Énergie mécanique et sa conservation

L'énergie mécanique réunit énergie cinétique et énergie potentielle — elle se conserve en l'absence de frottements.

1 L'idée

L'énergie mécanique $E_m$ d'un solide est la somme de son énergie cinétique $E_c$ (due à la vitesse) et de son énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ (due à l'altitude). Ces deux formes d'énergie se transforment l'une en l'autre : un objet qui descend gagne en $E_c$ ce qu'il perd en $E_{pp}$.

Quand seul le poids travaille (aucun frottement, aucune force motrice), l'énergie mécanique reste constante entre deux instants : c'est la loi de conservation de l'énergie mécanique. En présence de frottements, $E_m$ diminue — l'énergie est dissipée sous forme thermique.

Niveau de référence : $E_{pp} = mgh$ est calculée par rapport à un niveau $h = 0$ que l'on choisit librement (en général le point le plus bas du problème). Seules les variations d'énergie ont un sens physique.

2 Formules à connaître

Énergie cinétique

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$

Énergie potentielle de pesanteur

$E_{pp} = mgh$

Énergie mécanique

$E_m = E_c + E_{pp}$

Conservation (sans frottements)

$E_{m,A} = E_{m,B}$

Variation (avec frottements)

$\Delta E_m = W_{\text{frottements}} \le 0$

3 Exemple — conservation lors d'une chute

Bille de 400 g lâchée sans vitesse de $h_A = 5$ m ($g = 10$ m/s²)

En A (sommet) : $v_A = 0$, $h_A = 5$ m. $E_c(A) = 0$ J et $E_{pp}(A) = 0{,}4 \times 10 \times 5 = 20$ J, donc $E_m(A) = 20$ J.

Pas de frottements $\Rightarrow$ conservation : $E_m(B) = E_m(A) = 20$ J.

En B (sol, $h_B = 0$) : $E_{pp}(B) = 0$, donc $E_c(B) = 20$ J.

Vitesse en B : $v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times E_c(B)}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 20}{0{,}4}} = \sqrt{100} = 10$ m/s.

Méthode — résoudre par conservation de l'énergie mécanique

Définir le niveau de référence ($h = 0$) et le conserver pour tout le problème.
Calculer $E_m$ en un point où vitesse et altitude sont connues.
Vérifier l'absence de frottements et de forces motrices qui travaillent.
Poser $E_{m,A} = E_{m,B}$, soit $\dfrac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgh_B$.
Isoler l'inconnue (vitesse ou altitude) et conclure avec l'unité.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$ dans $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ — erreur la plus courante.
Appliquer la conservation alors que des frottements sont présents ($E_m$ diminue dans ce cas).
Changer de niveau de référence en cours de problème.
Oublier d'extraire la racine carrée : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ donne $v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}$, pas $v = \dfrac{2E_c}{m}$.