Géométrie dans l'espace — Exercices

Positions relatives, équations de plans, orthogonalité, distance. Corrigé en fin de fiche.

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1Positions relatives de droites et plans/ 4 pts

On considère les plans $\mathcal{P}_1 : 2x-y+z-3=0$ et $\mathcal{P}_2 : 4x-2y+2z+1=0$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $x=1+t$, $y=t$, $z=2-t$ ($t\in\mathbb{R}$).

a) Montrer que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles et distincts.
b) La droite $\Delta$ est-elle parallèle à $\mathcal{P}_1$ ? Justifier.

2Équation cartésienne d'un plan/ 4 pts

Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1,-1,2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1,2,-2)$. Vérifier ensuite que $B(3,-1,3)$ appartient à $\mathcal{P}$.

a) Écrire l'équation de $\mathcal{P}$.
b) Vérifier l'appartenance de $B$.

3Intersection droite–plan/ 5 pts

Soit le plan $\mathcal{Q} : x+2y-z+4=0$ et la droite $\Delta'$ de représentation paramétrique $x=2+t$, $y=-1+2t$, $z=3t$ ($t\in\mathbb{R}$).

a) Montrer que $\Delta'$ n'est pas parallèle à $\mathcal{Q}$.
b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de $\Delta'$ et $\mathcal{Q}$.

4Pied de la perpendiculaire et distance/ 6 pts

Soit le plan $\mathcal{R} : 2x-y+2z-5=0$ et le point $M(1,3,0)$.

a) Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta_M$ passant par $M$ et perpendiculaire à $\mathcal{R}$.
b) Déterminer le pied de la perpendiculaire $H=\Delta_M\cap\mathcal{R}$.
c) Calculer $d(M,\mathcal{R})$ par la formule, puis vérifier en calculant $MH$.

5Hauteur d'un tétraèdre régulier/ 6 pts

Dans un repère orthonormé, on place $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(1,\sqrt{3},0)$ et $D\!\left(1,\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

a) Vérifier que $AB=BC=CA=2$ (triangle équilatéral dans le plan $z=0$).
b) Donner une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
c) Calculer la distance de $D$ au plan $(ABC)$ et interpréter géométriquement.

Corrigé détaillé

1Positions relatives

a) $\vec{n}_1=(2,-1,1),\;\vec{n}_2=(4,-2,2)=2\vec{n}_1 \implies \text{plans parallèles.}\; \text{Point de }\mathcal{P}_1 \text{ avec }x=y=0 : z=3,\text{ soit }A(0,0,3).\; \mathcal{P}_2 : 0-0+6+1=7\neq 0 \implies A\notin\mathcal{P}_2.$ $\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2 \text{ et distincts.}$

b) $\vec{u}_\Delta=(1,1,-1).\;\vec{u}_\Delta\cdot\vec{n}_1=2(1)+(-1)(1)+1(-1)=2-1-1=0 \implies \Delta\parallel\mathcal{P}_1 \text{ ou }\Delta\subset\mathcal{P}_1.\;t=0:(1,0,2).\;2(1)-0+2-3=1\neq 0 \implies (1,0,2)\notin\mathcal{P}_1.$ $\Delta \text{ est parallèle à }\mathcal{P}_1\text{ (non incluse).}$

2Équation d'un plan

a) $1(x-1)+2(y+1)+(-2)(z-2)=0 \implies x-1+2y+2-2z+4=0$ $x+2y-2z+5=0$

b) $B(3,-1,3) : 3+2(-1)-2(3)+5=3-2-6+5$ $=0 \implies B\in\mathcal{P}.\;\checkmark$

3Intersection droite–plan

a) $\vec{u}=(1,2,3),\;\vec{n}=(1,2,-1).\;\vec{u}\cdot\vec{n}=1+4-3=2\neq 0.$ $\Delta'\text{ n'est pas parallèle à }\mathcal{Q}.$

b) $(2+t)+2(-1+2t)-(3t)+4=0 \implies 2+t-2+4t-3t+4=0 \implies 2t+4=0 \implies t=-2.\;x=0,\;y=-5,\;z=-6.\;\text{Vér. : }0+2(-5)-(-6)+4=0.$ $I(0,-5,-6).\;\checkmark$

4Perpendiculaire et distance

a) $\vec{n}=(2,-1,2) \text{ est vecteur directeur de }\Delta_M.$ $\Delta_M:\;x=1+2t,\;y=3-t,\;z=2t,\;t\in\mathbb{R}.$

b) $2(1+2t)-(3-t)+2(2t)-5=0 \implies 2+4t-3+t+4t-5=0 \implies 9t-6=0 \implies t=\dfrac{2}{3}.\;H:\;x=1+\dfrac{4}{3}=\dfrac{7}{3},\;y=3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3},\;z=\dfrac{4}{3}.\;\text{Vér. : }\dfrac{14}{3}-\dfrac{7}{3}+\dfrac{8}{3}-5=\dfrac{15}{3}-5=0.$ $H\!\left(\dfrac{7}{3},\,\dfrac{7}{3},\,\dfrac{4}{3}\right).\;\checkmark$

c) $d(M,\mathcal{R})=\dfrac{|2(1)-(3)+2(0)-5|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{|-6|}{3}=2.\;MH=\sqrt{\left(\tfrac{4}{3}\right)^2+\left(\tfrac{-2}{3}\right)^2+\left(\tfrac{4}{3}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{16+4+16}{9}}=\sqrt{\tfrac{36}{9}}=\sqrt{4}=2.$ $d(M,\mathcal{R})=MH=2.\;\checkmark$

5Hauteur du tétraèdre

a) $AB=\sqrt{2^2+0+0}=2.\;BC=\sqrt{(1-2)^2+(\sqrt{3})^2+0}=\sqrt{1+3}=2.\;CA=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+0}=\sqrt{1+3}=2.$ $AB=BC=CA=2.\;\checkmark$

b) $A,B,C \text{ ont tous la troisième coordonnée }z=0.$ $\text{Le plan }(ABC)\text{ a pour équation }z=0.$

c) $d(D,(ABC))=\dfrac{|z_D|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\dfrac{\tfrac{2\sqrt{6}}{3}}{1}$ $=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.\;\text{C'est la hauteur du tétraèdre régulier d'arête }2.$