Limites de fonctions et asymptotes

Décrire le comportement d'une fonction à l'infini ou au voisinage d'un point, et identifier les droites asymptotes qui lui sont attachées.

1 L'idée

Étudier la limite d'une fonction, c'est décrire son comportement lorsque $x$ s'approche d'une valeur $a$ (ou de $\pm\infty$). Ce comportement peut être fini — la courbe se rapproche d'une droite — ou infini — elle s'éloigne sans borne.

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment. Trois types : verticale (AV), horizontale (AH), oblique (AO).

2 Asymptotes — définitions

Asymptote verticale

$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \;\Rightarrow\; \text{AV : } x = a$

Asymptote horizontale

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell \;\Rightarrow\; \text{AH : } y = \ell$

Asymptote oblique

$\lim_{x \to \pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0 \;\Rightarrow\; \text{AO : } y = ax+b$

3 Opérations et formes indéterminées

Terme dominant

$\lim_{x \to \pm\infty}(a_n x^n+\cdots+a_0)=\lim_{x \to \pm\infty}a_n x^n$

Quotient ∞/∞

$\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{a_n x^n+\cdots}{b_m x^m+\cdots}=\lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$

Formes indéterminées

$\dfrac{0}{0},\quad\dfrac{\infty}{\infty},\quad\infty-\infty,\quad 0\times\infty$

4 Exemples calculés

Terme dominant

$\lim_{x \to +\infty}(3x^2-7x+2)$ : terme dominant $3x^2$.

$\lim_{x \to +\infty}3x^2=+\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty}(3x^2-7x+2)=+\infty$.

Forme ∞/∞

$\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^2+x}{x^2-3}$ : diviser par $x^2$.

$=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2+\tfrac{1}{x}}{1-\tfrac{3}{x^2}}=2$. La droite $y=2$ est une AH.

Asymptote oblique — division euclidienne

$f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}$. Division : $x^2+x+1=(x-1)(x+2)+3$.

Vérification : $(x-1)(x+2)+3=x^2+2x-x-2+3=x^2+x+1$. ✓

Donc $f(x)=x+2+\dfrac{3}{x-1}$. Comme $\dfrac{3}{x-1}\to 0$, l'AO est $y=x+2$.

Forme ∞ − ∞ — conjugué

$\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ : multiplier par $\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.

$=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0$.

Méthode — Asymptotes d'une fraction rationnelle

1. Domaine : repérer les valeurs annulant le dénominateur.
2. AV : pour chaque valeur $a$ exclue, calculer $\lim_{x \to a^+}f(x)$ et $\lim_{x \to a^-}f(x)$. Une limite infinie → AV en $x=a$.
3. Comportement en $\pm\infty$ : degrés égaux → AH $y=a_n/b_m$ ; $\deg(\text{num})=\deg(\text{dén})+1$ → AO par division euclidienne ; $\deg(\text{num})\lt\deg(\text{dén})$ → AH $y=0$.
4. Position relative : étudier le signe de $f(x)-(ax+b)$ sur chaque intervalle.

Erreurs fréquentes

Omettre la position relative : la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de l'asymptote ?
Conclure à une AV sans vérifier que la limite est infinie : une limite finie en $a$ donne une discontinuité amovible, pas une AV.
Simplifier $\dfrac{x-a}{x-a}$ sans préciser $x\neq a$.
$\lim_{x \to -\infty}\sqrt{x^2}=|x|=-x$ (car $x\lt 0$), et non $+x$.