Géométrie dans l'espace : droites et plans

Positions relatives, équations cartésiennes et représentations paramétriques — la géométrie de l'espace vue par les vecteurs.

1 L'idée

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, tout point est repéré par ses coordonnées $(x,y,z)$. Les droites et les plans sont décrits soit par une équation cartésienne, soit par une représentation paramétrique. Les vecteurs permettent d'étudier le parallélisme, la perpendicularité et de calculer des distances.

2 Formules clés

Équation d'un plan

$\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0 \quad (a,b,c)\neq(0,0,0)$

Vecteur normal

$\vec{n}(a,b,c)\perp\mathcal{P} \iff \vec{n}\cdot\vec{u}=0 \text{ pour tout vecteur } \vec{u} \text{ du plan}$

Plan par un point A

$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$

Droite (repr. param.)

$\begin{cases}x = x_A + tu\\y = y_A + tv\\z = z_A + tw\end{cases}\quad t\in\mathbb{R},\;\vec{u}(u,v,w)\text{ vecteur directeur}$

Distance point–plan

$d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

3 Exemples fondamentaux

Exemple A — Équation du plan passant par $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$

On pose l'équation $ax+by+cz+d=0$ et on substitue les trois points.

$A$ : $a+d=0$ ; $B$ : $b+d=0$ ; $C$ : $c+d=0$ — donc $a=b=c=-d$.

On pose $d=-1$ : l'équation est $x+y+z-1=0$.

Vérification : $A$ : $1+0+0-1=0$ ✓ ; $B$ : $0+1+0-1=0$ ✓ ; $C$ : $0+0+1-1=0$ ✓.

Exemple B — Représentation paramétrique de $(AB)$ avec $A(1,2,-1)$, $B(3,0,1)$

Vecteur directeur : $\vec{AB}=(2,-2,2)$, simplifié en $\vec{u}(1,-1,1)$.

$(AB)$ : $x=1+t$, $y=2-t$, $z=-1+t$, $t\in\mathbb{R}$.

Exemple C — Trouver un vecteur normal à partir de deux vecteurs du plan

Soient $\vec{u}(1,0,2)$ et $\vec{v}(0,1,-1)$ dans le plan $\mathcal{P}$. On cherche $\vec{n}(a,b,c)$ tel que $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$.

$\vec{n}\cdot\vec{u}=0\Rightarrow a+2c=0$, donc $a=-2c$.

$\vec{n}\cdot\vec{v}=0\Rightarrow b-c=0$, donc $b=c$.

On pose $c=1$ : $\vec{n}(-2,1,1)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Méthode — Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan

Écrire la droite sous forme paramétrique : $x=x_A+tu$, $y=y_A+tv$, $z=z_A+tw$.
Substituer dans l'équation du plan pour obtenir une équation en $t$.
Solution unique $t_0$ : la droite coupe le plan en un point ; calculer les coordonnées de $I$.
Équation impossible ($0=k,\;k\neq 0$) : droite et plan parallèles et distincts.
Équation identiquement vraie ($0=0$) : la droite est contenue dans le plan.

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur (dans la droite ou le plan) et vecteur normal (perpendiculaire au plan).
Dans l'espace, deux droites peuvent être gauches (ni parallèles, ni sécantes) : ne pas conclure qu'elles se croisent sans le vérifier.
Utiliser la même lettre paramètre $t$ pour deux droites différentes dans un calcul d'intersection.
Oublier la racine carrée dans le dénominateur de la distance : $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, pas $a^2+b^2+c^2$.