Loi des grands nombres — Exercices

De Bienaymé-Tchebychev au calcul du nombre d'expériences nécessaires. Corrigé en fin de document.

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1Bienaymé-Tchebychev : application directe/ 4 pts

Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 12$ et $V(X) = 9$.

Majorer $P(|X - 12| \ge 6)$.
La borne obtenue pour $P(|X - 12| \ge 3)$ est-elle informative ? Justifier.
En déduire une minoration de $P(6 \lt X \lt 18)$.

2Propriétés de la moyenne empirique/ 3 pts

Soit $X_1, \ldots, X_n$ des variables aléatoires i.i.d. d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. On pose $\bar{X}_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$.

Démontrer que $E(\bar{X}_n) = \mu$.
Démontrer que $V(\bar{X}_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$.
Application : si $E(X_i) = 4$ et $V(X_i) = 8$, calculer $E(\bar{X}_{50})$ et $V(\bar{X}_{50})$.

3Loi des grands nombres — expérience de Bernoulli/ 5 pts

On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}3$. On note $\bar{X}_n$ la fréquence empirique de succès.

Calculer $E(X_i)$ et $V(X_i)$ pour une loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$.
Pour $n = 100$, majorer $P(|\bar{X}_{100} - 0{,}3| \ge 0{,}1)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que $P(|\bar{X}_n - 0{,}3| \ge 0{,}1) \le 0{,}05$.

4Lancer de dé — problème complet/ 8 pts

On lance un dé équilibré à six faces $n$ fois. On note $X_i$ le résultat du $i$-ème lancer et $\bar{X}_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ la moyenne empirique. On admet que $\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k^2 = 91$.

Calculer $E(X_1)$.
Calculer $E(X_1^2)$ puis en déduire $V(X_1)$.
Exprimer $E(\bar{X}_n)$ et $V(\bar{X}_n)$ en fonction de $n$.
Majorer $P\!\left(|\bar{X}_n - \dfrac{7}{2}| \ge 1\right)$ en fonction de $n$.
Trouver le plus petit entier $n$ tel que la majoration précédente soit inférieure ou égale à $0{,}01$.

Corrigé détaillé

1Bienaymé-Tchebychev : application directe

a) $P(|X - 12| \ge 6) \le \dfrac{V(X)}{6^2} = \dfrac{9}{36} =$ $\dfrac{1}{4}$

b) $P(|X - 12| \ge 3) \le \dfrac{9}{3^2} = \dfrac{9}{9} = 1$ $\text{Borne triviale} \le 1 \text{ : aucune information utile.}$

c) $P(6 \lt X \lt 18) = P(|X-12| \lt 6) \ge 1 - P(|X-12| \ge 6) \ge 1 - \dfrac{1}{4} =$ $\dfrac{3}{4}$

2Propriétés de la moyenne empirique

a) $E(\bar{X}_n) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \dfrac{1}{n} \cdot n\mu =$ $\mu$

b) $V(\bar{X}_n) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} V(X_i) = \dfrac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 =$ $\dfrac{\sigma^2}{n}$

c) $E(\bar{X}_{50}) = 4 \quad \text{et} \quad V(\bar{X}_{50}) = \dfrac{8}{50} =$ $\dfrac{4}{25} = 0{,}16$

3Loi des grands nombres — expérience de Bernoulli

a) $E(X_i) = p = 0{,}3 \quad \text{et} \quad V(X_i) = p(1-p) = 0{,}3 \times 0{,}7 =$ $0{,}21$

b) $P(|\bar{X}_{100} - 0{,}3| \ge 0{,}1) \le \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} = \dfrac{0{,}21}{100 \times (0{,}1)^2} = \dfrac{0{,}21}{1} =$ $0{,}21$

c) $\dfrac{0{,}21}{n \times (0{,}1)^2} \le 0{,}05 \implies n \ge \dfrac{0{,}21}{0{,}05 \times 0{,}01} = \dfrac{0{,}21}{0{,}0005} = 420$ $n_{\min} = 420$

4Lancer de dé — problème complet

a) $E(X_1) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} =$ $\dfrac{7}{2}$

b) $E(X_1^2) = \dfrac{91}{6} \quad;\quad V(X_1) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} =$ $\dfrac{35}{12}$

c) $E(\bar{X}_n) = \dfrac{7}{2} \quad \text{et} \quad V(\bar{X}_n) = \dfrac{35/12}{n} =$ $\dfrac{35}{12n}$

d) $P\!\left(|\bar{X}_n - \dfrac{7}{2}| \ge 1\right) \le \dfrac{V(\bar{X}_n)}{1^2} =$ $\dfrac{35}{12n}$

e) $\dfrac{35}{12n} \le 0{,}01 \implies n \ge \dfrac{35}{12 \times 0{,}01} = \dfrac{35}{0{,}12} \approx 291{,}7$ $n_{\min} = 292$