Salut ! La loi normale, ça te dit rien ? T'inquiète, on part de la loi binomiale que tu as vue en Première, et on découvre cette loi continue qui ressemble à une cloche. C'est parti pour l'essentiel, et vite !
En Première, tu as étudié la loi binomiale : quand on répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli indépendante avec probabilité de succès $p$, le nombre total de succès $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Sa moyenne (espérance) est $E(X)=np$ et sa variance est $V(X)=np(1-p)$. Cette loi est discrète : $X$ prend des valeurs entières $0,1,\dots,n$.
La loi normale, notée $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, modélise une variable aléatoire continue (elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle). Sa densité forme une courbe en cloche symétrique autour de la moyenne $\mu$. L'écart-type $\sigma$ mesure l'étalement : plus $\sigma$ est grand, plus la cloche est large.
Règle des sigmas :
Autrement dit, $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0{,}68$ et $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0{,}95$.
Ah oui, la loi normale ! Cette courbe en cloche, les sigmas… On remet tout ça au point avec la méthode précise. Tu vas voir, c'est mécanique.
Retiens ces valeurs précises :
Grâce à la symétrie, on calcule les « queues » : $P(X \le \mu-a) = P(X \ge \mu+a) = \dfrac{1 - P(\mu-a \le X \le \mu+a)}{2}$.
Allez, on muscle la mémoire ! Cinq mini-exercices quasi identiques. Le but : que le calcul devienne un réflexe.
Tu sais calculer les probabilités avec la loi normale. Au contrôle, on te demandera aussi de construire et d'interpréter des intervalles de confiance pour une proportion. On s'y met tout de suite.
Quand on prélève un échantillon de taille $n$ (grand) dans une population, et qu'on observe une fréquence $f$ d'un caractère, on peut estimer la proportion réelle inconnue $p$ par un intervalle. Au niveau de confiance 95 %, l'intervalle de confiance est :
$$I_C = \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}}\;;\; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$$
Interprétation : si on répète ce procédé sur de nombreux échantillons, 95 % des intervalles construits contiennent la vraie proportion $p$.
Méthode :
a) On a $\mu = 30$ et $\sigma = 1{,}2$.
On cherche $k$ tel que $30{,}5 = \mu + k\sigma$ :
$k = \dfrac{30{,}5 - 30}{1{,}2} = \dfrac{0{,}5}{1{,}2} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}42$
Vérification : $\mu - k\sigma = 30 - \dfrac{5}{12} \times 1{,}2 = 30 - 0{,}5 = 29{,}5$ ✓ et $\mu + k\sigma = 30 + 0{,}5 = 30{,}5$ ✓.
Point de méthode — incohérence de l'énoncé. La règle des $1{,}96\sigma$ stipule que $P(\mu - 1{,}96\sigma \le X \le \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95$, ce qui s'applique uniquement lorsque $k = 1{,}96$. Or le calcul ci-dessus donne $k \approx 0{,}42
eq 1{,}96$. Avec les paramètres exacts de l'énoncé, le calcul rigoureux fournirait $p = P\!\left(-\dfrac{5}{12} \le Z \le \dfrac{5}{12}\right) \approx 0{,}32$ (où $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$), valeur que l'on ne peut obtenir par la seule règle des $1{,}96\sigma$ du cours.
L'énoncé comporte donc une erreur de paramètres : pour que la règle des $1{,}96\sigma$ s'applique à l'intervalle $[29{,}5\,;\,30{,}5]$, il faudrait $\sigma = \dfrac{0{,}5}{1{,}96} \approx 0{,}26$ mm. Comme l'énoncé demande explicitement d'utiliser cette règle, et que les données de la question b) (fréquence observée proche de $0{,}96$) ne sont cohérentes qu'avec $p \approx 0{,}95$, on suit l'intention de l'exercice et on retient :
$p \approx 0{,}95$
b) Fréquence observée :
$f = \dfrac{598}{625} = 0{,}9568$
L'intervalle de confiance à 95 % est :
$I_C = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0{,}9568 - \dfrac{1}{\sqrt{625}}\,;\,0{,}9568 + \dfrac{1}{\sqrt{625}}\right]$
$= \left[0{,}9568 - 0{,}04\,;\,0{,}9568 + 0{,}04\right] = [\,0{,}9168\,;\,0{,}9968\,]$
c) On a $p \approx 0{,}95$ et l'on vérifie : $0{,}9168 \le 0{,}95 \le 0{,}9968$, donc $p \in I_C$.
Au seuil de confiance de 95 %, la fréquence observée est compatible avec la probabilité théorique : on ne peut pas conclure que la machine est déréglée, elle semble fonctionner conformément aux spécifications.
Tu t'es déjà demandé d'où sort ce mystérieux $1/\sqrt{n}$ ? En post-bac, on utilise l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale. C'est cette idée qui justifie l'intervalle de confiance. Voyons ça en avant-première.
Quand $n$ est grand, une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ peut être approchée par une loi normale de même espérance et variance : $\mathcal{N}(np,\; np(1-p))$. La probabilité qu'une variable binomiale $X$ soit dans un intervalle est alors estimée via la loi normale.
Pour une fréquence observée $f = \frac{X}{n}$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % est : $p \pm 1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. En remplaçant $p$ par $f$, on obtient l'intervalle de confiance « simplifié » $f \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ (valable lorsque $p$ n'est pas trop extrême).
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