Pas de panique ! On va reprendre depuis le début. Tu as déjà vu en seconde le vecteur vitesse : il indique la direction, le sens et la rapidité du mouvement. Ici, on va y ajouter le vecteur accélération, qui dit si la vitesse change. On y va pas à pas, et tu vas voir, c'est logique.
1. Le vecteur vitesse (rappels de seconde)
Quand on filme un mouvement avec des flashs réguliers (chronophotographie), on obtient des positions M0, M1, M2... séparées par une durée τ (tau).
Le vecteur vitesse en un point Mi est approximé par :
$$\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$$
Sa norme (vitesse scalaire) est : $v_i = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$ (en m/s).
Il est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
2. Le vecteur accélération
Si la vitesse change (en norme ou en direction), on dit qu'il y a accélération. Le vecteur accélération en Mi est approximé par :
$$\vec{a}(M_i) \approx \frac{\vec{v}(M_{i+1}) - \vec{v}(M_i)}{\tau}$$
En pratique, pour un mouvement rectiligne, on calcule sa norme : $a_i = \frac{v_{i+1} - v_i}{\tau}$ (en m/s²).
Si a > 0, l'objet accélère ; si a < 0, il ralentit (décélération). Si a = 0, le mouvement est uniforme.
À toi de jouer
1. Complète la formule du vecteur vitesse en M1 : \$\vec{v}_1 \approx \frac{\overrightarrow{\underline{\hspace{1.1em}} \underline{\hspace{1.1em}}}}{2\tau}\$
Corrigé
\$\vec{v}_1 \approx \frac{\overrightarrow{M_0M_2}}{2\tau}\$
2. Un mobile a les vitesses v1 = 0,40 m/s et v2 = 0,55 m/s, avec τ = 0,10 s. Calcule la norme de l'accélération en M1 :
a1 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s².
Corrigé
a1 = (0,55 - 0,40) / 0,10 = 1,5 m/s².
3. Une voiture ralentit : v1 = 20 m/s, v2 = 15 m/s, τ = 2,0 s. Calcule a1 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s². Le signe est négatif, donc l'accélération est \$\underline{\hspace{1.1em}}\$ au mouvement.
Corrigé
a1 = (15 - 20) / 2,0 = -2,5 m/s². Le signe est négatif, donc l'accélération est opposée au mouvement.
Ah oui, ça revient ! On va remettre tout ça en ordre avec une méthode claire pour ne plus se tromper. Tu vas manipuler les formules et les appliquer sur des exemples concrets.
Méthode pas-à-pas
Pour exploiter une chronophotographie :
- Repérer les points M_{i-1}, M_i, M_{i+1}.
- Calculer le vecteur déplacement $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$ (coordonnées de M_{i+1} moins celles de M_{i-1}).
- Calculer sa norme $M_{i-1}M_{i+1} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.
- Convertir en mètres, puis appliquer $v_i = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$.
- Pour l'accélération, calculer $v_i$ et $v_{i+1}$, puis $a_i = \frac{v_{i+1} - v_i}{\tau}$.
Formules essentielles
$$\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$$
$$v_i = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$$
$$\vec{a}(M_i) \approx \frac{\vec{v}(M_{i+1}) - \vec{v}(M_i)}{\tau}$$
$$a_i = \frac{v_{i+1} - v_i}{\tau}$$
À toi de jouer
1. On donne les positions (en cm) d'un mobile toutes les τ = 0,20 s : M0(0;0), M1(2,0;1,5), M2(4,0;3,0), M3(6,0;4,5).
Calcule la norme v1.
a) \$\overrightarrow{M_0M_2} = (\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}) = (\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})\$ cm.
b) Sa norme : M0M2 = \$\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ cm = \$\underline{\hspace{1.1em}}\$ m.
c) v1 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s.
Corrigé
a) (4,0 - 0 ; 3,0 - 0) = (4,0 ; 3,0) cm.
b) √(4,0² + 3,0²) = √(16+9) = √25 = 5,0 cm = 0,050 m.
c) v1 = 0,050 / (2×0,20) = 0,050 / 0,40 = 0,125 m/s.
2. Avec les mêmes données, calcule v2.
a) \$\overrightarrow{M_1M_3} = (\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}) = (\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})\$ cm.
b) Norme : M1M3 = \$\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ cm = \$\underline{\hspace{1.1em}}\$ m.
c) v2 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s.
Corrigé
a) (6,0 - 2,0 ; 4,5 - 1,5) = (4,0 ; 3,0) cm.
b) √(4,0²+3,0²)=5,0 cm = 0,050 m.
c) v2 = 0,050/0,40 = 0,125 m/s.
3. On a v1 = 0,125 m/s, v2 = 0,125 m/s, τ = 0,20 s. Calcule a1 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s². Le mouvement est-il uniforme ?
Corrigé
a1 = (0,125 - 0,125)/0,20 = 0 m/s². Oui, mouvement uniforme car a = 0.
Cinq petits calculs pour que les formules deviennent automatiques. Même méthode, nombres différents. Tu vas voir, c'est toujours pareil !
À toi de jouer
1. M0M2 = 8,0 cm, τ = 0,10 s. v1 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s. (Aide : 8,0 cm = 0,080 m)
Corrigé
v1 = 0,080 / (2×0,10) = 0,080 / 0,20 = 0,40 m/s.
2. M1M3 = 12,0 cm, τ = 0,20 s. v2 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s. (12,0 cm = 0,120 m)
Corrigé
v2 = 0,120 / (2×0,20) = 0,120 / 0,40 = 0,30 m/s.
3. M2M4 = 15,0 cm, τ = 0,50 s. v3 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s. (15,0 cm = 0,150 m)
Corrigé
v3 = 0,150 / (2×0,50) = 0,150 / 1,0 = 0,15 m/s.
4. v1 = 0,30 m/s, v2 = 0,45 m/s, τ = 0,25 s. a1 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s².
Corrigé
a1 = (0,45 - 0,30) / 0,25 = 0,15 / 0,25 = 0,60 m/s².
5. v2 = 0,80 m/s, v3 = 0,80 m/s, τ = 0,40 s. a2 = \$\frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}\$ m/s². Le mouvement est \$\underline{\hspace{1.1em}}\$ (uniforme / accéléré).
Corrigé
a2 = (0,80 - 0,80) / 0,40 = 0 m/s². Le mouvement est uniforme.
Place au niveau attendu en contrôle. On lâche un peu la main : à toi de raisonner et de rédiger. Mais tu as toutes les cartes en main.
À toi de jouer
1. Un objet se déplace en ligne droite. Chronophotographie avec τ = 0,10 s. On mesure M0M1 = 2,5 cm et M1M2 = 4,5 cm.
a) Calcule la distance M0M2 en cm, puis convertis en m.
b) Déduis-en la norme v1 du vecteur vitesse en M1 (en m/s).
c) Le mouvement est-il uniforme entre M0 et M2 ? Justifie.
Corrigé
a) M0M2 = 2,5 + 4,5 = 7,0 cm = 0,070 m.
b) v1 = M0M2 / (2τ) = 0,070 / 0,20 = 0,35 m/s.
c) Non, car M0M1 ≠ M1M2 (2,5 cm ≠ 4,5 cm) : les espaces parcourus pendant des durées égales augmentent, donc le mouvement est accéléré.
2. Une bille se déplace dans un plan. Positions (en cm) relevées à τ = 0,20 s : M0(0;0), M1(2,0;3,0), M2(4,0;6,0), M3(6,0;9,0).
a) Calcule la norme de $\overrightarrow{M_0M_2}$ et déduis-en v1 en m/s.
b) Calcule de même v2.
c) Que peux-tu dire du mouvement de la bille ?
Corrigé
a) $\overrightarrow{M_0M_2}$ = (4,0 ; 6,0) cm. Norme = √(4,0²+6,0²) = √(16+36) = √52 ≈ 7,21 cm = 0,0721 m. v1 = 0,0721 / (2×0,20) = 0,0721/0,40 = 0,180 m/s (ou 0,18 m/s).
b) $\overrightarrow{M_1M_3}$ = (4,0 ; 6,0) cm, même norme, donc v2 = 0,18 m/s.
c) La norme de la vitesse est constante, le mouvement est uniforme. De plus, les points sont alignés : mouvement rectiligne uniforme.
3. Un mobile en ligne droite a les vitesses suivantes, déterminées avec τ = 0,50 s : v1 = 0,60 m/s, v2 = 0,90 m/s, v3 = 1,20 m/s.
a) Calcule la norme de l'accélération a2 en utilisant v2 et v3.
b) Vérifie ce résultat en utilisant v1 et v2.
c) Le mouvement est-il uniformément accéléré ? Justifie.
Corrigé
a) a2 = (v3 - v2) / τ = (1,20 - 0,90) / 0,50 = 0,30 / 0,50 = 0,60 m/s².
b) a1 = (v2 - v1) / τ = (0,90 - 0,60) / 0,50 = 0,30 / 0,50 = 0,60 m/s². On trouve la même valeur, cohérent.
c) Oui, car l'accélération est constante (0,60 m/s²) : la vitesse augmente de la même quantité à chaque intervalle de temps.
4. Une chronophotographie avec τ = 0,40 s donne une distance M_{i-1}M_{i+1} = 10,0 cm pour tous les points i étudiés.
a) Calcule la norme du vecteur vitesse (en m/s).
b) Calcule la norme du vecteur accélération.
c) Comment qualifie-t-on ce mouvement ?
Corrigé
a) Norme du vecteur vitesse
En chronophotographie, la vitesse instantanée au point $M_i$ est approchée par :
$v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} = \dfrac{0{,}100 \text{ m}}{2 \times 0{,}40 \text{ s}} = \dfrac{0{,}100}{0{,}80}$
$v_i = 0{,}125 \text{ m/s}$
b) Norme du vecteur accélération
La distance $M_{i-1}M_{i+1} = 10{,}0 \text{ cm}$ est identique pour tous les points $i$ : la norme du vecteur vitesse est donc la même en chaque point, la valeur de la vitesse est constante. La trajectoire étant rectiligne, la direction du vecteur vitesse est également invariable. Le vecteur vitesse est donc entièrement constant (norme et direction) ; sa variation entre deux instants consécutifs est nulle :
$a = 0 \text{ m/s}^2$
c) Nature du mouvement
La valeur de la vitesse est constante et la trajectoire est rectiligne : il s'agit d'un mouvement rectiligne uniforme (MRU).
Remarque : dans un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse est bien constante, mais la direction du vecteur vitesse change à chaque instant. Il existe alors une accélération centripète non nulle ($a = v^2/R
eq 0$). Ce cas est donc incompatible avec le résultat $a = 0$ obtenu en b) : il serait contradictoire d'évoquer une trajectoire circulaire après avoir établi que l'accélération est nulle.
Tu maîtrises les bases. Voici des situations plus riches qui te préparent à la terminale : mouvement circulaire, chute libre, et un avant-goût des projectiles. Tu vas voir que l'accélération prend tout son sens quand on la relie aux forces.
À toi de jouer
1. Une petite bille tourne à vitesse constante sur un cercle de rayon R = 0,50 m. On relève ses positions toutes les τ = 0,10 s. Les points M0, M1, M2... sont régulièrement espacés sur le cercle. On mesure la longueur de l'arc entre deux points successifs : 0,15 m.
a) Calcule la norme de la vitesse de la bille (v = distance parcourue / temps).
b) La norme du vecteur vitesse est-elle constante ? Sa direction change-t-elle ?
c) En utilisant la construction des vecteurs vitesse en M1 et M2 (de même norme, tangents au cercle), montre que le vecteur variation de vitesse $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ est dirigé vers le centre du cercle.
d) La norme de l'accélération est alors a = v²/R. Calcule-la. (Cette accélération centripète sera expliquée en terminale par la deuxième loi de Newton.)
Corrigé
a) Entre deux points successifs, la durée est τ = 0,10 s, la distance parcourue est 0,15 m, donc v = 0,15 / 0,10 = 1,5 m/s.
b) Norme constante (1,5 m/s), mais direction qui change (tangente au cercle).
c) En traçant $\vec{v}_1$ tangent en M1 et $\vec{v}_2$ tangent en M2, leur différence pointe approximativement vers le centre. (Voir schéma).
d) a = v²/R = (1,5)² / 0,50 = 2,25 / 0,50 = 4,5 m/s².
2. On lâche une bille sans vitesse initiale. On relève sa position verticale y (axe orienté vers le bas) toutes les τ = 0,10 s : y0 = 0,0 cm, y1 = 4,9 cm, y2 = 19,6 cm, y3 = 44,1 cm.
a) Pour un mouvement rectiligne vertical, M_{i-1}M_{i+1} = |y_{i+1} - y_{i-1}|. Calcule v1 et v2 en m/s.
b) Déduis-en la norme de l'accélération a.
c) Compare à g = 9,8 m/s². Quelle force est responsable de cette accélération ? (En terminale, tu écriras $\vec{P} = m \vec{g}$ et $\vec{a} = \vec{g}$).
Corrigé
a) v1 = (y2 - y0)/(2τ) = (19,6 - 0,0) cm / 0,20 s = 19,6 cm / 0,20 s = 0,196 m / 0,20 s = 0,98 m/s. v2 = (y3 - y1)/(2τ) = (44,1 - 4,9) cm / 0,20 s = 39,2 cm / 0,20 s = 0,392 m / 0,20 s = 1,96 m/s.
b) a = (v2 - v1)/τ = (1,96 - 0,98) / 0,10 = 0,98 / 0,10 = 9,8 m/s².
c) a = g = 9,8 m/s². C'est la force de pesanteur (le poids) qui est responsable. En terminale, on utilisera la deuxième loi de Newton : ΣF = m a, ici P = m g donc a = g.
3. Un projectile est lancé horizontalement avec une vitesse initiale v0 = 2,0 m/s. Ses équations horaires sont : x(t) = v0 t, y(t) = -½ g t² (axe y vers le haut, g = 9,8 m/s²).
a) Calcule les coordonnées du vecteur vitesse à l'instant t = 0,5 s : v_x = dx/dt, v_y = dy/dt.
b) Déduis-en la norme de la vitesse à cet instant.
c) Calcule les coordonnées du vecteur accélération (a_x = dv_x/dt, a_y = dv_y/dt). Que remarques-tu ?
d) En terminale, tu étudieras ce mouvement dans le champ de pesanteur uniforme. L'accélération est constante et vaut $\vec{g}$. Vérifie-le.
Corrigé
a) v_x = dx/dt = v0 = 2,0 m/s. v_y = dy/dt = -g t = -9,8 × 0,5 = -4,9 m/s.
b) v = √(v_x² + v_y²) = √(2,0² + (-4,9)²) = √(4 + 24,01) = √28,01 ≈ 5,3 m/s.
c) a_x = dv_x/dt = 0 ; a_y = dv_y/dt = -g = -9,8 m/s². L'accélération est constante, verticale vers le bas, de norme g.
d) On a bien $\vec{a} = (0, -g)$ qui est le vecteur champ de pesanteur.