Deuxième loi de Newton

Ce qu'il faut savoir avant, et l'idée en une phrase

Trois mots de vocabulaire suffisent pour démarrer.

La masse $m$ se mesure en kilogrammes ($\mathrm{kg}$) : c'est ce qui rend un objet difficile à mettre en mouvement, à accélérer ou à freiner (son inertie).

Une force se mesure en newtons ($\mathrm{N}$) : c'est une action (pousser, tirer, le poids...). On la représente par un vecteur, c'est-à-dire une flèche qui a une direction, un sens et une longueur (sa valeur).

L'accélération $a$, en $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$, mesure à quelle vitesse la vitesse change : plus $a$ est grand, plus l'objet prend de la vitesse rapidement.

L'idée en une phrase : si tu pousses un objet, il accélère ; plus tu pousses fort, plus il accélère ; mais plus il est lourd, moins il accélère. La deuxième loi de Newton, c'est exactement ça, écrit proprement.

La formule clé, et un exemple fait en entier

Quand plusieurs forces agissent, on additionne d'abord toutes les flèches pour obtenir la force résultante $\sum\vec{F}$ (le symbole $\sum$ se lit somme de). La loi dit :

$\sum\vec{F} = m\,\vec{a}$

Pour trouver l'accélération, on isole $a$ : $a = \dfrac{\sum F}{m}$, la somme des forces divisée par la masse.

Exemple entièrement traité. On pousse un bloc de masse $m = 3\,\mathrm{kg}$ sur un sol sans frottement avec une force horizontale $F = 12\,\mathrm{N}$. Quelle est son accélération ?

Étape 1 : une seule force agit horizontalement, donc la somme des forces horizontales vaut $\sum F = 12\,\mathrm{N}$.

Étape 2 : on applique la loi, $a = \dfrac{\sum F}{m} = \dfrac{12}{3}$.

Étape 3 : on calcule, $a = 4\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Traduction : chaque seconde, la vitesse du bloc augmente de $4\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Et voilà, tu sais déjà répondre à la question type du contrôle.

Définitions et énoncé de la loi

On étudie le mouvement d'un objet précis, qu'on appelle le système. Les autres objets (la Terre, le sol, une main, l'air...) exercent sur lui des forces extérieures, chacune représentée par un vecteur.

La force résultante est la somme vectorielle de toutes ces forces : $\sum\vec{F}$.

L'accélération $\vec{a}$ est elle aussi un vecteur : elle indique dans quel sens et à quelle vitesse le vecteur vitesse change.

Énoncé (loi fondamentale de la dynamique). La somme vectorielle des forces exercées sur un objet est égale au produit de sa masse par son accélération :

$\sum\vec{F} = m\,\vec{a}$

Sur un axe de projection, la loi devient une égalité entre nombres : $\sum F_x = m\,a_x$.

Unité : $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-2}}$.

Deux lectures importantes.

• Si $\sum\vec{F} = \vec{0}$, alors $\vec{a} = \vec{0}$ : l'objet est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. C'est la première loi de Newton, le principe d'inertie.
• Si $\sum\vec{F} \neq \vec{0}$, l'objet accélère dans le sens de la résultante. À force égale, plus la masse est grande, plus l'accélération est faible.

La méthode pas à pas

Toujours les mêmes cinq gestes, dans cet ordre :

• 1. Le système. On dit clairement quel objet on étudie (celui dont on analyse le mouvement).
• 2. Le bilan des forces. On liste toutes les forces extérieures : le poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas), la réaction du support $\vec{N}$ (perpendiculaire au sol), les forces de contact (poussée, traction), les frottements.
• 3. L'axe orienté. On choisit un axe, en général dans le sens du mouvement, et on fixe son sens positif.
• 4. La projection. On écrit $\sum F_x = m\,a_x$ en remplaçant chaque force par sa valeur, avec un signe $+$ si elle va dans le sens de l'axe, un signe $-$ si elle va à l'opposé.
• 5. La résolution. On isole l'inconnue, on calcule, puis on vérifie les unités et le signe de $a$ ($a>0$ : l'objet accélère ; $a<0$ : il ralentit).

Deux exemples traités

Exemple A, trouver l'accélération.

Un bloc de masse $m = 3\,\mathrm{kg}$ glisse sur un sol sans frottement, poussé par une force horizontale $F = 12\,\mathrm{N}$.

Système : le bloc. Axe : horizontal, orienté dans le sens de $\vec{F}$.

Bilan sur l'axe : le poids et la réaction sont verticaux, ils ne comptent pas ici ; seule $\vec{F}$ est horizontale, donc $\sum F_x = 12\,\mathrm{N}$.

Loi de Newton : $a = \dfrac{\sum F_x}{m} = \dfrac{12}{3} = 4\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Exemple B, trouver une force.

Une voiture de masse $m = 1\,200\,\mathrm{kg}$ accélère à $a = 2{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ sur une route horizontale (frottements négligés).

La force résultante qui la propulse vaut : $F = m\,a = 1\,200 \times 2{,}5 = 3\,000\,\mathrm{N}$.

Échauffement 1, l'accélération ligne par ligne

Énoncé : un chariot de masse $m = 4\,\mathrm{kg}$ est tiré sur un sol sans frottement par une force horizontale $F = 10\,\mathrm{N}$. Cherchons son accélération.

On écrit le système. Système : le chariot. On sait ainsi de quel objet parlent le $m$ et le $\vec{a}$.

On fait le bilan des forces. Poids $\vec{P}$ vers le bas, réaction $\vec{N}$ vers le haut, traction $\vec{F}$ horizontale. On remarque que $\vec{P}$ et $\vec{N}$ sont verticaux.

On choisit l'axe. Axe horizontal, orienté dans le sens de $\vec{F}$, donc du mouvement. C'est le sens positif.

On projette. Sur cet axe horizontal, $\vec{P}$ et $\vec{N}$ donnent $0$ (ils lui sont perpendiculaires). Il reste $\sum F_x = F = 10\,\mathrm{N}$.

On applique la loi. $\sum F_x = m\,a_x$, donc $a_x = \dfrac{\sum F_x}{m} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

On conclut. $a_x > 0$ : le chariot accélère bien dans le sens du mouvement, de $2{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ chaque seconde. Unité cohérente, signe logique : c'est bon.

Échauffement 2, quand le frottement s'en mêle

Énoncé : une caisse de masse $m = 5\,\mathrm{kg}$ est poussée horizontalement avec $F = 20\,\mathrm{N}$, mais le sol exerce un frottement $f = 5\,\mathrm{N}$ qui s'oppose au mouvement. Accélération ?

Système : la caisse. Axe : horizontal, orienté dans le sens de la poussée $\vec{F}$.

Bilan et signes. La poussée $\vec{F}$ va dans le sens de l'axe : elle compte $+F$. Le frottement $\vec{f}$ s'oppose au mouvement, donc à l'axe : il compte $-f$.

Projection. $\sum F_x = F - f = 20 - 5 = 15\,\mathrm{N}$. C'est la résultante horizontale.

Loi de Newton. $a_x = \dfrac{\sum F_x}{m} = \dfrac{15}{5} = 3\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Le piège classique était le signe du frottement : une force qui freine entre toujours avec un $-$. Ici la poussée l'emporte, donc $a_x>0$ et la caisse accélère quand même.

Échauffement 3, remonter à la force

Parfois on connaît l'accélération et on cherche la force. Énoncé : une voiture de masse $m = 1\,200\,\mathrm{kg}$ accélère à $a = 2{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$, frottements négligés. Quelle force résultante la propulse ?

Système : la voiture. Axe : horizontal, sens du mouvement.

On part de la loi sous sa forme la plus directe : $\sum F_x = m\,a_x$. Ici l'inconnue est $\sum F_x$, elle est déjà isolée, pas besoin de diviser.

On remplace : $\sum F_x = 1\,200 \times 2{,}5$.

On calcule : $\sum F_x = 3\,000\,\mathrm{N}$.

Vérification d'unité : $\mathrm{kg} \times \mathrm{m\cdot s^{-2}} = \mathrm{N}$, parfait. Selon qu'on cherche $a$ ou $F$, c'est la même loi ; on isole simplement l'inconnue.

Problème 1, un freinage (accélération négative)

Énoncé : une voiture de masse $m = 1\,200\,\mathrm{kg}$ roule en ligne droite. En freinant, elle subit une force de freinage horizontale $F = 4\,800\,\mathrm{N}$ opposée au mouvement (on néglige les autres frottements). Détermine son accélération, puis le temps qu'il lui faut pour passer de $20\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ à l'arrêt.

Système : la voiture. Axe : horizontal, orienté dans le sens du mouvement.

Bilan sur l'axe. Le poids et la réaction sont verticaux (ils ne se projettent pas ici). La force de freinage s'oppose au mouvement, donc elle compte négativement : $\sum F_x = -F = -4\,800\,\mathrm{N}$.

Deuxième loi. $a_x = \dfrac{\sum F_x}{m} = \dfrac{-4\,800}{1\,200} = -4\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Le signe $-$ n'est pas une erreur : il dit que l'accélération est dans le sens opposé au mouvement, autrement dit la voiture décélère.

Temps d'arrêt. L'accélération relie la variation de vitesse au temps : $a_x = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. La vitesse passe de $20$ à $0$, donc $\Delta v = -20\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

$\Delta t = \dfrac{\Delta v}{a_x} = \dfrac{-20}{-4} = 5\,\mathrm{s}$. La voiture s'arrête en $5$ secondes.

Problème 2, deux forces, on soigne les signes

Énoncé : un palet de masse $m = 0{,}5\,\mathrm{kg}$ glisse sur une patinoire. On le pousse avec une force $F_1 = 6\,\mathrm{N}$ vers l'avant, tandis qu'un frottement $F_2 = 1\,\mathrm{N}$ s'oppose au mouvement. Calcule l'accélération.

Système : le palet. Axe : horizontal, orienté vers l'avant (sens du mouvement).

Projection. $F_1$ va dans le sens de l'axe ($+6$), $F_2$ s'y oppose ($-1$) : $\sum F_x = F_1 - F_2 = 6 - 1 = 5\,\mathrm{N}$.

Deuxième loi. $a_x = \dfrac{\sum F_x}{m} = \dfrac{5}{0{,}5} = 10\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Remarque : la masse est petite ($0{,}5\,\mathrm{kg}$), donc la même résultante produit une grande accélération. C'est exactement le rôle de $m$ au dénominateur.

Ce que le correcteur attend, et les pièges

La rédaction qui rapporte les points.

• Nommer le système avant tout calcul.
• Écrire d'abord la loi sous forme vectorielle $\sum\vec{F} = m\,\vec{a}$, puis sa version projetée $\sum F_x = m\,a_x$.
• Justifier le choix de l'axe et de son sens positif.
• Donner le résultat avec la bonne unité et une phrase de conclusion (accélère ou ralentit).

Les pièges classiques.

• $\sum\vec{F} = m\,\vec{a}$ porte sur toutes les forces, jamais sur une seule prise à part.
• Une force qui freine (frottement, résistance de l'air) entre avec un signe négatif sur l'axe du mouvement.
• Le poids $P = m\,g$ est vertical : sur un sol plat horizontal, il ne contribue pas à l'accélération horizontale (il est compensé par la réaction $\vec{N}$).
• Convertir les masses en $\mathrm{kg}$ et les vitesses en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ avant de calculer.
• Un $a<0$ n'est pas une faute : c'est une décélération, à commenter et non à effacer.

La loi qui contient les autres lois de Newton

La deuxième loi n'est pas seule ; elle dialogue avec ses voisines.

• La première loi (principe d'inertie) est simplement le cas particulier $\sum\vec{F} = \vec{0}$, qui donne $\vec{a} = \vec{0}$ : repos ou mouvement rectiligne uniforme. La première loi est donc contenue dans la deuxième.
• La deuxième loi révèle aussi le sens profond de la masse : à force égale, $a = \dfrac{\sum F}{m}$ est d'autant plus petit que $m$ est grand. La masse mesure l'inertie, la résistance au changement de mouvement.

Un mot de vocabulaire pour plus tard : l'accélération est en réalité la vitesse à laquelle le vecteur vitesse change. En terminale, tu l'écriras $\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$, mais l'idée est déjà là : $\vec{a}$ pointe toujours dans le sens de la résultante $\sum\vec{F}$.

Une justification : pourquoi tout tombe à la même vitesse

Prends un objet en chute libre : on néglige l'air, la seule force est son poids $\vec{P} = m\,\vec{g}$. Applique la deuxième loi.

La seule force est le poids : $\sum\vec{F} = \vec{P} = m\,\vec{g}$.

La deuxième loi donne alors $m\,\vec{g} = m\,\vec{a}$.

La masse $m$ apparaît des deux côtés : on la simplifie, il reste $\vec{a} = \vec{g}$.

Autrement dit, en chute libre, l'accélération vaut $g \approx 9{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ quelle que soit la masse : une plume et une bille tombent exactement pareil dans le vide. C'est la fameuse intuition de Galilée, et la deuxième loi la démontre en deux lignes.

L'an prochain : Newton en deux dimensions

Jusqu'ici, tout se passait sur un seul axe, le cas simple. En terminale, les forces ne seront plus toutes alignées, et la loi vectorielle $\sum\vec{F} = m\,\vec{a}$ prendra toute sa puissance.

• Les projectiles : un ballon lancé n'a plus qu'une force, le poids, mais sa vitesse a deux composantes. On projettera la loi sur deux axes ($x$ horizontal, $y$ vertical), et la trajectoire deviendra une parabole.
• Le plan incliné : le poids ne sera plus perpendiculaire au mouvement, il faudra le décomposer le long de la pente.
• Le lien avec l'énergie : la même situation se relira souvent plus vite avec le travail des forces et l'énergie cinétique, une autre grande porte d'entrée de la mécanique.

Mais le cœur ne change jamais : bilan des forces, une seule équation $\sum\vec{F} = m\,\vec{a}$, et on projette. Tu as déjà la clé en main.