Travail d'une force et énergie cinétique

Quantifier l'action d'une force sur un déplacement, puis relier variation d'énergie cinétique et travaux reçus.

1 L'idée

Lorsqu'une force agit sur un objet en déplacement, elle peut lui transférer de l'énergie ou lui en retirer. Le travail d'une force quantifie ce transfert, exprimé en joules (J). L'énergie cinétique $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ mesure l'énergie associée au mouvement. Le théorème de l'énergie cinétique relie les deux : la variation d'énergie cinétique entre deux points A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées sur ce trajet.

2 Formules essentielles

Travail d'une force

$W_{A \to B}(\vec{F}) = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$

Travail du poids

$W_{A \to B}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$

Énergie cinétique

$E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$

Théorème de l'énergie cinétique

$E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_i)$

3 Travail moteur, résistant, nul

L'angle $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et le vecteur déplacement $\vec{AB}$ :

Moteur ($W \gt 0$) : $\alpha \lt 90°$ — la force accélère l'objet.
Résistant ($W \lt 0$) : $\alpha \gt 90°$ — la force freine l'objet.
Nul ($W = 0$) : $\alpha = 90°$ — la force est perpendiculaire au déplacement. Exemple : la réaction normale $\vec{N}$ sur un plan horizontal.

4 Exemples calculés

Exemple A — Force de poussée horizontale

Une caisse est poussée sur un sol horizontal par $F = 60\,\text{N}$ parallèle au sol sur $d = 4\,\text{m}$.

$W(\vec{F}) = 60 \times 4 \times \cos(0°) = 60 \times 4 \times 1 = 240\,\text{J}$ (moteur)

Exemple B — Travail du poids (descente)

Un objet de $m = 0{,}5\,\text{kg}$ descend de $z_A = 3\,\text{m}$ à $z_B = 0\,\text{m}$, $g = 10\,\text{m/s}^2$.

$W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = 0{,}5 \times 10 \times (3 - 0) = 15\,\text{J}$ (moteur : l'objet descend)

Exemple C — Théorème de l'énergie cinétique

Un objet de $m = 2\,\text{kg}$ part du repos ($v_A = 0$). La somme des travaux vaut $\Sigma W = 36\,\text{J}$.

$E_{c,B} - 0 = 36 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \times 2 \times v_B^2 = 36 \Rightarrow v_B^2 = 36 \Rightarrow v_B = 6\,\text{m/s}$

Méthode — Appliquer le théorème de l'énergie cinétique

Définir le système et les deux points A (départ) et B (arrivée).
Lister toutes les forces : poids $\vec{P}$, réaction normale $\vec{N}$, frottements $\vec{f}$, force motrice…
Calculer le travail de chaque force : $F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$, ou $mg(z_A - z_B)$ pour le poids.
Sommer les travaux : $\Sigma W = W_1 + W_2 + \ldots$
Appliquer $E_{c,B} - E_{c,A} = \Sigma W$ et isoler l'inconnue ($v_B$ ou $d$).

Erreurs fréquentes

Oublier le signe : une force de frottement opposée au déplacement donne $\cos(180°) = -1$, donc $W \lt 0$.
Inverser $z_A$ et $z_B$ dans $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$ : si l'objet monte, $z_B \gt z_A$, donc $W(\vec{P}) \lt 0$.
Omettre le facteur $\dfrac{1}{2}$ dans $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$, ou oublier de mettre $v$ au carré.
Ne pas inclure toutes les forces dans $\Sigma W$ — notamment les frottements.