Primitives et intégrales

L'idée en une phrase (et le seul prérequis)

Le seul prérequis : savoir dériver. Tout le chapitre, c'est de la dérivation lue à l'envers.

Une primitive de $f$, c'est une fonction $F$ dont la dérivée redonne $f$, autrement dit $F' = f$. Si dériver $x^2$ donne $2x$, alors une primitive de $2x$ est $x^2$ : on remonte le courant.

L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ se note $\int_a^b f(x)\,dx$. Pour la calculer, on prend n'importe quelle primitive $F$ et on fait une soustraction :

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Géométriquement, ce nombre mesure l'aire comprise entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses, de $x=a$ à $x=b$.

Les quelques formules à avoir sous la main

Une primitive se lit dans les deux sens : à gauche la fonction $f$, à droite une primitive $F$ (on choisit toujours la plus simple, sans constante).

$k \ \longrightarrow\ kx$ (une constante)

$x^n \ \longrightarrow\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$)

$\dfrac{1}{x} \ \longrightarrow\ \ln|x|$

$e^x \ \longrightarrow\ e^x$

$\cos x \ \longrightarrow\ \sin x$ et $\sin x \ \longrightarrow\ -\cos x$

Astuce mémoire : dérive la colonne de droite, tu dois retomber sur celle de gauche.

Un exemple traité du début à la fin

Calculons $\displaystyle\int_1^3 (2x-3)\,dx$.

Étape 1 — une primitive. Une primitive de $2x$ est $x^2$, une primitive de $-3$ est $-3x$. Donc $F(x) = x^2 - 3x$.

Étape 2 — le crochet. On écrit $\bigl[x^2 - 3x\bigr]_1^3$.

Étape 3 — on remplace. Borne du haut : $F(3) = 3^2 - 3\times 3 = 9 - 9 = 0$.

Borne du bas : $F(1) = 1^2 - 3\times 1 = 1 - 3 = -2$.

Étape 4 — la soustraction. $\displaystyle\int_1^3 (2x-3)\,dx = F(3) - F(1) = 0 - (-2) = 2$.

Résultat : l'intégrale vaut $2$. Retiens le geste : primitive, crochet, haut moins bas.

Définitions : primitive, famille de primitives, intégrale

Primitive. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$, dérivable sur $I$, telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.

Toutes les primitives. Si $F$ est une primitive de $f$, alors les primitives de $f$ sont exactement les fonctions $F(x) + C$, avec $C \in \mathbb{R}$. Deux primitives d'une même fonction ne diffèrent que d'une constante.

Intégrale. Pour $a$ et $b$ dans $I$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive quelconque de $f$. Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : la constante $C$ s'élimine dans la soustraction.

Interprétation géométrique. $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire algébrique entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[a,b]$ : comptée positivement là où $f \ge 0$, négativement là où $f \le 0$.

Le tableau des primitives usuelles

À gauche $f$, à droite une primitive $F$ (constante nulle). Les trois dernières lignes sont les formes composées : elles servent dès qu'une dérivée intérieure $u'$ apparaît en facteur.

$k \ \longrightarrow\ kx$

$x^n \ \longrightarrow\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$)

$\dfrac{1}{x} \ \longrightarrow\ \ln|x|$

$e^x \ \longrightarrow\ e^x$

$\sin x \ \longrightarrow\ -\cos x$

$\cos x \ \longrightarrow\ \sin x$

$u'\, u^n \ \longrightarrow\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$)

$u'\, e^{u} \ \longrightarrow\ e^{u}$

$\dfrac{u'}{u} \ \longrightarrow\ \ln|u|$

Comment lire une forme composée : tu repères une fonction $u$ « à l'intérieur », puis tu vérifies que sa dérivée $u'$ est présente en facteur. Si oui, la primitive est immédiate.

Propriétés de l'intégrale et méthode de calcul

Soit $F$ une primitive de $f$. On note $\bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)$.

Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ (on découpe l'intervalle).

Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$ (on sépare les termes et on sort les coefficients).

Positivité : si $f \ge 0$ sur $[a,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \ge 0$.

Valeur moyenne : la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\displaystyle\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Méthode pour calculer $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ :

1) Reconnaître la forme de $f$ dans le tableau et écrire une primitive $F$ (constante nulle).

2) Poser le crochet $\bigl[F(x)\bigr]_a^b$.

3) Calculer $F(b) - F(a)$ en substituant d'abord la borne du haut, puis celle du bas.

Exemple (forme composée $u'e^u$). $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,e^{x^2+x}\,dx$.

On pose $u = x^2 + x$, donc $u' = 2x + 1$ : l'intégrande est exactement $u'e^{u}$, de primitive $e^{u}$.

$\bigl[e^{x^2+x}\bigr]_0^1 = e^{1+1} - e^{0+0} = e^2 - 1$.

Ensemble : un polynôme, et l'histoire des signes

Objectif : $\displaystyle\int_1^3 (2x-3)\,dx$. On commente chaque ligne.

Ligne 1. On cherche une primitive terme à terme. Pour $2x$, on remonte à $x^2$ (car $(x^2)' = 2x$). Pour $-3$, on remonte à $-3x$. D'où $F(x) = x^2 - 3x$.

Ligne 2. On pose le crochet : $\displaystyle\int_1^3 (2x-3)\,dx = \bigl[x^2 - 3x\bigr]_1^3$.

Ligne 3. Borne du haut d'abord : $F(3) = 9 - 9 = 0$.

Ligne 4. Puis borne du bas : $F(1) = 1 - 3 = -2$.

Ligne 5. On soustrait, dans le bon ordre (haut moins bas) : $0 - (-2) = 2$.

Ce que dit le dessin. Sur $[1\,;1{,}5]$ la fonction $2x-3$ est négative (aire comptée en moins), sur $[1{,}5\,;3]$ elle est positive (aire en plus). Le résultat $2$ est le bilan des deux : c'est bien une aire algébrique.

Ensemble : reconnaître une forme composée $u'e^u$

Objectif : $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,e^{x^2+x}\,dx$. Ici, pas de primitive « toute faite » : il faut repérer une forme composée.

Ligne 1 — je cherche le $u$ intérieur. Dans $e^{x^2+x}$, l'exposant est $x^2 + x$. Je pose donc $u = x^2 + x$.

Ligne 2 — je dérive $u$. $u' = 2x + 1$, or c'est exactement le facteur devant l'exponentielle. On est donc face à $u'e^{u}$.

Ligne 3 — j'applique la formule. Une primitive de $u'e^{u}$ est $e^{u}$, soit ici $e^{x^2+x}$.

Ligne 4 — le crochet. $\bigl[e^{x^2+x}\bigr]_0^1$.

Ligne 5 — je substitue. Haut : $e^{1^2+1} = e^{2}$. Bas : $e^{0^2+0} = e^{0} = 1$.

Ligne 6 — soustraction. $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,e^{x^2+x}\,dx = e^2 - 1$.

Le réflexe à garder : dès que tu vois une exponentielle (ou une puissance, ou un quotient) avec « la dérivée de l'intérieur » posée devant, tu es sur une forme composée.

Ensemble : la forme $\dfrac{u'}{u}$ qui donne un logarithme

Objectif : $\displaystyle\int_1^2 \frac{2x}{x^2+1}\,dx$. On vise la forme $\dfrac{u'}{u} \longrightarrow \ln|u|$.

Ligne 1 — le $u$. Au dénominateur, $u = x^2 + 1$.

Ligne 2 — sa dérivée. $u' = 2x$, qui est exactement le numérateur. L'intégrande est donc $\dfrac{u'}{u}$.

Ligne 3 — la primitive. Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u| = \ln(x^2+1)$. Ici $x^2+1 > 0$, la valeur absolue est inutile.

Ligne 4 — le crochet. $\bigl[\ln(x^2+1)\bigr]_1^2$.

Ligne 5 — substitution. Haut : $\ln(2^2+1) = \ln 5$. Bas : $\ln(1^2+1) = \ln 2$.

Ligne 6 — soustraction (et une propriété du logarithme). $\ln 5 - \ln 2 = \ln\dfrac{5}{2}$.

Trois exemples, un seul geste : reconnaître la forme, primitiver, poser le crochet, faire haut moins bas.

Les subtilités qui coûtent des points

Le coefficient intérieur se divise, ne se multiplie pas. Une primitive de $e^{ax}$ est $\dfrac{1}{a}e^{ax}$ (et non $a\,e^{ax}$). Vérifie en dérivant : $\left(\dfrac{1}{a}e^{ax}\right)' = \dfrac{1}{a}\cdot a\,e^{ax} = e^{ax}$. De même, une primitive de $\cos(ax)$ est $\dfrac{1}{a}\sin(ax)$, avec un plus (la primitive de $\cos$ est $+\sin$).

L'ordre des bornes. C'est toujours $\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)$ : borne du haut moins borne du bas, jamais l'inverse. Échanger les bornes change le signe du résultat.

La constante $C$. Elle est indispensable quand on cherche une primitive particulière (par exemple avec une condition du type $F(0) = 3$). En revanche, dans un calcul d'intégrale $F(b) - F(a)$, elle disparaît d'elle-même : inutile de la traîner.

La valeur absolue du logarithme. La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln|x|$. On ne retire les barres de valeur absolue que lorsqu'on est sûr que la quantité est strictement positive sur l'intervalle.

Problème type 1 : une valeur moyenne

Énoncé. Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0\,;3]$.

Étape 1 — la formule. $\displaystyle\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ avec $a = 0$ et $b = 3$, donc $\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx$.

Étape 2 — la primitive. Pour $x^2$, la règle $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ donne $\dfrac{x^3}{3}$.

Étape 3 — le crochet. $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - \frac{0}{3} = 9$.

Étape 4 — la moyenne. $\mu = \dfrac{1}{3}\times 9 = 3$.

Lecture. Un rectangle de base $[0\,;3]$ et de hauteur $\mu = 3$ a exactement la même aire que celle sous la parabole : c'est tout le sens de la valeur moyenne.

Problème type 2 : quand l'aire algébrique se compense

Énoncé. Calculer $\displaystyle\int_0^3 (2x-3)\,dx$, puis expliquer le résultat.

Calcul. Primitive $F(x) = x^2 - 3x$. Alors $\bigl[x^2 - 3x\bigr]_0^3 = (9 - 9) - (0 - 0) = 0$.

Interprétation. L'intégrale vaut $0$, pourtant la courbe n'est pas confondue avec l'axe. Sur $[0\,;1{,}5]$, $2x-3$ est négative ; sur $[1{,}5\,;3]$, elle est positive. Les deux aires ont la même valeur et se compensent : l'aire algébrique est nulle.

Le piège. « Intégrale nulle » ne veut pas dire « aire nulle ». Si on te demande l'aire géométrique (toujours positive) d'une fonction qui change de signe, il faut découper avec Chasles là où $f$ s'annule, puis additionner les aires en valeur absolue.

Ce que le correcteur attend : la primitive écrite explicitement, le crochet $\bigl[F(x)\bigr]_a^b$ posé, la substitution détaillée (haut puis bas), et une phrase d'interprétation dès que l'énoncé parle d'aire. Les étapes rapportent autant que le résultat final.

Pourquoi $\int_a^b f = F(b)-F(a)$ ? L'idée de la démonstration

On admet en Terminale un résultat central, le théorème fondamental de l'analyse. Pour $f$ continue sur $[a,b]$, on définit la « fonction aire »

$\displaystyle G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$,

c'est-à-dire l'aire algébrique accumulée depuis $a$ jusqu'à une borne mobile $x$. Le théorème affirme que $G$ est dérivable et que $G'(x) = f(x)$ : autrement dit, $G$ est une primitive de $f$.

Le raisonnement (esquissé). Quand $x$ augmente d'un tout petit $h$, l'aire gagne une fine bande sous la courbe, de largeur $h$ et de hauteur voisine de $f(x)$, donc $G(x+h) - G(x) \approx f(x)\times h$. En divisant par $h$ puis en faisant tendre $h$ vers $0$, on obtient exactement $G'(x) = f(x)$.

On en déduit la formule. Si $F$ est une primitive quelconque de $f$, alors $F$ et $G$ ne diffèrent que d'une constante : $F(x) = G(x) + C$. Comme $G(a) = 0$, on a $F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = G(b) = \displaystyle\int_a^b f$. La règle « haut moins bas » est donc démontrée, pas tombée du ciel.

Ponts avec le reste du programme

Vers les sommes (aire par découpage). Avant la formule, on peut approcher l'aire en la découpant en fines tranches rectangulaires, puis en additionnant. Plus les tranches sont fines, plus la somme approche l'intégrale : c'est l'idée des sommes qui relie l'intégrale aux suites, et qui fonde la définition rigoureuse de l'aire.

Vers les équations différentielles. Chercher une fonction dont on connaît la dérivée, c'est déjà « intégrer ». Résoudre $y' = f$ revient exactement à trouver les primitives de $f$ (à une constante près, fixée par une condition initiale). Le chapitre des équations différentielles prolonge directement celui-ci.

Vers la lecture des signes. La positivité de l'intégrale, croisée avec l'étude du signe et la convexité, sert à comparer des fonctions ou à encadrer des aires sans tout calculer.

Un aperçu de l'an prochain

Après le bac, on garde le même geste mais on élargit la boîte à outils. Voici, sans les démontrer, quelques prolongements que tu croiseras :

L'intégration par parties. Une technique pour intégrer un produit de deux fonctions (par exemple $x\,e^{x}$), en s'appuyant sur la dérivée d'un produit lue à l'envers.

Le changement de variable. On remplace astucieusement la variable pour se ramener à une forme du tableau : c'est la version générale de la « forme composée » que tu utilises déjà.

Les volumes et les intégrales impropres. On calcule des volumes de solides par intégration, et on donne un sens à des intégrales sur un intervalle infini ou près d'une valeur interdite.

Rien de tout cela ne remplace la base d'aujourd'hui : reconnaître une forme, primitiver, poser le crochet, faire haut moins bas. C'est ce socle qui porte toute la suite.