Primitives et intégrales

Calculer une aire, mesurer une variation — les deux faces du calcul intégral.

1 L'idée

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. Si $F$ est une primitive de $f$, toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x)+C$ avec $C \in \mathbb{R}$.

L'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ vaut $F(b)-F(a)$ pour toute primitive $F$ de $f$. Géométriquement, elle mesure l'aire algébrique entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses sur $[a,b]$ : positive là où $f \ge 0$, négative là où $f \le 0$.

2 Primitives usuelles (à connaître par cœur)

Constante $k$

$k \longrightarrow kx$

Puissance $x^n$, $n\neq -1$

$x^n \longrightarrow \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

Inverse $1/x$

$\dfrac{1}{x} \longrightarrow \ln|x|$

Exponentielle

$e^x \longrightarrow e^x$

Sinus

$\sin x \longrightarrow -\cos x$

Cosinus

$\cos x \longrightarrow \sin x$

Forme $u'u^n$, $n\neq -1$

$u' \cdot u^n \longrightarrow \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$

Forme $u'e^u$

$u' \cdot e^u \longrightarrow e^u$

Forme $u'/u$

$\dfrac{u'}{u} \longrightarrow \ln|u|$

3 Propriétés de l'intégrale

Définition

$\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b)-F(a)$

Chasles

$\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$

Linéarité

$\int_a^b(\alpha f+\beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$

Positivité

$f \ge 0 \text{ sur } [a,b] \Rightarrow \int_a^b f \ge 0$

Valeur moyenne

$\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

4 Calcul d'une intégrale

Exemple A — Polynôme

$\displaystyle\int_1^3(2x-3)\,dx$

Primitive de $2x-3$ : $F(x)=x^2-3x$.

$\bigl[x^2-3x\bigr]_1^3 = (9-9)-(1-3) = 0-(-2) = 2$

Exemple B — Forme composée $u'e^u$

$\displaystyle\int_0^1(2x+1)\,e^{x^2+x}\,dx$

Poser $u=x^2+x$, $u'=2x+1$ : on reconnaît la forme $u'e^u$, de primitive $e^u$.

$\bigl[e^{x^2+x}\bigr]_0^1 = e^{1+1}-e^{0+0} = e^2-1$

Méthode — Calculer $\int_a^b f(x)\,dx$

Identifier la forme de $f$ dans le tableau et trouver une primitive $F$ (poser $C=0$).
Écrire le crochet $\bigl[F(x)\bigr]_a^b$.
Calculer $F(b)-F(a)$ en substituant la borne supérieure puis la borne inférieure.

Erreurs fréquentes

Primitive de $e^{ax}$ : c'est $\dfrac{1}{a}e^{ax}$, pas $ae^{ax}$ — on divise par le coefficient interne.
Primitive de $\cos(ax)$ : c'est $\dfrac{1}{a}\sin(ax)$, pas $-\dfrac{1}{a}\sin(ax)$ — la primitive de $\cos$ est $+\sin$.
Ordre des bornes : $\int_a^b f = F(b)-F(a)$, pas $F(a)-F(b)$.
La constante $C$ est obligatoire pour une primitive particulière (avec condition initiale) ; elle disparaît d'elle-même dans $F(b)-F(a)$.