Loi normale et intervalle de confiance — Exercices

Du calcul de probabilité à l'estimation d'une proportion. Corrigé détaillé en fin de fiche.

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1Règle des k sigmas/ 5 pts

La masse $X$ (en grammes) d'un sachet de café suit la loi $\mathcal{N}(250,\,5^2)$, donc $\mu = 250$ g et $\sigma = 5$ g.

Calculer $P(245 \le X \le 255)$.
Calculer $P(240 \le X \le 260)$.
Montrer que $240{,}2 = \mu - 1{,}96\sigma$, puis en déduire $P(240{,}2 \le X \le 259{,}8)$.
Calculer $P(X \ge 260)$.
Calculer $P(X \le 245)$.

2Calcul par symétrie/ 3 pts

La durée $X$ (en minutes) d'un trajet en bus suit $\mathcal{N}(30,\,4^2)$, donc $\mu = 30$ min et $\sigma = 4$ min.

Calculer $P(X \le 22)$.
Calculer $P(X \ge 34)$.
Calculer $P(22 \le X \le 30)$.

3Intervalle de confiance/ 4 pts

Un institut sonde $n = 900$ personnes. Parmi elles, $540$ déclarent avoir utilisé un service en ligne la semaine précédente.

Calculer la fréquence observée $f$.
Calculer la demi-largeur $e = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, arrondie au millième.
Construire l'intervalle de confiance $I_C$ au niveau 95 %.
Un communiqué affirme que 65 % de la population utilise ce service. Cette affirmation est-elle compatible avec $I_C$ ? Conclure.

4Taille minimale d'échantillon/ 3 pts

On souhaite estimer une proportion $p$ avec une précision de $\pm 2\,\%$ au niveau de confiance 95 %.

Exprimer la condition sur $n$ qui garantit une demi-largeur $e \le 0{,}02$.
En déduire la taille minimale $n$ de l'échantillon à interroger.

5Contrôle qualité/ 5 pts

Une machine produit des pièces dont le diamètre $X$ (en mm) suit $\mathcal{N}(50,\,0{,}5^2)$. Une pièce est conforme si $49{,}02 \le X \le 50{,}98$. On prélève $n = 400$ pièces et on observe $368$ pièces conformes.

Montrer que $49{,}02 = \mu - 1{,}96\sigma$. En déduire la probabilité théorique $p$ qu'une pièce soit conforme.
Calculer la fréquence observée $f$ de pièces conformes dans le lot.
Construire l'intervalle de confiance $I_C$ à 95 % pour $p$.
La valeur théorique $p = 0{,}95$ est-elle compatible avec $I_C$ ? Que peut-on conclure sur le fonctionnement de la machine ?

Corrigé détaillé

1Règle des k sigmas

a) $245 = 250 - 5 = \mu - \sigma \text{ et } 255 = \mu + \sigma \Rightarrow P(245 \le X \le 255) =$ $\approx 0{,}683$

b) $240 = \mu - 2\sigma \text{ et } 260 = \mu + 2\sigma \Rightarrow P(240 \le X \le 260) =$ $\approx 0{,}954$

c) $1{,}96 \times 5 = 9{,}8 \Rightarrow \mu - 1{,}96\sigma = 250 - 9{,}8 = 240{,}2 \Rightarrow P(240{,}2 \le X \le 259{,}8) =$ $0{,}95$

d) $260 = \mu + 2\sigma \Rightarrow P(X \ge 260) = \dfrac{1 - 0{,}954}{2} =$ $\approx 0{,}023$

e) $245 = \mu - \sigma \Rightarrow P(X \le 245) = \dfrac{1 - 0{,}683}{2} =$ $\approx 0{,}1585$

2Calcul par symétrie

a) $22 = 30 - 8 = \mu - 2\sigma \Rightarrow P(X \le 22) = \dfrac{1 - 0{,}954}{2} =$ $\approx 0{,}023$

b) $34 = 30 + 4 = \mu + \sigma \Rightarrow P(X \ge 34) = \dfrac{1 - 0{,}683}{2} =$ $\approx 0{,}1585$

c) $P(22 \le X \le 30) = \dfrac{P(22 \le X \le 38)}{2} = \dfrac{0{,}954}{2} =$ $\approx 0{,}477$

3Intervalle de confiance

a) $f = \dfrac{540}{900} =$ $0{,}6$

b) $e = \dfrac{1}{\sqrt{900}} = \dfrac{1}{30} \approx$ $0{,}033$

c) $I_C = \left[0{,}6 - 0{,}033\,;\; 0{,}6 + 0{,}033\right] =$ $[\,0{,}567\,;\; 0{,}633\,]$

d) $0{,}65 \gt 0{,}633 \Rightarrow 0{,}65 \notin I_C \Rightarrow$ $\text{affirmation non compatible avec } I_C$

4Taille minimale d'échantillon

a) et b) $\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le 0{,}02 \Longleftrightarrow \sqrt{n} \ge \dfrac{1}{0{,}02} = 50 \Longleftrightarrow n \ge 50^2 =$ $2\,500$

5Contrôle qualité

a) $\mu - 1{,}96\sigma = 50 - 1{,}96 \times 0{,}5 = 50 - 0{,}98 = 49{,}02 \Rightarrow p =$ $0{,}95$

b) $f = \dfrac{368}{400} =$ $0{,}92$

c) $e = \dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 \Rightarrow I_C = [\,0{,}92 - 0{,}05\,;\; 0{,}92 + 0{,}05\,] =$ $[\,0{,}87\,;\; 0{,}97\,]$

d) $0{,}95 \in [\,0{,}87\,;\; 0{,}97\,] \Rightarrow$ $\text{Compatible : le fonctionnement théorique est cohérent avec les observations du lot.}$