Pas de panique ! On part de zéro pour te rendre opérationnel avant le contrôle. Commençons par les bases : les deux types d'énergie qui composent l'énergie mécanique. On va les définir et les calculer simplement.
1. L'énergie cinétique
L'énergie cinétique est l'énergie que possède un objet en mouvement. Elle dépend de sa masse $m$ et de sa vitesse $v$. Plus c'est lourd et rapide, plus $E_c$ est grande.
Formule : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$
Unités : masse en kg, vitesse en m/s, énergie en joules (J).
2. L'énergie potentielle de pesanteur
L'énergie potentielle de pesanteur est liée à l'altitude $h$ par rapport à un niveau choisi (souvent le sol). Un objet en hauteur peut « libérer » cette énergie en tombant.
Formule : $E_{pp} = m g h$
On prendra toujours $g = 10 \, \text{m/s}^2$ sur Terre.
3. L'énergie mécanique
L'énergie mécanique, notée $E_m$, est la somme des deux : $E_m = E_c + E_{pp}$. Elle représente l'énergie totale d'un système en mouvement dans le champ de pesanteur, hors frottements.
À toi de jouer
1. Une voiture de masse $m = 1000$ kg avance à une vitesse $v = 20$ m/s. Complète le calcul de son énergie cinétique :
$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} \times 1000 \times 20^2 = 500 \times 400 = 200\,000$ J. Les trous : 1000, 20, 500, 400, 200000.
2. Un oiseau de $2$ kg vole à une altitude de $50$ m (niveau de référence : le sol). Prends $g = 10\, \text{m/s}^2$. Complète le calcul de son énergie potentielle :
$E_{pp} = m g h = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_{pp} = 2 \times 10 \times 50 = 1000$ J. Les trous : 2, 10, 50, 1000.
3. Un skateboard de masse $60$ kg roule à $4$ m/s à une hauteur de $3$ m. On a déjà calculé $E_c$ et $E_{pp}$. Complète pour obtenir l'énergie mécanique :
Si $E_c = 480$ J et $E_{pp} = 1800$ J, alors $E_m = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_m = 480 + 1800 = 2280$ J. Trous : 480, 1800, 2280.
Ah oui, c'est ça ! On réactive : quand il n'y a pas de frottements, l'énergie mécanique se conserve. Autrement dit, ce qu'on perd en altitude, on le gagne en vitesse, et vice-versa. On va voir la méthode étape par étape et l'appliquer sur des exemples guidés.
1. Loi de conservation (sans frottement)
Si seule la force poids travaille (pas de moteur, pas de frottement), l'énergie mécanique ne change pas entre deux positions A et B : $E_m(A) = E_m(B)$.
C'est la conservation de l'énergie mécanique.
Cela signifie que $\frac{1}{2} m v_A^2 + m g h_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + m g h_B$.
2. Méthode pas-à-pas
- Choisir un niveau de référence $h = 0$ (souvent le point le plus bas) et ne plus en changer.
- Calculer $E_m$ dans un état connu (altitude et vitesse).
- Vérifier l'absence de frottement (ou sinon on le traite différemment).
- Écrire $E_m(A) = E_m(B)$ en développant les expressions.
- Simplifier par $m$ si possible, puis isoler l'inconnue.
- Si on cherche une vitesse, ne pas oublier la racine carrée : $v = \sqrt{2 E_c / m}$.
3. Si des frottements sont présents
Alors l'énergie mécanique diminue : $\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{\text{frottements}} \le 0$. La variation est égale au travail des forces de frottement, qui est négatif (énergie dissipée en chaleur).
À toi de jouer
1. Une bille de masse $200$ g est lâchée sans vitesse initiale d'une hauteur $h_A = 4$ m (point A). Le niveau de référence est le sol (point B, $h_B = 0$). On néglige les frottements.
a) Énergie potentielle en A : $E_{pp}(A) = m g h_A = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
b) Énergie cinétique en A : $E_c(A) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J car la vitesse est nulle.
c) Déduis-en $E_m(A) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
d) En B, $E_{pp}(B) = 0$, donc $E_c(B) = E_m(A) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
e) Enfin, $v_B = \sqrt{\frac{2 E_c(B)}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s.
Corrigé
m = 0,2 kg. a) 0,2 ; 4 ; 8 (car 0,2×10×4 = 8). b) 0. c) 8. d) 8. e) 8 ; 0,2 ; √(16/0,2) = √80 ≈ 8,94 m/s. Trous successifs : 0,2, 4, 8, 0, 8, 8, 8, 0,2, 8,94.
2. Un cycliste et son vélo (masse totale $80$ kg) passent en A ($h_A = 10$ m, $v_A = 2$ m/s) puis en B ($h_B = 0$, $v_B = 8$ m/s). Des frottements sont présents.
a) $E_m(A) = \frac{1}{2} \times 80 \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 + 80 \times 10 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
b) $E_m(B) = \frac{1}{2} \times 80 \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
c) $\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
d) $\Delta E_m$ est négatif, donc l'énergie mécanique a diminué à cause des frottements. Le travail des frottements vaut $W_{\text{frott}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
a) 2 (pour v_A) ; 10 ; 160 (1/2×80×4=160) ; 8000 (80×10×10) ; 8160. b) 8 ; 2560 (1/2×80×64=2560). c) 2560 - 8160 = -5600. d) -5600. Trous : 2, 10, 160, 8000, 8160, 8, 2560, 2560, 8160, -5600, -5600.
3. On reprend une bille sans frottement lâchée de $h_A = 5$ m. On veut sa vitesse en un point B situé à $h_B = 2$ m. Complète l'équation de conservation après simplification par $m$ :
$g h_A = \frac{1}{2} v_B^2 + g h_B$
$10 \times 5 = \frac{1}{2} v_B^2 + 10 \times 2$
$50 = \frac{1}{2} v_B^2 + 20$
D'où $\frac{1}{2} v_B^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $v_B^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $v_B = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s.
Corrigé
$\frac{1}{2} v_B^2 = 30$, $v_B^2 = 60$, $v_B = \sqrt{60} \approx 7,75$ m/s. Trous : 30, 60, 60, 7,75.
Cinq petits exercices identiques, juste pour te muscler les doigts. Calcule $E_c$, $E_{pp}$ et $E_m$ à partir de $m$, $v$ et $h$. Remplis les trous, c'est mécanique !
À toi de jouer
1. m = 50 kg, v = 3 m/s, h = 2 m.
$E_c = \frac{1}{2} \times 50 \times 3^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_{pp} = 50 \times 10 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_m = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_c = 225$ J, $E_{pp} = 1000$ J, $E_m = 1225$ J. Trous : 225, 1000, 225, 1000, 1225.
2. m = 0,2 kg, v = 5 m/s, h = 1,5 m.
$E_c = \frac{1}{2} \times 0,2 \times 5^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_{pp} = 0,2 \times 10 \times 1,5 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_m = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_c = 2,5$ J, $E_{pp} = 3$ J, $E_m = 5,5$ J. Trous : 2,5, 3, 2,5, 3, 5,5.
3. m = 1000 kg, v = 10 m/s, h = 0 m (au sol).
$E_c = \frac{1}{2} \times 1000 \times 10^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_{pp} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J car h = 0.
$E_m = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_c = 50000$ J, $E_{pp} = 0$ J, $E_m = 50000$ J. Trous : 50000, 0, 50000, 0, 50000.
4. m = 0,05 kg, v = 0 m/s, h = 8 m.
$E_c = \underline{\hspace{1.1em}}$ J car v = 0.
$E_{pp} = 0,05 \times 10 \times 8 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_m = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_c = 0$ J, $E_{pp} = 4$ J, $E_m = 4$ J. Trous : 0, 4, 0, 4, 4.
5. m = 30 kg, v = 4 m/s, h = 2,5 m.
$E_c = \frac{1}{2} \times 30 \times 4^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_{pp} = 30 \times 10 \times 2,5 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
$E_m = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_c = 240$ J, $E_{pp} = 750$ J, $E_m = 990$ J. Trous : 240, 750, 240, 750, 990.
On passe aux exercices type contrôle. Ce sont des problèmes complets : à toi de choisir la bonne formule et de l'appliquer. Tu peux toujours dessiner un schéma pour t'aider. C'est parti !
À toi de jouer
1. Un skateboard et un rider ont une masse totale de 70 kg. Ils se déplacent à 5 m/s à une hauteur de 2 m au-dessus du sol.
a) Calcule l'énergie cinétique $E_c$.
b) Calcule l'énergie potentielle $E_{pp}$ (niveau de référence : le sol).
c) Déduis-en l'énergie mécanique $E_m$.
Corrigé
a) $E_c = \frac{1}{2} \times 70 \times 5^2 = 875$ J.
b) $E_{pp} = 70 \times 10 \times 2 = 1400$ J.
c) $E_m = 875 + 1400 = 2275$ J.
2. Une balle de masse 400 g est lâchée sans vitesse initiale du haut d'un immeuble, à 5 m du sol. On néglige les frottements.
a) Calcule l'énergie mécanique $E_m(A)$ au sommet.
b) Justifie que $E_m$ se conserve entre A et le sol B ($h_B = 0$).
c) Calcule la vitesse $v_B$ de la balle à l'arrivée au sol.
Corrigé
a) m = 0,4 kg. $E_c(A) = 0$, $E_{pp}(A) = 0,4 \times 10 \times 5 = 20$ J donc $E_m(A) = 20$ J.
b) En l'absence de frottements, seule la force poids travaille : l'énergie mécanique se conserve.
c) Au sol, $E_{pp}(B) = 0$, donc $E_c(B) = E_m(A) = 20$ J. $v_B = \sqrt{\frac{2 \times 20}{0,4}} = \sqrt{100} = 10$ m/s.
3. Un cycliste et son vélo (90 kg) abordent une descente. En haut (A, $h_A = 20$ m), la vitesse est $v_A = 1$ m/s. En bas (B, $h_B = 0$), la vitesse est $v_B = 15$ m/s.
a) Calcule $E_m(A)$ et $E_m(B)$.
b) Calcule la variation $\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A)$.
c) Interprète le signe de $\Delta E_m$.
d) Que vaut le travail des forces de frottement ?
Corrigé
a) $E_m(A) = \frac{1}{2} \times 90 \times 1^2 + 90 \times 10 \times 20 = 45 + 18000 = 18045$ J.
$E_m(B) = \frac{1}{2} \times 90 \times 15^2 = 10125$ J.
b) $\Delta E_m = 10125 - 18045 = -7920$ J.
c) $\Delta E_m < 0$, donc l'énergie mécanique diminue : il y a des frottements.
d) $W_{\text{frottements}} = \Delta E_m = -7920$ J.
4. Une bille de masse 250 g est lâchée sans vitesse en A ($h_A = 4$ m). Elle glisse sans frottements sur un toboggan. On donne deux autres points : B ($h_B = 1,5$ m) et C au sol ($h_C = 0$).
a) Calcule $E_m(A)$.
b) Détermine la vitesse $v_B$ au point B.
c) Détermine la vitesse $v_C$ au point C.
Corrigé
a) m = 0,25 kg. $E_m(A) = E_{pp}(A) = 0,25 \times 10 \times 4 = 10$ J.
b) Conservation : $10 = \frac{1}{2} \times 0,25 \times v_B^2 + 0,25 \times 10 \times 1,5 \Rightarrow 10 = 0,125 v_B^2 + 3,75 \Rightarrow 0,125 v_B^2 = 6,25 \Rightarrow v_B^2 = 50 \Rightarrow v_B \approx 7,07$ m/s.
c) En C : $10 = \frac{1}{2} \times 0,25 \times v_C^2 \Rightarrow v_C^2 = \frac{20}{0,25} = 80 \Rightarrow v_C \approx 8,94$ m/s.
5. Une balle de tennis de masse 50 g est lancée verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse de 25 m/s. On néglige les frottements.
a) Calcule l'énergie mécanique $E_m$ au moment du lancer.
b) Déduis-en la hauteur maximale $h_{\text{max}}$ atteinte (la vitesse y est nulle).
c) Calcule la vitesse de la balle lorsqu'elle repasse à l'altitude $h = 20$ m en montant.
Corrigé
a) m = 0,05 kg. $E_m = \frac{1}{2} \times 0,05 \times 25^2 = 15,625$ J.
b) Au sommet : $E_{pp} = 15,625$ J. $0,05 \times 10 \times h_{\text{max}} = 15,625 \Rightarrow h_{\text{max}} = 31,25$ m.
c) À 20 m : $E_m = E_c + m g h \Rightarrow 15,625 = \frac{1}{2} \times 0,05 \times v^2 + 0,05 \times 10 \times 20 \Rightarrow 15,625 = 0,025 v^2 + 10 \Rightarrow 0,025 v^2 = 5,625 \Rightarrow v^2 = 225 \Rightarrow v = 15$ m/s.
Tu veux aller plus loin ? Voici deux situations où l'énergie mécanique n'est plus conservée, et il faut combiner conservation partielle, travail des frottements et distances. C'est un avant-goût de ce qui t'attend l'an prochain.
À toi de jouer
1. Un bloc de masse $5$ kg glisse du haut d'un plan incliné (hauteur $h = 2$ m) jusqu'en bas ($h = 0$). On mesure une vitesse en bas de $v = 4$ m/s au lieu de la valeur attendue sans frottement. La distance parcourue le long de la pente est de $4$ m.
a) Calcule l'énergie mécanique au départ et à l'arrivée, puis la perte d'énergie mécanique.
b) Sachant que le travail des frottements vaut $-f \times d$ où $f$ est la force de frottement constante et $d$ la distance, détermine la valeur de $f$.
Corrigé
a) m = 5 kg. E_m(départ) = mgh = 5×10×2 = 100 J. E_m(arrivée) = 1/2×5×4² = 40 J. Perte ΔE_m = 40 - 100 = -60 J.
b) |W_frott| = 60 J, donc f × d = 60 ⇒ f = 60/4 = 15 N. La force de frottement vaut 15 N.
2. On lance une pierre de $50$ g verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse de $15$ m/s. On estime que la résistance de l'air dissipe $10\,\%$ de l'énergie mécanique initiale pendant la montée.
a) Calcule l'énergie mécanique initiale.
b) Calcule l'énergie mécanique restante au sommet de la trajectoire.
c) Déduis-en la hauteur maximale atteinte. (On prendra $g = 10\, \text{m/s}^2$).
Corrigé
a) m = 0,05 kg. E_m(i) = 1/2 × 0,05 × 15² = 5,625 J.
b) Énergie dissipée = 10% de 5,625 = 0,5625 J. E_m(sommet) = 5,625 - 0,5625 = 5,0625 J.
c) Au sommet, E_c = 0, donc E_pp = 5,0625 J. mgh = 5,0625 ⇒ 0,05×10×h = 5,0625 ⇒ h = 10,125 m.