Salut à toi qui débarques et qui as un contrôle qui approche. Ne t'inquiète pas, on va repartir des bases. Tu sais déjà ce qu'est une force (une poussée, une traction) et un déplacement (un trajet). Le travail d'une force, c'est simplement une façon de mesurer l'effet de cette force le long du trajet. Si la force aide le mouvement, elle apporte de l'énergie et son travail est moteur. Si elle s'y oppose, elle freine et son travail est résistant. Si elle est perpendiculaire, son travail est nul. On verra aussi que tout ça sert à calculer une vitesse grâce au théorème de l'énergie cinétique. On va y aller pas à pas, et surtout tu vas t'entraîner avec des exercices à trous pour ne pas te perdre.
Le travail d'une force constante
Quand une force constante F s'applique sur un objet qui se déplace d'un point A à un point B, le travail de cette force est donné par : $W_{A\to B}(\vec{F}) = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$ où $F$ est l'intensité de la force en newtons (N), $d$ la distance parcourue en mètres (m) et $\alpha$ l'angle entre la direction de la force et celle du déplacement. - Si la force est dans le sens du mouvement : $\alpha = 0$, $\cos(0)=1$, le travail est moteur ($W > 0$). - Si la force s'oppose au mouvement : $\alpha = 180°$, $\cos(180°)=-1$, le travail est résistant ($W < 0$). - Si la force est perpendiculaire : $\alpha = 90°$, $\cos(90°)=0$, le travail est nul. Exemple : le poids sur un sol horizontal a un travail nul car il est perpendiculaire au déplacement.
Énergie cinétique et théorème
L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (kg) et de vitesse $v$ (m/s) est : $E_c = \frac12 m v^2$ (en joules, J) C'est l'énergie que possède l'objet du fait de son mouvement.
Le théorème de l'énergie cinétique relie la variation d'énergie cinétique entre deux points A et B à la somme des travaux de toutes les forces qui s'exercent sur l'objet entre ces deux points : $E_{c,B} - E_{c,A} = \Sigma W_{A\to B}$ où $\Sigma W$ est la somme (c'est-à-dire l'addition) de tous les travaux (moteurs positifs, résistants négatifs). On l'utilise souvent pour trouver une vitesse finale ou une distance de freinage.
À toi de jouer
1. 1) Formule du travail : $W_{A\to B}(\vec{F}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}})$ Si la force a pour intensité $F = 10$ N, la distance $d = 2$ m et l'angle $\alpha = 0°$, alors $\cos(0°) = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $W = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$W_{A\to B}(\vec{F}) = F \times d \times \cos(\alpha)$ ; $\cos(0°) = 1$ ; $W = 10 \times 2 \times 1 = 20$ J.
2. 2) Une force de 5 N pousse un objet sur 3 m dans la même direction. Complète : $W = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J. Le travail est (moteur/résistant).
Corrigé
$W = 5 \times 3 \times \cos(0°) = 5 \times 3 \times 1 = 15$ J. Le travail est moteur.
3. 3) Une force de frottement de 2 N s'oppose au déplacement sur 4 m. $\alpha = 180°$, $\cos(180°) = \underline{\hspace{1.1em}}$. $W = 2 \times 4 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J. Le travail est .
Corrigé
$\cos(180°) = -1$ ; $W = 2 \times 4 \times (-1) = -8$ J. Le travail est résistant.
4. 4) Énergie cinétique : $E_c = \frac12 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times v^2$. Si $m = 2$ kg et $v = 3$ m/s, $E_c = \frac12 \times 2 \times 3^2 = \frac12 \times 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
Corrigé
$E_c = \frac12 \times m \times v^2$ ; $3^2 = 9$ ; $\frac12 \times 2 \times 9 = 9$ J.
Ah, voilà, la mémoire revient. On remet tout en place avec un rappel structuré et surtout une méthode en béton pour appliquer le théorème de l'énergie cinétique. Histoire de ne pas te tromper entre les signes et les forces à prendre en compte.
Rappels indispensables
Masse $m$ en kg, vitesse $v$ en m/s.
Travail d'une force constante : $W(\vec{F}) = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$, en joules (J).
Travail du poids (particulier) : $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$ où $z_A$ et $z_B$ sont les altitudes (hauteurs) de départ et d'arrivée.
$\cos(0°)=1$, $\cos(180°)=-1$, $\cos(90°)=0$.
Énergie cinétique : $E_c = \frac12 m v^2$.
Théorème : $E_{c,B} - E_{c,A} = \Sigma W$.
Méthode en 5 étapes
Définir le système (l'objet étudié) et les points de départ A et d'arrivée B.
Faire un schéma et lister toutes les forces qui agissent sur l'objet : poids $\vec{P}$, réaction normale $\vec{N}$, frottements $\vec{f}$, force motrice éventuelle...
Calculer le travail de chaque force entre A et B, en faisant attention au signe (utilise $\cos(\alpha)$ ou la formule du poids).
Additionner tous ces travaux pour obtenir $\Sigma W_{A\to B}$.
Appliquer le théorème : $\frac12 m v_B^2 - \frac12 m v_A^2 = \Sigma W$ et isoler la grandeur inconnue (souvent $v_B$ ou $d$).
Erreurs classiques : oublier un frottement, inverser $z_A$ et $z_B$ pour le poids, mal compter le signe d'un travail résistant.
À toi de jouer
1. 1) Une balle de masse 0,2 kg lancée vers le haut atteint une hauteur de 2,5 m depuis le sol. Calcule le travail du poids lors de la montée avec les trous : $W_{A\to B}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$ ; $z_A = \underline{\hspace{1.1em}}$ m, $z_B = \underline{\hspace{1.1em}}$ m ; $W = 0,2 \times 10 \times (\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J. Ce travail est (moteur/résistant).
Corrigé
$z_A = 0$ m, $z_B = 2,5$ m ; $W = 0,2 \times 10 \times (0 - 2,5) = -5$ J. Travail résistant (la balle monte, le poids s'oppose).
2. 2) Un cycliste de masse totale 80 kg roule à 5 m/s. La somme des travaux sur un parcours est 3200 J. Complète : $E_{c,A} = \frac12 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times 5^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J. $E_{c,B} = E_{c,A} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J. $v_B = \sqrt{\frac{2 \times E_{c,B}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{80}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s.
3. 3) Un bloc de 10 kg glisse sans frottement sur un plan horizontal, tiré par une force de 30 N sur une distance de 4 m. Il part du repos. Calcule la vitesse finale en utilisant la méthode en 5 étapes. (Rédige ta réponse.)
Corrigé
Système : bloc. Forces : poids $\vec{P}$ et réaction $\vec{N}$ perpendiculaires au déplacement, travail nul. Force de traction $\vec{F}$ parallèle au déplacement, $\alpha = 0$. $W(\vec{F}) = 30 \times 4 \times 1 = 120$ J. $\Sigma W = 120$ J. $E_{c,A} = 0$ (repos). Théorème : $\frac12 \times 10 \times v_B^2 - 0 = 120$ soit $5 v_B^2 = 120$, $v_B^2 = 24$, $v_B = \sqrt{24} \approx 4,9$ m/s.
Cinq exercices presque identiques pour que le calcul devienne un réflexe. À chaque fois, on te donne une situation avec une force de traction et des frottements, et tu dois trouver la vitesse finale. Prends le rythme, c'est toujours la même logique.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Une caisse de masse $m = 20$ kg est tirée sur un sol horizontal par une force $F = 50$ N sur $d = 4$ m. Une force de frottement $f = 10$ N s'oppose. Vitesse initiale $v_A = 2$ m/s. Complète : a) $W(\vec{F}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J b) $W(\vec{f}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J c) $\Sigma W = \underline{\hspace{1.1em}} + (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ J d) $E_{c,A} = \frac12 \times 20 \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J e) $E_{c,B} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J f) $v_B = \sqrt{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} / 20} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s.
Place au contrôle ! Ces exercices couvrent tous les types que tu pourras rencontrer : travail sur plan horizontal, travail du poids (descente/montée), distance de freinage, plan incliné. Prends le temps de bien lire, fais un schéma, applique la méthode. Rédige proprement, le correcteur appréciera.
Conversion indispensable : 1 km/h = 1/3,6 m/s. Une vitesse en km/h doit souvent être convertie en m/s.
À toi de jouer
1. Un solide de masse $m = 12$ kg est tiré sur un plan horizontal par une force $\vec{F}$ horizontale de norme $F = 60$ N. Le déplacement se fait en ligne droite sur 5 m. Une force de frottement $f = 15$ N s'oppose au mouvement. a) Calcule le travail de la force de traction $\vec{F}$. b) Calcule le travail de la force de frottement $\vec{f}$. c) Quel est le travail du poids $\vec{P}$ et de la réaction normale $\vec{N}$ ? Justifie. d) Déduis-en la somme des travaux $\Sigma W$ sur le trajet. e) Sachant que la vitesse initiale est $v_A = 2$ m/s, détermine la vitesse $v_B$ à la fin du trajet.
Corrigé
a) $W(\vec{F}) = F \cdot d \cdot \cos(0) = 60 \times 5 \times 1 = 300$ J. b) $W(\vec{f}) = f \cdot d \cdot \cos(180) = 15 \times 5 \times (-1) = -75$ J. c) $W(\vec{P}) = 0$ J et $W(\vec{N}) = 0$ J car ces forces sont perpendiculaires au déplacement (plan horizontal, donc poids et réaction verticales, déplacement horizontal). d) $\Sigma W = 300 + (-75) + 0 + 0 = 225$ J. e) $E_{c,A} = \frac12 \times 12 \times 2^2 = 24$ J. Théorème : $E_{c,B} = E_{c,A} + \Sigma W = 24 + 225 = 249$ J. De $E_{c,B} = \frac12 m v_B^2$, on tire $v_B = \sqrt{2 \times 249 / 12} = \sqrt{41,5} \approx 6,44$ m/s.
2. Un pot de fleurs de masse $m = 2,5$ kg tombe d'une fenêtre située à 6 m du sol ($z_A = 6$ m). On néglige les frottements de l'air. $g = 10$ m/s². a) Exprime puis calcule le travail du poids entre la fenêtre et le sol ($z_B = 0$). b) Quelle est la vitesse du pot au moment de l'impact au sol, sachant qu'il est lâché sans vitesse initiale ? c) Le pot est maintenant lancé vers le haut depuis le sol avec une vitesse de 8 m/s. Jusqu'à quelle hauteur $z_{\text{max}}$ monte-t-il ? (Aide : au sommet $v = 0$ ; utilise le théorème pour le trajet sol → sommet.)
Corrigé
a) $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = 2,5 \times 10 \times (6 - 0) = 150$ J. Travail moteur. b) $E_{c,A} = 0$ (repos). $E_{c,B} = \Sigma W = 150$ J. $\frac12 \times 2,5 \times v_B^2 = 150$, donc $v_B^2 = 120$, $v_B \approx 10,95$ m/s. c) Trajet du sol (A) au sommet (B) : $v_B = 0$, $z_A = 0$, $z_B = z_{\text{max}}$. Travail du poids : $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = 2,5 \times 10 \times (0 - z_{\text{max}}) = -25 z_{\text{max}}$. Théorème : $0 - \frac12 \times 2,5 \times 8^2 = -25 z_{\text{max}}$ soit $-80 = -25 z_{\text{max}}$, donc $z_{\text{max}} = 3,2$ m.
3. Un skieur de masse $m = 90$ kg descend une piste rectiligne inclinée d'un angle $\theta = 20°$ par rapport à l'horizontale. Il parcourt 150 m le long de la piste. Les frottements (air et neige) sont modélisés par une force $\vec{f}$ de norme $f = 40$ N opposée au déplacement. a) Fais un schéma de la situation avec les forces. b) Calcule la dénivellation $h$ entre le point de départ et le point d'arrivée sachant que $h = d \sin(\theta)$. c) Calcule le travail du poids sur ce trajet. d) Calcule le travail de la force de frottement. e) La réaction normale $\vec{N}$ travaille-t-elle ? Pourquoi ? f) Avec une vitesse initiale de 5 m/s, quelle est la vitesse du skieur en bas de la piste ?
Corrigé
b) $h = d \sin(\theta) = 150 \times \sin(20°) \approx 150 \times 0,342 = 51,3$ m. c) Le poids a un travail moteur car le skieur descend : $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = mg \times h$ (car $z_A - z_B = h$). $W(\vec{P}) = 90 \times 10 \times 51,3 = 46170$ J. d) Frottement opposé au déplacement : $\alpha = 180°$, $W(\vec{f}) = f \cdot d \cdot \cos(180°) = 40 \times 150 \times (-1) = -6000$ J. e) La réaction normale est perpendiculaire à la piste donc au déplacement : $\alpha = 90°$, $\cos(90°)=0$, donc $W(\vec{N}) = 0$. f) $E_{c,A} = 0,5 \times 90 \times 5^2 = 1125$ J. $\Sigma W = 46170 - 6000 = 40170$ J. $E_{c,B} = 1125 + 40170 = 41295$ J. $v_B = \sqrt{2 \times 41295 / 90} = \sqrt{917,67} \approx 30,3$ m/s.
4. Une voiture de masse $m = 1100$ kg roule à une vitesse de $90$ km/h sur une route horizontale. Le conducteur freine brutalement : la force de freinage, supposée constante, a une norme de $f = 6000$ N. On néglige les autres forces horizontales. a) Convertis 90 km/h en m/s. b) Quel est le signe du travail de la force de freinage ? Justifie. c) Exprime ce travail en fonction de la distance de freinage $d$ recherchée. d) À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, calcule la distance $d$ nécessaire pour immobiliser la voiture. e) Si la route est mouillée, la force de freinage n'est plus que de 4000 N. Quelle serait alors la distance de freinage à la même vitesse ?
Corrigé
a) $90 \text{ km/h} = 90 / 3,6 = 25$ m/s. b) La force de freinage s'oppose au déplacement, donc l'angle est de 180° : le travail est résistant, $W(\vec{f}) < 0$. c) $W(\vec{f}) = f \cdot d \cdot \cos(180°) = 6000 \times d \times (-1) = -6000 d$. d) $E_{c,A} = 0,5 \times 1100 \times 25^2 = 343750$ J. $E_{c,B} = 0$ (arrêt). Théorème : $0 - 343750 = -6000 d$, donc $d = 343750 / 6000 \approx 57,3$ m. e) Si $f = 4000$ N, $W = -4000 d'$, on a $343750 = 4000 d'$, donc $d' = 343750 / 4000 = 85,94$ m.
5. Une caisse de 18 kg glisse sans frottement le long d'un plan incliné de longueur $L = 4$ m faisant un angle $\theta = 35°$ avec l'horizontale. Elle est lâchée sans vitesse initiale depuis le haut. a) Calcule la hauteur $h$ de laquelle descend la caisse. b) Calcule le travail du poids sur ce trajet. c) Que vaut le travail de la réaction normale ? d) Déduis-en la vitesse de la caisse en bas du plan.
Corrigé
a) $h = L \sin(\theta) = 4 \times \sin(35°) \approx 4 \times 0,574 = 2,296$ m. b) $W(\vec{P}) = mgh = 18 \times 10 \times 2,296 = 413,28$ J. c) La réaction normale est perpendiculaire au plan incliné donc au déplacement : $W(\vec{N}) = 0$. d) $E_{c,A} = 0$, $\Sigma W = 413,28$ J. $E_{c,B} = 413,28$ J. $\frac12 \times 18 \times v_B^2 = 413,28$ ⇒ $v_B^2 = 45,92$ ⇒ $v_B \approx 6,78$ m/s.
Félicitations, tu maîtrises le sujet. Pour aller plus loin, on va découvrir la puissance (le débit d'énergie) et le travail d'une force non constante (à partir d'un graphique). Et si on jetait un œil à la conservation de l'énergie mécanique, qui est au programme de l'an prochain ?
La puissance
La puissance $P$ (en watts, W) est l'énergie transférée par unité de temps. Si un travail $W$ est effectué pendant une durée $\Delta t$, la puissance moyenne est $P = W / \Delta t$. Par exemple, un moteur qui fournit un travail de 2000 J en 5 secondes développe une puissance de 400 W.
Travail d'une force variable
Si la force change le long du trajet, on représente $F$ en fonction de la position $x$. Le travail est l'aire sous la courbe $F(x)$ entre les positions $x_A$ et $x_B$. Exemple simple : une force augmente linéairement de 0 à 10 N sur 5 m. L'aire d'un triangle vaut $\frac12 \times \text{base} \times \text{hauteur}$, soit $W = 0,5 \times 5 \times 10 = 25$ J.
Vers l'énergie mécanique (aperçu)
L'an prochain, tu rencontreras l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp} = mgz$ et l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_{pp}$. En l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve : $E_{m,A} = E_{m,B}$. Cela permet de résoudre directement certains problèmes sans calculer le travail du poids.
À toi de jouer
1. Un monte-charge élève une masse de 300 kg de 2 m en 4 secondes. Calcule le travail effectué par le moteur (assimilé au travail du poids en sens inverse, donc $W = mgh$), puis la puissance moyenne du moteur.
Corrigé
Travail utile : $W = mgh = 300 \times 10 \times 2 = 6000$ J (le poids ferait -6000 J, le moteur doit fournir +6000 J pour s'opposer). Puissance $P = W / \Delta t = 6000 / 4 = 1500$ W.
2. Sur un trajet rectiligne de 10 m, une force $F$ varie selon le graphique suivant : elle vaut 0 N au départ, augmente linéairement jusqu'à 20 N au bout de 6 m, reste constante sur 2 m, puis diminue linéairement pour s'annuler à 10 m. Calcule le travail total de cette force en découpant le trajet en trois zones et en calculant les aires.
Corrigé
Zone 1 (0 à 6 m) : triangle, base 6 m, hauteur 20 N → $W_1 = 0,5 \times 6 \times 20 = 60$ J. Zone 2 (6 à 8 m) : rectangle, base 2 m, hauteur 20 N → $W_2 = 2 \times 20 = 40$ J. Zone 3 (8 à 10 m) : triangle, base 2 m, hauteur 20 N → $W_3 = 0,5 \times 2 \times 20 = 20$ J. Total : $W = 60 + 40 + 20 = 120$ J.
3. Un enfant sur une balançoire part du point le plus haut A (altitude 1,5 m) sans vitesse. On néglige les frottements. Calcule sa vitesse au point le plus bas B (altitude 0) en utilisant la conservation de l'énergie mécanique : $E_{pp} = mgz$, $E_c = \frac12 mv^2$, $E_m = E_{pp}+E_c$ constante. ($g = 10$ m/s², la masse est inconnue, tu verras qu'elle se simplifie.)
Corrigé
En A : $v_A = 0$, donc $E_{c,A}=0$, $E_{pp,A} = m \times 10 \times 1,5 = 15m$. $E_{m,A} = 15m$. En B : $z_B = 0$, donc $E_{pp,B}=0$, $E_{c,B} = \frac12 m v_B^2$. Conservation : $E_{m,B} = 15m$, donc $\frac12 m v_B^2 = 15m$. La masse se simplifie : $v_B^2 = 30$, $v_B = \sqrt{30} \approx 5,48$ m/s.
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