Pas de panique ! Tu as un contrôle sur la géométrie dans l'espace et tu n'as jamais mis les pieds dedans ? Je te résume l'essentiel en partant de zéro. On va juste voir ce qu'il faut pour survivre et résoudre les exercices de base. Souviens-toi juste que, comme en géométrie plane avec x et y, ici on ajoute un troisième axe, l'axe z, pour la profondeur. La seule chose que tu dois absolument maîtriser en prérequis, c'est le cosinus et le sinus sur le cercle trigonométrique, car on les retrouve parfois pour des calculs de distances ou d'angles. On y va, on fait simple et efficace !
Prérequis : le cercle trigonométrique en bref
Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O(0,0,0) et de rayon 1. Un point sur ce cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ) où θ est l'angle formé avec l'axe des abscisses. Par exemple, pour un angle droit (90° ou π/2 rad), on a (0, 1). Ce n'est pas plus compliqué que ça. Retiens que si tu as un angle, tu peux trouver des coordonnées, et inversement.
L'essentiel de la géométrie dans l'espace : points, vecteurs, plans
Dans l'espace, tout point est repéré par 3 coordonnées : (x, y, z). Un vecteur c'est comme une flèche entre deux points : si tu as A(x₁, y₁, z₁) et B(x₂, y₂, z₂), le vecteur AB a pour coordonnées (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).
Un plan, c'est une surface plane infinie. On peut le décrire avec une équation cartésienne : a·x + b·y + c·z + d = 0. Les nombres (a, b, c) forment un vecteur normal au plan, c'est-à-dire un vecteur perpendiculaire au plan, comme un piquet planté droit dans le sol.
Une droite dans l'espace, on la décrit souvent avec une représentation paramétrique : on part d'un point A de la droite, on prend un vecteur directeur u, et tous les points de la droite sont A + t·u, avec t qui varie. Par exemple : x = x_A + t·a, y = y_A + t·b, z = z_A + t·c.
Astuce : parallèle ou perpendiculaire ?
Pour savoir si une droite est parallèle à un plan : regarde le produit scalaire entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan. S'il vaut 0, la droite est parallèle au plan. Pour l'intersection, on mélange les équations : on remplace x, y, z de la droite dans l'équation du plan et on trouve t.
À toi de jouer
1. On considère un point M(1, 3, -2) dans un repère de l'espace.
Complète les coordonnées :
$x_M = \underline{\hspace{1.1em}}$, $y_M = \underline{\hspace{1.1em}}$, $z_M = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
L'énoncé donne directement : $x_M = 1$, $y_M = 3$, $z_M = -2$. Il suffit de lire dans l'ordre (x, y, z).
2. Soit la droite D passant par A(2, 0, -1) et de vecteur directeur $\vec{u}(1, -2, 3)$.
On te dit que sa représentation paramétrique est :
$x = 2 + t \cdot \underline{\hspace{1.1em}}$
$y = \underline{\hspace{1.1em}} + t \cdot (-2)$
$z = -1 + t \cdot \underline{\hspace{1.1em}}$
Complète avec les bons nombres.
Corrigé
On part de A : x_A = 2, y_A = 0, z_A = -1. Le vecteur directeur donne les coefficients de t : 1 pour x, -2 pour y, 3 pour z.
Cela donne :
$x = 2 + t \cdot 1$
$y = 0 + t \cdot (-2)$
$z = -1 + t \cdot 3$
Donc les trous sont : 1, 0, 3.
3. Un plan P a pour équation cartésienne $2x - y + 4z + 1 = 0$.
Son vecteur normal $\vec{n}$ a pour coordonnées $(\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}})$.
Complète.
Corrigé
Dans a·x + b·y + c·z + d = 0, le vecteur normal est (a, b, c). Ici, a = 2, b = -1, c = 4. Donc $\vec{n}(2, -1, 4)$. Les trous : 2, -1, 4.
Ah, ça te revient un peu ? Normal, on a déjà croisé tout ça. Mais là, on va structurer la méthode et réactiver les formules précisément, comme en contrôle. Souviens-toi : un plan, c'est comme une feuille infinie ; une droite, comme un fil tendu. On va bosser leur équation et manipuler ça avec des vecteurs. Prêt à vérifier que c'est bien clair ?
Le plan : équation et vecteur normal
Un plan P se définit soit par trois points non alignés, soit par un point et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ non nul. Son équation est de la forme :
a·x + b·y + c·z + d = 0
où (a, b, c) ≠ (0, 0, 0). Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si tu connais un point A(x_A, y_A, z_A) du plan et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$, l'équation s'écrit directement :
a·(x - x_A) + b·(y - y_A) + c·(z - z_A) = 0
La droite dans l'espace : représentation paramétrique
Une droite passant par A(x_A, y_A, z_A) et dirigée par $\vec{u}(u, v, w)$ (non nul) a une infinité de points de coordonnées :
$x = x_A + t·u$
$y = y_A + t·v$
$z = z_A + t·w$, avec t réel.
C'est la représentation paramétrique (chaque valeur de t donne un point).
Méthode pas-à-pas : intersection d'une droite et d'un plan
Objectif : trouver leur éventuel point commun.
1. Écris la droite sous forme paramétrique si ce n'est pas déjà fait.
2. Remplace x, y, z dans l'équation du plan par ces expressions.
3. Tu obtiens une équation en t :
- Si tu trouves un t unique, la droite coupe le plan en un point (ses coordonnées se calculent avec ce t).
- Si l'équation est impossible (du genre 0 = 5), droite et plan sont strictement parallèles.
- Si l'équation est identiquement vraie (0 = 0), la droite est incluse dans le plan.
À toi de jouer
1. On veut l'équation cartésienne d'un plan passant par A(1, -1, 2) et de vecteur normal $\vec{n}(1, 2, -2)$.
Complète en suivant la formule :
$1 \cdot (x - \underline{\hspace{1.1em}}) + 2 \cdot (y - \underline{\hspace{1.1em}}) + (-2) \cdot (z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
Corrigé
Le point A a pour coordonnées x_A=1, y_A=-1, z_A=2. On les place :
$1 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - (-1)) + (-2) \cdot (z - 2) = 0$
Donc les trous sont : 1, -1, 2.
Soit en développant : $x - 1 + 2y + 2 - 2z + 4 = 0 \implies x + 2y - 2z + 5 = 0$.
2. Soit la droite Δ : $x = 1 + t$, $y = t$, $z = 2 - t$ (t réel).
Son vecteur directeur $\vec{u}$ a pour coordonnées :
$\vec{u}(\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}})$.
Complète.
Corrigé
Dans x = x_A + t·u,… le vecteur est (coefficient de t pour x, pour y, pour z).
Ici, x : coefficient 1 ; y : coefficient 1 ; z : coefficient -1.
Donc $\vec{u}(1, 1, -1)$.
Trous : 1, 1, -1.
3. On donne le plan P : $2x - y + z - 3 = 0$ et la droite Δ précédente.
On veut savoir si Δ est parallèle à P.
On calcule $\vec{u} \cdot \vec{n}$ où $\vec{n}(2, -1, 1)$.
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 1 \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-1) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Complète et conclus.
Corrigé
On calcule le produit scalaire : (1)(2) + (1)(-1) + (-1)(1) = 2 - 1 - 1 = 0.
Complétons : $1 \times 2 + 1 \times (-1) + (-1) \times 1 = 0$.
Le résultat est 0, donc la droite est parallèle au plan (ou incluse).
On vérifie un point : pour t=0, on a (1,0,2). Dans P : 2(1)-0+2-3=1 ≠ 0, donc Δ non incluse. Conclusion : Δ est strictement parallèle à P.
Maintenant que le cours est clair, on va mettre les mains dans le cambouis avec 5 mini-exercices quasiment identiques pour automatiser les réflexes. Tu vas écrire, calculer, vérifier... et à la fin, ce sera du muscle ! C'est parti pour la répétition et la réussite garantie.
À toi de jouer
1. Exercice 1
Donne une représentation paramétrique de la droite passant par A(2, -1, 3) et de vecteur directeur $\vec{u}(1, 0, -2)$.
Complète :
$x = 2 + t \cdot \underline{\hspace{1.1em}}$
$y = -1 + t \cdot \underline{\hspace{1.1em}}$
$z = 3 + t \cdot \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$x = 2 + t \cdot 1$, $y = -1 + t \cdot 0$, $z = 3 + t \cdot (-2)$
Trous : 1, 0, -2.
2. Exercice 2
Donne une représentation paramétrique de la droite passant par B(0, 4, -1) et de vecteur directeur $\vec{v}(-1, 2, 3)$.
Complète :
$x = \underline{\hspace{1.1em}} + t \cdot (-1)$
$y = 4 + t \cdot \underline{\hspace{1.1em}}$
$z = \underline{\hspace{1.1em}} + t \cdot 3$
Corrigé
$x = 0 + t \cdot (-1)$, $y = 4 + t \cdot 2$, $z = -1 + t \cdot 3$
Trous : 0, 2, -1.
3. Exercice 3
Écris l'équation cartésienne du plan passant par C(3, 1, -2) et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 4)$ sous forme développée.
Complète l'étape :
$2 \cdot (x - \underline{\hspace{1.1em}}) + (-1) \cdot (y - \underline{\hspace{1.1em}}) + 4 \cdot (z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
puis développe : $2x - y + 4z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
Corrigé
C(3,1,-2) :
$2(x - 3) + (-1)(y - 1) + 4(z - (-2)) = 0$
→ $2x - 6 - y + 1 + 4z + 8 = 0$
→ $2x - y + 4z + 3 = 0$
Premiers trous : 3, 1, -2. Dernier trou : 3.
4. Exercice 4
Un plan Q a pour équation $x - 3y + 2z + 5 = 0$. Son vecteur normal est $\vec{m}(\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}})$.
Donne aussi un point du plan (choisis x=0, y=0, trouve z) : (0, 0, $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
Vecteur normal (a,b,c) = (1, -3, 2).
Pour le point : si x=0, y=0 alors $0 - 0 + 2z + 5 = 0 \implies z = -5/2$. Trous : 1, -3, 2 et -5/2.
5. Exercice 5
Soit la droite (D) : x = -1 + 2t, y = 3 - t, z = 2t, et le plan R : x + y + z - 4 = 0.
Pour trouver l'intersection, on remplace dans l'équation du plan :
(-1 + 2t) + (3 - t) + (2t) - 4 = 0
Simplifie : $\underline{\hspace{1.1em}} \cdot t + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
Donne t = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
(-1+2t)+(3-t)+2t-4 = (-1+3-4) + (2t - t + 2t) = (-2) + 3t = 0
Donc on a $3t - 2 = 0$, soit t = 2/3.
Trous : 3, -2, 2/3.
Tu tiens le bon bout. Ces exercices sont pile le genre de ce que tu peux rencontrer le jour J. Ils mélangent calcul d'intersection, distance d'un point à un plan, configuration dans un tétraèdre... Bref, de quoi arriver serein. Un conseil : écris posément les étapes, vérifie tes signes, et tout ira bien.
À toi de jouer
1. Exercice 1
On donne les plans :
P₁ : 2x - y + z - 3 = 0
P₂ : 4x - 2y + 2z + 1 = 0
et la droite Δ : x = 1 + t, y = t, z = 2 - t.
1. Montrer que P₁ et P₂ sont parallèles et distincts.
2. La droite Δ est-elle parallèle à P₁ ? Justifier et préciser si elle est incluse ou non.
Corrigé
1. Vecteurs normaux : n₁(2, -1, 1) ; n₂(4, -2, 2). On voit que n₂ = 2·n₁, donc les plans sont parallèles.
Prenons un point de P₁ : avec x=0, y=0, on a z = 3. Point A(0,0,3).
On teste dans P₂ : 4·0 -2·0 +2·3 +1 = 7 ≠ 0, donc A ∉ P₂. Les plans sont distincts.
2. Vecteur directeur de Δ : u(1,1,-1). Produit scalaire u·n₁ = 1·2 + 1·(-1) + (-1)·1 = 2 - 1 - 1 = 0, donc Δ est parallèle à P₁.
Point de Δ pour t=0 : B(1,0,2). Dans P₁ : 2·1 - 0 + 2 - 3 = 1 ≠ 0, donc B ∉ P₁ : Δ strictement parallèle à P₁.
2. Exercice 2
On cherche l'équation cartésienne du plan passant par A(1, -1, 2) et de vecteur normal n(1, 2, -2).
1. Écris cette équation.
2. Vérifie si B(3, -1, 3) appartient à ce plan.
Corrigé
1. Forme : 1(x-1) + 2(y+1) -2(z-2) = 0
⇒ x - 1 + 2y + 2 - 2z + 4 = 0
⇒ x + 2y - 2z + 5 = 0.
2. Pour B(3,-1,3) : 3 + 2(-1) -2·3 + 5 = 3 -2 -6 +5 = 0. B ∈ plan.
3. Exercice 3
Soit le plan Q : x + 2y - z + 4 = 0 et la droite δ : x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 3t.
1. Montre qu'ils ne sont pas parallèles.
2. Trouve les coordonnées de leur point d'intersection I.
Corrigé
1. Vecteur directeur u(1, 2, 3) et normal n(1, 2, -1). u·n = 1·1 + 2·2 + 3·(-1) = 1+4-3=2 ≠0, donc non parallèles.
2. Dans Q : (2+t) + 2(-1+2t) -3t +4 =0
⇒ 2+t -2+4t -3t +4 = 0 ⇒ (2t) + 4 = 0 ⇒ t = -2.
Coordonnées : x=2-2=0, y=-1+2(-2)=-5, z=3(-2)=-6.
Vérification : 0 + 2(-5) - (-6) +4 = 0. I(0,-5,-6).
4. Exercice 4
Plan R : 2x - y + 2z - 5 = 0 et point M(1, 3, 0).
1. Donne une représentation paramétrique de la droite D passant par M et perpendiculaire à R.
2. Détermine le pied H de la perpendiculaire sur R.
3. Calcule la distance de M à R par la formule, puis vérifie en calculant la distance MH.
Corrigé
1. Vecteur normal à R : n(2, -1, 2) dirige D.
D : x = 1+2t, y = 3 - t, z = 0+2t.
2. Intersection avec R : 2(1+2t) - (3-t) + 2(2t) - 5 = 0
⇒ 2+4t -3 +t +4t -5 = 0 ⇒ 9t -6 =0 ⇒ t = 2/3.
H(1+4/3, 3-2/3, 4/3) = (7/3, 7/3, 4/3).
3. Formule : d = |2·1 -3 +2·0 -5| / √(4+1+4) = |2-3-5|/√9 = |-6|/3 = 2.
Vecteur MH : (7/3 -1, 7/3 -3, 4/3 -0) = (4/3, -2/3, 4/3).
MH² = 16/9 + 4/9 + 16/9 = 36/9 = 4 ⇒ MH = 2. Vérifié.
5. Exercice 5
Dans un repère orthonormé, on a A(0,0,0), B(2,0,0), C(1, √3, 0) et D(1, √3/3, (2√6)/3).
1. Vérifie que ABC est équilatéral dans le plan z=0.
2. Donne une équation cartésienne du plan (ABC).
3. Calcule la distance de D au plan (ABC) et interprète géométriquement ce résultat si ABCD est un tétraèdre régulier.
Corrigé
1. AB²=(2-0)²+0+0=4 ⇒ AB=2.
AC²=(1-0)²+(√3-0)²=1+3=4 ⇒ AC=2.
BC²=(1-2)²+(√3-0)²=1+3=4 ⇒ BC=2. Triangle équilatéral.
2. Vecteur normal du plan Oxy : (0,0,1). Équation z = 0.
3. Distance D(..., z_D = 2√6/3) au plan z=0 : d = |2√6/3 - 0| / 1 = 2√6/3.
C'est la hauteur du tétraèdre régulier d'arête 2 : cohérent car hauteur = arête × √(2/3).
Félicitations, tu maîtrises maintenant parfaitement le programme de terminale sur la géométrie dans l'espace. Mais à quoi ça ressemble, une année au-dessus ? On va voir deux exos qui dépassent un peu, histoire de te montrer que ce que tu sais va se prolonger naturellement. Accroche-toi, c'est du bonus !
À toi de jouer
1. Exercice 1 (niveau post-bac)
Soit P le plan d'équation x + 2y - z = 1 et D la droite d'équations cartésiennes :
x + y + z = 2
2x - y + z = 0
(deux équations de plans définissant une droite).
1. Trouve un vecteur directeur de D en faisant le produit vectoriel des vecteurs normaux.
2. Déduis-en si D est parallèle à P ou non.
Corrigé
1. Plan 1 : n₁(1,1,1), plan 2 : n₂(2,-1,1).
Produit vectoriel n₁ ∧ n₂ = (1·1 - 1·(-1), 1·2 - 1·1, 1·(-1)-1·2) = (1+1, 2-1, -1-2) = (2, 1, -3). C'est un vecteur directeur de D.
2. Vecteur normal de P : n(1,2,-1).
Produit scalaire avec direction D : (2,1,-3)·(1,2,-1)=2+2+3=7 ≠0.
Donc D n'est pas parallèle à P.
2. Exercice 2 (vision supérieure)
On donne les points A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) et D(1,1,1).
1. Calcule le volume du tétraèdre ABCD en utilisant le produit mixte.
2. Vérifie que le point D est-il du même côté du plan (ABC) que l'origine ?
Rappel : volume = | (AB, AC, AD) | / 6.
Corrigé
1. AB = (-1,1,0), AC = (-1,0,1), AD = (0,1,1).
Produit mixte = déterminant | -1 1 0; -1 0 1; 0 1 1 | = -1·(0·1 - 1·1) -1·( -1·1 - 1·0) + 0 = -1·(0-1) -1·(-1-0) = 1 + 1 = 2. Volume = |2|/6 = 1/3.
2. (ABC) : x+y+z=1. Origine (0,0,0) donne 0<1, D donne 1+1+1=3>1, donc côtés opposés.