Orthogonalité dans l'espace

Vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, distance point–plan — les trois piliers de la géométrie analytique en 3D.

1 L'idée

Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs directeurs de ce plan. Il caractérise l'orientation du plan : deux plans ont leurs vecteurs normaux colinéaires si et seulement s'ils sont parallèles (ou confondus).

Connaître un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ et un point $A(x_0,y_0,z_0) \in \mathcal{P}$ suffit à écrire l'équation cartésienne du plan. Inversement, tout plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ admet $\vec{n}(a,b,c)$ pour vecteur normal — les coefficients se lisent directement.

2 Formules fondamentales

Équation cartésienne

$ax + by + cz + d = 0 \quad (\vec{n}(a,b,c) \text{ vecteur normal})$

Déterminer d

$d = -(ax_0 + by_0 + cz_0) \quad \text{avec } A(x_0,y_0,z_0) \in \mathcal{P}$

Plans perpendiculaires

$\mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$

Plans parallèles

$\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2 \iff \vec{n}_1 \text{ et } \vec{n}_2 \text{ colinéaires}$

Droite ⊥ plan

$\mathcal{D} \perp \mathcal{P} \iff \vec{u}_{\mathcal{D}} \text{ est un vecteur normal de } \mathcal{P}$

Distance point–plan

$d(M,\mathcal{P}) = \dfrac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

3 Exemples

Exemple A — Équation d'un plan

Données : $\vec{n}(2,1,-1)$, point $A(1,-2,3)$.

$2(x-1)+1(y+2)-1(z-3)=0$

$2x-2+y+2-z+3=0 \Rightarrow 2x+y-z+3=0$

Vérif. : $2(1)+(-2)-3+3=0$ ✓

Exemple B — Distance d'un point à un plan

Plan $2x-y+2z-1=0$, point $M(2,1,-3)$.

$d = \dfrac{|2(2)-1(1)+2(-3)-1|}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{|4-1-6-1|}{3} = \dfrac{4}{3}$

Méthode — écrire l'équation d'un plan

Identifier le vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$.
Écrire $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$ avec un point $A \in \mathcal{P}$ connu.
Développer et réduire pour obtenir $ax+by+cz+d=0$.
Contrôler en substituant les coordonnées de $A$ : le résultat doit être $0$.

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur et vecteur normal : $\vec{n}$ est orthogonal au plan, il n'est pas contenu dans celui-ci.
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance — $d(M,\mathcal{P}) \ge 0$ toujours.
Conclure que deux plans aux normales colinéaires sont confondus : il faut vérifier qu'un point de l'un n'appartient pas à l'autre.
Signe de $d$ : on a $d=-(ax_0+by_0+cz_0)$, et non $+(ax_0+by_0+cz_0)$.