V VIDYALAYA · Soutien scolaire
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Succession d'épreuves indépendantes — Exercices

De l'arbre de probabilités à la loi binomiale. Corrigé détaillé en fin de fiche.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée
1Arbre de probabilités/ 4 pts

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement deux boules avec remise. On note $R$ l'événement « tirer une rouge » et $B$ « tirer une bleue ».

  1. Construire l'arbre de probabilités de cette expérience.
  2. Calculer $P(\text{les deux boules sont rouges})$.
  3. Calculer $P(\text{exactement une boule rouge})$.
  4. Calculer $P(\text{au moins une boule rouge})$ en utilisant le complémentaire.
2Schéma de Bernoulli/ 3 pts

On lance une pièce équilibrée 5 fois. On note $X$ le nombre de fois où « Pile » apparaît.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer $P(X = 3)$ (valeur exacte).
  3. Calculer $P(X \ge 4)$.
3Loi binomiale — archer/ 5 pts

Un archer atteint la cible avec une probabilité de $0{,}75$ à chaque tir, indépendamment des autres. Il effectue 6 tirs. On note $X$ le nombre de cibles atteintes.

  1. Préciser la loi suivie par $X$.
  2. Calculer $P(X = 4)$ (valeur exacte puis valeur approchée à $10^{-3}$).
  3. Calculer $P(X \ge 5)$.
  4. Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ (valeur approchée à $10^{-3}$).
4Contrôle qualité/ 5 pts

Une machine produit des pièces dont $8\,\%$ sont défectueuses. On prélève un lot de 10 pièces de façon indépendante. On note $Y$ le nombre de pièces défectueuses dans le lot.

  1. Quelle est la loi de $Y$ ? Préciser ses paramètres.
  2. Calculer $P(Y = 0)$ (valeur approchée à $10^{-3}$).
  3. Calculer $P(Y \ge 2)$.
  4. Le lot est jugé acceptable si $Y \le 1$. Calculer la probabilité que le lot soit acceptable.
5Calcul malin — nombre minimal de tours/ 3 pts

À chaque tour d'un jeu, la probabilité de gagner est $p = 0{,}3$. On joue $n = 10$ tours indépendants. On note $G$ le nombre de gains.

  1. Calculer $P(G = 0)$, puis en déduire $P(G \ge 1)$.
  2. Donner $E(G)$ et $V(G)$ sans dresser la loi complète.
  3. Quel est le nombre minimal de tours $n$ à jouer pour que $E(G) \ge 6$ ?
Corrigé détaillé
1Arbre de probabilités
a) \(P(R) = \dfrac{4}{10} = 0{,}4 \quad P(B) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \quad \text{Tirage avec remise} \Rightarrow \text{épreuves indépendantes.}\) \(\text{Arbre : premier niveau (R, B) ; chaque nœud se ramifie en (R, B).}\)
b) \(P(RR) = 0{,}4 \times 0{,}4 =\) \(0{,}16\)
c) \(P(RB) + P(BR) = 0{,}4 \times 0{,}6 + 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24 + 0{,}24 =\) \(0{,}48\)
d) \(P(\text{au moins 1 rouge}) = 1 - P(BB) = 1 - 0{,}6 \times 0{,}6 = 1 - 0{,}36 =\) \(0{,}64\)
2Schéma de Bernoulli
a) \(5 \text{ lancers indépendants, pièce équilibrée donc } p = 0{,}5 \Rightarrow\) \(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)\)
b) \(P(X = 3) = \binom{5}{3}(0{,}5)^3(0{,}5)^2 = 10 \times (0{,}5)^5 = \dfrac{10}{32} =\) \(\dfrac{5}{16} = 0{,}3125\)
c) \(P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) = \binom{5}{4}(0{,}5)^5 + \binom{5}{5}(0{,}5)^5 = \dfrac{5}{32} + \dfrac{1}{32} =\) \(\dfrac{6}{32} = \dfrac{3}{16} = 0{,}1875\)
3Loi binomiale — archer
a) \(6 \text{ tirs indépendants}, \; p = 0{,}75 \Rightarrow\) \(X \sim \mathcal{B}(6\,;\,0{,}75)\)
b) \(P(X = 4) = \binom{6}{4}(0{,}75)^4(0{,}25)^2 = 15 \times \dfrac{81}{256} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1215}{4096}\) \(\approx 0{,}297\)
c) \(P(X \ge 5) = \binom{6}{5}(0{,}75)^5(0{,}25)^1 + \binom{6}{6}(0{,}75)^6 = \dfrac{1458}{4096} + \dfrac{729}{4096} = \dfrac{2187}{4096}\) \(\approx 0{,}534\)
d) \(E(X) = 6 \times 0{,}75 = 4{,}5 \quad V(X) = 6 \times 0{,}75 \times 0{,}25 = 1{,}125 \quad \sigma(X) = \sqrt{1{,}125}\) \(E(X) = 4{,}5 \quad \sigma(X) \approx 1{,}061\)
4Contrôle qualité
a) \(n = 10, \; p = 0{,}08 \Rightarrow\) \(Y \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}08)\)
b) \(P(Y = 0) = (0{,}92)^{10}\) \(\approx 0{,}434\)
c) \(P(Y = 1) = 10 \times 0{,}08 \times (0{,}92)^9 \approx 0{,}378 \quad P(Y \ge 2) = 1 - P(Y=0) - P(Y=1) \approx 1 - 0{,}434 - 0{,}378\) \(\approx 0{,}188\)
d) \(P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1) \approx 0{,}434 + 0{,}378 =\) \(\approx 0{,}812\)
5Calcul malin — nombre minimal de tours
a) \(P(G = 0) = (1 - 0{,}3)^{10} = (0{,}7)^{10} \approx 0{,}028 \quad \Rightarrow \quad P(G \ge 1) = 1 - (0{,}7)^{10}\) \(\approx 0{,}972\)
b) \(E(G) = 10 \times 0{,}3 = 3 \quad V(G) = 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7 =\) \(E(G) = 3 \quad V(G) = 2{,}1\)
c) \(E(G) = n \times 0{,}3 \ge 6 \Leftrightarrow n \ge \dfrac{6}{0{,}3} = 20\) \(n_{\min} = 20 \text{ tours}\)