Géométrie dans l'espace : droites et plans

Les prérequis à avoir sous la main

On travaille dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ : chaque point de l'espace a trois coordonnées $(x,y,z)$, au lieu de deux dans le plan.

Le vecteur qui va de $A(x_A,y_A,z_A)$ vers $B(x_B,y_B,z_B)$ a pour coordonnées $\vec{AB}(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)$.

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}(a,b,c)$ et $\vec{v}(a',b',c')$ se calcule avec les coordonnées : $\vec{u}\cdot\vec{v}=aa'+bb'+cc'$.

Le point clé de tout le chapitre : deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) exactement quand leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

Enfin, la longueur d'un vecteur $\vec{u}(a,b,c)$ vaut $\|\vec{u}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

L'essentiel, en une page

Un plan $\mathcal{P}$ se décrit par une équation cartésienne : $ax+by+cz+d=0$, avec $(a,b,c)\neq(0,0,0)$. Un point est dans le plan si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.

Le vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ formé par les trois coefficients est un vecteur normal au plan : il lui est perpendiculaire. C'est le raccourci le plus utile du chapitre, car l'équation te donne directement une direction perpendiculaire au plan.

Une droite se décrit par une représentation paramétrique : on part d'un point $A(x_A,y_A,z_A)$ et d'un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha,\beta,\gamma)$ (un vecteur qui donne la direction de la droite), puis

$\begin{cases}x=x_A+t\alpha\\y=y_A+t\beta\\z=z_A+t\gamma\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$

Chaque valeur du paramètre $t$ donne un point de la droite.

Enfin, la distance d'un point $M(x_M,y_M,z_M)$ au plan $\mathcal{P}:ax+by+cz+d=0$ est $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Ne perds jamais la racine carrée au dénominateur.

Un exemple déroulé en entier

Objectif. Trouver l'équation du plan qui passe par $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$ et $C(0,0,1)$.

Étape 1. On écrit l'équation générale d'un plan : $ax+by+cz+d=0$. Il faut déterminer $a$, $b$, $c$ et $d$.

Étape 2. Chaque point donné doit vérifier l'équation ; on remplace ses coordonnées.

Avec $A(1,0,0)$ : $a\times1+b\times0+c\times0+d=0$, donc $a+d=0$.

Avec $B(0,1,0)$ : $b+d=0$.

Avec $C(0,0,1)$ : $c+d=0$.

Étape 3. On en déduit $a=b=c=-d$. Comme on peut multiplier une équation de plan par n'importe quel nombre non nul, on choisit une valeur simple : $d=-1$, ce qui donne $a=b=c=1$.

Étape 4. L'équation cherchée est $x+y+z-1=0$.

Vérification. $A$ : $1+0+0-1=0$, d'accord ; $B$ : $0+1+0-1=0$, d'accord ; $C$ : $0+0+1-1=0$, d'accord. Les trois points sont bien dans le plan.

Le décor : points, vecteurs et produit scalaire

Repère. Tout se passe dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Un point $M$ est donné par ses coordonnées $(x,y,z)$, et un vecteur par les siennes.

Vecteur entre deux points. $\vec{AB}(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)$.

Colinéarité. Deux vecteurs sont colinéaires (même direction) quand l'un est un multiple de l'autre : $\vec{v}=k\,\vec{u}$. C'est ce qui caractérise le parallélisme.

Produit scalaire. Pour $\vec{u}(a,b,c)$ et $\vec{v}(a',b',c')$ : $\vec{u}\cdot\vec{v}=aa'+bb'+cc'$.

Orthogonalité. $\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. Retiens cette équivalence : elle transforme « perpendiculaire » en un simple calcul de coordonnées.

La carte d'identité d'un plan

Équation cartésienne. Un plan $\mathcal{P}$ admet une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$, avec $(a,b,c)\neq(0,0,0)$. Un point appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.

Vecteur normal. Le vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ construit avec les coefficients de $x$, $y$ et $z$ est orthogonal au plan : $\vec{n}\perp\mathcal{P}$. Autrement dit, $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ pour tout vecteur $\vec{u}$ contenu dans le plan.

La réciproque, très pratique. Si on connaît un point $A(x_A,y_A,z_A)$ du plan et un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$, l'équation du plan est

$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.$

On développe ensuite pour retrouver la forme $ax+by+cz+d=0$.

Exemple. Plan passant par $A(2,-1,3)$ de vecteur normal $\vec{n}(1,4,-2)$ : $1(x-2)+4(y+1)-2(z-3)=0$, qui donne après développement $x+4y-2z+8=0$.

Parallélisme de deux plans. Deux plans sont parallèles quand leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

La droite, et les positions relatives

Représentation paramétrique. Une droite est donnée par un point $A(x_A,y_A,z_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha,\beta,\gamma)$ :

$\begin{cases}x=x_A+t\alpha\\y=y_A+t\beta\\z=z_A+t\gamma\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$

Le paramètre $t$ balaie tous les points de la droite : $t=0$ donne $A$, une autre valeur donne un autre point.

Une droite et un plan. On compare le directeur $\vec{u}$ de la droite au vecteur normal $\vec{n}$ du plan.

Si $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq0$, la droite coupe le plan en un unique point : elle est sécante.

Si $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$, la droite est parallèle au plan : soit strictement parallèle (aucun point commun), soit contenue dans le plan (tous ses points sont dans le plan).

Deux droites. Dans l'espace, deux droites peuvent être parallèles (directeurs colinéaires), sécantes (un point commun), ou gauches : ni parallèles, ni sécantes. Ce dernier cas n'existe pas dans le plan, c'est la nouveauté de l'espace et le piège classique.

Ensemble : l'équation d'un plan à partir d'un point et d'un normal

Énoncé. Donner une équation cartésienne du plan passant par $A(2,-1,3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1,4,-2)$.

On lit le cours. Un point plus un vecteur normal, c'est exactement le cas de la formule $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$, où $(a,b,c)$ sont les coordonnées de $\vec{n}$.

On remplace. Ici $a=1$, $b=4$, $c=-2$ et $A(2,-1,3)$, donc $1(x-2)+4\big(y-(-1)\big)-2(z-3)=0$.

Attention au signe. $y-(-1)=y+1$ : le moins d'un moins devient un plus. C'est l'erreur de calcul la plus fréquente ici.

$1(x-2)+4(y+1)-2(z-3)=0$

On développe. $x-2+4y+4-2z+6=0$.

On regroupe les constantes. $-2+4+6=8$, d'où $x+4y-2z+8=0$.

On vérifie avec $A$. $2+4\times(-1)-2\times3+8=2-4-6+8=0$ : le point $A$ appartient bien au plan.

Ensemble : la représentation paramétrique de la droite $(AB)$

Énoncé. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ avec $A(1,2,-1)$ et $B(3,0,1)$.

Il faut un point et un directeur. Le point, on l'a : $A$. Le directeur naturel, c'est le vecteur $\vec{AB}$.

On calcule $\vec{AB}$. $\vec{AB}(3-1,\;0-2,\;1-(-1))=(2,-2,2)$.

On simplifie le directeur. $(2,-2,2)=2\times(1,-1,1)$ : un directeur colinéaire, plus simple, est $\vec{u}(1,-1,1)$. On a le droit, seule compte la direction.

On écrit la paramétrique à partir de $A(1,2,-1)$ et $\vec{u}(1,-1,1)$ :

$\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=-1+t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$

On teste. $t=0$ redonne $A(1,2,-1)$ ; $t=2$ donne $(1+2,\;2-2,\;-1+2)=(3,0,1)=B$. Les deux points de départ sont bien sur la droite.

Ensemble : un vecteur normal à partir de deux vecteurs du plan

Énoncé. Un plan $\mathcal{P}$ contient les vecteurs $\vec{u}(1,0,2)$ et $\vec{v}(0,1,-1)$. Trouver un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$.

La condition. Un vecteur normal est orthogonal à tout vecteur du plan, en particulier à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ : $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$. Deux équations pour trois inconnues : il restera un paramètre libre, c'est normal.

Première équation. $\vec{n}\cdot\vec{u}=a\times1+b\times0+c\times2=a+2c=0$, donc $a=-2c$.

Deuxième équation. $\vec{n}\cdot\vec{v}=a\times0+b\times1+c\times(-1)=b-c=0$, donc $b=c$.

On choisit le paramètre. Tout s'exprime en fonction de $c$ ; on pose $c=1$, d'où $a=-2$ et $b=1$.

Conclusion. $\vec{n}(-2,1,1)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$. N'importe quel multiple non nul convient également.

Problème résolu : intersection d'une droite et d'un plan

Énoncé. Soit la droite $D$ passant par $A(1,1,1)$, de vecteur directeur $\vec{u}(1,2,-1)$, et le plan $\mathcal{P}:2x-y+z-4=0$. Déterminer leur intersection.

Méthode attendue. On paramètre la droite, on injecte dans l'équation du plan, on résout en $t$.

Paramétrage de $D$. $\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1-t\end{cases}$

Substitution dans $\mathcal{P}$. $2(1+t)-(1+2t)+(1-t)-4=0$.

On développe. $2+2t-1-2t+1-t-4=0$.

On simplifie. Les termes en $t$ : $2t-2t-t=-t$. Les constantes : $2-1+1-4=-2$. L'équation devient $-t-2=0$.

On résout. $t=-2$. Il y a une unique solution : la droite est sécante au plan, en un seul point.

Coordonnées du point $I$. On remet $t=-2$ dans le paramétrage : $x=1-2=-1$, $y=1-4=-3$, $z=1+2=3$. Donc $I(-1,-3,3)$.

Vérification (le correcteur adore). $2\times(-1)-(-3)+3-4=-2+3+3-4=0$ : $I$ est bien dans le plan.

Les autres cas à connaître. Si le calcul avait donné une égalité impossible du type $0=-2$, la droite serait strictement parallèle au plan (aucun point commun) ; s'il avait donné $0=0$, la droite serait contenue dans le plan.

Problème résolu : distance d'un point à un plan

Énoncé. Calculer la distance du point $M(1,2,3)$ au plan $\mathcal{P}:2x-y+2z-1=0$.

La formule. $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, avec ici $a=2$, $b=-1$, $c=2$ et $d=-1$.

Le numérateur (on garde la valeur absolue jusqu'au bout) : $|2\times1+(-1)\times2+2\times3+(-1)|=|2-2+6-1|=|5|=5$.

Le dénominateur. $\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$. C'est la norme du vecteur normal $\vec{n}(2,-1,2)$ ; surtout, on n'oublie pas la racine carrée.

Résultat. $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{5}{3}$.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Toujours justifier, jamais deviner. Un vecteur normal se lit sur l'équation du plan, un directeur se calcule à partir de deux points : dis clairement lequel tu utilises et pourquoi.

Piège n°1 : directeur contre normal. Le vecteur directeur d'une droite (ou un vecteur du plan) est porté par l'objet ; le vecteur normal est perpendiculaire au plan. Les confondre fait tout rater.

Piège n°2 : les droites gauches. Deux droites qui ne sont pas parallèles ne se coupent pas forcément : dans l'espace, elles peuvent être gauches. Ne conclus jamais qu'elles se croisent sans avoir trouvé un point commun.

Piège n°3 : le même $t$ pour deux droites. Pour chercher l'intersection de deux droites, utilise deux paramètres différents (par exemple $t$ et $s$) : un point commun ne correspond pas forcément à la même valeur du paramètre sur chacune.

Piège n°4 : la racine carrée oubliée. Le dénominateur de la distance est $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, pas $a^2+b^2+c^2$.

Le réflexe qui rapporte. Termine par une vérification : remets le point trouvé dans l'équation, elle doit donner $0$.

Le raccourci hors programme : le produit vectoriel

Dans l'exemple précédent, on a cherché un vecteur $\vec{n}$ orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ en résolvant un système. Il existe une opération qui le donne directement : le produit vectoriel $\vec{u}\times\vec{v}$. Il est hors du programme de Terminale, mais omniprésent en sciences et dès la prépa ou la licence.

Pour $\vec{u}(a,b,c)$ et $\vec{v}(a',b',c')$, il se calcule composante par composante :

$\vec{u}\times\vec{v}=\big(bc'-cb',\;\;ca'-ac',\;\;ab'-ba'\big).$

Sa propriété clé : $\vec{u}\times\vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ en même temps, donc c'est un vecteur normal au plan qui les contient.

On le teste avec $\vec{u}(1,0,2)$ et $\vec{v}(0,1,-1)$ :

première composante : $bc'-cb'=0\times(-1)-2\times1=-2$ ;

deuxième composante : $ca'-ac'=2\times0-1\times(-1)=1$ ;

troisième composante : $ab'-ba'=1\times1-0\times0=1$.

On retrouve $\vec{u}\times\vec{v}=(-2,1,1)$, exactement le $\vec{n}(-2,1,1)$ obtenu plus haut par le système, mais sans résoudre la moindre équation.

D'où vient la formule de la distance ?

La formule $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ n'est pas tombée du ciel : elle mesure une projection sur la direction normale.

L'idée. On prend un point $A$ du plan. La distance de $M$ au plan, c'est la longueur du projeté du vecteur $\vec{AM}$ sur le vecteur normal $\vec{n}$ : géométriquement, on écrase $\vec{AM}$ sur la seule direction perpendiculaire au plan.

Or le projeté d'un vecteur sur une direction se mesure avec le produit scalaire : la longueur cherchée vaut $\dfrac{|\vec{AM}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{n}\|}$.

En développant $\vec{AM}\cdot\vec{n}$ avec les coordonnées, et en utilisant que $A$ vérifie l'équation du plan, on retombe exactement sur $\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Le dénominateur $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ n'est rien d'autre que $\|\vec{n}\|$.

Où ça va te resservir

Les systèmes et l'algèbre linéaire. Chercher l'intersection de deux ou trois plans revient à résoudre un système d'équations. En prépa et en licence, cela devient l'étude des espaces vectoriels : droites et plans sont les premiers exemples de « sous-espaces ».

Le produit scalaire, partout. Il sert à mesurer des angles, des longueurs, des projections : en physique (le travail d'une force), en informatique graphique (l'éclairage d'une surface se calcule via son vecteur normal), en apprentissage automatique (la similarité entre deux vecteurs).

Une notion voisine : la sphère. Comme le plan a une équation cartésienne, la sphère de centre $\Omega(x_0,y_0,z_0)$ et de rayon $R$ a la sienne : $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$. Étudier l'intersection d'une droite et d'une sphère, ou d'un plan et d'une sphère, mobilise exactement les mêmes réflexes de substitution que ce chapitre.