Primitives et intégrales — Exercices

De la recherche de primitives au calcul d'aire entre deux courbes. Corrigé en fin de document.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice inutile

1Primitives usuelles/ 4 pts

Donner une primitive $F$ de chaque fonction (on prend $C=0$).

$f(x) = 4x^3-3x^2+2$
$f(x) = e^{3x}$
$f(x) = \cos(2x)$
$f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+3}$

2Calcul d'intégrales/ 6 pts

Calculer les intégrales suivantes en détaillant la primitive utilisée.

$\displaystyle\int_0^2(x^2-x+1)\,dx$
$\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin(x)\,dx$

3Linéarité et relation de Chasles/ 4 pts

On sait que $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=5$, $\displaystyle\int_0^3 g(x)\,dx=-2$ et $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=7$.

Calculer $\displaystyle\int_0^3\bigl(2f(x)+3g(x)\bigr)\,dx$.
En utilisant la relation de Chasles, calculer $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx$.

4Primitive avec condition initiale/ 3 pts

Soit $f(x)=2x-3e^x$. Déterminer l'unique primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(0)=4$.

5Aire entre deux courbes/ 3 pts

Soient $f(x)=x+2$ et $g(x)=x^2$.

Montrer que les courbes de $f$ et $g$ se coupent en $x=-1$ et $x=2$.
Vérifier que $f(x)\ge g(x)$ sur $[-1,\,2]$.
En déduire l'aire (en u.a.) de la région délimitée par les deux courbes.

Corrigé détaillé

1Primitives usuelles

a) $F(x) = \dfrac{4x^4}{4}-\dfrac{3x^3}{3}+2x =$ $x^4-x^3+2x$

b) $u=3x,\; u'=3 \Rightarrow e^{3x}=\tfrac{1}{3}\cdot(3e^{3x}) \text{ — forme }u'e^u \Rightarrow F(x)=$ $\dfrac{1}{3}e^{3x}$

c) $u=2x,\; u'=2 \Rightarrow \cos(2x)=\tfrac{1}{2}\cdot(2\cos(2x)) \text{ — forme }u'\cos u \Rightarrow F(x)=$ $\dfrac{1}{2}\sin(2x)$

d) $u=x^2+x+3,\; u'=2x+1.\; \Delta=1-12 \lt 0 \Rightarrow u \gt 0 \text{ — forme }u'/u \Rightarrow F(x)=$ $\ln(x^2+x+3)$

2Calcul d'intégrales

a) $\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x\right]_0^2 = \left(\dfrac{8}{3}-2+2\right)-0 =$ $\dfrac{8}{3}$

b) $\bigl[\ln x\bigr]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 =$ $1$

c) $\bigl[-\cos x\bigr]_0^{\pi/2} = -\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos 0 = 0+1 =$ $1$

3Linéarité et relation de Chasles

a) $2\int_0^3 f + 3\int_0^3 g = 2\times 5 + 3\times(-2) = 10-6 =$ $4$

b) $\int_0^1 f + \int_1^3 f = \int_0^3 f \Rightarrow \int_1^3 f = 5-7 =$ $-2$

4Primitive avec condition initiale

Primitive générale $\int(2x-3e^x)\,dx =$ $x^2-3e^x+C$

Condition $F(0)=4$ $F(0)=0^2-3e^0+C=-3+C=4 \Rightarrow C=$ $7$

Résultat $F(x)=$ $x^2-3e^x+7$

5Aire entre deux courbes

a) $f(x)=g(x) \Leftrightarrow x+2=x^2 \Leftrightarrow x^2-x-2=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0$ $x=-1 \text{ ou } x=2$

b) $f(x)-g(x)=x+2-x^2=-(x+1)(x-2) \ge 0 \text{ sur }[-1,2] \text{ (coeff. de }x^2\text{ négatif, racines en }{-1}\text{ et }2\text{)}$ $f(x)\ge g(x) \text{ sur }[-1,\,2]$

c) $\mathcal{A}=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}=\dfrac{10}{3}-\!\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}$ $\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2} \text{ u.a.}$