Succession d'épreuves indépendantes

Modéliser des expériences aléatoires répétées — arbres de probabilités, schéma de Bernoulli, loi binomiale.

1 L'idée

Deux épreuves sont indépendantes lorsque le résultat de l'une n'influe pas sur celui de l'autre. Pour tous événements $A$ et $B$ issus respectivement de chaque épreuve : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

On représente une succession d'épreuves par un arbre de probabilités. Chaque chemin de la racine jusqu'à une feuille correspond à une issue : sa probabilité est le produit des probabilités le long de ses branches. Si plusieurs chemins conduisent au même événement, on additionne leurs probabilités.

Quand on répète $n$ fois la même épreuve à deux issues — succès de probabilité $p$, échec de probabilité $1 - p$ — on parle de schéma de Bernoulli d'ordre $n$. Le nombre de succès $X$ suit alors une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.

2 Formules à connaître

Indépendance

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Chemin d'arbre

$P(\text{chemin}) = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n$

Loi binomiale

$X \sim \mathcal{B}(n,p) \Rightarrow P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}(1-p)^{n-k}$

Espérance / Variance

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)$

3 Arbres et loi binomiale

Exemple A — Lire un arbre

Urne contenant 3 rouges et 2 bleues. Tirage de deux boules avec remise : $P(R) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}4$.

On cherche $P(\text{exactement 1 rouge})$. Deux chemins favorables : RB et BR.

$P(RB) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24$ et $P(BR) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24$.

$P(\text{exactement 1 rouge}) = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48$.

Exemple B — Loi binomiale

Dé équilibré lancé 4 fois. Succès = « obtenir un 6 », $p = \dfrac{1}{6}$. Donc $X \sim \mathcal{B}\!\left(4,\dfrac{1}{6}\right)$.

$P(X = 2) = \binom{4}{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} = 6 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{25}{36} = \dfrac{150}{1296} \approx 0{,}116$.

$E(X) = 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$.

Méthode — résoudre un problème de successions d'épreuves

Vérifier l'indépendance : tirage avec remise, lancers successifs, etc. Sans remise, les probabilités changent et la loi binomiale ne s'applique pas.
Si $n \le 3$ : dresser l'arbre, multiplier le long de chaque chemin, additionner les chemins favorables.
Si toutes les épreuves ont le même $p$ : poser $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et appliquer $P(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$.
Pour $P(X \ge k)$, utiliser le complémentaire : $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$.
Lire directement $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ sans calculer toute la loi.

Erreurs fréquentes

Tirage sans remise : les épreuves ne sont pas indépendantes — la loi binomiale ne s'applique pas.
Confondre règles d'opération : on multiplie le long d'un chemin, on additionne des chemins disjoints.
Oublier le coefficient $\binom{n}{k}$ dans la formule binomiale : $\binom{4}{2} = 6$, non $4$.
Négliger le facteur $(1-p)^{n-k}$ : chaque échec contribue à la probabilité du chemin.
Écrire $P(X \ge 1) = P(X = 1)$ au lieu de $1 - P(X = 0)$.