Tu n’as jamais entendu parler de primitives ni d’intégrales, et pourtant le contrôle approche. Pas de panique ! On va repartir de ce que tu sais déjà : la dérivation. Une primitive, c’est l’opération inverse de la dérivation : on cherche une fonction dont on connaît la dérivée. L’intégrale, elle, permet de calculer des aires. On va te donner l’essentiel pour te rendre opérationnel rapidement. Accroche-toi, on fait ça ensemble.
Prérequis : la dérivation (rapide)
En première, tu as vu comment dériver. Rappelle-toi : la dérivée $f'$ d’une fonction $f$ donne la pente de la tangente en chaque point. Par exemple, $f(x)=x^2$ a pour dérivée $f'(x)=2x$. Cela signifie que la tangente au point d’abscisse $x$ a une pente $2x$.
Connais-tu les dérivées usuelles ? Si tu oublies, les voici en bref :
- $(x^n)' = n x^{n-1}$
- $(e^x)' = e^x$
- $(\ln x)' = 1/x$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
Qu’est-ce qu’une primitive ?
Maintenant, imagine qu’on te donne une fonction $f$ et que tu veux retrouver une fonction $F$ dont la dérivée est exactement $f$. On dit que $F$ est une primitive de $f$. Autrement dit : $F'(x) = f(x)$. Par exemple, pour $f(x)=2x$, une primitive est $F(x)=x^2$ car $(x^2)'=2x$. De même, $F(x)=x^2+5$ est aussi une primitive car la dérivée d’une constante est nulle. Ainsi, si $F$ est une primitive de $f$, toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ où $C$ est une constante réelle.
L’intégrale : un outil pour mesurer une aire
L’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, notée $\int_a^b f(x)\,dx$, se calcule en utilisant une primitive $F$ : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$. Géométriquement, si $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$, cette intégrale représente l’aire sous la courbe de $f$ entre les droites $x=a$ et $x=b$. Si $f$ est négative, l’intégrale est négative, ce qu’on appelle l’aire algébrique.
À toi de jouer
1. Complète : Si $F'(x)=f(x)$, alors $F$ est une de $f$.
Corrigé
primitive
2. Parmi ces fonctions, lesquelles sont des primitives de $f(x)=2x$ ? Coche les bonnes réponses. $x^2$ $2x+1$ $x^2+3$ $x$
Corrigé
Les primitives de $2x$ sont de la forme $x^2 + C$. Donc les bonnes réponses sont : $x^2$, $x^2+3$. Les autres ne sont pas des primitives car leur dérivée n’est pas $2x$.
3. Complète le tableau de quelques primitives usuelles (on prend la constante $C=0$) :
a) $f(x)=1$ → $F(x)=\underline{\hspace{1.1em}}$
b) $f(x)=x$ → $F(x)=\underline{\hspace{1.1em}}$
c) $f(x)=x^2$ → $F(x)=\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) $x$ ; b) $\frac{x^2}{2}$ ; c) $\frac{x^3}{3}$
Ah, revoilà les primitives ! Tu te souviens maintenant : c’est l’inverse de la dérivation. On va remettre en place le cours et la méthode pour calculer une intégrale, étape par étape. Suis bien, c’est du solide.
Tableau des primitives usuelles
Voici les primitives à connaître par cœur (la constante $C$ est omise) :
| $f(x)$ | $F(x)$ |
|---|
| $k$ (constante) | $kx$ |
$x^n$ ($n
eq -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $1/x$ | $\ln|x|$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
Pour les fonctions composées, on regarde la forme. Si $f$ s’écrit $u' \times g(u)$, alors une primitive est $G(u)$ où $G$ est une primitive de $g$. Par exemple :
- forme $u' e^u$ : primitive $e^u$
- forme $u' u^n$ ($n
eq -1$) : primitive $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ - forme $\frac{u'}{u}$ : primitive $\ln|u|$
Méthode : calculer une intégrale $\int_a^b f(x) dx$
- Repérer la forme de $f$ dans le tableau et déterminer une primitive $F$ (on prend la constante $C=0$).
- Écrire le crochet : $\left[F(x)\right]_a^b$.
- Calculer $F(b)-F(a)$ : d’abord en $b$, puis en $a$.
- Attention à l’ordre des bornes : toujours borne supérieure moins borne inférieure.
À toi de jouer
1. Trouve une primitive de $f(x)=3x^2+4x-1$ en complétant : $F(x) = \frac{3x^{\underline{\hspace{1.1em}}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \frac{4x^{\underline{\hspace{1.1em}}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} - \underline{\hspace{1.1em}} = x^3 + 2x^2 - x$.
Corrigé
3, 3, 2, 2, x : $F(x) = \frac{3x^{3}}{3} + \frac{4x^{2}}{2} - x = x^3 + 2x^2 - x$.
2. Calcule $\int_0^1 (x+1) dx$ en complétant : Une primitive de $x+1$ est $F(x)=\frac{x^2}{2}+x$. Alors $\left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_0^1 = (\frac{\underline{\hspace{1.1em}}^2}{2} + \underline{\hspace{1.1em}}) - (\frac{0^2}{2} + 0) = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2}$.
Corrigé
1, 1
3. Calcule $\int_1^e \frac{1}{x} dx$ en complétant : Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln|x|$. Donc $\left[ \ln x \right]_1^e = \ln e - \ln 1 = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
1, 0, 1
Prêt à répéter des gestes simples pour que ça devienne un réflexe ? Voici 5 mini-exercices quasiment identiques. Tu vas trouver une primitive en utilisant le tableau. C’est comme un échauffement : même mouvement, des nombres différents. Lance-toi, c’est du tout bon !
Rappel ultra-rapide
| $f(x)$ | $F(x)$ |
|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $e^{ax}$ | $\frac{1}{a}e^{ax}$ |
| $\cos(ax)$ | $\frac{1}{a}\sin(ax)$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ |
À toi de jouer
1. Complète : Une primitive de $f(x)=5x^4$ est $F(x)=x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
5
2. Complète : Une primitive de $f(x)=3x^2+2x$ est $F(x)=x^{\underline{\hspace{1.1em}}} + x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
3, 2
3. Complète : Une primitive de $f(x)=e^{3x}$ est $F(x)=\frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}e^{3x}$.
Corrigé
3
4. Complète : Une primitive de $f(x)=\cos(2x)$ est $F(x)=\frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}\sin(2x)$.
Corrigé
2
5. Complète : Une primitive de $f(x)=\frac{3}{x}$ est $F(x)=\underline{\hspace{1.1em}} \ln|x|$.
Corrigé
3
Maintenant, on passe aux exercices qui ressemblent à ce que tu auras en contrôle ou au bac. On ne te tient plus la main : à toi de jouer en autonomie. Souviens-toi des méthodes, de l’ordre des bornes, et de la condition initiale si besoin. Tu es prêt, on passe au niveau supérieur !
Propriétés de l’intégrale
- Relation de Chasles : $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$
- Linéarité : $\int_a^b(\alpha f+\beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$
- Positivité : si $f \ge 0$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b f \ge 0$
- Valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$
À toi de jouer
1. Donne une primitive $F$ de chaque fonction (on prend la constante $C=0$).
a) $f(x)=2x^3-4x+1$
b) $f(x)=e^{-x}$
c) $f(x)=\sin(3x)$
d) $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+1}$
Corrigé
a) $F(x)=\frac{2}{4}x^4 - \frac{4}{2}x^2 + x = \frac{1}{2}x^4 -2x^2 + x$
b) Une primitive est $-e^{-x}$ car $(-e^{-x})' = e^{-x}$.
c) Une primitive de $\sin(ax)$ est $-\frac{1}{a}\cos(ax)$, donc $F(x)=-\frac{1}{3}\cos(3x)$.
d) On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^2+3x+1$, $u'=2x+3$, donc $F(x)=\ln|x^2+3x+1|$.
2. Calcule les intégrales suivantes en détaillant la primitive utilisée.
a) $\int_0^2 (x^2-x+1)\,dx$
b) $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
c) $\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx$
Corrigé
a) $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x]_0^2 = (\frac{8}{3}-2+2)-0 = \frac{8}{3}$
b) $[\ln x]_1^e = 1-0=1$
c) $[-\cos x]_0^{\pi/2}=0 - (-1)=1$
3. Linéarité et relation de Chasles.
On sait que $\int_0^3 f(x)\,dx=5$, $\int_0^3 g(x)\,dx=-2$ et $\int_0^1 f(x)\,dx=7$.
a) Calcule $\int_0^3 (2f(x)+3g(x))\,dx$
b) En utilisant la relation de Chasles, calcule $\int_1^3 f(x)\,dx$.
Corrigé
a) $2\int_0^3 f + 3\int_0^3 g = 2\times 5 + 3\times(-2) = 10-6 = 4$
b) $\int_0^1 f + \int_1^3 f = \int_0^3 f \Rightarrow 7 + \int_1^3 f = 5 \Rightarrow \int_1^3 f = -2$
4. Primitive avec condition initiale : Soit $f(x)=2x-3e^x$. Détermine l’unique primitive $F$ de $f$ qui vérifie $F(0)=4$.
Corrigé
Primitive générale : $F(x)=x^2-3e^x + C$. Avec $F(0)=0-3+C=4 \Rightarrow C=7$. Donc $F(x)=x^2-3e^x+7$.
5. Aire entre deux courbes : Soient $f(x)=x+2$ et $g(x)=x^2$.
a) Montre que les courbes se coupent en $x=-1$ et $x=2$.
b) Vérifie que $f(x) \ge g(x)$ sur $[-1,2]$.
c) Déduis-en l’aire (en unités d’aire) de la région délimitée par les deux courbes.
Corrigé
a) $x+2=x^2 \Leftrightarrow x^2-x-2=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,2$
b) $f-g = x+2-x^2 = -(x^2-x-2)=-(x+1)(x-2)$. Sur $[-1,2]$, $(x+1)\ge 0$, $(x-2)\le 0$, donc le produit est négatif, donc $-(...)\ge 0$, soit $f-g\ge 0$, donc $f\ge g$.
c) $\mathcal{A}=\int_{-1}^{2} (f-g)\,dx = \int_{-1}^{2} (x+2-x^2)dx = [\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}= (\frac{4}{2}+4-\frac{8}{3}) - (\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}) = (2+4-\frac{8}{3}) - (-\frac{3}{2}+\frac{1}{3}) = (6-\frac{8}{3}) - (-\frac{9}{6}+\frac{2}{6}) = (\frac{18-8}{3}) - (-\frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ u.a.
Tu maîtrises les primitives et les intégrales ? Alors, on va te montrer une technique que tu verras sûrement l’an prochain : l’intégration par parties. C’est une méthode pour intégrer un produit de fonctions. Tu vas voir, c’est puissant et pas si compliqué.
L’intégration par parties (aperçu)
La formule d’intégration par parties découle de la dérivée d’un produit : $(uv)' = u'v + uv'$. En intégrant entre $a$ et $b$, on obtient : $\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b uv'$. L’idée est de poser $u'$ et $v$ de façon à ce que la nouvelle intégrale $\int uv'$ soit plus simple que celle de départ.
À toi de jouer
1. Calcule $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx$ en posant $v(x)=x$ et $u'(x)=\sin x$. On a alors $v'(x)=1$ et une primitive de $u'$ est $u(x)=-\cos x$. Applique la formule : $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = [x (-\cos x)]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 1 \cdot (-\cos x) dx = \ldots$
Corrigé
$[-x\cos x]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x dx = [ -x\cos x + \sin x ]_0^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0 + 0) = (-\pi (-1) + 0) = \pi$
2. Calcule $\int_1^e \ln x \, dx$ en posant $v(x)=\ln x$ et $u'(x)=1$. Alors $v'(x)=\frac{1}{x}$ et $u(x)=x$. $\int_1^e 1 \cdot \ln x \, dx = [x \ln x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = \ldots$
Corrigé
$[x \ln x]_1^e - \int_1^e 1 dx = (e \ln e - 1 \ln 1) - [x]_1^e = e - 0 - (e-1) = e - e + 1 = 1$