Orthogonalité dans l'espace — Exercices

De l'application directe au projeté orthogonal. Corrigé complet ci-dessous.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice non indispensable

1Équation cartésienne d'un plan/ 3 pts

Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(1,-2,3)$ et a pour vecteur normal $\vec{n}(2,1,-1)$.

Écrire l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
Vérifier que $A \in \mathcal{P}$.
Le point $B(0,1,4)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?

2Positions relatives de deux plans/ 4 pts

On considère les plans $\mathcal{P}_1 : 3x-y+2z-6=0$, $\mathcal{P}_2 : 6x-2y+4z+1=0$ et $\mathcal{P}_3 : 2y+z-1=0$.

Montrer que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles et distincts.
Montrer que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_3$ sont perpendiculaires.

3Droite perpendiculaire à un plan/ 3 pts

Soit le plan $\mathcal{P} : x+2y-2z+3=0$ et le point $B(3,0,1)$.

Donner un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ passant par $B$ et perpendiculaire à $\mathcal{P}$.
Écrire une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$.

4Distance d'un point à un plan/ 2 pts

Calculer la distance du point $M(2,1,-3)$ au plan $\mathcal{P} : 2x-y+2z-1=0$.

Appliquer la formule de distance point–plan.

5Projeté orthogonal/ 8 pts

Soient le plan $\mathcal{P} : x-y+z-2=0$ et le point $A(3,1,1)$.

Vérifier que $A \notin \mathcal{P}$.
Écrire la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$, perpendiculaire à $\mathcal{P}$.
Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$ en calculant l'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$.
Calculer $AH$. Retrouver le résultat en appliquant directement la formule de distance point–plan.

Corrigé détaillé

1Équation cartésienne d'un plan

a) $2(x-1)+1(y+2)-1(z-3) = 2x-2+y+2-z+3 =$ $2x+y-z+3=0$

b) $2(1)+(-2)-3+3 = 2-2-3+3 =$ $0 \Rightarrow A \in \mathcal{P}$

c) $2(0)+1-4+3 = 0+1-4+3 =$ $0 \Rightarrow B \in \mathcal{P}$

2Positions relatives de deux plans

a) $\vec{n}_1(3,-1,2),\; \vec{n}_2(6,-2,4) = 2\vec{n}_1 \Rightarrow \text{colinéaires, donc parallèles.} \quad A(2,0,0) \in \mathcal{P}_1 : 6-0+0-6=0. \quad 6(2)-0+0+1 = 13 \neq 0 \Rightarrow A \notin \mathcal{P}_2.$ $\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2 \text{ et distincts}$

b) $\vec{n}_1(3,-1,2),\; \vec{n}_3(0,2,1). \quad \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3 = 3(0)+(-1)(2)+2(1) = 0-2+2 =$ $0 \Rightarrow \mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_3$

3Droite perpendiculaire à un plan

a) $\mathcal{D} \perp \mathcal{P} \Rightarrow \vec{u} = \vec{n}(1,2,-2)$ $\vec{u}(1,2,-2)$

b) $\text{Passant par } B(3,0,1), \text{ vecteur directeur } \vec{u}(1,2,-2) :$ $x = 3+t, \quad y = 2t, \quad z = 1-2t, \quad t \in \mathbb{R}$

4Distance d'un point à un plan

$d(M,\mathcal{P}) = \dfrac{|2(2)-(1)+2(-3)-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \dfrac{|4-1-6-1|}{\sqrt{9}} = \dfrac{|-4|}{3} =$ $\dfrac{4}{3}$

5Projeté orthogonal

a) $3-1+1-2 =$ $1 \neq 0 \Rightarrow A \notin \mathcal{P}$

b) $\vec{n}(1,-1,1) \text{ vecteur directeur, passant par } A(3,1,1) :$ $x = 3+t, \quad y = 1-t, \quad z = 1+t, \quad t \in \mathbb{R}$

c) $H \in \mathcal{D} \cap \mathcal{P} : (3+t)-(1-t)+(1+t)-2 = 1+3t = 0 \Rightarrow t = -\dfrac{1}{3}. \quad x=\dfrac{8}{3},\; y=\dfrac{4}{3},\; z=\dfrac{2}{3}. \quad \text{Vérif. : } \dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2 = 0.$ $H\!\left(\dfrac{8}{3},\,\dfrac{4}{3},\,\dfrac{2}{3}\right)$

d) $AH = |t|\cdot\|\vec{n}\| = \dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}. \quad \text{Formule directe : } \dfrac{|3-1+1-2|}{\sqrt{1+1+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} =$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$