Pas de panique ! On part de zéro. Tu te souviens du produit scalaire en 1ère ? On va le réactiver pour attaquer l'orthogonalité dans l'espace. Accroche-toi, on y va ensemble.
Rappel éclair : le produit scalaire dans l'espace
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, pour deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$, le produit scalaire est :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$.
Il permet de tester l'orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan
Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan (donc perpendiculaire au plan).
Si $\vec{n}(a,b,c)$ est un vecteur normal et $A(x_0,y_0,z_0)$ un point de $\mathcal{P}$, alors pour tout point $M(x,y,z)$ de $\mathcal{P}$, le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$ : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$.
Cela donne l'équation cartésienne : $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, que l'on développe en $ax+by+cz+d=0$ avec $d = -(a x_0 + b y_0 + c z_0)$.
Distance d'un point à un plan
La distance du point $M(x_M,y_M,z_M)$ au plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ est donnée par :
$$d(M,\mathcal{P}) = \frac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
C'est une valeur positive (ou nulle si $M\in\mathcal{P}$).
À toi de jouer
1. Complète l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1,0,-2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2,-1,3)$.
L'équation est de la forme $\underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + d = 0$.
Calcule $d$ en utilisant $A$ : $d = -(\underline{\hspace{1.1em}} \times 1 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 0 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-2)) = -(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $\mathcal{P} : \underline{\hspace{1.1em}}$.
L'équation est de la forme $\underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + d = 0$.
Calcule $d$ en utilisant $A$ : $d = -(\underline{\hspace{1.1em}} \times 1 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 0 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-2)) = -(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $\mathcal{P} : \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
L'équation est $2x - y + 3z + d = 0$. $d = -(2\times 1 + (-1)\times 0 + 3\times (-2)) = -(2 + 0 -6) = -(-4) = 4$. Donc $\mathcal{P} : 2x - y + 3z + 4 = 0$.
2. Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y - z + 5 = 0$.
a) Un vecteur normal est $\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
b) Trouve le point $A(0, \underline{\hspace{1.1em}}, 0)$ appartenant à $\mathcal{P}$ : $3\times 0 + 2\times \underline{\hspace{1.1em}} - 0 + 5 = 0 \Rightarrow 2\underline{\hspace{1.1em}} + 5 = 0 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} = -\frac{5}{2}$.
Donc $A(0, -\frac{5}{2}, 0)$.
a) Un vecteur normal est $\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
b) Trouve le point $A(0, \underline{\hspace{1.1em}}, 0)$ appartenant à $\mathcal{P}$ : $3\times 0 + 2\times \underline{\hspace{1.1em}} - 0 + 5 = 0 \Rightarrow 2\underline{\hspace{1.1em}} + 5 = 0 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} = -\frac{5}{2}$.
Donc $A(0, -\frac{5}{2}, 0)$.
Corrigé
a) $\vec{n}(3,2,-1)$. b) $2y_A + 5 = 0 \Rightarrow y_A = -2.5$, donc $A(0, -2.5, 0)$.
3. Distance d'un point à un plan : calcule $d(M,\mathcal{P})$ avec $M(1,-1,2)$ et $\mathcal{P} : x - 2y + 2z - 3 = 0$.
Applique la formule : $d = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}} \times 1 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-1) + \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 + \underline{\hspace{1.1em}}|}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2}} = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}}|}{ \underline{\hspace{1.1em}} } = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Applique la formule : $d = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}} \times 1 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-1) + \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 + \underline{\hspace{1.1em}}|}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2}} = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}}|}{ \underline{\hspace{1.1em}} } = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$a=1, b=-2, c=2, d=-3$. $|1\times 1 + (-2)\times(-1) + 2\times 2 -3| = |1+2+4-3| = |4| = 4$. Dénominateur $\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = \sqrt{1+4+4}= \sqrt{9}=3$. Donc $d = \frac{4}{3}$.
Ah, ces formules te reviennent ? On va les remettre en ordre avec une méthode claire. Cette fois, on déroule pas à pas, et tu vas voir que ça devient automatique.
Méthode : écrire l'équation cartésienne d'un plan
Étape 1 : Identifier le vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ et un point $A(x_0,y_0,z_0)$ du plan.
Étape 2 : Écrire $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$.
Étape 3 : Développer et réduire pour obtenir $ax+by+cz+d=0$.
Étape 4 : Vérifier en remplaçant les coordonnées de $A$ : on doit trouver $0$.
Méthode : calculer une distance point-plan
Pour $M(x_M,y_M,z_M)$ et $\mathcal{P}: ax+by+cz+d=0$, on applique directement : $d(M,\mathcal{P}) = \frac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Ne pas oublier la valeur absolue !
Positions relatives de deux plans
Deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ de vecteurs normaux $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ :
- $\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2 \iff \vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ sont colinéaires ($\vec{n}_2 = k \vec{n}_1$).
- $\mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
Pour distinguer parallèles confondus ou distincts, on teste si un point de l'un appartient à l'autre.
À toi de jouer
1. Écris l'équation cartésienne du plan passant par $A(2,-1,3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1,4,-2)$.
Étape 1 : $\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
Étape 2 : $\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$.
Étape 3 : Développe : $\underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
soit $\underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
Étape 4 : Vérifie avec $A$ : $\underline{\hspace{1.1em}} \times 2 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-1) - \underline{\hspace{1.1em}} \times 3 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 1 : $\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
Étape 2 : $\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$.
Étape 3 : Développe : $\underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
soit $\underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
Étape 4 : Vérifie avec $A$ : $\underline{\hspace{1.1em}} \times 2 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-1) - \underline{\hspace{1.1em}} \times 3 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\vec{n}(1,4,-2)$, $A(2,-1,3)$. $1(x-2)+4(y+1)-2(z-3)=0$. Développe : $x-2+4y+4-2z+6=0$ soit $x+4y-2z+8=0$. Vérification : $1\times2 + 4\times(-1) -2\times3 +8 = 2-4-6+8=0$.
2. Calcule la distance de $M(0,3,-1)$ au plan $\mathcal{P} : 2x - y + 2z + 4 = 0$.
$d = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}} \times 0 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 3 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-1) + \underline{\hspace{1.1em}}|}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2}} = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}}|}{ \underline{\hspace{1.1em}} } = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$d = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}} \times 0 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 3 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-1) + \underline{\hspace{1.1em}}|}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2}} = \frac{|\underline{\hspace{1.1em}}|}{ \underline{\hspace{1.1em}} } = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$a=2, b=-1, c=2, d=4$. $|2*0 + (-1)*3 + 2*(-1) + 4| = |0 -3 -2 +4| = |-1| = 1$. Dénominateur $\sqrt{4+1+4}=3$. $d = \frac{1}{3}$.
3. Étudie la position relative de $\mathcal{P}_1 : x + 2y - z + 1 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : -2x -4y + 2z -3 = 0$.
Vecteurs normaux : $\vec{n}_1(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$ et $\vec{n}_2(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\vec{n}_2 = \underline{\hspace{1.1em}} \vec{n}_1$, donc les plans sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Testons un point de $\mathcal{P}_1$, par exemple $A(0,0,1)$ : dans $\mathcal{P}_2$, $-2\times0 -4\times0 + 2\times1 -3 = \underline{\hspace{1.1em}} \neq 0$, donc $A \notin \mathcal{P}_2$. Les plans sont donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Vecteurs normaux : $\vec{n}_1(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$ et $\vec{n}_2(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\vec{n}_2 = \underline{\hspace{1.1em}} \vec{n}_1$, donc les plans sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Testons un point de $\mathcal{P}_1$, par exemple $A(0,0,1)$ : dans $\mathcal{P}_2$, $-2\times0 -4\times0 + 2\times1 -3 = \underline{\hspace{1.1em}} \neq 0$, donc $A \notin \mathcal{P}_2$. Les plans sont donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\vec{n}_1(1,2,-1)$, $\vec{n}_2(-2,-4,2) = -2\vec{n}_1$, parallèles. $-2*0-4*0+2*1-3 = -1 \neq 0$, donc distincts.
Cinq exercices quasi identiques pour automatiser l'écriture d'une équation de plan. Tu vas enchaîner, c'est toujours la même mécanique. Prêt ?
À toi de jouer
1. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(1,2,3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2,0,-1)$. Écris son équation cartésienne.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
Corrigé
$\vec{n}(2,0,-1)$, $A(1,2,3)$. $2(x-1)+0(y-2)-1(z-3)=0 \Rightarrow 2x-2 -z+3=0 \Rightarrow 2x - z + 1 = 0$.
2. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(-1,0,4)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3,1,2)$. Écris son équation cartésienne.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z - \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z - \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
Corrigé
$\vec{n}(3,1,2)$, $A(-1,0,4)$. $3(x+1)+1(y-0)+2(z-4)=0 \Rightarrow 3x+3+y+2z-8=0 \Rightarrow 3x+y+2z-5=0$.
3. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(0,-2,1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1,-1,3)$. Écris son équation cartésienne.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z - \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z - \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
Corrigé
$\vec{n}(1,-1,3)$, $A(0,-2,1)$. $1(x-0)-1(y+2)+3(z-1)=0 \Rightarrow x - y -2 +3z -3=0 \Rightarrow x - y +3z -5=0$.
4. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(2,2,-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4,0,1)$. Écris son équation cartésienne.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
Corrigé
$\vec{n}(4,0,1)$, $A(2,2,-1)$. $4(x-2)+0(y-2)+1(z+1)=0 \Rightarrow 4x-8+z+1=0 \Rightarrow 4x+z-7=0$.
5. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(-3,1,0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2,5,-2)$. Écris son équation cartésienne.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} z = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
$\vec{n}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$, $A(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\underline{\hspace{1.1em}}(x - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(y - \underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}}(z - \underline{\hspace{1.1em}}) = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} z = 0$
$\Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} y - \underline{\hspace{1.1em}} z + \underline{\hspace{1.1em}} = 0$.
Corrigé
$\vec{n}(2,5,-2)$, $A(-3,1,0)$. $2(x+3)+5(y-1)-2(z-0)=0 \Rightarrow 2x+6+5y-5-2z=0 \Rightarrow 2x+5y-2z+1=0$.
Place au contrôle ! Ces exercices sont du niveau de ce qu'on peut te demander. Pas de trous cette fois, c'est toi qui fais tout. Montre ce que tu sais.
À toi de jouer
1. Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(2,-1,4)$ et a pour vecteur normal $\vec{n}(3,1,-2)$.
a) Écrire l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
b) Vérifier que $A \in \mathcal{P}$.
c) Le point $B(0,2,5)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?
a) Écrire l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
b) Vérifier que $A \in \mathcal{P}$.
c) Le point $B(0,2,5)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?
Corrigé
a) $3(x-2)+1(y+1)-2(z-4)=0 \Rightarrow 3x-6+y+1-2z+8=0 \Rightarrow 3x+y-2z+3=0$.
b) $3(2)+(-1)-2(4)+3 = 6-1-8+3=0$, oui.
c) $3(0)+2-2(5)+3 = 0+2-10+3 = -5 \neq 0$, donc $B \notin \mathcal{P}$.
b) $3(2)+(-1)-2(4)+3 = 6-1-8+3=0$, oui.
c) $3(0)+2-2(5)+3 = 0+2-10+3 = -5 \neq 0$, donc $B \notin \mathcal{P}$.
2. On considère $\mathcal{P}_1 : 2x - y + 3z - 1 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : -4x + 2y - 6z + 5 = 0$.
a) Montrer que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles et distincts.
b) Soit $\mathcal{P}_3 : x + 2y + z - 4 = 0$. $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_3$ sont-ils perpendiculaires ?
a) Montrer que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles et distincts.
b) Soit $\mathcal{P}_3 : x + 2y + z - 4 = 0$. $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_3$ sont-ils perpendiculaires ?
Corrigé
a) $\vec{n}_1(2,-1,3)$, $\vec{n}_2(-4,2,-6) = -2\vec{n}_1$, colinéaires donc parallèles. Point de $\mathcal{P}_1$ : $A(0, -1, 0)$ (car $2*0 -(-1)+3*0-1=0$). Dans $\mathcal{P}_2$ : $-4*0+2*(-1)-6*0+5 = -2+5=3 \neq 0$, donc distincts.
b) $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3 = 2*1 + (-1)*2 + 3*1 = 2-2+3=3 \neq 0$, donc non perpendiculaires.
b) $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3 = 2*1 + (-1)*2 + 3*1 = 2-2+3=3 \neq 0$, donc non perpendiculaires.
3. Soit le plan $\mathcal{P} : 2x + y - 2z + 6 = 0$ et le point $C(1,-2,3)$.
a) Donner un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ passant par $C$ et perpendiculaire à $\mathcal{P}$.
b) Écrire une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$.
a) Donner un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ passant par $C$ et perpendiculaire à $\mathcal{P}$.
b) Écrire une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$.
Corrigé
a) $\vec{n}(2,1,-2)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$, donc $\vec{u} = \vec{n}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.
b) $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
b) $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
4. Calculer la distance du point $M(3,-1,2)$ au plan $\mathcal{P} : x + 2y - 2z + 4 = 0$.
Corrigé
$d = \frac{|1*3 + 2*(-1) -2*2 + 4|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac{|3-2-4+4|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$.
5. Projeté orthogonal : Soient le plan $\mathcal{P} : x - y + z - 2 = 0$ et le point $A(3,1,1)$.
a) Vérifier que $A \notin \mathcal{P}$.
b) Écrire la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$, perpendiculaire à $\mathcal{P}$.
c) Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$.
d) Calculer la distance $AH$.
e) Retrouver ce résultat avec la formule de distance point-plan.
a) Vérifier que $A \notin \mathcal{P}$.
b) Écrire la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$, perpendiculaire à $\mathcal{P}$.
c) Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$.
d) Calculer la distance $AH$.
e) Retrouver ce résultat avec la formule de distance point-plan.
Corrigé
a) $3-1+1-2 = 1 \neq 0$, donc $A \notin \mathcal{P}$.
b) $\vec{n}(1,-1,1)$ vecteur directeur. $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
c) $H \in \mathcal{D} \cap \mathcal{P}$ : $(3+t) - (1-t) + (1+t) - 2 = 0 \Rightarrow 3+t-1+t+1+t-2 = 1 + 3t = 0 \Rightarrow t = -1/3$. Donc $H(3-1/3, 1+1/3, 1-1/3) = (8/3, 4/3, 2/3)$.
d) $AH = \sqrt{(8/3-3)^2 + (4/3-1)^2 + (2/3-1)^2} = \sqrt{(-1/3)^2 + (1/3)^2 + (-1/3)^2} = \sqrt{3/9} = \sqrt{1/3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
e) $d(A,\mathcal{P}) = \frac{|3-1+1-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
b) $\vec{n}(1,-1,1)$ vecteur directeur. $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
c) $H \in \mathcal{D} \cap \mathcal{P}$ : $(3+t) - (1-t) + (1+t) - 2 = 0 \Rightarrow 3+t-1+t+1+t-2 = 1 + 3t = 0 \Rightarrow t = -1/3$. Donc $H(3-1/3, 1+1/3, 1-1/3) = (8/3, 4/3, 2/3)$.
d) $AH = \sqrt{(8/3-3)^2 + (4/3-1)^2 + (2/3-1)^2} = \sqrt{(-1/3)^2 + (1/3)^2 + (-1/3)^2} = \sqrt{3/9} = \sqrt{1/3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
e) $d(A,\mathcal{P}) = \frac{|3-1+1-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Tu maîtrises les bases ? On va plus loin avec des notions qui te serviront l'an prochain (ou en maths expertes). Distance à une droite, équation d'un plan par trois points, intersection de plans... Prêt à explorer ?
À toi de jouer
1. Distance d'un point à une droite dans l'espace. Soit la droite $\mathcal{D}$ passant par $B(0,1,1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1,-1,1)$. Calcule la distance du point $A(1,2,3)$ à $\mathcal{D}$.
Méthode : on projette orthogonalement $A$ sur $\mathcal{D}$. On calcule $t = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}$, puis $H = B + t\vec{u}$, et enfin $AH = \|\overrightarrow{AH}\|$.
a) Calcule $\overrightarrow{BA}$.
b) Calcule $t$.
c) Déduis les coordonnées de $H$.
d) Calcule la distance $AH$.
Méthode : on projette orthogonalement $A$ sur $\mathcal{D}$. On calcule $t = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}$, puis $H = B + t\vec{u}$, et enfin $AH = \|\overrightarrow{AH}\|$.
a) Calcule $\overrightarrow{BA}$.
b) Calcule $t$.
c) Déduis les coordonnées de $H$.
d) Calcule la distance $AH$.
Corrigé
a) $\overrightarrow{BA} = (1-0, 2-1, 3-1) = (1,1,2)$.
b) $\vec{u} \cdot \overrightarrow{BA} = 1*1 + (-1)*1 + 1*2 = 1-1+2=2$. $\|\vec{u}\|^2 = 1^2+(-1)^2+1^2 = 3$. Donc $t = 2/3$.
c) $H = (0,1,1) + \frac{2}{3}(1,-1,1) = (\frac{2}{3}, 1-\frac{2}{3}, 1+\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})$.
d) $\overrightarrow{AH} = (\frac{2}{3}-1, \frac{1}{3}-2, \frac{5}{3}-3) = (-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$. $AH = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{1+25+16}{9}} = \sqrt{\frac{42}{9}} = \frac{\sqrt{42}}{3}$.
b) $\vec{u} \cdot \overrightarrow{BA} = 1*1 + (-1)*1 + 1*2 = 1-1+2=2$. $\|\vec{u}\|^2 = 1^2+(-1)^2+1^2 = 3$. Donc $t = 2/3$.
c) $H = (0,1,1) + \frac{2}{3}(1,-1,1) = (\frac{2}{3}, 1-\frac{2}{3}, 1+\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})$.
d) $\overrightarrow{AH} = (\frac{2}{3}-1, \frac{1}{3}-2, \frac{5}{3}-3) = (-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$. $AH = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{5}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{1+25+16}{9}} = \sqrt{\frac{42}{9}} = \frac{\sqrt{42}}{3}$.
2. Équation d'un plan passant par trois points non alignés. Soient $A(1,0,2)$, $B(2,-1,1)$ et $C(0,2,0)$. Détermine une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Méthode : on cherche un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ tel que $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. On résout le système, puis on utilise $A$ pour trouver $d$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
b) Écris le système $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
c) Choisis une valeur simple pour $c$ et détermine $a$ et $b$.
d) Écris l'équation du plan.
Méthode : on cherche un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ tel que $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. On résout le système, puis on utilise $A$ pour trouver $d$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
b) Écris le système $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
c) Choisis une valeur simple pour $c$ et détermine $a$ et $b$.
d) Écris l'équation du plan.
Corrigé
a) $\overrightarrow{AB} = (1,-1,-1)$, $\overrightarrow{AC} = (-1,2,-2)$.
b) Système : $a - b - c = 0$ et $-a + 2b -2c = 0$.
c) Posons $c=1$. Alors $a - b -1 = 0 \Rightarrow a = b+1$. La deuxième donne $-(b+1)+2b-2=0 \Rightarrow b-3=0 \Rightarrow b=3$, donc $a=4$. Ainsi $\vec{n}(4,3,1)$.
d) Équation : $4(x-1)+3(y-0)+1(z-2)=0 \Rightarrow 4x-4+3y+z-2=0 \Rightarrow 4x+3y+z-6=0$. Vérification : $A:4+0+2-6=0$, $B:8-3+1-6=0$, $C:0+6+0-6=0$.
b) Système : $a - b - c = 0$ et $-a + 2b -2c = 0$.
c) Posons $c=1$. Alors $a - b -1 = 0 \Rightarrow a = b+1$. La deuxième donne $-(b+1)+2b-2=0 \Rightarrow b-3=0 \Rightarrow b=3$, donc $a=4$. Ainsi $\vec{n}(4,3,1)$.
d) Équation : $4(x-1)+3(y-0)+1(z-2)=0 \Rightarrow 4x-4+3y+z-2=0 \Rightarrow 4x+3y+z-6=0$. Vérification : $A:4+0+2-6=0$, $B:8-3+1-6=0$, $C:0+6+0-6=0$.
3. Intersection de deux plans. Soient $\mathcal{P}_1 : 2x - y + z - 1 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : x + y - 2z + 3 = 0$. Détermine une représentation paramétrique de leur droite d'intersection $\Delta$.
Méthode : on résout le système des deux équations. On exprime deux variables en fonction de la troisième, choisie comme paramètre.
a) Exprime $y$ et $z$ en fonction de $x$ (ou une autre variable).
b) Déduis une représentation paramétrique de $\Delta$.
Méthode : on résout le système des deux équations. On exprime deux variables en fonction de la troisième, choisie comme paramètre.
a) Exprime $y$ et $z$ en fonction de $x$ (ou une autre variable).
b) Déduis une représentation paramétrique de $\Delta$.
Corrigé
a) Système : $\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + y - 2z = -3 \end{cases}$. Additionnons : $3x - z = -2 \Rightarrow z = 3x+2$. Remplaçons dans la 2e : $x + y -2(3x+2) = -3 \Rightarrow x + y -6x -4 = -3 \Rightarrow y -5x = 1 \Rightarrow y = 5x+1$.
b) On pose $x = t$, alors $y = 5t+1$, $z = 3t+2$. Donc $\Delta : \begin{cases} x = t \\ y = 5t+1 \\ z = 3t+2 \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
b) On pose $x = t$, alors $y = 5t+1$, $z = 3t+2$. Donc $\Delta : \begin{cases} x = t \\ y = 5t+1 \\ z = 3t+2 \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.