Mouvement dans un champ uniforme

Champ uniforme = force constante = accélération constante = trajectoire parabolique. Même méthode pour la gravité et le champ électrique.

1 L'idée

Dans un champ uniforme, la force exercée sur le mobile est constante. La deuxième loi de Newton donne une accélération constante $\vec{a}$, d'où :

mouvement uniforme selon l'axe perpendiculaire à $\vec{a}$ ;
mouvement uniformément varié selon l'axe de $\vec{a}$.

La trajectoire est une parabole. Deux cas au programme : champ gravitationnel $\vec{g}$ (projectile) et champ électrique $\vec{E}$ (condensateur plan).

2 Forces et accélérations

Champ gravitationnel

$\vec{P}=m\vec{g}\;\Rightarrow\;\vec{a}=\vec{g}\qquad(g\approx9{,}8\text{ m·s}^{-2})$

Champ électrique

$\vec{F}=q\vec{E}\;\Rightarrow\;\vec{a}=\dfrac{q\vec{E}}{m}\qquad E=\dfrac{U}{d}$

3 Équations horaires — lancer oblique (axe $y$ vers le haut)

Accélérations

$a_x=0\quad;\quad a_y=-g$

Vitesses

$v_x(t)=v_0\cos\alpha\quad;\quad v_y(t)=v_0\sin\alpha-gt$

Positions

$x(t)=v_0\cos\alpha\cdot t\quad;\quad y(t)=v_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac{1}{2}gt^2$

Trajectoire

$y=x\tan\alpha-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2$

4 Exemple — lancer horizontal

$v_0=10$ m/s, $h=20$ m, $g=10$ m/s²

$\alpha=0$ : $x(t)=10t$, $y(t)=-5t^2$

Sol ($y=-20$ m) : $-5t^2=-20\Rightarrow t=2$ s

Portée : $x=10\times2=20$ m

Vitesse : $v=\sqrt{10^2+20^2}=10\sqrt{5}\approx22{,}4$ m/s

Méthode — résoudre un problème en champ uniforme

Choisir un repère : axe parallèle au mouvement initial, axe parallèle à la force.
Appliquer $\vec{F}=m\vec{a}$ et projeter : obtenir $a_x$ et $a_y$.
Intégrer avec les conditions initiales pour écrire $v_x(t)$, $v_y(t)$, $x(t)$, $y(t)$.
Trajectoire : exprimer $t$ depuis $x(t)$, substituer dans $y(t)$.
Instant particulier : poser $y=0$ (impact) ou $y=d/2$ (sortie du condensateur) et résoudre.

Erreurs fréquentes

$a_x=0$ (pas $-g$) : la vitesse horizontale est constante tout au long du mouvement.
Axe $y$ vers le haut $\Rightarrow a_y=-g\lt0$. Ne pas écrire $+g$.
Temps de vol $=2\times$ temps au sommet : $t_{\text{vol}}=\dfrac{2v_{y0}}{g}$.
Dans un condensateur : accélération $a=qE/m$, non $g$.