!\left(\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1\right)} = \dfrac{4}{2\!\left(\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1\right)}$
Étape 3 — Limite en $+\infty$
Quand $x \to +\infty$, $\dfrac{4}{x} \to 0$, donc $\sqrt{1+\dfrac{4}{x}} \to 1$, d'où :
$\lim_{x \to +\infty} k(x) = \dfrac{4}{2(1+1)} = \dfrac{4}{4} = 1$
Interprétation géométrique : la droite $y = 1$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $k$ en $+\infty$ : lorsque $x$ devient très grand, $k(x)$ se rapproche de $1$ sans jamais atteindre cette valeur.