Vecteur vitesse et vecteur accélération

Décrire quantitativement le mouvement d'un objet grâce aux vecteurs vitesse et accélération.

1 L'idée

Pour étudier le mouvement d'un objet, on repère ses positions successives $M_0, M_1, M_2, \ldots$ à intervalles de temps réguliers $\tau$ (durée entre deux flashs en chronophotographie). Deux vecteurs synthétisent ce mouvement :

Le vecteur vitesse $\vec{v}$, tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, de norme égale à la vitesse scalaire (en m/s).
Le vecteur accélération $\vec{a}$, qui traduit la variation du vecteur vitesse ; il est nul si le mouvement est uniforme.

2 Formules

Vecteur vitesse approché

$\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}$

Norme — vitesse scalaire

$v_i = \|\vec{v}(M_i)\| = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} \quad \text{(en m/s)}$

Vecteur accélération approché

$\vec{a}(M_i) \approx \frac{\vec{v}(M_{i+1}) - \vec{v}(M_i)}{\tau}$

Norme — accélération

$a = \|\vec{a}\| = \frac{\Delta v}{\tau} \quad \text{(en m/s}^2\text{)}$

3 Exemples numériques

Calcul de v₁ en 2D

Données : $M_0(0{,}0\ ;\ 0{,}0)$, $M_2(8{,}0\ ;\ 6{,}0)$ en cm, $\tau = 0{,}20\ \text{s}$.

$\overrightarrow{M_0M_2} = (8{,}0\ ;\ 6{,}0)\ \text{cm}$

$\|\overrightarrow{M_0M_2}\| = \sqrt{8{,}0^2 + 6{,}0^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10{,}0\ \text{cm} = 0{,}100\ \text{m}$

$v_1 = \dfrac{0{,}100}{2 \times 0{,}20} = \dfrac{0{,}100}{0{,}40} = 0{,}25\ \text{m/s}$

Calcul de a₁ en ligne droite

Données : $v_1 = 0{,}25\ \text{m/s}$, $v_2 = 0{,}40\ \text{m/s}$, $\tau = 0{,}20\ \text{s}$.

$a_1 = \dfrac{v_2 - v_1}{\tau} = \dfrac{0{,}40 - 0{,}25}{0{,}20} = \dfrac{0{,}15}{0{,}20} = 0{,}75\ \text{m/s}^2$

Méthode — exploiter une chronophotographie

Repérer les positions $M_{i-1}$, $M_i$ et $M_{i+1}$ encadrant le point étudié.
Calculer $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$ : coordonnées de $M_{i+1}$ moins coordonnées de $M_{i-1}$.
Calculer la norme $M_{i-1}M_{i+1} = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$, puis convertir en mètres.
Appliquer $v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$.
Pour l'accélération : calculer $v_i$ et $v_{i+1}$, puis $a = \dfrac{v_{i+1}-v_i}{\tau}$.

Erreurs fréquentes

Utiliser $M_{i-1}M_i$ (un seul intervalle) au lieu de $M_{i-1}M_{i+1}$ dans la formule du vecteur vitesse.
Diviser par $\tau$ au lieu de $2\tau$ dans la formule du vecteur vitesse.
Ne pas convertir les distances de cm en m avant le calcul.
Confondre $\vec{a} = \vec{0}$ (mouvement uniforme) et vitesse nulle (objet à l'arrêt).
Oublier que si $v_{i+1} \lt v_i$, le vecteur $\vec{a}$ est de sens opposé au mouvement (décélération).