V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Physique-Chimie1reMouvement et interactionsExercices + corrigé

Vecteur vitesse et vecteur accélération — Exercices

Du relevé de positions à la détermination de l'accélération : application progressive.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée
1Vitesse scalaire — mouvement rectiligne/ 3 pts
Un objet se déplace en ligne droite. Ses positions sont enregistrées toutes les $\tau = 0{,}10\ \text{s}$. On mesure $M_0M_1 = 3{,}0\ \text{cm}$ et $M_1M_2 = 5{,}0\ \text{cm}$.
  1. Calculer la distance $M_0M_2$.
  2. En déduire la norme $v_1$ du vecteur vitesse en $M_1$ (résultat en m/s).
  3. Le mouvement est-il uniforme entre $M_0$ et $M_2$ ? Justifier.
2Vecteur vitesse dans le plan/ 4 pts
Une bille se déplace dans un plan. Les positions (en cm) sont relevées à $\tau = 0{,}20\ \text{s}$ : $M_0(0\ ;\ 0)$, $M_1(3{,}0\ ;\ 4{,}0)$, $M_2(6{,}0\ ;\ 8{,}0)$, $M_3(9{,}0\ ;\ 12{,}0)$.
  1. Calculer $\|\overrightarrow{M_0M_2}\|$ puis la norme $v_1$ du vecteur vitesse en $M_1$.
  2. Calculer de même la norme $v_2$ du vecteur vitesse en $M_2$.
  3. Conclure sur le type de mouvement de la bille.
3Vecteur accélération/ 4 pts
Un objet se déplace en ligne droite. Après exploitation d'une chronophotographie avec $\tau = 0{,}50\ \text{s}$, on obtient : $v_1 = 0{,}60\ \text{m/s}$, $v_2 = 0{,}90\ \text{m/s}$, $v_3 = 1{,}20\ \text{m/s}$.
  1. Calculer la norme du vecteur accélération en $M_2$ à l'aide de $v_2$ et $v_3$.
  2. Vérifier ce résultat en utilisant $v_1$ et $v_2$.
  3. Le mouvement est-il uniformément accéléré ? Justifier.
4Mouvement rectiligne uniforme/ 3 pts
Une chronophotographie avec $\tau = 0{,}40\ \text{s}$ donne : $M_{i-1}M_{i+1} = 12{,}0\ \text{cm}$ pour tous les points étudiés.
  1. Calculer la norme du vecteur vitesse.
  2. Calculer la norme du vecteur accélération.
  3. Comment appelle-t-on ce type de mouvement ? Que vaut $\vec{a}$ ?
5Chute libre verticale/ 6 pts
Une balle lâchée sans vitesse initiale tombe verticalement. Les positions (axe $y$ orienté vers le bas, en cm) sont enregistrées à $\tau = 0{,}10\ \text{s}$ : $y_0 = 0{,}0$, $y_1 = 4{,}9$, $y_2 = 19{,}6$, $y_3 = 44{,}1$. Pour un mouvement rectiligne vertical, $M_{i-1}M_{i+1} = |y_{i+1} - y_{i-1}|$ (en cm).
  1. Calculer $v_1$, la norme du vecteur vitesse en $M_1$, en m/s.
  2. Calculer $v_2$, la norme du vecteur vitesse en $M_2$, en m/s.
  3. En déduire la norme du vecteur accélération. Comparer à $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ et conclure.
Corrigé détaillé
1Vitesse scalaire — mouvement rectiligne
a) \(M_0M_2 = M_0M_1 + M_1M_2 = 3{,}0 + 5{,}0 = 8{,}0\ \text{cm}\) \(M_0M_2 = 8{,}0\ \text{cm} = 0{,}080\ \text{m}\)
b) \(v_1 = \dfrac{M_0M_2}{2\tau} = \dfrac{0{,}080\ \text{m}}{2 \times 0{,}10\ \text{s}} = \dfrac{0{,}080}{0{,}20}\) \(v_1 = 0{,}40\ \text{m/s}\)
c) \(M_0M_1 = 3{,}0\ \text{cm} \neq M_1M_2 = 5{,}0\ \text{cm} \Rightarrow \text{les espaces successifs sont inégaux.}\) \(\text{Mouvement non uniforme (accéléré) : les intervalles de positions augmentent.}\)
2Vecteur vitesse dans le plan
a) \(\overrightarrow{M_0M_2} = (6{,}0 - 0\ ;\ 8{,}0 - 0) = (6{,}0\ ;\ 8{,}0)\ \text{cm}. \quad \|\overrightarrow{M_0M_2}\| = \sqrt{6{,}0^2 + 8{,}0^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10{,}0\ \text{cm} = 0{,}100\ \text{m}.\) \(v_1 = \dfrac{0{,}100}{2 \times 0{,}20} = \dfrac{0{,}100}{0{,}40} = 0{,}25\ \text{m/s}\)
b) \(\overrightarrow{M_1M_3} = (9{,}0 - 3{,}0\ ;\ 12{,}0 - 4{,}0) = (6{,}0\ ;\ 8{,}0)\ \text{cm}. \quad \|\overrightarrow{M_1M_3}\| = \sqrt{36+64} = 10{,}0\ \text{cm} = 0{,}100\ \text{m}.\) \(v_2 = \dfrac{0{,}100}{0{,}40} = 0{,}25\ \text{m/s}\)
c) \(v_1 = v_2 = 0{,}25\ \text{m/s} : \text{la norme de la vitesse est constante} \Rightarrow \vec{a} = \vec{0}.\) \(\text{Mouvement rectiligne uniforme (MRU).}\)
3Vecteur accélération
a) \(a_2 \approx \dfrac{v_3 - v_2}{\tau} = \dfrac{1{,}20 - 0{,}90}{0{,}50} = \dfrac{0{,}30}{0{,}50}\) \(a_2 = 0{,}60\ \text{m/s}^2\)
b) vérif. \(a_2 \approx \dfrac{v_2 - v_1}{\tau} = \dfrac{0{,}90 - 0{,}60}{0{,}50} = \dfrac{0{,}30}{0{,}50}\) \(a_2 = 0{,}60\ \text{m/s}^2 \quad \text{(même résultat)}\)
c) \(\Delta v = v_2 - v_1 = v_3 - v_2 = 0{,}30\ \text{m/s} : \text{variation de vitesse constante.}\) \(\text{Oui, mouvement uniformément accéléré : }\vec{a}\text{ est constant.}\)
4Mouvement rectiligne uniforme
a) \(v = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} = \dfrac{0{,}120\ \text{m}}{2 \times 0{,}40\ \text{s}} = \dfrac{0{,}120}{0{,}80}\) \(v = 0{,}15\ \text{m/s}\)
b) \(\Delta v = v_{i+1} - v_i = 0{,}15 - 0{,}15 = 0\ \text{m/s}. \quad a = \dfrac{0}{\tau}\) \(a = 0\ \text{m/s}^2\)
c) \(\text{Vitesse constante, accélération nulle.}\) \(\text{Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : }\vec{a} = \vec{0}.\)
5Chute libre verticale
a) \(v_1 = \dfrac{|y_2 - y_0|}{2\tau} = \dfrac{|19{,}6 - 0{,}0|\ \text{cm}}{2 \times 0{,}10\ \text{s}} = \dfrac{19{,}6 \times 10^{-2}\ \text{m}}{0{,}20\ \text{s}}\) \(v_1 = 0{,}98\ \text{m/s}\)
b) \(v_2 = \dfrac{|y_3 - y_1|}{2\tau} = \dfrac{|44{,}1 - 4{,}9|\ \text{cm}}{0{,}20\ \text{s}} = \dfrac{39{,}2 \times 10^{-2}\ \text{m}}{0{,}20\ \text{s}}\) \(v_2 = 1{,}96\ \text{m/s}\)
c) \(a = \dfrac{v_2 - v_1}{\tau} = \dfrac{1{,}96 - 0{,}98}{0{,}10} = \dfrac{0{,}98}{0{,}10}\) \(a = 9{,}8\ \text{m/s}^2 \approx g \Rightarrow \text{chute libre : seul le poids agit sur la balle.}\)