Tu n'as jamais entendu parler de la loi des grands nombres ? Pas de panique, on va démarrer de zéro. Accroche-toi, on va droit au but : devenir fonctionnel rapidement.
Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. Exemple : le gain à un jeu. L'espérance E(X) est la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions. La variance V(X) mesure la dispersion. Ces notions ont été vues en première. Nous allons les utiliser intensivement.
Plus on répète une expérience, plus la fréquence empirique d'un événement se stabilise autour de sa probabilité théorique. Par exemple, en lançant un dé équilibré un très grand nombre de fois, la proportion de 6 obtenus tend vers 1/6. La loi des grands nombres formalise cette stabilisation pour la moyenne d'observations indépendantes.
Pour toute variable aléatoire X d'espérance μ et de variance σ², on a pour tout t>0 :
$P(|X - \mu| \ge t) \le \frac{\sigma^2}{t^2}$.
Cette inégalité permet de contrôler la probabilité des grands écarts. Appliquée à la moyenne empirique $\bar{X}_n$, elle donne le théorème de la loi des grands nombres.
Soit X une variable aléatoire avec E(X)=5 et V(X)=3.
Complète l'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$P(|X - 5| \ge 4) \le \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}^2} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc la probabilité que X s'écarte de sa moyenne d'au moins 4 est majorée par \ldots
$P(|X - 5| \ge 4) \le \frac{3}{4^2} = \frac{3}{16} = 0.1875$.
Donc la probabilité que X s'écarte de sa moyenne d'au moins 4 est majorée par $0.1875$.
Soit $X_1, \ldots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi, d'espérance μ et de variance σ². La moyenne empirique est $\bar{X}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$.
Complète :
$E(\bar{X}_n) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$V(\bar{X}_n) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $\bar{X}_n$, on obtient : $P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{n \varepsilon^2}$.
$E(\bar{X}_n) = \mu$, $V(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$.
$P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$.
Pour $n=50$, σ²=4, ε=0.5, complète la majoration de $P(|\bar{X}_n - \mu| \ge 0.5)$ :
$P(|\bar{X}_n - \mu| \ge 0.5) \le \frac{4}{50 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P(|\bar{X}_n - \mu| \ge 0.5) \le \frac{4}{50 \times (0.5)^2} = \frac{4}{50 \times 0.25} = \frac{4}{12.5} = 0.32$.
Ah, tu te souviens de la stabilisation des fréquences ? On va remettre tout ça en ordre avec la méthode complète, pas à pas.
Soient $X_1, \ldots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi (i.i.d.), d'espérance μ et de variance σ². On note $\bar{X}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$.
Propriétés :
$E(\bar{X}_n) = \mu$
$V(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable X : $P(|X - \mu| \ge t) \le \frac{\sigma^2}{t^2}$ pour $t>0$.
Appliquée à $\bar{X}_n$, on obtient la loi des grands nombres :
$P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.
1. Identifier la loi commune des $X_i$ : elle donne μ et σ².
2. Calculer $\mu = E(X_i)$ et $\sigma^2 = V(X_i)$.
3. Former la moyenne empirique $\bar{X}_n$.
4. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $\bar{X}_n$ avec $t = \varepsilon$ pour majorer $P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon)$.
5. Pour trouver un effectif n minimal garantissant une précision ε avec un risque $\alpha$ (i.e. $P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \alpha$), résoudre $\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \le \alpha$, soit $n \ge \frac{\sigma^2}{\alpha \varepsilon^2}$.
Soit X une variable aléatoire avec E(X)=10 et V(X)=16.
Complète :
$P(|X - 10| \ge 5) \le \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}^2} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
La borne obtenue pour $P(|X - 10| \ge 2)$ est-elle informative ?
Complète : $P(|X - 10| \ge 2) \le \frac{16}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc cette majoration est \ldots (utile / inutile car supérieure à 1).
$P(|X - 10| \ge 5) \le \frac{16}{5^2} = \frac{16}{25} = 0.64$.
$P(|X - 10| \ge 2) \le \frac{16}{2^2} = \frac{16}{4} = 4$. Cette majoration est inutile car supérieure à 1 (une probabilité est toujours ≤1). La borne n'est pas informative.
Soit $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d. avec $E(X_i)=7$ et $V(X_i)=12$.
Complète :
$E(\bar{X}_n) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$V(\bar{X}_n) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Pour $n=40$, $V(\bar{X}_{40}) = \frac{12}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$E(\bar{X}_n) = 7$
$V(\bar{X}_n) = \frac{12}{n}$
Pour $n=40$, $V(\bar{X}_{40}) = \frac{12}{40} = 0.3$.
On lance une pièce truquée où $P(\text{pile}) = 0.4$. On répète l'expérience $n$ fois. Soit $X_i$ la variable indicatrice : $X_i=1$ si pile au $i$-ème lancer, $0$ sinon.
Complète :
$E(X_i) = p = 0.4$
$V(X_i) = p(1-p) = 0.4 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
On note $\bar{X}_n$ la fréquence de piles sur $n$ lancers. Pour $n=200$ et $\varepsilon=0.05$, majore $P(|\bar{X}_n - 0.4| \ge 0.05)$ :
$P \le \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{200 \times (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \frac{0.24}{200 \times 0.0025} = \frac{0.24}{0.5} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$V(X_i) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$.
$P(|\bar{X}_n - 0.4| \ge 0.05) \le \frac{0.24}{200 \times (0.05)^2} = \frac{0.24}{200 \times 0.0025} = \frac{0.24}{0.5} = 0.48$.
Cinq fois la même chose, cinq fois les mêmes gestes. Du par cœur pour que ça devienne automatique.
On considère $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d. avec $E(X_i)=2$ et $V(X_i)=1$. Pour $n=50$ et $\varepsilon=0.1$, majore $P(|\bar{X}_n - 2| \ge 0.1)$ en complétant :
$P \le \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{50 \times (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \frac{1}{50 \times 0.01} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P \le \frac{1}{50 \times (0.1)^2} = \frac{1}{50 \times 0.01} = \frac{1}{0.5} = 2$. La borne est $2$, mais une probabilité ne peut dépasser $1$ ; la majoration effective est donc $1$ (elle n'est pas informative).
$E(X_i)=5$, $V(X_i)=4$, $n=100$, $\varepsilon=0.2$.
$P(|\bar{X}_n - 5| \ge 0.2) \le \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{100 \times (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \frac{4}{100 \times 0.04} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P \le \frac{4}{100 \times (0.2)^2} = \frac{4}{100 \times 0.04} = \frac{4}{4} = 1$. La borne est $1$, donc pas d'information.
$E(X_i)=10$, $V(X_i)=9$, $n=80$, $\varepsilon=0.5$.
$P(|\bar{X}_n - 10| \ge 0.5) \le \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{80 \times (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \frac{9}{80 \times 0.25} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P \le \frac{9}{80 \times (0.5)^2} = \frac{9}{80 \times 0.25} = \frac{9}{20} = 0.45$.
$E(X_i)=0$, $V(X_i)=2$, $n=200$, $\varepsilon=0.3$.
$P(|\bar{X}_n| \ge 0.3) \le \frac{2}{200 \times (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \frac{2}{200 \times 0.09} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P \le \frac{2}{200 \times (0.3)^2} = \frac{2}{200 \times 0.09} = \frac{2}{18} \approx 0.111$.
$E(X_i)=-3$, $V(X_i)=5$, $n=150$, $\varepsilon=0.2$.
$P(|\bar{X}_n + 3| \ge 0.2) \le \frac{5}{150 \times (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \frac{5}{150 \times 0.04} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P \le \frac{5}{150 \times (0.2)^2} = \frac{5}{150 \times 0.04} = \frac{5}{6} \approx 0.833$.
On passe aux choses sérieuses : des exercices de type contrôle, sans filet. Tu vas mobiliser tout ce que tu sais.
Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X)=8$ et $V(X)=4$.
a) Majorer $P(|X - 8| \ge 4)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
b) La borne obtenue pour $P(|X - 8| \ge 2)$ est-elle informative ? Justifier.
c) En déduire une minoration de la probabilité $P(4 < X < 12)$.
a) $P(|X - 8| \ge 4) \le \frac{V(X)}{4^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$.
b) $P(|X - 8| \ge 2) \le \frac{4}{2^2} = 1$. La borne vaut $1$, ce qui n'apporte aucune information pratique car une probabilité est toujours inférieure ou égale à $1$.
c) $P(4 < X < 12) = P(|X-8| < 4) = 1 - P(|X-8| \ge 4) \ge 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Soit $X_1, \ldots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi, avec $E(X_i)=3$ et $V(X_i)=9$. On pose $\bar{X}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$.
a) Démontrer que $E(\bar{X}_n)=3$.
b) Démontrer que $V(\bar{X}_n) = \frac{9}{n}$.
c) Application : calculer $E(\bar{X}_{30})$ et $V(\bar{X}_{30})$.
a) $E(\bar{X}_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 3 = 3$.
b) Par indépendance, $V(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 9 = \frac{9}{n}$.
c) $E(\bar{X}_{30}) = 3$ et $V(\bar{X}_{30}) = \frac{9}{30} = 0.3$.
On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0.6$, de façon indépendante. On note $X_i$ la variable indicatrice du succès à la $i$-ème répétition, et $\bar{X}_n$ la fréquence empirique des succès.
a) Donner $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
b) Pour $n=120$, majorer $P(|\bar{X}_{120} - 0.6| \ge 0.05)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
c) Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que $P(|\bar{X}_n - 0.6| \ge 0.05) \le 0.01$.
a) $E(X_i) = p = 0.6$, $V(X_i) = p(1-p) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$.
b) $P(|\bar{X}_{120} - 0.6| \ge 0.05) \le \frac{0.24}{120 \times (0.05)^2} = \frac{0.24}{120 \times 0.0025} = \frac{0.24}{0.3} = 0.8$.
c) On cherche $n$ tel que $\frac{0.24}{n \times 0.0025} \le 0.01$, soit $n \ge \frac{0.24}{0.01 \times 0.0025} = \frac{0.24}{0.000025} = 9600$. Le plus petit entier est $n = 9600$.
On lance un dé équilibré à six faces $n$ fois. On note $X_i$ le résultat du $i$-ème lancer et $\bar{X}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ la moyenne empirique. On admet que $\sum_{k=1}^{6} k^2 = 91$.
a) Calculer $E(X_1)$.
b) Calculer $E(X_1^2)$, puis en déduire $V(X_1)$.
c) Exprimer $E(\bar{X}_n)$ et $V(\bar{X}_n)$ en fonction de $n$.
d) Majorer $P\left( |\bar{X}_n - \frac{7}{2}| \ge 0.5 \right)$ en fonction de $n$.
e) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la majoration précédente soit inférieure ou égale à $0.02$.
a) $E(X_1) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
b) $E(X_1^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}$. Alors $V(X_1) = E(X_1^2) - (E(X_1))^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$.
c) $E(\bar{X}_n) = \frac{7}{2}$ et $V(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot V(X_1) = \frac{35}{12n}$.
d) $P\left( |\bar{X}_n - \frac{7}{2}| \ge 0.5 \right) \le \frac{V(\bar{X}_n)}{(0.5)^2} = \frac{35/(12n)}{0.25} = \frac{35}{12n \times 0.25} = \frac{35}{3n}$.
e) On veut $\frac{35}{3n} \le 0.02$, donc $n \ge \frac{35}{3 \times 0.02} = \frac{35}{0.06} \approx 583.33$. Le plus petit entier est $n = 584$.
Tu maîtrises la loi des grands nombres ? Voyons comment elle ouvre la porte à la méthode de Monte-Carlo et aux simulations. Un avant-goût de ce qui t'attend plus tard.
On souhaite estimer le nombre $\pi$ par la méthode de Monte-Carlo. On lance $n$ points au hasard, de manière indépendante, dans le carré unité $[0,1] \times [0,1]$. Un point est un succès si sa distance à l'origine est inférieure ou égale à 1, c'est-à-dire s'il appartient au quart de disque unité : $x^2 + y^2 \le 1$. On note $X_i$ la variable indicatrice du succès pour le $i$-ème point : $X_i = 1$ si succès, $0$ sinon.
a) Quelle est la probabilité qu'un point tiré au hasard dans le carré tombe dans le quart de disque ? En déduire $E(X_i)$.
b) Calculer $V(X_i)$ en fonction de $\pi$.
c) On considère la proportion de succès $\bar{X}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$. Majorer $P(|\bar{X}_n - \frac{\pi}{4}| \ge 0.01)$ en fonction de $n$ (on laissera $\pi$ dans l'expression).
d) On admet que $\pi \approx 3.14$. Déterminer un entier $n$ à partir duquel la majoration de la probabilité qu'on vient d'obtenir est inférieure à $0.05$.
a) L'aire du quart de disque de rayon 1 est $\frac{\pi}{4}$ et l'aire du carré unité est $1$. Donc la probabilité qu'un point tombe dans le quart de disque est $p = \frac{\pi}{4}$. Comme $X_i$ est une variable indicatrice, $E(X_i) = p = \frac{\pi}{4}$.
b) $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{\pi}{4}$, donc $V(X_i) = \frac{\pi}{4}\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi(4-\pi)}{16}$.
c) Les $X_i$ sont indépendantes et de même loi, donc $V(\bar{X}_n) = \frac{V(X_i)}{n} = \frac{\pi(4-\pi)}{16n}$. Par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$P\!\left(|\bar{X}_n - \tfrac{\pi}{4}| \ge 0{,}01\right) \le \frac{V(\bar{X}_n)}{(0{,}01)^2} = \frac{\pi(4-\pi)}{16n \times 0{,}0001} = \frac{\pi(4-\pi)}{0{,}0016\, n}$.
d) Avec $\pi \approx 3{,}14$, on obtient $\pi(4-\pi) \approx 3{,}14 \times 0{,}86 = 2{,}7004$. On cherche $n$ tel que la majoration soit strictement inférieure à $0{,}05$ :
$\frac{2{,}7004}{0{,}0016\, n} < 0{,}05 \iff n > \frac{2{,}7004}{0{,}0016 \times 0{,}05} = \frac{2{,}7004}{0{,}00008} = 33\,755$.
Le plus petit entier strictement supérieur à $33\,755$ est $33\,756$. Donc à partir de $n = 33\,756$, la majoration est strictement inférieure à $0{,}05$.
Note : pour $n = 33\,755$, la borne vaut exactement $0{,}05$, ce qui ne satisfait pas la condition stricte.
Un mobile se déplace sur une droite. À chaque étape, il avance de $+1$ avec probabilité $0.5$ et recule de $-1$ avec probabilité $0.5$, de manière indépendante. Soit $X_i$ le déplacement à l'étape $i$ (vaut $+1$ ou $-1$).
a) Calculer $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
b) Soit $\bar{D}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ le déplacement moyen par étape après $n$ étapes. Donner $E(\bar{D}_n)$.
c) Majorer $P(|\bar{D}_n| \ge 0.1)$ en fonction de $n$.
d) Combien d'étapes faut-il pour que la probabilité que le déplacement moyen dépasse $0.1$ en valeur absolue soit inférieure ou égale à $0.05$ ?
a) $E(X_i) = 0.5 \times 1 + 0.5 \times (-1) = 0$. $E(X_i^2)=1$, donc $V(X_i) = E(X_i^2) - (E(X_i))^2 = 1$.
b) $E(\bar{D}_n) = E(X_i) = 0$.
c) Par Bienaymé-Tchebychev, $P(|\bar{D}_n| \ge 0.1) \le \frac{V(\bar{D}_n)}{(0.1)^2} = \frac{1/n}{0.01} = \frac{1}{0.01 n} = \frac{100}{n}$.
d) On veut $\frac{100}{n} \le 0.05$, donc $n \ge \frac{100}{0.05} = 2000$. Il faut au moins $2000$ étapes.
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