Vecteur vitesse et vecteur accélération

Les prérequis à avoir sous la main

Avant de foncer, trois outils que tu connais déjà :

• Un vecteur, c'est une flèche : il a une direction (la droite qui le porte), un sens (vers où pointe la pointe) et une norme (sa longueur).
• Les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ s'obtiennent en faisant arrivée moins départ : $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\ ;\ y_B - y_A)$.
• La longueur d'un vecteur se calcule avec Pythagore : $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.

Dernier réflexe : on travaille en unités du système international, donc on convertit les centimètres en mètres ($1\ \text{cm} = 0{,}01\ \text{m}$), et $\tau$ (prononcé « tau ») désigne la durée régulière entre deux positions.

L'essentiel, et les deux formules clés

Pour décrire un mouvement, on photographie l'objet à intervalles réguliers $\tau$ : on obtient une suite de positions $M_0, M_1, M_2, \ldots$ (c'est une chronophotographie). Deux flèches résument tout :

• Le vecteur vitesse $\vec{v}$ : il est tangent à la trajectoire, pointe dans le sens du mouvement, et sa longueur est la vitesse (en m/s).
• Le vecteur accélération $\vec{a}$ : il mesure la variation du vecteur vitesse. S'il n'y a aucune variation (mouvement rectiligne uniforme), il est nul.

Les deux formules à connaître par cœur :

Vitesse au point $M_i$ : $\vec{v}(M_i) \approx \dfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$, de norme $v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$ en $\text{m/s}$.

Accélération : $a = \dfrac{\Delta v}{\tau}$ en $\text{m/s}^2$, où $\Delta v$ est la variation de la vitesse pendant $\tau$.

Le piège à retenir : au numérateur de la vitesse on prend le point d'avant et le point d'après ($M_{i-1}$ et $M_{i+1}$), et on divise par $2\tau$ (deux intervalles), pas par $\tau$.

Un exemple traité du début à la fin

Données : $M_0(0{,}0\ ;\ 0{,}0)$ et $M_2(8{,}0\ ;\ 6{,}0)$ en cm, avec $\tau = 0{,}20\ \text{s}$. On cherche la vitesse au point $M_1$ (encadré par $M_0$ et $M_2$).

Étape 1 — coordonnées du vecteur : $\overrightarrow{M_0M_2} = (8{,}0 - 0{,}0\ ;\ 6{,}0 - 0{,}0) = (8{,}0\ ;\ 6{,}0)\ \text{cm}$.

Étape 2 — sa longueur avec Pythagore : $M_0M_2 = \sqrt{8{,}0^2 + 6{,}0^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10{,}0\ \text{cm}$.

Étape 3 — conversion en mètres : $10{,}0\ \text{cm} = 0{,}100\ \text{m}$.

Étape 4 — on applique la formule : $v_1 = \dfrac{0{,}100}{2 \times 0{,}20} = \dfrac{0{,}100}{0{,}40} = 0{,}25\ \text{m/s}$.

Et voilà : la vitesse au point $M_1$ vaut $0{,}25\ \text{m/s}$. Rien de sorcier.

Les définitions au propre

On étudie un objet en repérant ses positions successives $M_0, M_1, M_2, \ldots$ prises à intervalles de temps réguliers $\tau$ (la durée entre deux flashs d'une chronophotographie). À partir de ces points, on définit deux vecteurs.

Le vecteur vitesse $\vec{v}$ décrit comment l'objet se déplace à un instant donné. Il possède trois caractéristiques : il est tangent à la trajectoire (il « suit la courbe »), il est orienté dans le sens du mouvement, et sa norme est égale à la vitesse scalaire, en $\text{m/s}$.

Le vecteur accélération $\vec{a}$ décrit comment le vecteur vitesse change d'un instant à l'autre. Il traduit la variation de $\vec{v}$, que ce soit en norme (l'objet accélère ou freine) ou en direction (l'objet tourne). Si le vecteur vitesse ne change pas du tout (mouvement uniforme en ligne droite), alors $\vec{a} = \vec{0}$.

Les formules et la méthode pas-à-pas

Comme on ne dispose que de points, on approche les vecteurs. La vitesse au point $M_i$ se calcule avec le point d'avant et le point d'après :

$\vec{v}(M_i) \approx \dfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau} \qquad$ et sa norme $\qquad v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}\ \ (\text{en m/s}).$

Ce vecteur est bien tangent à la trajectoire : la corde $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$ « épouse » la courbe autour de $M_i$ (voir la figure).

L'accélération au point $M_i$ compare la vitesse d'après et la vitesse actuelle :

$\vec{a}(M_i) \approx \dfrac{\vec{v}(M_{i+1}) - \vec{v}(M_i)}{\tau} \qquad$ et sa norme $\qquad a = \dfrac{\Delta v}{\tau}\ \ (\text{en m/s}^2).$

La méthode, dans l'ordre :

1. Repérer les points $M_{i-1}$, $M_i$, $M_{i+1}$ qui encadrent le point étudié.
2. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$ (coordonnées de $M_{i+1}$ moins celles de $M_{i-1}$).
3. Calculer sa norme $M_{i-1}M_{i+1} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$, puis convertir en mètres.
4. Appliquer $v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$.
5. Pour l'accélération : calculer $v_i$ et $v_{i+1}$ de la même façon, puis $a = \dfrac{v_{i+1} - v_i}{\tau}$.

Les cas à ne pas confondre (avec exemples)

Selon le mouvement, le vecteur accélération se comporte différemment :

• Mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante en norme et en direction) : $\Delta\vec{v} = \vec{0}$, donc $\vec{a} = \vec{0}$.
• Mouvement accéléré (la vitesse augmente, $v_{i+1} > v_i$) : $\vec{a}$ pointe dans le même sens que le mouvement.
• Mouvement décéléré ou freinage (la vitesse diminue, $v_{i+1} < v_i$) : $\vec{a}$ pointe dans le sens opposé au mouvement.

Exemple, vitesse en 2D. Avec $M_0(0{,}0\ ;\ 0{,}0)$, $M_2(8{,}0\ ;\ 6{,}0)$ en cm et $\tau = 0{,}20\ \text{s}$ :

$\overrightarrow{M_0M_2} = (8{,}0\ ;\ 6{,}0)\ \text{cm}$, de norme $\sqrt{8{,}0^2 + 6{,}0^2} = 10{,}0\ \text{cm} = 0{,}100\ \text{m}$, d'où $v_1 = \dfrac{0{,}100}{2 \times 0{,}20} = 0{,}25\ \text{m/s}.$

Exemple, accélération en ligne droite. Avec $v_1 = 0{,}25\ \text{m/s}$, $v_2 = 0{,}40\ \text{m/s}$ et $\tau = 0{,}20\ \text{s}$ :

$a_1 = \dfrac{v_2 - v_1}{\tau} = \dfrac{0{,}40 - 0{,}25}{0{,}20} = \dfrac{0{,}15}{0{,}20} = 0{,}75\ \text{m/s}^2.$ Comme $v_2 > v_1$, le mouvement est accéléré et $\vec{a}$ est dans le sens du mouvement.

On calcule une vitesse, ligne par ligne

L'énoncé : une bille est photographiée toutes les $\tau = 0{,}20\ \text{s}$. On relève $M_0(0{,}0\ ;\ 0{,}0)$ et $M_2(8{,}0\ ;\ 6{,}0)$ (en cm). Quelle est la vitesse au point $M_1$ ?

On identifie ce qu'on cherche. $M_1$ est encadré par $M_0$ (avant) et $M_2$ (après) : on est exactement dans le schéma de la formule $v_1 = \dfrac{M_0M_2}{2\tau}$.

On calcule le vecteur $\overrightarrow{M_0M_2}$. On fait arrivée moins départ, coordonnée par coordonnée : $\overrightarrow{M_0M_2} = (8{,}0 - 0{,}0\ ;\ 6{,}0 - 0{,}0) = (8{,}0\ ;\ 6{,}0)\ \text{cm}$.

On mesure sa longueur avec Pythagore. Les deux composantes sont les côtés d'un triangle rectangle, la longueur cherchée est l'hypoténuse : $M_0M_2 = \sqrt{8{,}0^2 + 6{,}0^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10{,}0\ \text{cm}$.

On convertit, l'erreur qui coûte des points. $10{,}0\ \text{cm} = 0{,}100\ \text{m}$. On ne calcule jamais une vitesse en m/s avec des centimètres.

On applique la formule, sans oublier le 2. $v_1 = \dfrac{0{,}100}{2 \times 0{,}20} = \dfrac{0{,}100}{0{,}40} = 0{,}25\ \text{m/s}$.

Conclusion rédigée : la vitesse de la bille au point $M_1$ vaut $v_1 = 0{,}25\ \text{m/s}$.

On enchaîne sur l'accélération

L'énoncé : sur la même trajectoire rectiligne, on a calculé $v_1 = 0{,}25\ \text{m/s}$ et $v_2 = 0{,}40\ \text{m/s}$, toujours avec $\tau = 0{,}20\ \text{s}$. Quelle est l'accélération autour de $M_1$ ?

On regarde d'abord le sens physique. La vitesse passe de $0{,}25$ à $0{,}40\ \text{m/s}$ : elle augmente, donc l'objet accélère. On s'attend à une accélération positive, dirigée dans le sens du mouvement.

On calcule la variation de vitesse. $\Delta v = v_2 - v_1 = 0{,}40 - 0{,}25 = 0{,}15\ \text{m/s}$.

On divise par la durée $\tau$ (un seul intervalle, cette fois). $a_1 = \dfrac{\Delta v}{\tau} = \dfrac{0{,}15}{0{,}20} = 0{,}75\ \text{m/s}^2$.

Attention au piège classique : pour l'accélération on divise par $\tau$, alors que pour la vitesse on divisait par $2\tau$. Ne mélange pas les deux.

Conclusion rédigée : l'objet accélère, $a_1 = 0{,}75\ \text{m/s}^2$, vecteur accélération dans le sens du mouvement.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Sur ce type de question, les points se gagnent autant sur la rigueur que sur le résultat. Les attendus :

• La formule écrite littéralement avant l'application numérique : $v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$, puis les valeurs.
• Les unités à chaque étape et surtout la conversion cm vers m faite avant le calcul final.
• Le bon nombre de chiffres significatifs, cohérent avec les données.
• Une phrase de conclusion qui répond à la question posée.

Les pièges classiques, ceux qui coûtent le plus :

• Prendre $\overrightarrow{M_{i-1}M_i}$ (un seul intervalle) au lieu de $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$ (deux intervalles) dans la formule de la vitesse.
• Diviser par $\tau$ au lieu de $2\tau$ pour la vitesse (et l'inverse pour l'accélération : là, c'est bien $\tau$).
• Oublier de convertir les centimètres en mètres.
• Confondre $\vec{a} = \vec{0}$ (mouvement rectiligne uniforme, l'objet avance à vitesse constante) et vitesse nulle (objet à l'arrêt) : ce n'est pas la même chose.
• Oublier que si $v_{i+1} < v_i$, le vecteur $\vec{a}$ est de sens opposé au mouvement (freinage).

Problème type entièrement résolu

Énoncé. Un mobile se déplace en ligne droite. On le photographie toutes les $\tau = 0{,}040\ \text{s}$. On relève ses positions (en cm) sur l'axe : $x_0 = 0$, $x_1 = 2{,}0$, $x_2 = 5{,}0$, $x_3 = 9{,}0$, $x_4 = 14{,}0$. Déterminer les vitesses $v_1$, $v_2$, $v_3$ puis l'accélération $a_2$. Le mouvement est-il uniformément accéléré ?

Étape 1, vitesse en $M_1$. $v_1 = \dfrac{x_2 - x_0}{2\tau} = \dfrac{(5{,}0 - 0)\times 10^{-2}}{2 \times 0{,}040} = \dfrac{0{,}050}{0{,}080} = 0{,}625\ \text{m/s}.$

Étape 2, vitesse en $M_2$. $v_2 = \dfrac{x_3 - x_1}{2\tau} = \dfrac{(9{,}0 - 2{,}0)\times 10^{-2}}{0{,}080} = \dfrac{0{,}070}{0{,}080} = 0{,}875\ \text{m/s}.$

Étape 3, vitesse en $M_3$. $v_3 = \dfrac{x_4 - x_2}{2\tau} = \dfrac{(14{,}0 - 5{,}0)\times 10^{-2}}{0{,}080} = \dfrac{0{,}090}{0{,}080} = 1{,}125\ \text{m/s}.$

Étape 4, accélération en $M_2$. $a_2 = \dfrac{v_3 - v_2}{\tau} = \dfrac{1{,}125 - 0{,}875}{0{,}040} = \dfrac{0{,}250}{0{,}040} = 6{,}25\ \text{m/s}^2.$

Étape 5, le mouvement est-il uniformément accéléré ? Vérifions avec $a_1$ : $a_1 = \dfrac{v_2 - v_1}{\tau} = \dfrac{0{,}875 - 0{,}625}{0{,}040} = \dfrac{0{,}250}{0{,}040} = 6{,}25\ \text{m/s}^2.$ On trouve la même valeur : l'accélération est constante.

Conclusion. Le mobile est en mouvement rectiligne uniformément accéléré, d'accélération $a \approx 6{,}25\ \text{m/s}^2$, dirigée dans le sens du mouvement (la vitesse augmente régulièrement).

Quand la trajectoire tourne : l'accélération en 2D

En ligne droite, $\Delta v$ est une simple soustraction de nombres. Mais si la trajectoire tourne, il faut soustraire les vecteurs vitesse, pas seulement leurs normes. On utilise alors $\vec{a}(M_i) \approx \dfrac{\vec{v}(M_{i+1}) - \vec{v}(M_i)}{\tau}$.

Concrètement, on construit le vecteur variation de vitesse $\Delta\vec{v} = \vec{v}(M_{i+1}) - \vec{v}(M_i)$ : on reporte les deux vecteurs vitesse à partir d'un même point, et $\Delta\vec{v}$ est la flèche qui va de la pointe de $\vec{v}(M_i)$ à la pointe de $\vec{v}(M_{i+1})$ (voir la figure). Le vecteur accélération a la même direction et le même sens que ce $\Delta\vec{v}$.

À retenir pour le contrôle : même quand la vitesse garde une norme constante, si sa direction change, alors $\Delta\vec{v} \neq \vec{0}$ et donc $\vec{a} \neq \vec{0}$. Un objet qui tourne à vitesse constante est quand même accéléré, c'est contre-intuitif, et c'est souvent ce que le sujet cherche à te faire dire.

D'où sortent ces formules : l'idée de dérivée

Pourquoi diviser par $2\tau$ et prendre $M_{i-1}M_{i+1}$ plutôt que $M_iM_{i+1}$ ? Parce qu'on veut la vitesse à l'instant de $M_i$, et prendre un intervalle symétrique autour de $M_i$ (le point d'avant et le point d'après) donne une bien meilleure estimation qu'un intervalle décalé d'un seul côté. C'est ce qu'on appelle une différence centrée.

En terminale, on fera tendre $\tau$ vers $0$ : la corde $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$ devient exactement tangente, et l'approximation devient une égalité. Le vecteur vitesse est alors la dérivée du vecteur position, et le vecteur accélération la dérivée du vecteur vitesse :

$\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t} \qquad \text{et} \qquad \vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}.$

Autrement dit, tes formules de 1re ($\vec{v} \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$ et $\vec{a} \approx \frac{\Delta\vec{v}}{\tau}$) sont les versions « avec des points » de ces dérivées. Rien à jeter : c'est le même objet, vu de plus près.

Le pont vers les forces : la deuxième loi de Newton

À quoi sert vraiment le vecteur accélération ? À le relier aux forces. La deuxième loi de Newton (que tu croises dès la 1re) dit que la somme des forces appliquées à un objet de masse $m$ est proportionnelle à son accélération :

$\displaystyle\sum \vec{F} = m\,\vec{a}.$

Conséquence directe : le vecteur accélération a toujours le même sens que la somme des forces. Si la somme des forces est nulle, alors $\vec{a} = \vec{0}$ : c'est le principe d'inertie, l'objet garde un mouvement rectiligne uniforme (ou reste immobile).

Un aperçu qui surprend : pour un objet en mouvement circulaire uniforme (il tourne à vitesse constante), la norme de $\vec{v}$ ne change pas, mais sa direction, si. Le vecteur accélération n'est donc pas nul : il pointe vers le centre du cercle. C'est cette accélération « centripète » qui maintient la Lune en orbite ou une voiture dans un virage, et c'est exactement le genre de mouvement que tu décortiqueras l'an prochain.