Pas de panique ! On va voir l'essentiel en un clin d'œil pour être opérationnel rapidement. Prêt ?

Prérequis : température et énergie

La température mesure l'agitation des particules. L'énergie thermique (ou chaleur) est un transfert d'énergie d'un corps chaud vers un corps froid. Elle se mesure en joules (J). La puissance (en watts, W) est l'énergie transférée par seconde (1 W = 1 J/s).

Règle d'or : la chaleur va toujours du chaud vers le froid, jamais l'inverse spontanément.

Les trois modes de transfert thermique

Il existe trois façons pour la chaleur de se déplacer :

  • Conduction : dans les solides (ou par contact), l'énergie se propage de proche en proche par agitation des atomes, sans déplacement de matière. Ex : le manche d'une casserole qui chauffe.
  • Convection : dans les fluides (liquides, gaz), la matière se déplace en transportant l'énergie. Ex : l'eau qui bouillonne, l'air chaud qui monte.
  • Rayonnement : émission d'ondes électromagnétiques (infrarouges, lumière). Pas besoin de matière : ça marche dans le vide. Ex : la chaleur du Soleil.

Reconnaître les modes

Pose-toi ces questions :

  • Y a-t-il un solide en contact ? → conduction.
  • Y a-t-il un fluide en mouvement (naturel ou forcé) ? → convection.
  • La chaleur traverse-t-elle le vide ou provient-elle d'une source très chaude à distance ? → rayonnement.

À toi de jouer

1. Complète les phrases avec les mots : conduction, convection, rayonnement.
a) Dans un radiateur électrique, l'air chaud monte : c'est de la .
b) Une cuillère en métal plongée dans un café chaud devient chaude : c'est de la .
c) Un campeur se réchauffe près d'un feu de camp sans le toucher : c'est du .
Corrigé
a) convection
b) conduction
c) rayonnement
2. Associe chaque situation au mode de transfert thermique.
a) Le vent transporte la chaleur d'un radiateur dans une pièce.
b) Une plaque de cuisson chauffe le fond d'une casserole.
c) La Terre reçoit l'énergie du Soleil.
d) L'eau d'une casserole se met à circuler lorsqu'on la chauffe.
Corrigé
a) convection (forcée)
b) conduction
c) rayonnement
d) convection (naturelle)
3. Vrai ou Faux ? Coche la bonne case et corrige si nécessaire.
a) La convection peut se produire dans le vide. Vrai Faux
b) Le rayonnement nécessite un milieu matériel. Vrai Faux
c) La conduction se produit uniquement dans les solides. Vrai Faux
Corrigé
a) Faux : la convection nécessite un fluide, donc de la matière.
b) Faux : le rayonnement se propage dans le vide.
c) Faux : elle peut aussi se produire dans les liquides et gaz, mais elle est souvent masquée par la convection.

Ah oui, ça revient ! On va structurer tout ça et apprendre la méthode pour calculer un flux thermique.

Rappel éclair

Conduction = solide, contact, sans mouvement de matière. Convection = fluide, avec mouvement. Rayonnement = ondes, pas de matière.

Conduction : le flux thermique

Le flux thermique $\varphi$ (en watts, W) est la puissance thermique qui traverse un matériau. Pour une paroi plane :

$$\varphi = \lambda \cdot S \cdot \frac{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}}{e}$$

avec :

  • $\lambda$ : conductivité thermique (W·m−1·K−1), capacité à conduire la chaleur.
  • $S$ : surface de la paroi (m²).
  • $e$ : épaisseur (m).
  • $T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}} = \Delta T$ : écart de température (K ou °C, l'écart est le même).

Résistance thermique

On définit la résistance thermique $R_{\text{th}}$ (en K·W−1) :

$$R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda \cdot S}$$

Le flux s'écrit alors simplement :

$$\varphi = \frac{\Delta T}{R_{\text{th}}}$$

Plus $R_{\text{th}}$ est grande, moins le flux passe : c'est un bon isolant.

Méthode pas-à-pas

  1. Repérer les données : $\lambda$, $S$, $e$ (convertir en mètres si besoin), $T_1$, $T_2$.
  2. Calculer $R_{\text{th}} = e / (\lambda S)$.
  3. Calculer $\varphi = \Delta T / R_{\text{th}}$.

Pour plusieurs couches en série, on additionne les résistances : $R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + \dots$

Rayonnement : loi de Stefan-Boltzmann

Un corps à température $T$ (en kelvins) émet un rayonnement de puissance :

$$P = \sigma \cdot S \cdot T^4$$

avec $\sigma = 5,67 \times 10^{-8} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$ (constante de Stefan-Boltzmann).

Attention : convertir les degrés Celsius en kelvins : $T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273$.

À toi de jouer

1. Une porte en bois a pour caractéristiques : $\lambda = 0,15\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e = 4,0\ \text{cm}$, $S = 1,8\ \text{m}^2$.
a) Convertis l'épaisseur en mètres : $e = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{m}$.
b) Calcule la résistance thermique : $R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) La température intérieure est $20\ °\text{C}$, l'extérieure $5\ °\text{C}$. Calcule $\Delta T = \underline{\hspace{1.1em}}\ °\text{C}$.
d) Déduis le flux thermique : $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{W}$.
Corrigé
a) $e = 0,040\ \text{m}$ (car 4,0 cm = 0,040 m).
b) $R_{\text{th}} = \dfrac{0,040}{0,15 \times 1,8} = \dfrac{0,040}{0,27} \approx 0,148\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\Delta T = 20 - 5 = 15\ °\text{C}$.
d) $\varphi = \dfrac{15}{0,148} \approx 101\ \text{W}$.
2. Même porte. On ajoute une couche de polystyrène ($\lambda_2 = 0,035\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e_2 = 3,0\ \text{cm}$) sur la face intérieure. La surface reste $S = 1,8\ \text{m}^2$.
a) Calcule la résistance du polystyrène : $R_2 = \dfrac{e_2}{\lambda_2 S} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
b) La résistance totale est $R_{\text{total}} = R_{\text{bois}} + R_2 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) Avec le même $\Delta T = 15\ °\text{C}$, calcule le nouveau flux : $\varphi' = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{W}$.
Corrigé
a) $e_2 = 0,030\ \text{m}$, $R_2 = \dfrac{0,030}{0,035 \times 1,8} = \dfrac{0,030}{0,063} \approx 0,476\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
b) $R_{\text{total}} = 0,148 + 0,476 = 0,624\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\varphi' = \dfrac{15}{0,624} \approx 24,0\ \text{W}$.
3. Un filament de lampe est porté à $2000\ \text{K}$. Sa surface est $S = 1,0 \times 10^{-5}\ \text{m}^2$. On le modélise comme un corps noir. Calcule la puissance rayonnée $P$.
Donnée : $\sigma = 5,67 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$.
Corrigé
$P = \sigma S T^4 = 5,67 \times 10^{-8} \times 1,0 \times 10^{-5} \times (2000)^4$.
$(2000)^4 = 1,6 \times 10^{13}$.
$P = 5,67 \times 10^{-13} \times 1,6 \times 10^{13} = 5,67 \times 1,6 = 9,07\ \text{W}$.
Soit environ $9,1\ \text{W}$.

C'est l'heure de la répétition ! Cinq petits calculs quasi identiques pour que ça devienne un réflexe.

Mini-formulaire

$$R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda S} \quad ; \quad \varphi = \frac{\Delta T}{R_{\text{th}}}$$

Attention aux unités : $e$ en mètres (1 cm = 0,01 m).

À toi de jouer

1. Données : $\lambda = 1,2\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e = 12\ \text{cm} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{m}$, $S = 2,5\ \text{m}^2$, $T_1 = 22\ °\text{C}$, $T_2 = 8\ °\text{C}$.
a) $\Delta T = \underline{\hspace{1.1em}}\ °\text{C}$.
b) $R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{W}$.
Corrigé
$e = 0,12\ \text{m}$ ; $\Delta T = 14\ °\text{C}$ ; $R_{\text{th}} = \dfrac{0,12}{1,2 \times 2,5} = \dfrac{0,12}{3,0} = 0,040\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$ ; $\varphi = \dfrac{14}{0,040} = 350\ \text{W}$.
2. Données : $\lambda = 0,8\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e = 8\ \text{cm} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{m}$, $S = 3,0\ \text{m}^2$, $T_1 = 25\ °\text{C}$, $T_2 = 10\ °\text{C}$.
a) $\Delta T = \underline{\hspace{1.1em}}\ °\text{C}$.
b) $R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{W}$.
Corrigé
$e = 0,08\ \text{m}$ ; $\Delta T = 15\ °\text{C}$ ; $R_{\text{th}} = \dfrac{0,08}{0,8 \times 3,0} = \dfrac{0,08}{2,4} \approx 0,0333\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$ ; $\varphi = \dfrac{15}{0,0333} \approx 450\ \text{W}$.
3. Données : $\lambda = 2,5\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e = 5\ \text{cm} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{m}$, $S = 1,2\ \text{m}^2$, $T_1 = 30\ °\text{C}$, $T_2 = 15\ °\text{C}$.
a) $\Delta T = \underline{\hspace{1.1em}}\ °\text{C}$.
b) $R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{W}$.
Corrigé
$e = 0,05\ \text{m}$ ; $\Delta T = 15\ °\text{C}$ ; $R_{\text{th}} = \dfrac{0,05}{2,5 \times 1,2} = \dfrac{0,05}{3,0} \approx 0,0167\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$ ; $\varphi = \dfrac{15}{0,0167} \approx 900\ \text{W}$.
4. Données : $\lambda = 0,04\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ (laine de verre), $e = 10\ \text{cm} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{m}$, $S = 5,0\ \text{m}^2$, $T_1 = 20\ °\text{C}$, $T_2 = 2\ °\text{C}$.
a) $\Delta T = \underline{\hspace{1.1em}}\ °\text{C}$.
b) $R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{W}$.
Corrigé
$e = 0,10\ \text{m}$ ; $\Delta T = 18\ °\text{C}$ ; $R_{\text{th}} = \dfrac{0,10}{0,04 \times 5,0} = \dfrac{0,10}{0,20} = 0,50\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$ ; $\varphi = \dfrac{18}{0,50} = 36\ \text{W}$.
5. Données : $\lambda = 0,6\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e = 15\ \text{cm} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{m}$, $S = 4,0\ \text{m}^2$, $T_1 = 18\ °\text{C}$, $T_2 = 6\ °\text{C}$.
a) $\Delta T = \underline{\hspace{1.1em}}\ °\text{C}$.
b) $R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\ \text{W}$.
Corrigé
$e = 0,15\ \text{m}$ ; $\Delta T = 12\ °\text{C}$ ; $R_{\text{th}} = \dfrac{0,15}{0,6 \times 4,0} = \dfrac{0,15}{2,4} = 0,0625\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$ ; $\varphi = \dfrac{12}{0,0625} = 192\ \text{W}$.

On passe aux choses sérieuses : des exercices type contrôle, avec des problèmes plus complets.

À toi de jouer

1. Pour chaque situation, identifie le ou les modes de transfert thermique et justifie en une phrase.
a) Un couteau en acier posé sur une plaque chauffante se réchauffe.
b) L'eau d'une casserole se met à circuler lorsqu'on la chauffe par le fond.
c) La Terre reçoit l'énergie du Soleil.
d) Un sèche-cheveux réchauffe les cheveux grâce à un flux d'air pulsé.
e) Une fenêtre en double vitrage limite les pertes de chaleur.
Corrigé
a) Conduction : contact solide-solide, transfert de proche en proche sans déplacement de matière.
b) Convection naturelle : le fluide (eau) se déplace sous l'effet des différences de densité.
c) Rayonnement : les ondes électromagnétiques traversent le vide spatial.
d) Convection forcée : l'air est mis en mouvement par un ventilateur.
e) Conduction (à travers les vitres et la lame d'air) et convection (dans la lame d'air si elle n'est pas vide).
2. Un mur en béton a une conductivité $\lambda = 1,8\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, une épaisseur $e = 25\ \text{cm}$ et une surface $S = 12\ \text{m}^2$. Les températures intérieure et extérieure sont $T_i = 21\ °\text{C}$ et $T_e = 3\ °\text{C}$.
a) Calcule la résistance thermique du mur.
b) Calcule le flux thermique traversant le mur.
c) Déduis l'énergie perdue en 24 h, en joules puis en kWh (1 kWh = 3,6×10⁶ J).
Corrigé
a) $e = 0,25\ \text{m}$, $R_{\text{th}} = \dfrac{e}{\lambda S} = \dfrac{0,25}{1,8 \times 12} = \dfrac{0,25}{21,6} \approx 0,0116\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
b) $\Delta T = 21 - 3 = 18\ °\text{C}$, $\varphi = \dfrac{18}{0,0116} \approx 1552\ \text{W}$.
c) Énergie = $\varphi \times \Delta t = 1552 \times 24 \times 3600 = 1,34 \times 10^8\ \text{J}$. En kWh : $\dfrac{1,34 \times 10^8}{3,6 \times 10^6} \approx 37,2\ \text{kWh}$.
3. On ajoute au mur précédent une couche de laine de roche ($\lambda_2 = 0,045\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e_2 = 12\ \text{cm}$). La surface reste $S = 12\ \text{m}^2$.
a) Calcule la résistance thermique de la laine de roche.
b) Calcule la résistance totale du mur isolé.
c) Calcule le nouveau flux thermique.
d) Compare avec le flux sans isolant et commente l'efficacité de l'isolation.
Corrigé
a) $e_2 = 0,12\ \text{m}$, $R_2 = \dfrac{0,12}{0,045 \times 12} = \dfrac{0,12}{0,54} \approx 0,222\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
b) $R_{\text{tot}} = R_1 + R_2 = 0,0116 + 0,222 = 0,2336\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$.
c) $\varphi' = \dfrac{18}{0,2336} \approx 77,1\ \text{W}$.
d) Sans isolant : $\varphi \approx 1552\ \text{W}$, avec isolant : $\varphi' \approx 77\ \text{W}$. Le flux a été divisé par environ 20 : l'isolant est très efficace.
4. Un radiateur électrique est modélisé comme un corps noir de surface $S = 0,60\ \text{m}^2$. On donne $\sigma = 5,67 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$.
a) Calcule la puissance rayonnée lorsque sa température est $T_1 = 60\ °\text{C}$.
b) Même question pour $T_2 = 80\ °\text{C}$.
c) Calcule le rapport $P_2/P_1$ et commente l'effet de la température sur la puissance rayonnée.
Corrigé
a) $T_1 = 60 + 273 = 333\ \text{K}$. $P_1 = \sigma S T_1^4 = 5,67 \times 10^{-8} \times 0,60 \times (333)^4$. $(333)^4 = 1,23 \times 10^{10}$. $P_1 = 5,67 \times 10^{-8} \times 0,60 \times 1,23 \times 10^{10} = 5,67 \times 0,60 \times 1,23 \times 10^{2} = 4,18 \times 10^{2} = 418\ \text{W}$.
b) $T_2 = 80 + 273 = 353\ \text{K}$. $(353)^4 \approx 1,55 \times 10^{10}$. $P_2 = 5,67 \times 10^{-8} \times 0,60 \times 1,55 \times 10^{10} = 5,67 \times 0,60 \times 1,55 \times 10^{2} \approx 527\ \text{W}$.
c) $P_2/P_1 = 527 / 418 \approx 1,26$. La puissance rayonnée augmente fortement avec la température (en $T^4$) : une hausse de 20 °C (de 333 à 353 K) entraîne une augmentation de 26 %.
5. On reprend le mur de l'exercice 3. La réduction de flux grâce à l'isolant est $\Delta\varphi = \varphi_{\text{sans}} - \varphi_{\text{avec}}$.
a) Rappelle les valeurs de $\varphi_{\text{sans}}$ et $\varphi_{\text{avec}}$ (arrondies à l'unité).
b) Calcule $\Delta\varphi$.
c) Calcule l'énergie économisée en 24 h, en kWh.
d) Sachant que le kWh coûte 0,20 €, calcule l'économie financière par jour.
Corrigé
a) $\varphi_{\text{sans}} \approx 1552\ \text{W}$, $\varphi_{\text{avec}} \approx 77\ \text{W}$.
b) $\Delta\varphi = 1552 - 77 = 1475\ \text{W}$.
c) Énergie économisée = $\Delta\varphi \times 24\ \text{h} = 1475 \times 24 = 35400\ \text{Wh} = 35,4\ \text{kWh}$.
d) Économie = $35,4 \times 0,20 = 7,08\ \text{€}$ par jour.

Pour les curieux, on va un peu plus loin : des situations où plusieurs modes coexistent, ou des comparaisons avancées.

Transferts combinés

Dans la réalité, plusieurs modes de transfert peuvent se produire simultanément. Par exemple, un radiateur chauffe une pièce par convection (l'air circule) et par rayonnement (ondes infrarouges). La puissance totale est la somme des puissances de chaque mode, si on peut les distinguer.

Pour les parois multicouches, on peut aussi s'intéresser aux températures aux interfaces : le flux étant le même à travers chaque couche, on a $\varphi = \frac{T_1 - T_{\text{int}}}{R_1} = \frac{T_{\text{int}} - T_2}{R_2}$, ce qui permet de trouver $T_{\text{int}}$.

À toi de jouer

1. Un mur est composé de trois couches :
- béton : $\lambda_1 = 2,0\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e_1 = 20\ \text{cm}$
- laine de verre : $\lambda_2 = 0,04\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e_2 = 10\ \text{cm}$
- plâtre : $\lambda_3 = 0,50\ \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $e_3 = 2,0\ \text{cm}$
Surface $S = 15\ \text{m}^2$. Températures : intérieur $T_i = 20\ °\text{C}$, extérieur $T_e = 0\ °\text{C}$.
a) Calcule les résistances thermiques $R_1$, $R_2$, $R_3$ et la résistance totale $R_{\text{tot}}$.
b) Déduis le flux thermique $\varphi$ traversant le mur.
c) Détermine la température à l'interface béton/laine de verre (entre couche 1 et 2).
d) Détermine la température à l'interface laine de verre/plâtre (entre couche 2 et 3).
e) Vérifie que la somme des écarts de température dans chaque couche redonne bien l'écart total.
Corrigé

a) La résistance thermique d'une couche plane est $R = \dfrac{e}{\lambda \cdot S}$.
$R_1 = \dfrac{0{,}20}{2{,}0 \times 15} = \dfrac{0{,}20}{30} \approx 6{,}67 \times 10^{-3}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$
$R_2 = \dfrac{0{,}10}{0{,}04 \times 15} = \dfrac{0{,}10}{0{,}60} \approx 0{,}1667\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$
$R_3 = \dfrac{0{,}020}{0{,}50 \times 15} = \dfrac{0{,}020}{7{,}5} \approx 2{,}67 \times 10^{-3}\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$
$R_{\text{tot}} = R_1 + R_2 + R_3 \approx 0{,}00667 + 0{,}1667 + 0{,}00267 = 0{,}1760\ \text{K}\cdot\text{W}^{-1}$

b) $\Delta T = T_i - T_e = 20 - 0 = 20\ \text{°C}$, d'où :
$\varphi = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}} = \dfrac{20}{0{,}1760} \approx 113{,}6\ \text{W}$

c) Dans une paroi extérieure, le béton est du côté extérieur ($T_e = 0\ \text{°C}$) et le plâtre du côté intérieur ($T_i = 20\ \text{°C}$) : le flux thermique traverse dans l'ordre extérieur → béton → laine de verre → plâtre → intérieur.
À l'interface béton/laine de verre, le flux s'écrit $\varphi = \dfrac{T_{12} - T_e}{R_1}$, donc :
$T_{12} = T_e + \varphi \cdot R_1 = 0 + 113{,}6 \times 0{,}00667 \approx 0{,}76\ \text{°C}$
Le béton est un bon conducteur : il n'introduit qu'un très faible écart de température.

d) À l'interface laine de verre/plâtre : $\varphi = \dfrac{T_{23} - T_{12}}{R_2}$, d'où :
$T_{23} = T_{12} + \varphi \cdot R_2 = 0{,}76 + 113{,}6 \times 0{,}1667 \approx 0{,}76 + 18{,}94 = 19{,}70\ \text{°C}$
La laine de verre, très isolante ($R_2$ de loin le plus grand), concentre la quasi-totalité de la chute de température.

e) Écart total : $T_i - T_e = 20 - 0 = 20\ \text{°C}$.
Écart dans le béton : $T_{12} - T_e = 0{,}76 - 0 = 0{,}76\ \text{°C}$
Écart dans la laine de verre : $T_{23} - T_{12} = 19{,}70 - 0{,}76 = 18{,}94\ \text{°C}$
Écart dans le plâtre : $T_i - T_{23} = 20 - 19{,}70 = 0{,}30\ \text{°C}$
Somme : $0{,}76 + 18{,}94 + 0{,}30 = 20{,}0\ \text{°C}$, ce qui redonne bien l'écart total. La vérification est satisfaite.

2. Un radiateur électrique de surface $S = 0,80\ \text{m}^2$ est à une température de surface $T = 75\ °\text{C}$. Il émet de la chaleur par rayonnement (on le considère comme un corps noir) et par convection naturelle. La puissance convective est donnée par $P_{\text{conv}} = h S (T - T_{\text{air}})$ avec $h = 10\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}$ et $T_{\text{air}} = 20\ °\text{C}$.
a) Calcule la puissance rayonnée $P_{\text{ray}}$ (attention aux unités de température).
b) Calcule la puissance convective $P_{\text{conv}}$.
c) Calcule la puissance totale fournie par le radiateur.
d) Quelle est la part (en %) du rayonnement dans la puissance totale ?
Corrigé

a) Puissance rayonnée $P_{\text{ray}}$
On convertit la température en kelvin : $T = 75 + 273 = 348\ \text{K}$.
Pour un corps noir, la loi de Stefan-Boltzmann donne $P_{\text{ray}} = \sigma S T^4$.
On calcule $(348)^4$ en deux étapes pour limiter les arrondis intermédiaires : $348^2 = 121\,104$, puis $(348)^4 = (121\,104)^2 \approx 1{,}467 \times 10^{10}$.
$P_{\text{ray}} = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 0{,}80 \times 1{,}467 \times 10^{10} = 4{,}536 \times 1{,}467 \times 10^{2} \approx \mathbf{665\ \text{W}}$.

b) Puissance convective $P_{\text{conv}}$
L'écart de température entre la surface et l'air est $\Delta T = 75 - 20 = 55\ \text{°C} = 55\ \text{K}$.
$P_{\text{conv}} = h S \Delta T = 10 \times 0{,}80 \times 55 = \mathbf{440\ \text{W}}$.

c) Puissance totale
$P_{\text{tot}} = P_{\text{ray}} + P_{\text{conv}} = 665 + 440 = \mathbf{1105\ \text{W}}$.

d) Part du rayonnement
$\dfrac{P_{\text{ray}}}{P_{\text{tot}}} \times 100 = \dfrac{665}{1105} \times 100 \approx \mathbf{60{,}2\ \%}$.
Le rayonnement assure donc environ $60\ \%$ de la puissance totale du radiateur.