V VIDYALAYA · Soutien scolaire
MathématiquesTerminaleGeometrieExercices + corrigé

Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Exercices

De l'application directe au problème dans l'espace. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice inutile
1Représentation paramétrique d'une droite/ 4 pts
Soit la droite $d$ passant par $A(2, -1, 3)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$.
  1. Écrire une représentation paramétrique de $d$.
  2. Le point $M(4, 3, 1)$ appartient-il à $d$ ?
  3. Le point $N(3, 1, 3)$ appartient-il à $d$ ?
2Équation cartésienne d'un plan/ 4 pts
Répondre aux questions suivantes.
  1. Donner un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x - y + 2z - 6 = 0$.
  2. Écrire l'équation du plan $\mathcal{Q}$ de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ passant par $B(2, 1, -1)$.
  3. Vérifier si le point $C(0, -1, 0)$ appartient à $\mathcal{Q}$.
3Intersection droite–plan/ 5 pts
On donne la droite $d : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$ et le plan $\mathcal{P} : 2x + y - z - 4 = 0$.
  1. Substituer la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ et résoudre en $t$.
  2. En déduire les coordonnées du point d'intersection $I$ de $d$ et $\mathcal{P}$.
  3. Vérifier que $I$ appartient bien à $\mathcal{P}$.
4Distance d'un point à un plan/ 3 pts
Soit le plan $\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 3 = 0$ et le point $M(1, 2, -1)$.
  1. Calculer la distance de $M$ au plan $\mathcal{P}$.
  2. Trouver tous les points de l'axe des abscisses ($y = 0$, $z = 0$) situés à la même distance de $\mathcal{P}$ que $M$.
5Plan passant par trois points/ 6 pts
Dans un repère orthonormé, soient $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$.
  1. Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  2. Déterminer un vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ au plan $(ABC)$ en résolvant $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ (on prendra $a = 6$).
  3. En déduire l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  4. Calculer la distance du point $D(1, 1, 1)$ au plan $(ABC)$.
Corrigé détaillé
1Représentation paramétrique d'une droite
a) \(A(2,-1,3),\; \vec{u}(1,2,-1)\) \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\)
b) \(M(4,3,1) \in d \iff \begin{cases} 4 = 2+t \Rightarrow t = 2 \\ 3 = -1+2t \Rightarrow t = 2 \\ 1 = 3-t \Rightarrow t = 2 \end{cases}\) \(t = 2 \text{ est cohérent dans les 3 équations} \Rightarrow M \in d\)
c) \(N(3,1,3) \in d \iff \begin{cases} 3 = 2+t \Rightarrow t = 1 \\ 1 = -1+2t \Rightarrow t = 1 \\ 3 = 3-t \Rightarrow t = 0 \end{cases}\) \(t = 1 \neq t = 0 \text{ : incohérent} \Rightarrow N \notin d\)
2Équation cartésienne d'un plan
a) \(3x - y + 2z - 6 = 0 \Rightarrow \text{les coefficients de } x, y, z \text{ donnent } \vec{n}\) \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\)
b) \(1\cdot(x-2) + (-2)\cdot(y-1) + 3\cdot(z+1) = 0 \Rightarrow x - 2 - 2y + 2 + 3z + 3 = 0\) \(x - 2y + 3z + 3 = 0\)
c) \(C(0,-1,0) : 0 - 2(-1) + 3(0) + 3 = 0 + 2 + 0 + 3 = 5 \neq 0\) \(C \notin \mathcal{Q}\)
3Intersection droite–plan
a) \(2(1+2t) + (-1+t) - (3-t) - 4 = 0 \Rightarrow 2 + 4t - 1 + t - 3 + t - 4 = 0 \Rightarrow 6t - 6 = 0\) \(t = 1\)
b) \(t = 1 \Rightarrow x = 1 + 2(1) = 3,\quad y = -1 + 1 = 0,\quad z = 3 - 1 = 2\) \(I(3,\; 0,\; 2)\)
c) \(2(3) + (0) - (2) - 4 = 6 + 0 - 2 - 4 = 0\) \(0 = 0 \checkmark \quad I \in \mathcal{P}\)
4Distance d'un point à un plan
a) \(d(M,\mathcal{P}) = \dfrac{|2(1) - (2) + 2(-1) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \dfrac{|2 - 2 - 2 - 3|}{\sqrt{9}} = \dfrac{|-5|}{3}\) \(d(M,\mathcal{P}) = \dfrac{5}{3}\)
b) \(P(x,0,0) : \dfrac{|2x + 0 + 0 - 3|}{3} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow |2x - 3| = 5 \Rightarrow 2x - 3 = 5 \text{ ou } 2x - 3 = -5\) \(x = 4 \text{ ou } x = -1 \Rightarrow P_1(4,\,0,\,0) \text{ et } P_2(-1,\,0,\,0)\)
5Plan passant par trois points
a) \(\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}0-1\\2-0\\0-0\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC} = C - A = \begin{pmatrix}0-1\\0-0\\3-0\end{pmatrix}\) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}\)
b) \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = 0 : -a + 2b = 0 \Rightarrow b = \dfrac{a}{2}.\quad \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} = 0 : -a + 3c = 0 \Rightarrow c = \dfrac{a}{3}.\quad a = 6 \Rightarrow b = 3,\; c = 2.\) \(\vec{n}\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}\)
c) \(6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0 \Rightarrow 6x - 6 + 3y + 2z = 0\) \(6x + 3y + 2z - 6 = 0\)
d) \(d(D,\mathcal{P}) = \dfrac{|6(1) + 3(1) + 2(1) - 6|}{\sqrt{36 + 9 + 4}} = \dfrac{|6 + 3 + 2 - 6|}{\sqrt{49}} = \dfrac{5}{7}\) \(d(D,\mathcal{P}) = \dfrac{5}{7}\)