Pas de panique ! Tu as un contrôle sur la succession d'épreuves indépendantes mais tu n'as jamais mis les pieds en cours ? On va reprendre depuis le début, très vite, et uniquement ce qu'il te faut pour être fonctionnel. Pour comprendre cette notion, tu dois déjà être à l'aise avec les probabilités simples (calculer la probabilité d'un événement), les arbres de probabilités et la règle du produit. Si ces mots te disent vaguement quelque chose, c'est parfait : on va les réactiver ensemble et les assembler pour bâtir la notion du jour.
Prérequis express – probabilités simples et arbres
Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se produise. Dans une situation équiprobable (chaque issue a la même chance), P(événement) = (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues).
Un arbre de probabilités permet de représenter une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité. Pour connaître la probabilité d'un chemin complet (une issue finale), on multiplie les probabilités le long de ce chemin : c'est la règle du produit. Si plusieurs chemins donnent le même événement, on additionne leurs probabilités.
Ce qu'il faut retenir – épreuves indépendantes et schéma de Bernoulli
Deux épreuves sont indépendantes quand le résultat de la première n'a aucune influence sur le résultat de la deuxième. Exemple : jeter un dé puis lancer une pièce, ou tirer une boule avec remise.
Si on répète n fois la MÊME épreuve indépendante qui n'a que deux issues possibles (qu'on appelle Succès et Échec), on obtient un schéma de Bernoulli. Le nombre de succès, noté X, suit une loi binomiale de paramètres n et p, où p est la probabilité du succès. On écrit X ~ B(n, p).
La formule pour calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès est : P(X = k) = (n k) * p^k * (1-p)^(n-k). Le drôle de symbole (n k) se lit 'k parmi n' et compte le nombre de chemins qui donnent k succès. Avec la calculatrice, on ne le calcule même pas à la main !
L'espérance (la moyenne attendue) se calcule directement : E(X) = n * p. La variance est V(X) = n * p * (1-p).
À toi de jouer
1. Exercice 1 — On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Un 'Succès' est d'obtenir Pile. On va construire l'arbre.
Complète les probabilités manquantes :
Première branche : P(Pile) = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Première branche : P(Face) = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Les deux lancers sont-ils indépendants ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Pour le chemin Pile puis Pile : P(Pile puis Pile) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
P(Pile) = $0{,}5$. P(Face) = $0{,}5$. Les lancers sont indépendants car le résultat du premier n'influence pas le deuxième. P(Pile puis Pile) = $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$.
2. Exercice 2 — Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une deuxième fois. Succès = 'tirer une rouge'.
Complète :
P(R) = $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
P(B) = $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
P(R au 1er et R au 2nd) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Ce schéma est un schéma de Bernoulli d'ordre $n = \underline{\hspace{1.1em}}$ car on répète $\underline{\hspace{1.1em}}$ fois la même épreuve indépendante à deux issues.
Corrigé
P(R) = $\frac{3}{5} = 0{,}6$. P(B) = $\frac{2}{5} = 0{,}4$. P(R puis R) = $0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$. Schéma de Bernoulli d'ordre $n = 2$, on répète $2$ fois l'épreuve.
Ah, les arbres, les multiplications de probabilités… ça te revient ? Parfait. Maintenant on structure tout ça proprement : on va revoir le cours et surtout la méthode pour résoudre n'importe quel exercice. On reste sur des applications directes, avec des trous à compléter pour ne pas se perdre.
Cours – De l'arbre à la loi binomiale
1. Indépendance
Deux épreuves sont indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas le résultat de l'autre. Dans ce cas, pour tout événement A de la première et B de la seconde :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
2. Arbre de probabilités (n ≤ 3)
- Chaque chemin = une issue finale.
- Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long des branches.
- Pour un événement : somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
Attention : si on tire sans remise, les probabilités changent à chaque étape : les épreuves ne sont pas indépendantes, la loi binomiale ne s'applique pas.
3. Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Répétition de n épreuves identiques et indépendantes, avec deux issues : Succès (p) et Échec (1-p). Le nombre de succès X suit la loi binomiale B(n, p).
Formule : P(X = k) = (n k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Espérance : E(X) = n × p
Variance : V(X) = n × p × (1-p)
Méthode pas à pas pour résoudre un exercice
Étape 1 : Vérifier l'indépendance. 'Avec remise', 'lancers successifs', 'tirages indépendants' → OK. 'Sans remise' → PAS de binomiale, arbre obligatoire.
Étape 2 : Identifier n et p. Si toutes les épreuves sont identiques et indépendantes avec même p → Schéma de Bernoulli, X ~ B(n, p).
Étape 3 : Si n ≤ 3, on peut faire un arbre. Si n > 3, on utilise la formule de la loi binomiale avec la calculatrice.
Étape 4 : Pour 'au moins k succès', penser au complémentaire : P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) par exemple.
Étape 5 : Pour E(X) et V(X), appliquer directement les formules sans calculer toute la loi.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — On lance un dé équilibré 3 fois de suite. Succès = 'obtenir 5 ou 6'.
On le fait ensemble :
a) Quelle est la probabilité p du succès à un lancer ? p = $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Les lancers sont-ils indépendants ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) On répète $n = \underline{\hspace{1.1em}}$ fois la même épreuve, donc X, le nombre de succès, suit la loi $\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
d) En utilisant la loi binomiale, complète : $P(X = 2) = \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times (\underline{\hspace{1.1em}})^2 \times (\underline{\hspace{1.1em}})^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
a) Issues 5 ou 6 parmi {1,2,3,4,5,6} → p = $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
b) Oui, les lancers sont indépendants.
c) n = $3$, X suit $\mathcal{B}(3 ; \frac{1}{3})$.
d) $P(X = 2) = \binom{3}{2} \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{1} = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$.
2. Exercice 2 — Une urne contient 4 boules rouges et 6 bleues. On tire 2 boules AVEC remise.
a) Construis l'arbre pondéré (P(R) = $\underline{\hspace{1.1em}}$, P(B) = $\underline{\hspace{1.1em}}$). À chaque niveau, les branches ont les mêmes probabilités car il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Complète : P(R puis R) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) P(une seule rouge) = P($\underline{\hspace{1.1em}}$ puis $\underline{\hspace{1.1em}}$) + P($\underline{\hspace{1.1em}}$ puis $\underline{\hspace{1.1em}}$) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) P(R) = $\frac{4}{10} = 0{,}4$, P(B) = $\frac{6}{10} = 0{,}6$. Probabilités identiques car il y a remise (indépendance).
b) P(RR) = $0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$.
c) P(une seule rouge) = P(R puis B) + P(B puis R) = $0{,}4 \times 0{,}6 + 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48$.
3. Exercice 3 — $X \sim \mathcal{B}(4\, ;\, 0,5)$. Complète :
a) $E(X) = n \times p = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) $P(X=4) = \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times 0,5^\underline{\hspace{1.1em}} \times 0,5^\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times 0,5^4 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $E(X) = 4 \times 0,5 = 2$.
b) $P(X=4) = \binom{4}{4} \times 0,5^4 \times 0,5^0 = 1 \times 0,0625 = 0,0625$.
Maintenant que la mécanique est en place, on va faire du muscle. Cinq mini-exercices quasi identiques, où tu vas appliquer la même recette, encore et encore. Le but : que les formules deviennent un automatisme. On ne change que les nombres. Tu peux utiliser ta calculatrice.
À toi de jouer
1. On lance une pièce équilibrée 5 fois. X = nombre de 'Pile'.
Complète :
X suit $\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
E(X) = n × p = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P(X=3) = \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (fraction simplifiée puis valeur décimale).
Corrigé
X suit $\mathcal{B}(5 ; 0{,}5)$.
E(X) = $5 \times 0{,}5 = 2{,}5$.
$P(X=3) = \binom{5}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^2 = 10 \times 0{,}125 \times 0{,}25 = 10 \times 0{,}03125 = 0{,}3125 = \frac{5}{16}$.
2. Un archer atteint sa cible avec une probabilité de 0,8. Il tire 3 flèches. Y = nombre de cibles atteintes.
Complète :
Y suit $\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
E(Y) = n × p = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P(Y=2) = \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Y suit $\mathcal{B}(3 ; 0{,}8)$.
E(Y) = $3 \times 0{,}8 = 2{,}4$.
$P(Y=2) = \binom{3}{2} \times 0{,}8^2 \times 0{,}2^1 = 3 \times 0{,}64 \times 0{,}2 = 0{,}384$.
3. Une urne contient 7 boules vertes (succès) et 3 boules blanches (échec). On tire une boule avec remise, 4 fois de suite. Z = nombre de vertes obtenues.
Complète :
p = $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Z suit $\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
E(Z) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P(Z=2) = \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
p = $\frac{7}{10} = 0{,}7$.
Z suit $\mathcal{B}(4 ; 0{,}7)$.
E(Z) = $4 \times 0{,}7 = 2{,}8$.
$P(Z=2) = \binom{4}{2} \times 0{,}7^2 \times 0{,}3^2 = 6 \times 0{,}49 \times 0{,}09 = 6 \times 0{,}0441 = 0{,}2646$.
4. Un dé équilibré est lancé 6 fois. Succès = 'obtenir un 6'. W = nombre de succès.
Complète :
p = $\frac{1}{6} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur approchée 10⁻³).
W suit $\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
E(W) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \frac{1}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P(W=1) = \binom{6}{1} \times (\frac{1}{6})^1 \times (\frac{5}{6})^5 = 6 \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^5 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
p = $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$.
W suit $\mathcal{B}(6 ; \frac{1}{6})$.
E(W) = $6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$P(W=1) = \binom{6}{1} \times (\frac{1}{6})^1 \times (\frac{5}{6})^5 = 6 \times \frac{1}{6} \times \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} \approx 0{,}402$.
5. Une pièce truquée tombe sur Pile avec p=0,6. On la lance 5 fois. V = nombre de Piles.
Complète :
V suit $\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
E(V) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$P(V=4) = \binom{5}{4} \times 0{,}6^4 \times 0{,}4^1 = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times 0{,}4 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
V suit $\mathcal{B}(5 ; 0{,}6)$.
E(V) = $5 \times 0{,}6 = 3$.
$P(V=4) = \binom{5}{4} \times 0{,}6^4 \times 0{,}4^1 = 5 \times 0{,}1296 \times 0{,}4 = 5 \times 0{,}05184 = 0{,}2592$.
C'est l'heure du contrôle. Les exercices sont complets, de niveau attendu en terminale. Problèmes, arbres à construire, utilisation du complémentaire, espérance, variance. Tu peux utiliser ta calculatrice. Fini les trous, à toi de jouer !
À toi de jouer
1. **Exercice 1 (Arbre et probabilités)**
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement deux boules **avec remise**.
1. Construire l'arbre de probabilités pondéré.
2. Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges.
3. Calculer la probabilité de tirer exactement une boule rouge.
4. En utilisant le complémentaire, calculer la probabilité de tirer au moins une boule rouge.
Corrigé
1. Voir figure. P(R)=0,4 ; P(B)=0,6. Avec remise, les probabilités restent identiques aux deux niveaux.
2. P(RR) = 0,4 × 0,4 = 0,16.
3. P(RB) + P(BR) = 0,4×0,6 + 0,6×0,4 = 0,24 + 0,24 = 0,48.
4. P(au moins une rouge) = 1 - P(BB) = 1 - 0,6×0,6 = 1 - 0,36 = 0,64.
2. **Exercice 2 (Schéma de Bernoulli)**
On lance 4 fois une pièce truquée qui donne Pile avec p=0,7. Soit X le nombre de Piles.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 Piles. Donner une valeur approchée à 10⁻³.
3. Calculer P(X ≥ 3).
4. Déterminer E(X) et l'interpréter.
Corrigé
1. 4 lancers identiques et indépendants, deux issues (Pile/Échec Face). p=0,7. X ~ B(4 ; 0,7).
2. P(X=2) = (4 2) × 0,7² × 0,3² = 6 × 0,49 × 0,09 = 6 × 0,0441 = 0,2646 ≈ 0,265.
3. P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) = [4 × 0,7³ × 0,3] + [1 × 0,7⁴] = 4×0,343×0,3 + 0,2401 = 0,4116 + 0,2401 = 0,6517.
4. E(X) = n×p = 4×0,7 = 2,8. Sur un grand nombre de séries de 4 lancers, on obtient en moyenne 2,8 Piles par série.
3. **Exercice 3 (Problème type contrôle qualité)**
Une machine produit des pièces. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est p=0,1. On prélève 10 pièces, et on suppose ce prélèvement assimilé à un tirage avec remise. Soit Y le nombre de pièces défectueuses.
1. Quelle loi suit Y ? Préciser ses paramètres.
2. Calculer P(Y=0). Arrondir au millième.
3. Calculer P(Y ≥ 2).
4. Le lot est acceptable s'il contient au plus une pièce défectueuse. Calculer la probabilité qu'un lot soit acceptable.
5. Combien de pièces devrait-on prélever, au minimum, pour que E(Y) ≥ 5 ?
Corrigé
1. Y ~ B(10 ; 0,1).
2. P(Y=0) = 0,9¹⁰ ≈ 0,349.
3. P(Y≥2) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1)]. P(Y=1) = 10 × 0,1 × 0,9⁹ ≈ 0,387. P(Y≥2) ≈ 1 - (0,349 + 0,387) = 1 - 0,736 = 0,264.
4. Lot acceptable si Y ≤ 1. P = P(Y=0) + P(Y=1) ≈ 0,349 + 0,387 = 0,736.
5. E(Y)= n×0,1. n×0,1 ≥ 5 ⇔ n ≥ 50. Il faut donc au moins 50 pièces.
4. **Exercice 4 (Optimisation et loi binomiale)**
Un jeu consiste à lancer une pièce équilibrée n fois. On gagne à chaque Pile. Soit G le nombre de gains.
1. Donner E(G) et V(G) en fonction de n.
2. Déterminer le nombre minimal de lancers pour avoir E(G) ≥ 20.
3. Pour n=30, calculer P(G=15) et P(10 ≤ G ≤ 20) (valeurs approchées à 10⁻³).
Corrigé
1. G ~ B(n ; 0,5). E(G)=0,5n ; V(G)=n×0,5×0,5 = 0,25n.
2. 0,5n ≥ 20 ⇔ n ≥ 40. Il faut au moins 40 lancers.
3. Pour n=30, p=0,5. P(G=15) ≈ 0,144 (calculatrice). P(10≤G≤20) = P(G≤20) - P(G≤9). P(G≤20) ≈ 0,978 ; P(G≤9) ≈ 0,021 ; donc P ≈ 0,957 (valeurs dépendant de l'arrondi et de la calculatrice, l'ordre de grandeur est 0,96).
Tu penses maîtriser ? Regardons plus loin. Voici des exercices qui ouvrent vers les chapitres à venir (loi géométrique et temps d'attente, sommation de lois binomiales avec la loi normale, test d'hypothèse simple). Pas de stress, ce sont des aperçus pour te montrer que ce qu'on fait aujourd'hui sert de base à toute la suite des probabilités.
À toi de jouer
1. **Exercice 1 (Au-delà du programme – temps d'attente, loi géométrique)**
On lance un dé équilibré. On appelle 'succès' le fait d'obtenir un 6. On répète les lancers de manière indépendante jusqu'à obtenir un 6. Soit T le numéro du lancer où apparaît le premier 6. T ne suit PAS une loi binomiale.
1. Calculer P(T=1), P(T=2), P(T=3).
2. Exprimer P(T=k) en fonction de k et p=1/6.
3. Quel lien vois-tu avec la loi binomiale pour obtenir le premier succès ?
Corrigé
1. P(T=1) = 1/6 ≈ 0,167. Pour T=2 : échec puis succès → (5/6) × (1/6) ≈ 0,139. T=3 → (5/6)² × (1/6) ≈ 0,116.
2. P(T=k) = (5/6)^(k-1) × (1/6). C'est la loi géométrique, cousine de la binomiale.
3. En binomiale, on fixe le nombre d'épreuves n et on compte les succès. Ici, on fixe le nombre de succès (1) et on cherche combien d'épreuves sont nécessaires. Les calculs de probabilité se ressemblent, mais l'inconnue (k) est en exposant.
2. **Exercice 2 (Aperçu loi normale – somme de binomiales)**
Un examen comporte 100 questions indépendantes. Pour chaque question, un candidat répond au hasard avec une probabilité de succès p=0,2. Soit X le nombre de bonnes réponses. X ~ B(100 ; 0,2).
1. Calculer son espérance et sa variance.
2. Une règle empirique dit que lorsque n est grand, X peut être approximé par une loi normale d'espérance μ = np et de variance σ² = np(1-p). Rappel : pour une loi normale, environ 95% des valeurs sont dans [μ - 2σ ; μ + 2σ]. En déduire un intervalle contenant environ 95% des scores du candidat.
3. Comparer avec la réalité : P(µ-2σ ≤ X ≤ µ+2σ) calculé par loi binomiale donne environ 0,96. Conclusion ?
Corrigé
1. E(X)=100×0,2=20. V(X)=100×0,2×0,8=16, σ=√16=4.
2. Intervalle [20 - 2×4 ; 20 + 2×4] = [12 ; 28].
3. La loi binomiale avec n=100 est très proche de la loi normale. Ce résultat est la base du théorème central limite et justifie qu'on utilise la loi normale pour modéliser une somme d'épreuves indépendantes en grand nombre.
3. **Exercice 3 (Prise de décision, seuil critique)**
Une pièce est supposée équilibrée. On la lance 100 fois et on obtient 65 Piles. Soit X ~ B(100 ; 0,5).
1. Calculer l'espérance de X et P(X ≥ 65) (utilise la calculatrice ou un logiciel).
2. La probabilité obtenue est très faible (inférieure à 0,01). Que peut-on conclure sur l'hypothèse 'pièce équilibrée' ?
3. Comment utiliserait-on ce type de raisonnement pour un test d'hypothèse en statistiques, l'an prochain ?
Corrigé
1. E(X) = 50. P(X≥65) = 1-P(X≤64). Avec une calculatrice, P(X≥65) ≈ 0,0018.
2. L'événement observé (65 Piles) est très improbable si la pièce est vraiment équilibrée. On peut rejeter l'hypothèse avec un risque d'erreur très faible : la pièce semble truquée.
3. Ce raisonnement est exactement celui d'un test statistique : sous une hypothèse nulle, on calcule la probabilité d'observer une valeur aussi extrême. Si elle est inférieure au seuil (souvent 5% ou 1%), on rejette l'hypothèse. C'est le principe des tests d'hypothèse, avec la loi binomiale comme point de départ.