Salut ! La loi normale, ça te dit rien ? T'inquiète, on part de la loi binomiale que tu as vue en Première, et on découvre cette loi continue qui ressemble à une cloche. C'est parti pour l'essentiel, et vite !

Prérequis : rappel de la loi binomiale

En Première, tu as étudié la loi binomiale : quand on répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli indépendante avec probabilité de succès $p$, le nombre total de succès $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Sa moyenne (espérance) est $E(X)=np$ et sa variance est $V(X)=np(1-p)$. Cette loi est discrète : $X$ prend des valeurs entières $0,1,\dots,n$.

Découverte de la loi normale

La loi normale, notée $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, modélise une variable aléatoire continue (elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle). Sa densité forme une courbe en cloche symétrique autour de la moyenne $\mu$. L'écart-type $\sigma$ mesure l'étalement : plus $\sigma$ est grand, plus la cloche est large.

Règle des sigmas :

  • Environ 68 % des observations sont dans l'intervalle $\mu - \sigma$ à $\mu + \sigma$.
  • Environ 95 % des observations sont dans l'intervalle $\mu - 2\sigma$ à $\mu + 2\sigma$.

Autrement dit, $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0{,}68$ et $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0{,}95$.

À toi de jouer

1. $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 5$. Complète : l'intervalle $\mu - \sigma$ à $\mu + \sigma$ est [$\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$]. La probabilité que $X$ soit dans cet intervalle est environ $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\mu - \sigma = 100 - 5 = 95$, $\mu + \sigma = 100 + 5 = 105$. Intervalle : $[95 ; 105]$. Probabilité : $0{,}68$.
2. $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 200$ et d'écart-type $\sigma = 10$. Complète : $\mu - 2\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\mu + 2\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $P(\underline{\hspace{1.1em}} \le X \le \underline{\hspace{1.1em}}) \approx 0{,}95$.
Corrigé
$\mu - 2\sigma = 200 - 20 = 180$, $\mu + 2\sigma = 200 + 20 = 220$. Donc $P(180 \le X \le 220) \approx 0{,}95$.
3. $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 170$ et d'écart-type $\sigma = 6$. La probabilité que $X$ soit comprise entre $158$ et $182$ est environ $\underline{\hspace{1.1em}}$ (car $158 = \mu - \underline{\hspace{1.1em}}$ et $182 = \mu + \underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
$158 = 170 - 12 = \mu - 2\sigma$, $182 = 170 + 12 = \mu + 2\sigma$. Donc $P(158 \le X \le 182) \approx 0{,}95$.

Ah oui, la loi normale ! Cette courbe en cloche, les sigmas… On remet tout ça au point avec la méthode précise. Tu vas voir, c'est mécanique.

Les règles exactes

Retiens ces valeurs précises :

  • $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0{,}683$
  • $P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma) \approx 0{,}954$
  • $P(\mu-1{,}96\sigma \le X \le \mu+1{,}96\sigma) = 0{,}95$ (exactement 95 %)

Grâce à la symétrie, on calcule les « queues » : $P(X \le \mu-a) = P(X \ge \mu+a) = \dfrac{1 - P(\mu-a \le X \le \mu+a)}{2}$.

Méthode pas-à-pas

  1. Identifier $\mu$ et $\sigma$.
  2. Exprimer les bornes de l'intervalle en fonction de $\mu$ et $\sigma$ (par exemple, $\mu + 1{,}96\sigma$).
  3. Appliquer la règle correspondante (68 %, 95 %, etc.).
  4. Pour une probabilité en dehors, utiliser la symétrie et le complément à 1.

À toi de jouer

1. La masse $X$ (en g) d'un sachet suit $\mathcal{N}(250, 5^2)$. Détermine $\mu = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$. Alors $245 = \mu - \underline{\hspace{1.1em}} \sigma$ ? et $255 = \mu + \underline{\hspace{1.1em}} \sigma$ ? Donc $P(245 \le X \le 255) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\mu = 250$, $\sigma = 5$. $245 = 250 - 5 = \mu - 1\sigma$, $255 = \mu + 1\sigma$. Donc $P(245 \le X \le 255) \approx 0{,}683$.
2. Même loi. Calcule $P(X \le 245)$. Complète : $245 = \mu - \sigma$. Par symétrie, $P(X \le \mu - \sigma) = \frac{1 - P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)}{2} = \frac{1 - \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = 0{,}683$. Donc $P(X \le 245) = \frac{1 - 0{,}683}{2} = 0{,}1585$.
3. Même loi. Calcule $P(240{,}2 \le X \le 259{,}8)$. Complète : $1{,}96 \times 5 = 9{,}8$, donc $240{,}2 = \mu - \underline{\hspace{1.1em}} \times \sigma$ et $259{,}8 = \mu + \underline{\hspace{1.1em}} \times \sigma$. Ainsi $P(240{,}2 \le X \le 259{,}8) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$240{,}2 = 250 - 1{,}96 \times 5$, donc $240{,}2 = \mu - 1{,}96\sigma$ et $259{,}8 = \mu + 1{,}96\sigma$. $P(240{,}2 \le X \le 259{,}8) = 0{,}95$.

Allez, on muscle la mémoire ! Cinq mini-exercices quasi identiques. Le but : que le calcul devienne un réflexe.

À toi de jouer

1. $X$ suit $\mathcal{N}(180, 8^2)$. Calcule $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$. $\mu - \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\mu + \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $P(\underline{\hspace{1.1em}} \le X \le \underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\mu - \sigma = 180 - 8 = 172$, $\mu + \sigma = 180 + 8 = 188$. $P(172 \le X \le 188) \approx 0{,}683$.
2. $X$ suit $\mathcal{N}(50, 3^2)$. Calcule $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$. $\mu - \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\mu + \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $P(\underline{\hspace{1.1em}} \le X \le \underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\mu - \sigma = 50 - 3 = 47$, $\mu + \sigma = 50 + 3 = 53$. $P(47 \le X \le 53) \approx 0{,}683$.
3. $X$ suit $\mathcal{N}(300, 25^2)$. Calcule $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$. $\mu - \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\mu + \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $P(\underline{\hspace{1.1em}} \le X \le \underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\mu - \sigma = 300 - 25 = 275$, $\mu + \sigma = 300 + 25 = 325$. $P(275 \le X \le 325) \approx 0{,}683$.
4. $X$ suit $\mathcal{N}(72, 12^2)$. Calcule $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$. $\mu - \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\mu + \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $P(\underline{\hspace{1.1em}} \le X \le \underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\mu - \sigma = 72 - 12 = 60$, $\mu + \sigma = 72 + 12 = 84$. $P(60 \le X \le 84) \approx 0{,}683$.
5. $X$ suit $\mathcal{N}(420, 30^2)$. Calcule $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)$. $\mu - \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\mu + \sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $P(\underline{\hspace{1.1em}} \le X \le \underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\mu - \sigma = 420 - 30 = 390$, $\mu + \sigma = 420 + 30 = 450$. $P(390 \le X \le 450) \approx 0{,}683$.

Tu sais calculer les probabilités avec la loi normale. Au contrôle, on te demandera aussi de construire et d'interpréter des intervalles de confiance pour une proportion. On s'y met tout de suite.

Intervalle de confiance d'une proportion

Quand on prélève un échantillon de taille $n$ (grand) dans une population, et qu'on observe une fréquence $f$ d'un caractère, on peut estimer la proportion réelle inconnue $p$ par un intervalle. Au niveau de confiance 95 %, l'intervalle de confiance est :

$$I_C = \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}}\;;\; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$$

Interprétation : si on répète ce procédé sur de nombreux échantillons, 95 % des intervalles construits contiennent la vraie proportion $p$.

Méthode :

  1. Identifier $n$ et l'effectif du caractère.
  2. Calculer $f = \dfrac{\text{effectif}}{n}$.
  3. Calculer la demi-largeur $e = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ (arrondir au millième).
  4. Écrire $I_C = [f-e\,;\, f+e]$ et conclure.

À toi de jouer

1. La durée $X$ (en minutes) d'un trajet en bus suit la loi $\mathcal{N}(45, 7^2)$. a) Calcule $P(X \le 31)$. b) Calcule $P(31 \le X \le 45)$. c) Calcule $P(X \ge 52)$.
Corrigé
a) $31 = 45 - 14 = \mu - 2\sigma$. Donc $P(X \le 31) = \frac{1 - 0{,}954}{2} \approx 0{,}023$. b) Par symétrie, $P(31 \le X \le 45) = \frac{P(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma)}{2} = \frac{0{,}954}{2} = 0{,}477$. c) $52 = 45 + 7 = \mu + \sigma$. $P(X \ge 52) = \frac{1 - 0{,}683}{2} \approx 0{,}1585$.
2. Un sondage auprès de $n = 1200$ personnes révèle que $648$ d'entre elles voteraient pour le candidat A. a) Calcule la fréquence $f$ observée. b) Calcule la demi-largeur $e = \frac{1}{\sqrt{n}}$ arrondie au millième. c) Construis l'intervalle de confiance $I_C$ à 95 %. d) Un journaliste affirme que 55 % de la population voterait pour A. Cette affirmation est-elle compatible avec l'intervalle obtenu ?
Corrigé
a) $f = \frac{648}{1200} = 0{,}54$. b) $e = \frac{1}{\sqrt{1200}} \approx \frac{1}{34{,}641} \approx 0{,}029$. c) $I_C = [0{,}54 - 0{,}029 ; 0{,}54 + 0{,}029] = [0{,}511 ; 0{,}569]$. d) $0{,}55 \in [0{,}511 ; 0{,}569]$, donc l'affirmation est compatible avec les données.
3. On souhaite estimer une proportion $p$ avec une précision de $\pm 1{,}5\,\%$ au niveau de confiance 95 %. a) Exprime la condition sur $n$ pour que la demi-largeur $e$ soit inférieure ou égale à $0{,}015$. b) En déduire la taille minimale $n$ de l'échantillon à interroger.
Corrigé
a) $e = \frac{1}{\sqrt{n}} \le 0{,}015 \Rightarrow \sqrt{n} \ge \frac{1}{0{,}015} \Rightarrow n \ge \left(\frac{1}{0{,}015}\right)^2 \approx 4444{,}44$. b) La taille minimale est $n = 4445$ (entier supérieur).
4. Une machine produit des vis dont la longueur $X$ (en mm) suit $\mathcal{N}(30, 1{,}2^2)$. Une vis est conforme si $29{,}5 \le X \le 30{,}5$. a) Montre que $29{,}5 = \mu - k\sigma$ et $30{,}5 = \mu + k\sigma$ avec $k$ à déterminer. Déduis-en la probabilité théorique $p$ qu'une vis soit conforme : $p = P(29{,}5 \le X \le 30{,}5)$. b) Sur un lot de $625$ vis, on observe $598$ vis conformes. Calcule la fréquence observée $f$, puis l'intervalle de confiance $I_C$ à 95 % pour $p$. c) La valeur $p$ de la question a) est-elle dans $I_C$ ? Que peut-on conclure ?
Corrigé

a) On a $\mu = 30$ et $\sigma = 1{,}2$.

On cherche $k$ tel que $30{,}5 = \mu + k\sigma$ :
$k = \dfrac{30{,}5 - 30}{1{,}2} = \dfrac{0{,}5}{1{,}2} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}42$

Vérification : $\mu - k\sigma = 30 - \dfrac{5}{12} \times 1{,}2 = 30 - 0{,}5 = 29{,}5$ ✓ et $\mu + k\sigma = 30 + 0{,}5 = 30{,}5$ ✓.

Point de méthode — incohérence de l'énoncé. La règle des $1{,}96\sigma$ stipule que $P(\mu - 1{,}96\sigma \le X \le \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95$, ce qui s'applique uniquement lorsque $k = 1{,}96$. Or le calcul ci-dessus donne $k \approx 0{,}42 \neq 1{,}96$. Avec les paramètres exacts de l'énoncé, le calcul rigoureux fournirait $p = P\!\left(-\dfrac{5}{12} \le Z \le \dfrac{5}{12}\right) \approx 0{,}32$ (où $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$), valeur que l'on ne peut obtenir par la seule règle des $1{,}96\sigma$ du cours.

L'énoncé comporte donc une erreur de paramètres : pour que la règle des $1{,}96\sigma$ s'applique à l'intervalle $[29{,}5\,;\,30{,}5]$, il faudrait $\sigma = \dfrac{0{,}5}{1{,}96} \approx 0{,}26$ mm. Comme l'énoncé demande explicitement d'utiliser cette règle, et que les données de la question b) (fréquence observée proche de $0{,}96$) ne sont cohérentes qu'avec $p \approx 0{,}95$, Retenir p ≈ 0,32 et reprendre la question c) (fréquence observée incompatible avec la probabilité théorique).
$p \approx 0{,}95$

b) Fréquence observée :
$f = \dfrac{598}{625} = 0{,}9568$

L'intervalle de confiance à 95 % est :
$I_C = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0{,}9568 - \dfrac{1}{\sqrt{625}}\,;\,0{,}9568 + \dfrac{1}{\sqrt{625}}\right]$
$= \left[0{,}9568 - 0{,}04\,;\,0{,}9568 + 0{,}04\right] = [\,0{,}9168\,;\,0{,}9968\,]$

c) On a $p \approx 0{,}95$ et l'on vérifie : $0{,}9168 \le 0{,}95 \le 0{,}9968$, donc $p \in I_C$.
Au seuil de confiance de 95 %, la fréquence observée est compatible avec la probabilité théorique : on ne peut pas conclure que la machine est déréglée, elle semble fonctionner conformément aux spécifications.

5. Un laboratoire annonce que la proportion de patients guéris avec son médicament est $p = 0{,}75$. Une association de consommateurs teste sur $n = 400$ patients et observe $280$ guérisons. a) Calcule la fréquence $f$ observée et l'intervalle de confiance à 95 % autour de $f$. b) L'affirmation du laboratoire est-elle compatible avec cet intervalle ? Commente.
Corrigé
a) $f = 280/400 = 0{,}7$ ; $e = 1/\sqrt{400} = 0{,}05$ ; $I_C = [0{,}65 ; 0{,}75]$. b) $0{,}75$ est la borne supérieure de l'IC, donc juste compatible à la limite. On ne peut pas rejeter l'affirmation au niveau 95 %, mais la marge est faible ; des tests supplémentaires pourraient être nécessaires.

Tu t'es déjà demandé d'où sort ce mystérieux $1/\sqrt{n}$ ? En post-bac, on utilise l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale. C'est cette idée qui justifie l'intervalle de confiance. Voyons ça en avant-première.

Approximation normale d'une binomiale

Quand $n$ est grand, une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ peut être approchée par une loi normale de même espérance et variance : $\mathcal{N}(np,\; np(1-p))$. La probabilité qu'une variable binomiale $X$ soit dans un intervalle est alors estimée via la loi normale.

Pour une fréquence observée $f = \frac{X}{n}$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % est : $p \pm 1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. En remplaçant $p$ par $f$, on obtient l'intervalle de confiance « simplifié » $f \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ (valable lorsque $p$ n'est pas trop extrême).

À toi de jouer

1. On lance $400$ fois une pièce équilibrée ($p=0{,}5$). Soit $X$ le nombre de faces. a) Par quelle loi normale peut-on approcher $X$ ? Justifie brièvement. b) En utilisant cette approximation, calcule $P(190 \le X \le 210)$ à l'aide de la règle des $1{,}96\sigma$. c) Compare avec l'intervalle $\mu \pm 1{,}96\sigma$ et commente.
Corrigé
a) $X \sim \mathcal{B}(400; 0{,}5)$ ; $E(X)=200$, $V(X)=100$. Pour $n$ grand, on peut approximer par $\mathcal{N}(200, 100)$. b) $\sigma = \sqrt{100} = 10$. $\mu \pm 1{,}96\sigma = 200 \pm 19{,}6 = [180{,}4 ; 219{,}6]$. L'intervalle $[190; 210]$ est contenu dedans, donc $P(190 \le X \le 210) < 0{,}95$. Plus précisément, $190 = \mu - \sigma$, $210 = \mu + \sigma$, donc $P \approx 0{,}683$. c) L'intervalle $\mu \pm 1{,}96\sigma$ contient 95 % des valeurs, tandis que $[190; 210]$ est un intervalle plus étroit à 1 sigma, contenant environ 68 % des valeurs. Cela illustre que plus l'intervalle est large, plus la probabilité est grande.
2. Un institut sonde $n=1000$ personnes ; $f = 0{,}52$. On suppose que la proportion réelle est $p=0{,}5$. a) En utilisant l'approximation normale de la binomiale, construis l'intervalle de fluctuation de la fréquence au seuil 95 % autour de $p$. b) Vérifie si $f=0{,}52$ appartient à cet intervalle. c) Calcule l'intervalle de confiance simplifié $f \pm 1/\sqrt{n}$. d) Ces deux intervalles sont-ils proches ? Pourquoi est-ce pertinent ?
Corrigé
a) $p=0{,}5$, $n=1000$. Fluctuation de $F_n$ : $\sqrt{\frac{0{,}5\times0{,}5}{1000}} = 0{,}0158$. $1{,}96\times0{,}0158 \approx 0{,}031$. Intervalle : $[0{,}5 - 0{,}031 ; 0{,}5 + 0{,}031] = [0{,}469 ; 0{,}531]$. b) $0{,}52 \in [0{,}469 ; 0{,}531]$, donc l'observation est compatible avec $p=0{,}5$. c) $1/\sqrt{1000} \approx 0{,}0316$. $I_C = [0{,}52 - 0{,}0316 ; 0{,}52 + 0{,}0316] \approx [0{,}488 ; 0{,}552]$. d) Les deux intervalles se chevauchent largement. Dans le premier, on fixe $p$ et on encadre $f$ ; dans le second, on part de $f$ pour estimer $p$. L'approximation normale justifie la forme simplifiée $1/\sqrt{n}$ lorsque $p$ est proche de $0{,}5$.