Lentilles et formation des images

Prévoir position, taille et nature de l'image formée par une lentille mince grâce à deux relations clés.

1 L'idée

Une lentille mince est un système optique transparent dont l'épaisseur est négligeable devant les autres distances. On distingue deux familles :

Lentilles convergentes (bords minces) : les rayons parallèles à l'axe convergent vers le foyer image F', situé à droite de la lentille. La distance focale $f' = \overline{OF'} \gt 0$.
Lentilles divergentes (bords épais) : les rayons semblent provenir d'un foyer image F' virtuel, situé à gauche de la lentille. $f' \lt 0$.

Le centre optique O est le point de la lentille que tout rayon traverse sans déviation. L'axe optique est la droite passant par O perpendiculairement au plan de la lentille.

2 Relations fondamentales

Distance focale image

$f' = \overline{OF'} \quad (f' \gt 0 \text{ convergente} \;;\ f' \lt 0 \text{ divergente})$

Vergence

$V = \dfrac{1}{f'} \quad \text{en dioptries } (\delta),\ f' \text{ en mètres}$

Relation de conjugaison

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$

Grandissement transversal

$\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

3 Conventions de signe

Toutes les distances sont algébriques, comptées depuis O sur l'axe orienté (sens de propagation de la lumière, de gauche à droite) :

Objet réel à gauche de O : $\overline{OA} \lt 0$.
Image réelle à droite de O : $\overline{OA'} \gt 0$.
Image virtuelle à gauche de O : $\overline{OA'} \lt 0$.

Le grandissement informe sur l'image : $\gamma \lt 0$ → image renversée ; $|\gamma| \gt 1$ → image agrandie ; $|\gamma| \lt 1$ → image réduite.

4 Application numérique

Lentille convergente : f' = 10 cm, objet à 30 cm

Données : $\overline{OA} = -30$ cm, $f' = +10$ cm.

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-30} = \dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$

$\overline{OA'} = +15$ cm → image réelle (à droite de O).

$\gamma = \dfrac{+15}{-30} = -0{,}5$ → image renversée et réduite.

Méthode — résoudre un problème de lentille

Identifier la lentille et relever $f'$ (convertir en mètres si on calcule $V$).
Écrire $\overline{OA}$ avec son signe (négatif pour un objet réel à gauche de O).
Appliquer la relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}$.
Calculer $\gamma = \overline{OA'} / \overline{OA}$ pour connaître taille et sens de l'image.
Conclure : image réelle si $\overline{OA'} \gt 0$, virtuelle si $\overline{OA'} \lt 0$.

Erreurs fréquentes

$\overline{OA}$ est négatif pour un objet réel : écrire $-30$ cm, jamais $+30$ cm.
La vergence $V = 1/f'$ exige $f'$ en mètres : $f' = 20$ cm $= 0{,}20$ m, donc $V = 5\,\delta$.
Ne pas confondre $|OA|$ et $\overline{OA}$ : travailler avec les valeurs algébriques jusqu'au bout.
Le grandissement : $\gamma = \overline{A'B'}/\overline{AB}$, et non l'inverse.