Contrôle bientôt et tu ouvres ce chapitre pour la première fois ? Pas de panique : l'énergie mécanique, c'est une seule idée et trois formules. On file à l'essentiel, tu ressors d'ici avec de quoi t'en sortir.
Les prérequis en 30 secondes
Trois grandeurs, trois unités, et c'est parti.
- La masse $m$ en kilogrammes (kg).
- La vitesse $v$ en mètres par seconde (m/s).
- La hauteur $h$ en mètres (m), mesurée depuis un niveau bas que tu choisis toi-même.
- L'intensité de la pesanteur $g \approx 10$ N/kg (parfois $9{,}81$).
- Toutes les énergies se mesurent en joules (J).
L'idée à retenir : un objet stocke de l'énergie de deux façons — parce qu'il va vite, et parce qu'il est haut. Ces deux réserves s'échangent l'une avec l'autre.
L'essentiel et les formules clés
L'énergie cinétique vient de la vitesse, l'énergie potentielle de pesanteur vient de l'altitude, et l'énergie mécanique est juste la somme des deux.
Le point qui compte vraiment : s'il n'y a pas de frottements (seul le poids travaille), l'énergie mécanique ne change pas d'un instant à l'autre. Un objet qui descend transforme sa hauteur en vitesse : il perd en $E_{pp}$ exactement ce qu'il gagne en $E_c$.
Sans frottements : $E_{m,A} = E_{m,B}$. Tu calcules l'énergie mécanique là où tu connais tout, et elle vaut la même chose ailleurs.
Un exemple traité en entier
Énoncé : une bille de $m = 400$ g $= 0{,}4$ kg est lâchée sans vitesse du haut d'une hauteur $h_A = 5$ m. On prend $g = 10$ N/kg. Quelle est sa vitesse juste avant de toucher le sol ?
Étape 1 — Choisir le niveau de référence. On pose $h = 0$ au sol. Ainsi $h_A = 5$ m en haut (point A) et $h_B = 0$ en bas (point B).
Étape 2 — Énergie mécanique en A. Lâchée sans vitesse : $v_A = 0$ donc $E_c(A) = 0$ J. Et $E_{pp}(A) = mgh_A = 0{,}4 \times 10 \times 5 = 20$ J. Donc $E_m(A) = 0 + 20 = 20$ J.
Étape 3 — Conservation. Pas de frottements, seul le poids travaille : $E_m(B) = E_m(A) = 20$ J.
Étape 4 — Énergie mécanique en B. Au sol $h_B = 0$ donc $E_{pp}(B) = 0$. Il reste $E_c(B) = 20$ J.
Étape 5 — En déduire la vitesse. De $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ on tire $v_B = \sqrt{\dfrac{2\,E_c(B)}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 20}{0{,}4}} = \sqrt{100} = 10$ m/s.
Toute l'énergie de hauteur du départ s'est transformée en énergie de vitesse à l'arrivée. C'est exactement ça, la conservation.
Ça te revient un peu, ces histoires d'énergie qui monte et qui descend ? On reprend proprement, du début : les vraies définitions et une méthode qui marche à tous les coups.
Les trois définitions, au propre
Reprenons chaque énergie avec sa définition exacte.
Énergie cinétique $E_c$. C'est l'énergie qu'un solide possède du fait de sa vitesse. Pour une masse $m$ (en kg) allant à la vitesse $v$ (en m/s) : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$, en joules. Deux fois plus vite, c'est quatre fois plus d'énergie cinétique (à cause du carré).
Énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$. C'est l'énergie stockée du fait de l'altitude : $E_{pp} = mgh$. Ici $h$ est la hauteur au-dessus d'un niveau de référence $h = 0$ choisi librement — souvent le point le plus bas du problème. Attention : seules les variations d'énergie potentielle ont un sens physique, pas sa valeur absolue.
Énergie mécanique $E_m$. Tout simplement la somme des deux : $E_m = E_c + E_{pp}$. Elle résume à elle seule l'état énergétique de mouvement du solide.
Tu le choisis une fois pour toutes au début, et tu n'y touches plus. Le placer au sol donne des $E_{pp}$ positives et des calculs simples : c'est le choix le plus confortable.
La loi de conservation — et le cas des frottements
Cas 1 — seul le poids travaille (pas de frottement, pas de moteur). Alors l'énergie mécanique se conserve : elle est identique à tout instant.
Concrètement, l'énergie ne disparaît pas : elle bascule d'une forme à l'autre. En descendant, $E_{pp}$ diminue et $E_c$ augmente d'autant.
Cas 2 — il y a des frottements. Les frottements dissipent de l'énergie (transformée en chaleur). L'énergie mécanique diminue :
$\Delta E_m = E_{m,B} - E_{m,A} = W_{\text{frottements}} \le 0$.
La variation est négative : l'objet arrive avec moins d'énergie mécanique que prévu, la différence est partie en énergie thermique.
La conservation $E_{m,A} = E_{m,B}$ n'est valable que sans frottements. Dès qu'un frottement travaille, on passe à $\Delta E_m = W_{\text{frottements}}$.
La méthode pas à pas
- 1. Choisir le niveau de référence $h = 0$ et le garder pour tout le problème.
- 2. Calculer $E_m$ en un point où la vitesse et l'altitude sont connues.
- 3. Vérifier qu'aucun frottement ni force motrice ne travaille.
- 4. Écrire $E_{m,A} = E_{m,B}$, soit $\dfrac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A = \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgh_B$.
- 5. Isoler l'inconnue (vitesse ou hauteur) et conclure avec l'unité.
Un mobile de masse $m$ part du repos en haut d'une piste sans frottement, à la hauteur $h_A = 1{,}8$ m. Quelle vitesse a-t-il en bas ?
Niveau de référence : $h = 0$ en bas, donc $h_B = 0$.
En A : $v_A = 0$, donc $E_m(A) = mgh_A$.
En B : $h_B = 0$, donc $E_m(B) = \dfrac{1}{2}mv_B^2$.
Conservation : $\dfrac{1}{2}mv_B^2 = mgh_A$. La masse $m$ se simplifie des deux côtés.
D'où $v_B = \sqrt{2gh_A} = \sqrt{2 \times 10 \times 1{,}8} = \sqrt{36} = 6$ m/s.
Remarque : la masse a disparu du résultat. Deux objets de masses différentes lâchés de la même hauteur arrivent à la même vitesse (sans frottement).
Assez de théorie, on met les mains dedans. On déroule ensemble, ligne par ligne, quelques exemples types — tu suis, tu commentes dans ta tête, et ça rentre tout seul.
Exemple 1 — la chute libre, décortiquée
On reprend la bille de $m = 0{,}4$ kg lâchée de $h_A = 5$ m ($g = 10$), mais cette fois on commente chaque ligne.
D'abord le décor : on met $h = 0$ au sol. Pourquoi ? Pour que $E_{pp}$ soit nulle en bas et qu'on n'ait rien à traîner.
Au sommet A, la bille est lâchée : $v_A = 0$. « Sans vitesse » veut dire énergie cinétique nulle. Donc $E_c(A) = 0$.
Toujours en A : $E_{pp}(A) = mgh_A = 0{,}4 \times 10 \times 5 = 20$ J. On additionne : $E_m(A) = 0 + 20 = 20$ J.
Pas de frottement dans l'énoncé $\Rightarrow$ on a le droit d'écrire $E_m(B) = E_m(A) = 20$ J. C'est LE moment où la conservation sert.
En bas B : $h_B = 0$ donc $E_{pp}(B) = 0$, tout est passé en cinétique : $E_c(B) = 20$ J.
Enfin la vitesse : $v_B = \sqrt{\dfrac{2\,E_c(B)}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 20}{0{,}4}} = \sqrt{100} = 10$ m/s.
À $h = 2{,}5$ m : $E_{pp} = 0{,}4 \times 10 \times 2{,}5 = 10$ J, donc $E_c = 20 - 10 = 10$ J, et $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 10}{0{,}4}} = \sqrt{50} \approx 7{,}1$ m/s. La moitié de la hauteur ne donne PAS la moitié de la vitesse (encore ce carré).
Exemple 2 — le toboggan (la masse disparaît)
Un enfant part immobile du haut d'un toboggan de hauteur $h = 3$ m. On néglige les frottements, $g = 10$. Vitesse en bas ?
Niveau de référence en bas (point B) : $h_B = 0$, et en haut (point A) $h_A = 3$ m.
En A, immobile : $v_A = 0$ donc $E_c(A) = 0$, et $E_m(A) = mgh_A$.
En B : $h_B = 0$ donc $E_{pp}(B) = 0$, et $E_m(B) = \dfrac{1}{2}mv_B^2$.
Conservation (pas de frottement) : $\dfrac{1}{2}mv_B^2 = mgh_A$.
On simplifie par $m$ (présent partout) : $\dfrac{1}{2}v_B^2 = gh_A$, donc $v_B = \sqrt{2gh_A}$.
Application : $v_B = \sqrt{2 \times 10 \times 3} = \sqrt{60} \approx 7{,}7$ m/s.
La forme du toboggan (droit, courbé, en spirale) ne change rien : seul compte le dénivelé. Et la masse ne joue pas — un adulte et un enfant arriveraient à la même vitesse.
Exemple 3 — lancer vers le haut
On lance une balle vers le haut depuis le sol à $v_D = 8$ m/s. Sans frottement, jusqu'à quelle hauteur monte-t-elle ? ($g = 10$)
Cette fois l'échange va dans l'autre sens : $E_c$ se transforme en $E_{pp}$ pendant la montée.
Niveau de référence au sol : point de départ D avec $h_D = 0$ et $v_D = 8$ m/s.
En bas : $E_m(D) = \dfrac{1}{2}mv_D^2$ (toute l'énergie est cinétique).
Au sommet S, la balle s'arrête un instant : $v_S = 0$, donc $E_m(S) = mgh_S$ (toute l'énergie est potentielle).
Conservation : $mgh_S = \dfrac{1}{2}mv_D^2$. On simplifie par $m$ : $gh_S = \dfrac{1}{2}v_D^2$.
D'où $h_S = \dfrac{v_D^2}{2g} = \dfrac{8^2}{2 \times 10} = \dfrac{64}{20} = 3{,}2$ m.
Même principe, même équation — juste lue à l'envers. Monter coûte de la vitesse, descendre en rend.
Niveau contrôle maintenant : les frottements débarquent et gâchent la fête. On regarde ce que le correcteur veut vraiment voir, et les pièges où tout le monde tombe.
Le problème avec frottements, résolu
L'énoncé « corsé » du contrôle ajoute des frottements. Voici le type même à savoir traiter.
Énoncé. Un enfant sur sa luge (masse totale $m = 40$ kg) part du repos en haut d'une pente. Il descend un dénivelé $h = 10$ m et arrive en bas à $v = 12$ m/s. On prend $g = 10$. Quelle énergie a été dissipée par les frottements ?
Étape 1 — Référence. $h = 0$ en bas (point B) ; en haut (point A) $h_A = 10$ m.
Étape 2 — $E_m$ en A. Départ du repos : $E_c(A) = 0$. Donc $E_m(A) = mgh_A = 40 \times 10 \times 10 = 4000$ J.
Étape 3 — $E_m$ en B. En bas $h_B = 0$ : $E_{pp}(B) = 0$. Donc $E_m(B) = \dfrac{1}{2}mv_B^2 = \dfrac{1}{2} \times 40 \times 12^2 = \dfrac{1}{2} \times 40 \times 144 = 2880$ J.
Étape 4 — Variation. $\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = 2880 - 4000 = -1120$ J.
Étape 5 — Conclusion. $W_{\text{frottements}} = \Delta E_m = -1120$ J. Les frottements ont dissipé $1120$ J sous forme de chaleur.
Vérification de bon sens : sans frottement, la luge arriverait à $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{200} \approx 14{,}1$ m/s. Elle arrive à $12$ m/s, donc moins vite — cohérent, il manque de l'énergie.
Ce que le correcteur attend, et les pièges
- Annoncer et fixer le niveau de référence dès le début.
- Écrire les deux énergies mécaniques avec leur détail ($E_c$ et $E_{pp}$), pas seulement le résultat.
- Poser clairement $\Delta E_m = E_{m,\text{final}} - E_{m,\text{initial}}$ (final moins initial, dans cet ordre).
- Interpréter le signe négatif : « $\Delta E_m < 0$ donc l'énergie mécanique a diminué à cause des frottements ».
- Donner le résultat avec l'unité (J) et une phrase de conclusion.
- Oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$ dans $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ — l'erreur la plus fréquente.
- Appliquer la conservation $E_{m,A} = E_{m,B}$ alors qu'il y a des frottements (là, $E_m$ diminue).
- Changer de niveau de référence en cours de route.
- Oublier la racine carrée : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ donne $v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}$, surtout pas $v = \dfrac{2E_c}{m}$.
- Garder la vitesse en km/h : il faut des m/s (rappel : $12$ m/s $= 43{,}2$ km/h ; on divise les km/h par $3{,}6$).
- Mélanger grammes et kilogrammes : une énergie en joules exige une masse en kg.
Tu maîtrises ? Alors on ouvre le capot : d'où sort cette loi de conservation, et où tout ça te mènera l'an prochain. Bonus hors programme du contrôle — juste pour le plaisir de comprendre.
D'où sort vraiment la conservation ?
La loi « $E_m$ constante » n'a rien de magique : elle se démontre à partir du théorème de l'énergie cinétique, croisé par ailleurs cette année.
Le théorème de l'énergie cinétique dit que la variation d'énergie cinétique d'un solide égale la somme des travaux des forces : $\Delta E_c = \sum W(\vec{F})$.
Le travail du poids entre A (haut) et B (bas) vaut $W(\text{poids}) = mgh_A - mgh_B = -\Delta E_{pp}$.
Si seul le poids travaille, le théorème donne $\Delta E_c = W(\text{poids}) = -\Delta E_{pp}$.
Donc $\Delta E_c + \Delta E_{pp} = 0$, c'est-à-dire $\Delta E_m = 0$ : l'énergie mécanique ne varie pas. C'est démontré.
Sur le graphe ci-contre, pendant une chute : $E_{pp}$ décroît, $E_c$ croît exactement d'autant, et leur somme $E_m$ reste une droite horizontale.
D'autres réservoirs d'énergie potentielle
La pesanteur n'est pas la seule à stocker de l'énergie de position. Au programme, tu rencontres aussi :
L'énergie potentielle élastique. Un ressort comprimé ou étiré d'une longueur $x$ stocke $E_{pe} = \dfrac{1}{2}kx^2$, où $k$ est sa raideur. L'énergie mécanique d'un système avec ressort devient alors $E_m = E_c + E_{pp} + E_{pe}$, et elle se conserve encore si seuls le poids et le ressort travaillent.
Le poids et la force d'un ressort sont dites conservatives : elles rangent l'énergie sans la détruire, on peut la récupérer. Les frottements, eux, sont non conservatifs : ils l'évacuent en chaleur, sans retour possible. Voilà pourquoi $E_m$ se conserve dans un cas et pas dans l'autre.
L'an prochain, et le grand principe
L'énergie « perdue » n'est jamais détruite. En terminale, tu verras le premier principe de la thermodynamique : les $1120$ J « dissipés » par les frottements de la luge ne disparaissent pas, ils augmentent l'énergie interne (la température) de la luge, de la neige et de l'air. Si l'on comptabilise TOUTES les formes d'énergie, le total est rigoureusement constant : c'est le principe de conservation de l'énergie, l'un des plus solides de toute la physique.
Un aperçu concret : le pendule. Une balançoire échange en permanence $E_c$ et $E_{pp}$ : tout en haut elle s'arrête ($E_c = 0$, $E_{pp}$ maximale), tout en bas elle file le plus vite ($E_c$ maximale, $E_{pp} = 0$). Sans frottement elle oscillerait pour toujours ; avec l'air et l'axe qui freinent, elle ralentit peu à peu — l'énergie mécanique fuit, exactement comme dans nos exemples.
La même recette — « une énergie potentielle par force conservative, plus l'énergie cinétique » — structure toute la mécanique, jusqu'aux satellites (énergie potentielle gravitationnelle) et aux charges électriques (énergie potentielle électrique). Tu tiens là une clé qui resservira longtemps.