Limites de fonctions et asymptotes

Les prérequis à avoir en tête

Avant de foncer, trois réflexes suffisent.

1. Les puissances. Une puissance $x^n$ devient énorme quand $x$ devient grand : par exemple $x^2$ vaut $100$ pour $x=10$, mais $10\,000$ pour $x=100$.

2. L'infini. Le symbole $+\infty$ (respectivement $-\infty$) veut juste dire « $x$ file vers les très grands positifs (respectivement négatifs) ». Ce n'est pas un nombre, c'est une direction.

3. Les fractions. Tu dois savoir manipuler une fraction $\dfrac{a}{b}$ et repérer les valeurs interdites, celles qui annulent le dénominateur $b$ (on ne divise jamais par $0$).

L'essentiel en une minute

La limite d'une fonction $f$, c'est la réponse à la question : « vers quoi se dirige $f(x)$ quand $x$ s'approche d'une valeur $a$, ou part vers $\pm\infty$ ? »

Deux scénarios seulement. Soit $f(x)$ se rapproche d'un nombre fini $\ell$ : la courbe vient se coller à une droite. Soit $f(x)$ s'envole vers $+\infty$ ou $-\infty$ : elle s'éloigne sans jamais s'arrêter.

Une asymptote, c'est justement cette droite que la courbe frôle de plus en plus près (sans forcément la toucher). Il y en a trois sortes : verticale, horizontale, oblique. La figure montre le cas le plus simple : une courbe qui vient se stabiliser sur une droite horizontale $y=\ell$.

Trois formules clés et un exemple traité

Voici les trois formules à connaître par cœur pour le contrôle.

Asymptote verticale (AV) : si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Asymptote horizontale (AH) : si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$, alors la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale.

Asymptote oblique (AO) : si $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0$, alors la droite $y = ax+b$ est asymptote oblique.

Un exemple entièrement traité, le plus simple qui soit : la règle du terme dominant. Pour un polynôme, quand $x \to \pm\infty$, seul le terme de plus haut degré compte. Calculons $\lim_{x \to +\infty}(3x^2-7x+2)$.

Étape 1. On repère le terme dominant, celui de plus haut degré : $3x^2$.

Étape 2. Les autres termes ($-7x$ et $+2$) sont négligeables devant $3x^2$ quand $x$ est immense.

Étape 3. Or $\lim_{x \to +\infty}3x^2=+\infty$.

Conclusion. $\lim_{x \to +\infty}(3x^2-7x+2)=+\infty$. La courbe s'envole : pas d'asymptote horizontale de ce côté.

Les limites, définitions propres

On distingue deux directions d'étude et deux types de résultats.

Limite en un point $a$. On regarde le comportement de $f(x)$ quand $x$ se rapproche de $a$. Comme on peut arriver par la gauche ($x \lt a$) ou par la droite ($x \gt a$), on note séparément $\lim_{x \to a^-}f(x)$ et $\lim_{x \to a^+}f(x)$.

Limite à l'infini. On regarde $f(x)$ quand $x \to +\infty$, ou quand $x \to -\infty$.

Résultat fini $\ell$ : la courbe se stabilise près de la hauteur $\ell$. Résultat infini : la courbe part vers $+\infty$ ou $-\infty$. C'est ce résultat (fini ou infini) qui décide du type d'asymptote.

Les trois asymptotes, sans se tromper

Chaque type d'asymptote correspond à un type de limite précis.

Verticale ($x=a$). Elle apparaît quand la fonction explose au voisinage d'un point interdit. Formellement, $\lim_{x \to a}f(x)=\pm\infty$ donne l'AV $x=a$. Sur le graphe, c'est un « mur » vertical que la courbe longe sans jamais le franchir.

Horizontale ($y=\ell$). Elle apparaît à l'infini quand la fonction se stabilise. $\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=\ell$ donne l'AH $y=\ell$. C'est un « sol » (ou un plafond) horizontal.

Oblique ($y=ax+b$). À l'infini, la courbe suit une droite penchée. On la détecte par $\lim_{x \to \pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0$ : l'écart entre la courbe et la droite s'efface.

La figure illustre les deux plus courantes : un « mur » vertical $x=a$ et un « sol » horizontal $y=\ell$, chacun longé par une branche de la courbe.

Règles de calcul et formes indéterminées

Pour calculer une limite, deux règles font le gros du travail.

Règle du terme dominant (polynôme) : $\lim_{x \to \pm\infty}(a_n x^n+\cdots+a_0)=\lim_{x \to \pm\infty}a_n x^n$.

Règle du quotient (fraction rationnelle) : $\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{a_n x^n+\cdots}{b_m x^m+\cdots}=\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$ : on ne garde que les termes dominants en haut et en bas.

Attention : certaines écritures ne se lisent pas directement. Ce sont les formes indéterminées $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$ et $0\times\infty$. Elles ne valent rien tant qu'on n'a pas transformé l'expression.

Exemple traité, forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. Calculons $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^2+x}{x^2-3}$.

Étape 1. En haut comme en bas, tout part vers $+\infty$ : on a bien la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Étape 2. On factorise (ou on divise) par le terme dominant du dénominateur, ici $x^2$ : $\dfrac{2x^2+x}{x^2-3}=\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x^2}}$.

Étape 3. Quand $x \to +\infty$, on a $\frac{1}{x}\to 0$ et $\frac{3}{x^2}\to 0$.

Étape 4. Il reste $\dfrac{2+0}{1-0}=2$.

Conclusion. $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^2+x}{x^2-3}=2$ : la droite $y=2$ est asymptote horizontale.

On le fait ensemble : asymptote oblique par division euclidienne

On étudie $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}$ quand $x \to +\infty$. Le degré du haut ($2$) dépasse celui du bas ($1$) d'exactement $1$ : c'est le cas typique d'une asymptote oblique.

Étape 1. On pose la division euclidienne de $x^2+x+1$ par $x-1$. On cherche un quotient de la forme $ax+b$ et un reste.

Étape 2. On obtient $x^2+x+1=(x-1)(x+2)+3$.

Étape 3. On vérifie (le réflexe qui sauve des points) : $(x-1)(x+2)+3=x^2+2x-x-2+3=x^2+x+1$. C'est bon.

Étape 4. On en déduit l'écriture décomposée : $f(x)=x+2+\dfrac{3}{x-1}$.

Étape 5. Quand $x \to +\infty$, le morceau $\dfrac{3}{x-1}$ tend vers $0$.

Conclusion. Il reste $f(x)\approx x+2$ : la droite $y=x+2$ est asymptote oblique. Bonus : comme $f(x)-(x+2)=\dfrac{3}{x-1}$, on a déjà tout pour étudier la position de la courbe (on y revient au palier suivant).

On le fait ensemble : forme infini moins infini et quantité conjuguée

On calcule $\lim_{x \to +\infty}\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\bigr)$.

Étape 1. Chaque racine part vers $+\infty$ : on a la forme indéterminée $\infty-\infty$. Interdit de conclure $0$ trop vite (on soustrait deux infinis, on ne sait pas encore qui gagne).

Étape 2. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ : $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\bigr)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.

Étape 3. Au numérateur, l'identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ donne $(x+1)-x=1$ : $=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.

Étape 4. Quand $x \to +\infty$, le dénominateur $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ part vers $+\infty$.

Conclusion. Un $1$ divisé par quelque chose d'immense tend vers $0$ : $\lim_{x \to +\infty}\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\bigr)=0$.

Bonus : quand le dénominateur l'emporte (asymptote y = 0)

Dernier échauffement, tout rapide : $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+1}$.

Étape 1. Encore une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On applique la règle des termes dominants : en haut $2x$, en bas $x^2$.

Étape 2. $\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x}$.

Étape 3. Quand $x \to +\infty$, on a $\dfrac{2}{x}\to 0$.

Conclusion. $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+1}=0$. Ici le dénominateur « gagne » (son degré est plus grand) : la courbe s'aplatit sur l'axe des abscisses, asymptote horizontale $y=0$. À retenir : quand $\deg(\text{numérateur}) \lt \deg(\text{dénominateur})$, la limite en $\pm\infty$ est toujours $0$.

Problème type entièrement résolu : étude complète des asymptotes

Énoncé. Soit $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}$. Déterminer son domaine, ses asymptotes, et la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.

1. Domaine. Le dénominateur $x-1$ s'annule pour $x=1$. Le domaine est donc $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, c'est-à-dire $\left]-\infty\,;\,1\right[\,\cup\,\left]1\,;\,+\infty\right[$.

2. Asymptote verticale. On teste le point interdit $x=1$. Au numérateur, $1^2+1+1=3\neq 0$ : la fraction ne se simplifie pas, la fonction va exploser.

Quand $x \to 1^+$ : le haut tend vers $3$, le bas $x-1$ tend vers $0$ en restant positif, donc $f(x)\to +\infty$.

Quand $x \to 1^-$ : le haut tend vers $3$, le bas tend vers $0$ en restant négatif, donc $f(x)\to -\infty$.

Les limites sont infinies : la droite $x=1$ est asymptote verticale.

3. Comportement à l'infini. Le degré du numérateur ($2$) vaut celui du dénominateur ($1$) plus $1$ : on cherche une asymptote oblique par division euclidienne. On a déjà obtenu $f(x)=x+2+\dfrac{3}{x-1}$.

Comme $\dfrac{3}{x-1}\to 0$ quand $x \to +\infty$ et quand $x \to -\infty$, la droite $y=x+2$ est asymptote oblique des deux côtés.

4. Position relative. On étudie le signe de la différence $f(x)-(x+2)=\dfrac{3}{x-1}$. Le numérateur $3$ est positif, donc le signe est celui de $x-1$.

Si $x \gt 1$ : $\dfrac{3}{x-1} \gt 0$, la courbe est au-dessus de l'asymptote.

Si $x \lt 1$ : $\dfrac{3}{x-1} \lt 0$, la courbe est en dessous de l'asymptote. La figure résume le tout.

Le piège de la racine à l'infini négatif

À l'infini négatif, une racine carrée cache un piège classé « faute lourde ». Retiens la règle : $\sqrt{x^2}=|x|$, et quand $x \lt 0$ cela vaut $-x$ (un nombre positif !), surtout pas $x$.

Exemple. Calculons $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

Étape 1. On factorise sous la racine par $x^2$ : $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\bigl(1+\tfrac{1}{x^2}\bigr)}=\sqrt{x^2}\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}=|x|\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}$.

Étape 2. Comme $x \to -\infty$, on a $x \lt 0$, donc $|x|=-x$ : $\sqrt{x^2+1}=-x\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}$.

Étape 3. On remplace : $\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\dfrac{-x\,\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}}{x}=-\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}$.

Étape 4. Quand $x \to -\infty$, on a $\tfrac{1}{x^2}\to 0$, donc $\sqrt{1+\tfrac{1}{x^2}}\to 1$.

Conclusion. $\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1$. Celui qui oublie le $|x|$ trouve $+1$ : c'est faux, et ça coûte cher.

Ce que le correcteur attend, et les pièges qui coûtent des points

Sur ce genre de question, les points se gagnent (ou se perdent) sur la rigueur, pas sur l'astuce.

Ce que le correcteur veut voir :

— le domaine posé avant tout calcul de limite ;

— pour une asymptote verticale, les deux limites $x \to a^+$ et $x \to a^-$, avec le signe du dénominateur justifié ;

— la rédaction complète de la division euclidienne, et sa vérification, pour une asymptote oblique ;

— l'étude explicite de la position relative par le signe de $f(x)-(ax+b)$.

Les pièges classiques qui coûtent des points :

— oublier la position relative : trouver l'asymptote ne suffit pas, il faut dire si la courbe passe au-dessus ou en dessous ;

— annoncer une asymptote verticale sans limite infinie : si la limite en $a$ est finie, il y a un simple « trou » (discontinuité amovible), pas d'asymptote ;

— simplifier $\dfrac{x-a}{x-a}$ sans préciser $x\neq a$ : la simplification n'est légale que là où le facteur n'est pas nul ;

— écrire $\sqrt{x^2}=x$ en $-\infty$ : c'est $|x|=-x$, comme on vient de le voir.

Ce que « se rapproche de » veut vraiment dire

Jusqu'ici, « $f(x)$ se rapproche de $\ell$ » reste une image. Dans le supérieur, on la transforme en définition béton : dire que $\lim_{x \to +\infty}f(x)=\ell$, c'est dire qu'on peut rendre l'écart $|f(x)-\ell|$ aussi petit qu'on veut, à condition de prendre $x$ assez grand.

C'est la fameuse définition « en $\varepsilon$ » (epsilon). L'asymptote horizontale $y=\ell$ en est la traduction géométrique exacte : la courbe finit par rester coincée dans une bande horizontale aussi fine qu'on la choisit autour de $y=\ell$.

Même idée pour l'asymptote oblique : dire que $f(x)-(ax+b)\to 0$, c'est dire que l'écart vertical entre la courbe et la droite $y=ax+b$ s'efface à l'infini. La position relative que tu as étudiée par un signe, c'est déjà le premier pas vers cette lecture fine de l'écart.

Les outils que tu croiseras pour lever les indéterminations

Nos deux règles (terme dominant, quotient) suffisent pour les polynômes et les fractions rationnelles. Mais dès qu'apparaissent une exponentielle, un logarithme ou une racine, il faut d'autres outils, que le programme de terminale introduit justement à côté de ce chapitre.

Croissances comparées. À l'infini, l'exponentielle écrase toute puissance de $x$, qui elle-même écrase le logarithme. Par exemple $\dfrac{e^x}{x}\to +\infty$ et $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$ : de quoi lever bien des formes $\dfrac{\infty}{\infty}$ que le terme dominant ne sait pas traiter.

Théorème d'encadrement (« des gendarmes »). Si $f$ est coincée entre deux fonctions qui tendent vers la même limite $\ell$, alors $f$ tend aussi vers $\ell$. Idéal quand un $\cos$ ou un $\sin$ borné traîne dans l'expression.

Lien avec la dérivation. La façon dont la courbe s'approche d'une droite se relie, l'an prochain, à la convexité et aux développements limités, qui décrivent la courbe encore plus finement au voisinage d'un point : l'asymptote n'est alors que le tout premier terme de l'approximation.

Un aperçu de démonstration : pourquoi le terme dominant l'emporte

La règle « seul le terme dominant compte » n'est pas magique : elle se démontre par une simple factorisation, exactement la technique que tu utilises déjà.

Reprenons $3x^2-7x+2$ et mettons $x^2$ en facteur : $3x^2-7x+2=x^2\Bigl(3-\dfrac{7}{x}+\dfrac{2}{x^2}\Bigr)$.

Quand $x \to +\infty$, les morceaux $\dfrac{7}{x}$ et $\dfrac{2}{x^2}$ tendent vers $0$ : la parenthèse tend vers $3$.

Il reste donc un $x^2$ qui part vers $+\infty$, multiplié par un nombre qui tend vers $3 \gt 0$ : le produit tend vers $+\infty$. On retrouve exactement le résultat du terme dominant, mais cette fois démontré, pas récité.

Même mécanique pour les quotients : on factorise le haut et le bas par la plus haute puissance, et tout ce qui n'est pas dominant s'évanouit. C'est la trame de presque toutes les preuves de limites que tu écriras l'an prochain.