Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Deux langages complémentaires pour décrire droites et plans dans l'espace : paramétrique et cartésien.

1 L'idée

Dans l'espace, une droite est définie par un point et un vecteur directeur $\vec{u}$. Sa représentation paramétrique exprime les coordonnées $(x, y, z)$ de tout point en fonction d'un réel $t$ qui parcourt $\mathbb{R}$. Un plan est défini par un vecteur normal $\vec{n}$ (perpendiculaire au plan) passant par un point ; son équation cartésienne est une relation linéaire $ax + by + cz + d = 0$. Ces deux descriptions sont complémentaires : on utilise la forme paramétrique pour les droites, la forme cartésienne pour les plans.

2 Représentation paramétrique d'une droite

Système paramétrique

$A(x_0, y_0, z_0),\; \vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \Longrightarrow \begin{cases} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

Appartenance d'un point

$M \in d \iff \exists\, t \in \mathbb{R} \text{ tel que les 3 équations soient simultanément vérifiées}$

3 Équation cartésienne d'un plan

Forme générale

$ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec } (a,b,c) \neq (0,0,0)$

Vecteur normal

$\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \text{ est perpendiculaire au plan}$

Distance point–plan

$d(M,\mathcal{P}) = \dfrac{\lvert ax_M + by_M + cz_M + d \rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

4 Exemples fondamentaux

Représentation paramétrique d'une droite

Droite passant par $A(1, -2, 3)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$ :

$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$

Équation cartésienne d'un plan

Plan de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ passant par $B(1, 0, -2)$ :

$2(x-1) - 3(y-0) + 1\cdot(z+2) = 0$

soit $2x - 3y + z = 0$

Méthodes clés

Intersection droite / plan : substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan, résoudre en $t$, reporter la valeur dans la droite pour obtenir les coordonnées de $I$.
Plan par trois points $A$, $B$, $C$ : former $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, résoudre $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ (système à 2 équations, 3 inconnues — on fixe librement l'une d'elles), puis écrire l'équation en passant par $A$.
Droite parallèle à un plan : la substitution conduit à une contradiction (ex. $0 = 5$) — il n'y a pas de valeur de $t$.

Erreurs fréquentes

$(a, b, c)$ dans $ax+by+cz+d=0$ est le vecteur normal au plan, pas un vecteur directeur.
Pour tester l'appartenance d'un point à une droite, les trois équations doivent donner la même valeur de $t$ — une seule équation ne suffit pas.
La représentation paramétrique n'est pas unique : tout point de la droite et tout vecteur colinéaire à $\vec{u}$ convient.
Ne pas oublier le terme $d$ : poser $d = 0$ revient à supposer que le plan passe par l'origine, ce qui n'est pas toujours le cas.