Tu as un contrôle qui arrive et tu n'as jamais mis le nez dans ce chapitre ? Pas de souci. On va tout reprendre depuis le début, en commençant par ce que tu as déjà vu en seconde : les lentilles convergentes. On ajoute juste un peu de vocabulaire et des calculs simples. En route !
Lentille convergente : l'essentiel de seconde
Une lentille mince convergente est un bloc transparent dont l'épaisseur est faible. Ses bords sont plus minces que son centre. Elle fait converger en un point les rayons lumineux parallèles à l'axe optique (la droite qui passe par le centre de la lentille en étant perpendiculaire à sa surface).
- Le point où convergent les rayons parallèles situés à gauche de la lentille se trouve à droite : c'est le foyer image, noté F'.
- La distance entre le centre optique O et le foyer image F' est la distance focale $f' = \overline{OF'}$.
- Pour une lentille convergente, $f'$ est positive.
- Plus la lentille est bombée, plus $f'$ est courte et plus elle est convergente.
Vergence
La vergence $V$ d'une lentille est l'inverse de sa distance focale : $$ V = \frac{1}{f'} $$ avec $f'$ en mètres (m) et $V$ en dioptries (symbole $\delta$).
Exemple : si $f' = 0{,}20~\mathrm{m}$, alors $V = \frac{1}{0{,}20} = +5~\delta$. Comme $V > 0$, la lentille est convergente.
À retenir : $V > 0$ ⇔ lentille convergente ; $V < 0$ ⇔ lentille divergente.
À toi de jouer
1. Complète les phrases suivantes pour reconnaître le type de lentille.
Une lentille à bords minces est une lentille .
Sa distance focale $f'$ est (positive/négative).
Un exemple de telle lentille est la loupe.
Corrigé
Une lentille à bords minces est une lentille \textbf{convergente}.
Sa distance focale $f'$ est \textbf{positive}.
Un exemple de telle lentille est la loupe.
2. Une lentille convergente a une distance focale $f' = 20\ \mathrm{cm}$.
Calcule sa vergence $V$.
$V = \dfrac{1}{f'}$ avec $f'$ en mètres.
Donc $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{m}$, alors $V = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \delta$.
Cette lentille est car $V \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 0$.
Corrigé
Une lentille convergente a une distance focale $f' = 20\ \mathrm{cm}$.
Calcule sa vergence $V$.
$V = \dfrac{1}{f'}$ avec $f'$ en mètres.
Donc $f' = \mathbf{0{,}20}\ \mathrm{m}$, alors $V = \dfrac{1}{\mathbf{0{,}20}} = \mathbf{5}\ \delta$.
Cette lentille est \textbf{convergente} car $V \ \mathbf{>} \ 0$.
3. Une lentille a une vergence $V = +8\ \delta$.
Calcule sa distance focale $f'$ en mètres puis en centimètres.
$f' = \dfrac{1}{V} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{m} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
Le signe de $V$ indique que c'est une lentille .
Corrigé
Une lentille a une vergence $V = +8\ \delta$.
Calcule sa distance focale $f'$ en mètres puis en centimètres.
$f' = \dfrac{1}{V} = \mathbf{0{,}125}\ \mathrm{m} = \mathbf{12{,}5}\ \mathrm{cm}$.
Le signe de $V$ indique que c'est une lentille \textbf{convergente}.
Ah, la relation de conjugaison et le grandissement, ça te dit quelque chose ? C'est normal, tu les as peut-être croisés en TP. On va remettre de l'ordre dans tout ça avec une méthode en trois étapes. Fais les exercices à trous tranquillement, ça va revenir tout seul.
Relation de conjugaison
Pour une lentille mince, la position de l'image $A'B'$ par rapport à celle de l'objet $AB$ est donnée par la relation de conjugaison : $$ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \quad \text{ou, plus pratique :} \quad \boxed{\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}}} $$ où toutes les distances sont algébriques, mesurées depuis le centre optique O sur l'axe orienté dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite).
- Un objet réel situé à gauche de O : $\overline{OA} < 0$.
- Une image réelle se formant à droite de O : $\overline{OA'} > 0$.
- Une image virtuelle se trouvant à gauche de O : $\overline{OA'} < 0$.
Grandissement
Le grandissement transversal $\gamma$ (gamma) compare la taille de l'image à celle de l'objet et donne son sens : $$ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} $$
- Si $\gamma < 0$, l'image est renversée.
- Si $|\gamma| > 1$, l'image est agrandie.
- Si $|\gamma| < 1$, l'image est réduite.
- Si $\gamma > 0$, l'image est droite (et nécessairement virtuelle pour un objet réel).
Méthode pas à pas
- Écrire $\overline{OA}$ avec son signe (négatif si objet réel à gauche).
- Appliquer $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}}$.
- Calculer $\overline{OA'}$, puis $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
- Conclure : $\overline{OA'} > 0 \Rightarrow$ image réelle ; $\overline{OA'} < 0 \Rightarrow$ image virtuelle.
À toi de jouer
1. Une lentille convergente de distance focale $f' = 10\ \mathrm{cm}$ est utilisée. Un objet $AB$ est placé $30\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
a) Donne les valeurs algébriques : $\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$, \quad $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
b) Calcule $\overline{OA'}$ avec la relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Mets au même dénominateur $30$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{30}$.
Donc $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
c) L'image est-elle réelle ou virtuelle ? Justifie avec le signe. $\overline{OA'} \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 0$, donc l'image est .
d) Calcule le grandissement $\gamma$ : $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
e) L'image est-elle droite ou renversée ? Agrandie ou réduite ? $\gamma \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 0$ donc l'image est . $|\gamma| = \underline{\hspace{1.1em}}$ qui est (inférieur/supérieur) à 1, donc l'image est .
Corrigé
a) $\overline{OA} = \mathbf{-30}\ \mathrm{cm}$, \quad $f' = \mathbf{+10}\ \mathrm{cm}$.
b) $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{10}} + \dfrac{1}{\mathbf{-30}} = \dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{\mathbf{2}}{30}$.
Donc $\overline{OA'} = \mathbf{15}\ \mathrm{cm}$.
c) $\overline{OA'} \ \mathbf{>} \ 0$, donc l'image est \textbf{réelle}.
d) $\gamma = \dfrac{\mathbf{15}}{\mathbf{-30}} = \mathbf{-0{,}5}$.
e) $\gamma \ \mathbf{<} \ 0$ donc l'image est \textbf{renversée}. $|\gamma| = \mathbf{0{,}5}$ qui est \textbf{inférieur} à 1, donc l'image est \textbf{réduite}.
2. Une lentille convergente de distance focale $f' = 15\ \mathrm{cm}$. Un objet $AB$ est placé $20\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
a) Donne les valeurs algébriques : $\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$, \quad $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
b) Calcule $\overline{OA'}$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Mets au même dénominateur $60$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{60} - \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{60} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{60}$.
Donc $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
c) L'image est car $\overline{OA'} \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 0$.
d) $\gamma = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
e) $\gamma \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 0$ donc image . $|\gamma| = \underline{\hspace{1.1em}}$, image .
Corrigé
a) $\overline{OA} = \mathbf{-20}\ \mathrm{cm}$, \quad $f' = \mathbf{+15}\ \mathrm{cm}$.
b) $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{15}} + \dfrac{1}{\mathbf{-20}} = \dfrac{\mathbf{4}}{60} - \dfrac{\mathbf{3}}{60} = \dfrac{\mathbf{1}}{60}$.
Donc $\overline{OA'} = \mathbf{60}\ \mathrm{cm}$.
c) L'image est \textbf{réelle} car $\overline{OA'} \ \mathbf{>} \ 0$.
d) $\gamma = \dfrac{\mathbf{60}}{\mathbf{-20}} = \mathbf{-3}$.
e) $\gamma \ \mathbf{<} \ 0$ donc image \textbf{renversée}. $|\gamma| = \mathbf{3}$, image \textbf{agrandie}.
3. Une lentille convergente de distance focale $f' = 12\ \mathrm{cm}$. Un objet $AB$ est placé $8\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille (objet entre F et O).
a) Donne les valeurs algébriques : $\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$, \quad $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
b) Calcule $\overline{OA'}$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Mets au même dénominateur $24$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{24} - \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{24} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{24}$.
Donc $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
c) L'image est car $\overline{OA'} \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 0$.
d) $\gamma = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
e) $\gamma \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 0$ donc image . $|\gamma| = \underline{\hspace{1.1em}}$, image . Ce résultat est cohérent avec l'effet loupe.
Corrigé
a) $\overline{OA} = \mathbf{-8}\ \mathrm{cm}$, \quad $f' = \mathbf{+12}\ \mathrm{cm}$.
b) $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{12}} + \dfrac{1}{\mathbf{-8}} = \dfrac{\mathbf{2}}{24} - \dfrac{\mathbf{3}}{24} = \dfrac{\mathbf{-1}}{24}$.
Donc $\overline{OA'} = \mathbf{-24}\ \mathrm{cm}$.
c) L'image est \textbf{virtuelle} car $\overline{OA'} \ \mathbf{<} \ 0$.
d) $\gamma = \dfrac{\mathbf{-24}}{\mathbf{-8}} = \mathbf{+3}$.
e) $\gamma \ \mathbf{>} \ 0$ donc image \textbf{droite}. $|\gamma| = \mathbf{3}$, image \textbf{agrandie}. Ce résultat est cohérent avec l'effet loupe.
C'est l'heure de la répétition. Cinq calculs, quasiment le même modèle, juste pour que le geste devienne automatique. Remplis les trous et vérifie que tu obtiens bien les bonnes valeurs. Allez, c'est parti !
À toi de jouer
1. Exercice 1 : Une lentille convergente de distance focale $f' = 10\ \mathrm{cm}$. Un objet est placé $30\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
Complète les étapes :
$\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
L'image est (réelle/virtuelle), (droite/renversée), et (agrandie/réduite).
Corrigé
Exercice 1 : $\overline{OA} = \mathbf{-30}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \mathbf{+10}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{10}} + \dfrac{1}{\mathbf{-30}} = \mathbf{\dfrac{2}{30}\ \mathrm{cm}^{-1}}$
Donc $\overline{OA'} = \mathbf{15}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\mathbf{15}}{\mathbf{-30}} = \mathbf{-0{,}5}$
L'image est \textbf{réelle}, \textbf{renversée}, et \textbf{réduite}.
2. Exercice 2 : Une lentille convergente de distance focale $f' = 15\ \mathrm{cm}$. Un objet est placé $20\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
Complète les étapes :
$\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
L'image est , , et .
Corrigé
Exercice 2 : $\overline{OA} = \mathbf{-20}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \mathbf{+15}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{15}} + \dfrac{1}{\mathbf{-20}} = \mathbf{\dfrac{1}{60}\ \mathrm{cm}^{-1}}$
Donc $\overline{OA'} = \mathbf{60}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\mathbf{60}}{\mathbf{-20}} = \mathbf{-3}$
L'image est \textbf{réelle}, \textbf{renversée}, et \textbf{agrandie}.
3. Exercice 3 : Une lentille convergente de distance focale $f' = 20\ \mathrm{cm}$. Un objet est placé $30\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
Complète les étapes :
$\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
L'image est , , et .
Corrigé
Exercice 3 : $\overline{OA} = \mathbf{-30}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \mathbf{+20}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{20}} + \dfrac{1}{\mathbf{-30}} = \mathbf{\dfrac{1}{60}\ \mathrm{cm}^{-1}}$
Donc $\overline{OA'} = \mathbf{60}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\mathbf{60}}{\mathbf{-30}} = \mathbf{-2}$
L'image est \textbf{réelle}, \textbf{renversée}, et \textbf{agrandie}.
4. Exercice 4 : Une lentille convergente de distance focale $f' = 25\ \mathrm{cm}$. Un objet est placé $100\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
Complète les étapes :
$\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\overline{OA'} \approx \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$ (arrondir à un chiffre après la virgule).
$\gamma \approx \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
L'image est , , et .
Corrigé
Exercice 4 : $\overline{OA} = \mathbf{-100}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \mathbf{+25}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{25}} + \dfrac{1}{\mathbf{-100}} = \mathbf{\dfrac{3}{100}\ \mathrm{cm}^{-1}}$
Donc $\overline{OA'} \approx \mathbf{33{,}3}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma \approx \dfrac{\mathbf{33{,}3}}{\mathbf{-100}} = \mathbf{-0{,}333}$
L'image est \textbf{réelle}, \textbf{renversée}, et \textbf{réduite}.
5. Exercice 5 : Une lentille convergente de distance focale $f' = 12\ \mathrm{cm}$. Un objet est placé $18\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
Complète les étapes :
$\overline{OA} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
L'image est , , et .
Corrigé
Exercice 5 : $\overline{OA} = \mathbf{-18}\ \mathrm{cm}$ ; $f' = \mathbf{+12}\ \mathrm{cm}$.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\mathbf{12}} + \dfrac{1}{\mathbf{-18}} = \mathbf{\dfrac{1}{36}\ \mathrm{cm}^{-1}}$
Donc $\overline{OA'} = \mathbf{36}\ \mathrm{cm}$.
$\gamma = \dfrac{\mathbf{36}}{\mathbf{-18}} = \mathbf{-2}$
L'image est \textbf{réelle}, \textbf{renversée}, et \textbf{agrandie}.
Tu es prêt pour le contrôle ? Voici des exercices typiques d'évaluation, sans filet. Prends ton temps, rédige bien, et vérifie les signes. Objectif : 100% !
À toi de jouer
1. 1. Une lentille a une vergence $V = +4\ \delta$. Calcule sa distance focale $f'$ en mètres puis en centimètres. Est-elle convergente ou divergente ?
2. Une lentille convergente a une distance focale $f' = 20\ \mathrm{cm}$. Quelle est sa vergence ?
3. Une lentille a une vergence $V = -5\ \delta$. Que peut-on dire de cette lentille ?
Corrigé
1. $f' = \dfrac{1}{V} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \mathrm{m} = 25\ \mathrm{cm}$. Comme $f' > 0$, la lentille est convergente.
2. $f' = 20\ \mathrm{cm} = 0{,}20\ \mathrm{m}$, $V = \dfrac{1}{0{,}20} = +5\ \delta$.
3. $V = -5\ \delta < 0 \Rightarrow f' = -0{,}20\ \mathrm{m} < 0$. Lentille divergente : le foyer image F' est virtuel, situé à gauche de O.
2. Un objet $AB$ est placé à $40\ \mathrm{cm}$ en avant d'une lentille convergente de distance focale $f' = 15\ \mathrm{cm}$.
a) Écrire la valeur algébrique de $\overline{OA}$.
b) Calculer $\overline{OA'}$ à l'aide de la relation de conjugaison.
c) L'image est-elle réelle ou virtuelle ? Justifier avec le signe de $\overline{OA'}$.
d) Calculer $\gamma$ et décrire l'image (droite/renversée, agrandie/réduite).
Corrigé
a) Objet réel à gauche de O : $\overline{OA} = -40\ \mathrm{cm}$.
b) $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{-40} = \dfrac{8}{120} - \dfrac{3}{120} = \dfrac{5}{120} \Rightarrow \overline{OA'} = \dfrac{120}{5} = +24\ \mathrm{cm}$.
c) $\overline{OA'} = +24\ \mathrm{cm} > 0$ : image réelle, formée à droite de la lentille.
d) $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{+24}{-40} = -0{,}6$.
$\gamma < 0$ : image renversée. $|\gamma| = 0{,}6 < 1$ : image réduite.
3. Un objet $AB$ de hauteur $h = 2\ \mathrm{cm}$ est placé à $8\ \mathrm{cm}$ en avant d'une lentille convergente de distance focale $f' = 12\ \mathrm{cm}$.
a) Calculer $\overline{OA'}$.
b) Calculer le grandissement $\gamma$.
c) Déduire la hauteur $h'$ de l'image $A'B'$.
d) L'image est-elle réelle ou virtuelle ? Droite ou renversée ? Ce résultat est-il cohérent avec la position de l'objet par rapport au foyer $F$ ?
Corrigé
a) $\overline{OA} = -8\ \mathrm{cm}$, $f' = 12\ \mathrm{cm}$. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{-8} = \dfrac{2}{24} - \dfrac{3}{24} = -\dfrac{1}{24} \Rightarrow \overline{OA'} = -24\ \mathrm{cm}$.
b) $\gamma = \dfrac{-24}{-8} = +3$.
c) $h' = |\gamma| \times h = 3 \times 2\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$.
d) $\overline{OA'} < 0$, image virtuelle. $\gamma > 0$, image droite. L'objet est placé entre le foyer objet $F$ et la lentille (distance de $8\ \mathrm{cm} < 12\ \mathrm{cm}$), ce qui produit une image virtuelle, droite et agrandie (loupe) : résultat cohérent.
4. Une lentille divergente a une vergence $V = -2{,}5\ \delta$. Un objet est placé à $60\ \mathrm{cm}$ en avant de la lentille.
a) Calculer $f'$ en mètres et en centimètres.
b) Calculer $\overline{OA'}$.
c) Que peut-on dire, en général, de la nature de l'image donnée par une lentille divergente pour tout objet réel ?
Corrigé
a) $f' = \dfrac{1}{V} = \dfrac{1}{-2{,}5} = -0{,}40\ \mathrm{m} = -40\ \mathrm{cm}$.
b) $\overline{OA} = -60\ \mathrm{cm}$. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{-40} + \dfrac{1}{-60} = -\dfrac{3}{120} - \dfrac{2}{120} = -\dfrac{5}{120}$.
$\overline{OA'} = -\dfrac{120}{5} = -24\ \mathrm{cm}$.
c) $\overline{OA'}$ est négatif : image virtuelle. Comme $|\overline{OA'}| < |\overline{OA}|$, le grandissement $|\gamma| < 1$ : image réduite. Pour tout objet réel, une lentille divergente donne toujours une image virtuelle, droite et réduite.
5. L'objectif d'un appareil photo est assimilé à une lentille convergente de distance focale $f' = 50\ \mathrm{mm}$. On photographie un arbre de hauteur $H = 8\ \mathrm{m}$ situé à $d = 40\ \mathrm{m}$ de l'objectif.
a) Exprimer $\overline{OA}$ en millimètres.
b) Calculer $\overline{OA'}$. Que remarque-t-on lorsque $|\overline{OA}| \gg f'$ ?
c) Calculer le grandissement $\gamma$.
d) Calculer la taille $H'$ de l'image de l'arbre sur le capteur.
e) Conclure sur la nature et le sens de l'image.
Corrigé
a) $\overline{OA} = -d = -40\ \mathrm{m} = -40\ 000\ \mathrm{mm}$.
b) $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{-40\ 000} \approx \dfrac{1}{50}$ car $\dfrac{1}{40\ 000}$ est négligeable. Donc $\overline{OA'} \approx +50\ \mathrm{mm}$. Plus l'objet est éloigné, plus $\overline{OA'}$ se rapproche de $f'$ ; l'image se forme quasiment dans le plan focal image.
c) $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \approx \dfrac{50}{-40\ 000} = -0{,}00125$.
d) $H' = |\gamma| \times H = 0{,}00125 \times 8\ \mathrm{m} = 0{,}01\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{cm}$. L'image de l'arbre mesure 1 cm sur le capteur.
e) $\overline{OA'} > 0$ : image réelle. $\gamma < 0$ : image renversée. $|\gamma| < 1$ : image très réduite. C'est cohérent pour un objet lointain photographié.
Tu maîtrises les lentilles ? Voyons comment tout ça s'applique à l'œil humain. Un petit avant-goût de ce qui t'attend en terminale : modélisation de l'œil, accommodation, et correction de la myopie. Pas de panique, c'est le même principe !
L'œil réduit
L'œil réel est modélisé par une lentille convergente (le cristallin) de distance focale variable, et un écran fixe (la rétine) situé à une distance $d \approx 17\ \mathrm{mm}$ du centre optique.
- Œil normal au repos : il voit net les objets éloignés (à l'infini). L'image d'un objet à l'infini se forme sur la rétine, donc $f' = d$.
- Accommodation : pour voir net un objet rapproché, le cristallin se bombe : sa distance focale $f'$ diminue. L'image doit toujours se former sur la rétine, donc $\overline{OA'} = d$ (fixé). On détermine le $f'$ nécessaire par la relation de conjugaison.
- Punctum proximum $PP$ : distance minimale de vision nette (environ 25 cm pour un œil jeune).
À toi de jouer
1. On modélise un œil normal par une lentille convergente de centre O et un écran (rétine) placé à une distance fixe $d = 17\ \mathrm{mm}$. Au repos, l'œil voit net un objet à l'infini.
a) Quelle est alors la distance focale $f'_{0}$ de la lentille ?
On approche un objet à une distance $D = 25\ \mathrm{cm}$ de l'œil. L'œil accommode pour que l'image se forme toujours sur la rétine.
b) Exprimer $\overline{OA}$ et $\overline{OA'}$ dans cette situation (avec les signes).
c) Utiliser la relation de conjugaison pour déterminer la nouvelle distance focale $f'$ nécessaire.
d) En déduire comment la vergence du cristallin a varié. (Donner la variation en dioptries.)
Corrigé
a) Pour un objet à l'infini, $1/\overline{OA} = 0$, donc $1/\overline{OA'} = 1/f'_0$. Comme l'image sur la rétine est à droite de O, $\overline{OA'} = d = 17\ \mathrm{mm} = 0,017\ \mathrm{m}$, donc $f'_0 = d = 17\ \mathrm{mm}$. Vergence au repos $V_0 = 1/0,017 \approx 58,8\ \delta$.
b) Objet réel à gauche : $\overline{OA} = -D = -25\ \mathrm{cm} = -0,25\ \mathrm{m}$. Image sur la rétine : $\overline{OA'} = d = +0,017\ \mathrm{m}$.
c) Relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} \Rightarrow \frac{1}{f'} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{0,017} - \frac{1}{-0,25} = 58,82 + 4 = 62,82\ (\mathrm{m}^{-1})$. $f' = 1/62,82 \approx 0,0159\ \mathrm{m} = 15,9\ \mathrm{mm}$.
d) Vergence pendant l'accommodation $V = 1/f' \approx 62,8\ \delta$. L'augmentation est $\Delta V = V - V_0 = 62,8 - 58,8 = 4,0\ \delta$. L'œil a dû augmenter sa vergence de 4 dioptries.
2. Un œil myope a un défaut : son cristallin trop convergent ou son œil trop long fait que l'image d'un objet à l'infini se forme en avant de la rétine. Sa vision de loin est floue. On considère un œil myope modélisé par une lentille convergente de distance focale fixe (sans accommodation) $f'_\text{oeil} = 18\ \mathrm{mm}$. La rétine est située à $d = 20\ \mathrm{mm}$ du cristallin.
a) Où se forme l'image d'un objet situé à l'infini ? Justifier que l'œil ne voit pas net.
b) Le punctum remotum (PR) de cet œil, c'est-à-dire la distance maximale de vision nette sans accommodation, est la position d'un objet dont l'image se forme exactement sur la rétine. Déterminer la valeur algébrique de $\overline{OA}$ correspondant au PR.
c) Pour corriger la myopie, on place devant l'œil une lentille correctrice (considérée comme accolée au cristallin). La lentille correctrice doit donner d'un objet à l'infini une image virtuelle située au PR de l'œil myope, pour que l'œil puisse ensuite la voir nette. Utilise cette méthode : l'objet est à l'infini, la lentille correctrice en donne une image $A'B'$ qui servira d'objet pour l'œil. Où doit se trouver cette image intermédiaire ? En déduire la distance focale $f'_c$ et la vergence $V_c$ de la lentille correctrice.
d) De quel type de lentille s'agit-il ?
Corrigé
a) Pour un objet à l'infini, l'image donnée par l'œil se forme à $f'_\text{oeil} = 18\ \mathrm{mm}$ du cristallin. Comme la rétine est à 20 mm, l'image se forme 2 mm en avant de la rétine, d'où une vision floue.
b) Le PR est la position de l'objet dont l'image se forme sur la rétine. Avec l'œil au repos (pas d'accommodation), on a $\overline{OA'} = d = +20\ \mathrm{mm}$, $f'_\text{oeil} = 18\ \mathrm{mm}$. La relation de conjugaison donne $\frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{f'_\text{oeil}} = \frac{1}{20} - \frac{1}{18} = \frac{9}{180} - \frac{10}{180} = -\frac{1}{180}$. Donc $\overline{OA} = -180\ \mathrm{mm} = -18\ \mathrm{cm}$. Le PR est situé à 18 cm en avant de l'œil. (L'œil ne voit net que jusqu'à 18 cm.)
c) La lentille correctrice prend un objet à l'infini et doit produire une image virtuelle située au PR de l'œil, c'est-à-dire à $\overline{OA'}_{\text{lentille}} = \overline{OA}_{\text{PR}} = -18\ \mathrm{cm} = -0,18\ \mathrm{m}$ (image virtuelle du côté de l'objet). Pour la lentille correctrice seule, avec objet à l'infini : $1/\overline{OA} = 0$, donc $1/\overline{OA'}_{\text{lentille}} = 1/f'_c$. Ainsi $1/f'_c = 1/(-0,18)$ d'où $f'_c = -0,18\ \mathrm{m} = -18\ \mathrm{cm}$. Vergence $V_c = 1/f'_c = -5,56\ \delta \approx -5,6\ \delta$.
d) $V_c < 0$, c'est une lentille divergente. On corrige bien la myopie avec des verres divergents.