Travail d'une force et énergie cinétique

Les prérequis, en 30 secondes

Avant de parler de travail, trois mots à avoir en tête :

• Une force $\vec{F}$, c'est une action (on pousse, on tire, la Terre attire) : son intensité se mesure en newtons ($\text{N}$).
• Le déplacement, c'est le trajet du point A au point B ; sa longueur $d$ se mesure en mètres ($\text{m}$).
• La vitesse $v$ (en $\text{m/s}$) et la masse $m$ (en $\text{kg}$) décrivent le mouvement de l'objet.

Et une chose importante : l'énergie, tout comme le travail, se mesure en joules ($\text{J}$).

L'essentiel et les formules clés

Quand une force accompagne le déplacement d'un objet, elle lui transfère de l'énergie (ou lui en retire). Cette énergie échangée, c'est le travail de la force, noté $W$, en joules.

Les quatre formules à connaître :

• Travail d'une force : $W_{A \to B}(\vec{F}) = F \times d \times \cos(\alpha)$, où $\alpha$ est l'angle entre la force et le déplacement.
• Travail du poids : $W_{A \to B}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$ (il ne dépend que de la différence d'altitude).
• Énergie cinétique (l'énergie du mouvement) : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$.
• Théorème de l'énergie cinétique : $E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_i)$ : la variation d'énergie cinétique égale la somme des travaux de toutes les forces.

Un exemple fait en entier

Une caisse est poussée sur un sol horizontal par une force $F = 60\,\text{N}$, parallèle au sol, sur une distance $d = 4\,\text{m}$. Combien vaut le travail de cette force ?

Étape 1 : la force est parallèle au déplacement, donc l'angle vaut $\alpha = 0$ et $\cos(0) = 1$.

Étape 2 : on applique la formule : $W(\vec{F}) = F \times d \times \cos(\alpha) = 60 \times 4 \times 1$.

Étape 3 : on calcule : $W(\vec{F}) = 240\,\text{J}$.

Le résultat est positif : le travail est moteur, la force aide le mouvement. Et voilà, tu sais déjà faire un calcul de travail.

Le travail d'une force : définition propre

Le travail d'une force mesure le transfert d'énergie qu'elle réalise pendant un déplacement. Pour une force constante, du point A au point B :

$W_{A \to B}(\vec{F}) = F \times d \times \cos(\alpha)$

avec $F$ l'intensité de la force (en $\text{N}$), $d$ la distance parcourue de A à B (en $\text{m}$), et $\alpha$ l'angle entre la force $\vec{F}$ et le vecteur déplacement $\vec{AB}$. Le résultat $W$ est en joules ($\text{J}$).

Un cas revient tout le temps : le travail du poids. Comme le poids est vertical, on montre qu'il ne dépend que de la différence d'altitude entre le départ et l'arrivée :

$W_{A \to B}(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$

où $m$ est la masse (en $\text{kg}$), $g$ l'intensité de la pesanteur (ici $g = 10\,\text{N/kg}$), $z_A$ et $z_B$ les altitudes de départ et d'arrivée (en $\text{m}$).

Moteur, résistant ou nul : tout se lit dans l'angle

Le signe du travail dépend uniquement de l'angle $\alpha$ entre la force et le déplacement :

• Travail moteur ($W \gt 0$) : $\alpha \lt 90$, donc $\cos(\alpha) \gt 0$. La force accélère l'objet, elle lui donne de l'énergie.
• Travail résistant ($W \lt 0$) : $\alpha \gt 90$, donc $\cos(\alpha) \lt 0$. La force freine l'objet, elle lui retire de l'énergie. C'est typiquement le cas des frottements.
• Travail nul ($W = 0$) : $\alpha = 90$, donc $\cos(90) = 0$. La force est perpendiculaire au déplacement. Exemple : la réaction normale $\vec{N}$ d'un sol horizontal.

L'énergie cinétique et son théorème (méthode)

L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ animé d'une vitesse $v$ vaut : $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ (en $\text{J}$, avec $m$ en $\text{kg}$ et $v$ en $\text{m/s}$).

Le théorème de l'énergie cinétique relie mouvement et forces : entre deux points A et B, $E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_i)$.

La méthode, pas à pas :

• Définir le système et les deux points A (départ) et B (arrivée).
• Faire le bilan des forces : poids $\vec{P}$, réaction normale $\vec{N}$, frottements $\vec{f}$, force motrice...
• Calculer le travail de chaque force : $F \times d \times \cos(\alpha)$, ou $mg(z_A - z_B)$ pour le poids.
• Sommer tous les travaux : $\sum W = W_1 + W_2 + \ldots$
• Écrire $E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W$, puis isoler l'inconnue (souvent $v_B$ ou $d$).

Exemple express (travail du poids) : un objet de $m = 0{,}5\,\text{kg}$ descend de $z_A = 3\,\text{m}$ à $z_B = 0\,\text{m}$. Alors $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = 0{,}5 \times 10 \times (3 - 0) = 15\,\text{J}$ : moteur, car l'objet descend.

Ensemble : le travail du poids d'un objet qui descend

Énoncé : un objet de masse $m = 0{,}5\,\text{kg}$ tombe (ou glisse) depuis une altitude $z_A = 3\,\text{m}$ jusqu'à $z_B = 0\,\text{m}$. On prend $g = 10\,\text{N/kg}$. Calculons le travail du poids.

Ligne 1 : on repère la bonne formule. Le poids est vertical, on utilise $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$. Pas besoin de l'angle ici, cette formule fait déjà le travail à notre place.

Ligne 2 : on remplace par les valeurs : $W(\vec{P}) = 0{,}5 \times 10 \times (3 - 0)$.

Ligne 3 : on calcule l'intérieur de la parenthèse, $3 - 0 = 3$, puis $0{,}5 \times 10 = 5$, donc $W(\vec{P}) = 5 \times 3 = 15\,\text{J}$.

Ligne 4 : on interprète. Comme $z_A \gt z_B$ (l'objet descend), on a $W(\vec{P}) \gt 0$ : le poids est moteur, il accélère la chute. Logique : quand ça tombe, ça va de plus en plus vite.

Ensemble : trouver une vitesse avec le théorème

Énoncé : un objet de masse $m = 2\,\text{kg}$ part du repos ($v_A = 0$). Sur le trajet de A à B, la somme des travaux de toutes les forces vaut $\sum W = 36\,\text{J}$. Quelle est sa vitesse $v_B$ en B ?

Ligne 1 : on écrit le théorème, $E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W$.

Ligne 2 : l'objet part du repos, donc $v_A = 0$ et $E_{c,A} = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 0^2 = 0$. Le théorème devient $E_{c,B} - 0 = 36$.

Ligne 3 : on remplace $E_{c,B}$ par sa formule, $\dfrac{1}{2} \times 2 \times v_B^2 = 36$.

Ligne 4 : on simplifie, $\dfrac{1}{2} \times 2 = 1$, donc $v_B^2 = 36$.

Ligne 5 : on prend la racine carrée, $v_B = \sqrt{36} = 6\,\text{m/s}$. On garde la valeur positive : une vitesse ne peut pas être négative.

Ensemble : une force qui freine (travail résistant)

Énoncé : une caisse glisse sur $d = 4\,\text{m}$. Une force de frottement d'intensité $f = 8\,\text{N}$ s'oppose au déplacement. Calculons son travail.

Ligne 1 : s'oppose au déplacement veut dire que la force de frottement pointe dans le sens contraire du mouvement, l'angle vaut donc $\alpha = 180$.

Ligne 2 : on se souvient que $\cos(180) = -1$. C'est ce signe moins qui va rendre le travail négatif.

Ligne 3 : on applique la formule, $W(\vec{f}) = f \times d \times \cos(180) = 8 \times 4 \times (-1)$.

Ligne 4 : on calcule, $W(\vec{f}) = -32\,\text{J}$. Le travail est négatif, il est résistant : la force retire de l'énergie à la caisse et la ralentit.

Problème résolu : sur quelle distance la caisse s'arrête-t-elle ?

Énoncé : une caisse de masse $m = 5\,\text{kg}$ est lancée à la vitesse $v_A = 4\,\text{m/s}$ sur un sol horizontal. Une force de frottement constante $f = 8\,\text{N}$ s'oppose au mouvement. Sur quelle distance $d$ la caisse s'arrête-t-elle ? On prend $g = 10\,\text{N/kg}$.

Étape 1 : système et points. Système : la caisse. Point A : au lancer ($v_A = 4\,\text{m/s}$). Point B : à l'arrêt ($v_B = 0$).

Étape 2 : bilan des forces. Le poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas), la réaction normale $\vec{N}$ (verticale, vers le haut) et les frottements $\vec{f}$ (horizontaux, opposés au mouvement).

Étape 3 : travail de chaque force. $\vec{P}$ et $\vec{N}$ sont perpendiculaires au déplacement horizontal, donc $W(\vec{P}) = 0$ et $W(\vec{N}) = 0$. Les frottements sont opposés au déplacement, $W(\vec{f}) = f \times d \times \cos(180) = -f \times d$.

Étape 4 : somme des travaux, $\sum W = 0 + 0 - f \times d = -8d$.

Étape 5 : théorème de l'énergie cinétique, $E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W$, soit $\dfrac{1}{2}m v_B^2 - \dfrac{1}{2}m v_A^2 = -f d$.

Étape 6 : on remplace avec $v_B = 0$, $0 - \dfrac{1}{2} \times 5 \times 4^2 = -8d$, donc $-40 = -8d$.

Étape 7 : on isole, $d = \dfrac{40}{8} = 5\,\text{m}$. La caisse s'arrête après $5\,\text{m}$.

Problème résolu : la vitesse en bas d'une descente

Énoncé : un objet de masse $m = 2\,\text{kg}$ part du repos et glisse sans frottement le long d'un plan incliné. Il descend d'une hauteur $h = 1{,}8\,\text{m}$. Quelle est sa vitesse $v_B$ en bas ? On prend $g = 10\,\text{N/kg}$.

Étape 1 : système et points. Système : l'objet. A : en haut ($v_A = 0$). B : en bas.

Étape 2 : bilan des forces. Le poids $\vec{P}$ et la réaction normale $\vec{N}$ (pas de frottement).

Étape 3 : travaux. La réaction $\vec{N}$ est perpendiculaire au déplacement le long du plan, donc $W(\vec{N}) = 0$. Le poids : $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = mgh$, car la différence d'altitude entre le haut et le bas vaut exactement $h$.

Étape 4 : on calcule ce travail, $W(\vec{P}) = 2 \times 10 \times 1{,}8 = 36\,\text{J}$.

Étape 5 : théorème, $E_{c,B} - E_{c,A} = \sum W$, soit $\dfrac{1}{2}m v_B^2 - 0 = 36$.

Étape 6 : on remplace, $\dfrac{1}{2} \times 2 \times v_B^2 = 36$, donc $v_B^2 = 36$.

Étape 7 : $v_B = \sqrt{36} = 6\,\text{m/s}$. Remarque utile : la masse a disparu du résultat final. Sur un plan sans frottement, la vitesse en bas ne dépend que de la hauteur de chute.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Pour décrocher tous les points, ta copie doit montrer :

• un schéma avec le système, les points A et B et toutes les forces représentées par des flèches ;
• le bilan des forces écrit noir sur blanc, avant tout calcul ;
• chaque travail justifié (l'angle utilisé, ou le perpendiculaire donc nul) ;
• les unités à chaque ligne et un résultat final avec son unité.

Et les pièges où l'on perd des points sans le vouloir :

• Oublier le signe. Une force de frottement opposée au déplacement donne $\cos(180) = -1$, donc $W \lt 0$. Un travail résistant compté positif fausse tout.
• Inverser $z_A$ et $z_B$ dans $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$. Si l'objet monte, alors $z_B \gt z_A$ et $W(\vec{P}) \lt 0$ (le poids devient résistant).
• Massacrer l'énergie cinétique : oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$, ou oublier de mettre $v$ au carré. C'est $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$, pas $mv$.
• Oublier une force dans $\sum W$, les frottements en particulier, qu'on ne pense pas toujours à inscrire.

Le travail, c'est un produit scalaire

Le $\cos(\alpha)$ dans la formule n'est pas tombé du ciel. En réalité, le travail est un produit scalaire entre la force et le vecteur déplacement :

$W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \times AB \times \cos(\alpha)$.

Géométriquement, $F \times \cos(\alpha)$ est la projection de la force sur la direction du déplacement : seule la part de la force qui pousse dans le sens du trajet travaille. Une force perpendiculaire ne se projette pas du tout sur le déplacement, ce qui explique pourquoi son travail est nul. Ce produit scalaire, tu le retrouveras en maths et en physique de terminale.

Vers l'énergie mécanique et le bilan énergétique

Le travail du poids a une forme très spéciale : $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$ ne dépend que des altitudes de départ et d'arrivée, jamais du chemin suivi. On dit que le poids est une force conservative, et on lui associe une énergie potentielle de pesanteur : $E_{pp} = mgz$.

On définit alors l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_{pp}$. En l'absence de frottement, elle se conserve : ce que l'objet perd en altitude (énergie potentielle), il le gagne en vitesse (énergie cinétique). C'est exactement le point de vue du chapitre bilan énergétique d'un système, que tu croiseras juste après.

D'où vient le théorème, et un mot sur la puissance

Idée de démonstration. Le théorème de l'énergie cinétique découle de la deuxième loi de Newton. Pour une force constante sur un trajet rectiligne, l'accélération vaut $a = \dfrac{F}{m}$, et la cinématique donne $v_B^2 - v_A^2 = 2ad$. En multipliant par $\dfrac{1}{2}m$ : $\dfrac{1}{2}m v_B^2 - \dfrac{1}{2}m v_A^2 = m a d = F d = W$. On retrouve bien $\Delta E_c = W$.

Aperçu : la puissance. Deux grues qui montent la même charge fournissent le même travail, mais pas à la même vitesse. Pour mesurer à quel rythme le travail est fourni, on définit la puissance $P = \dfrac{W}{\Delta t}$, exprimée en watts (symbole $\text{W}$, à ne pas confondre avec le travail $W$). C'est une notion voisine que tu approfondiras plus tard.

Petit bonus. On a pris $g = 10\,\text{N/kg}$ pour simplifier les calculs ; la valeur réelle près de la surface de la Terre est plutôt $g \approx 9{,}81\,\text{N/kg}$.