Contrôle bientôt, tu ouvres le chapitre pour la première fois, et il y a des petites barres bizarres au-dessus des lettres. Respire. Une lentille, c'est un morceau de verre qui range la lumière, et deux formules suffisent pour t'en sortir. On voit l'essentiel, rien de plus.

Les prérequis et les 3 mots à retenir

Ce qu'il faut déjà savoir faire :

  • additionner deux fractions (par exemple $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{-30}$) ;
  • accepter qu'une distance puisse être négative : ici on mesure toujours à partir du centre de la lentille, et le signe indique de quel côté on se trouve.

Les 3 mots à retenir :

  • Une lentille convergente (bords minces, comme une loupe) rassemble les rayons de lumière.
  • Le centre optique O est le point au milieu de la lentille : un rayon qui passe par O n'est pas dévié.
  • Le foyer image F' est l'endroit où se rejoignent tous les rayons arrivés parallèles à l'axe. La distance $f' = \overline{OF'}$ s'appelle la distance focale ($f' \gt 0$ pour une lentille convergente).

Sur le schéma ci-dessous, des rayons entrent parallèles à l'axe et ressortent en se croisant tous en F'. C'est la définition même du foyer image.

O F' f' rayons paralleles

Les deux formules clés

Un objet est placé devant la lentille ; on veut savoir où se forme son image, et quelle taille elle a. On note $A$ le pied de l'objet sur l'axe et $A'$ celui de l'image.

Formule 1 — la relation de conjugaison (où se forme l'image) :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$

Formule 2 — le grandissement (taille et sens de l'image) :

$\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

La règle de signe minimale à connaître : l'objet est réel, à gauche de O, donc $\overline{OA} \lt 0$ (par exemple $-30$ cm, jamais $+30$ cm). À la fin :

  • si $\overline{OA'} \gt 0$, l'image est réelle (à droite, on pourrait la voir sur un écran) ;
  • si $\gamma \lt 0$, l'image est renversée ; si $|\gamma| \lt 1$ elle est réduite, si $|\gamma| \gt 1$ elle est agrandie.

Un exemple fait en entier

Énoncé : lentille convergente de distance focale $f' = 10$ cm ; un objet est placé à $30$ cm devant elle. Où se forme l'image, et de quelle taille ?

Étape 1 — les données avec leur signe. L'objet est réel à gauche : $\overline{OA} = -30$ cm. La lentille est convergente : $f' = +10$ cm.

Étape 2 — la relation de conjugaison. On isole $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$ :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-30}$

Étape 3 — on calcule. $\dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30}$, donc $\dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$, ce qui donne $\overline{OA'} = \dfrac{30}{2} = +15$ cm.

Étape 4 — nature de l'image. $\overline{OA'} = +15$ cm $\gt 0$ : l'image est réelle, à $15$ cm derrière la lentille.

Étape 5 — grandissement. $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{+15}{-30} = -0{,}5$. L'image est renversée ($\gamma \lt 0$) et deux fois plus petite que l'objet ($|\gamma| = 0{,}5$).

Voilà : si tu sais poser les signes et faire les fractions, tu as le contrôle.

Ah oui, les fameuses barres au-dessus des lettres : les distances algébriques. En vrai tu l'as déjà croisé en classe, on remet juste de l'ordre dans tout ça. Voici le cours complet, propre, avec la méthode qui marche à tous les coups.

Vocabulaire et les deux familles de lentilles

Une lentille mince est un système optique transparent dont l'épaisseur est négligeable devant les autres distances. Deux éléments la décrivent :

  • le centre optique O : tout rayon passant par O traverse la lentille sans être dévié ;
  • l'axe optique : la droite passant par O, perpendiculaire au plan de la lentille, orientée dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite).

On distingue deux familles :

  • Les lentilles convergentes (bords minces) : les rayons parallèles à l'axe convergent en un point réel, le foyer image F', situé à droite. La distance focale $f' = \overline{OF'} \gt 0$.
  • Les lentilles divergentes (bords épais) : les rayons parallèles ressortent en s'écartant, comme s'ils provenaient d'un foyer image F' virtuel situé à gauche. Alors $f' \lt 0$.

À partir de la distance focale on définit la vergence :

$V = \dfrac{1}{f'}$, exprimée en dioptries $(\delta)$ quand $f'$ est en mètres.

Plus une lentille converge fort (foyer proche), plus sa vergence est grande.

Les conventions de signe (le nerf de la guerre)

Toutes les distances sont algébriques : elles sont comptées depuis O, avec un signe qui dépend du côté où se trouve le point sur l'axe orienté. C'est ce que rappelle la barre : $\overline{OA}$ n'est pas la même chose que la longueur $|OA|$.

Le tableau des signes à connaître :

  • Objet réel (à gauche de O) : $\overline{OA} \lt 0$.
  • Image réelle (à droite de O, observable sur un écran) : $\overline{OA'} \gt 0$.
  • Image virtuelle (à gauche de O, non projetable) : $\overline{OA'} \lt 0$.

Le grandissement $\gamma$ renseigne d'un coup sur l'image :

  • $\gamma \lt 0$ : image renversée (à l'envers) ; $\gamma \gt 0$ : image droite ;
  • $|\gamma| \gt 1$ : image agrandie ; $|\gamma| \lt 1$ : image réduite.

Retiens la logique : on garde les signes du début à la fin, et c'est le signe du résultat qui répond à la question « réelle ou virtuelle ? renversée ou droite ? ».

Relation de conjugaison, grandissement et construction

Les deux relations fondamentales du chapitre :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$   et   $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

Méthode pas à pas :

1) Repérer la lentille et relever $f'$ (le convertir en mètres si on veut la vergence).

2) Écrire $\overline{OA}$ avec son signe (négatif pour un objet réel).

3) Appliquer la relation de conjugaison sous la forme $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}$, puis inverser pour obtenir $\overline{OA'}$.

4) Calculer $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ pour la taille et le sens.

5) Conclure : réelle si $\overline{OA'} \gt 0$, virtuelle si $\overline{OA'} \lt 0$.

La construction géométrique (dessin) donne le même résultat sans calcul, avec des rayons dont on connaît le trajet. Pour un point B du haut de l'objet, on trace :

  • le rayon parallèle à l'axe, qui ressort en passant par F' ;
  • le rayon passant par le centre O, qui n'est pas dévié ;
  • le rayon passant par le foyer objet F, qui ressort parallèle à l'axe.

Les trois se croisent en B', le haut de l'image. Ci-dessous, un objet placé au-delà de $2f'$ donne une image réelle, renversée et réduite : exactement ce que dit le grandissement $\gamma \lt 0$, $|\gamma| \lt 1$.

O F F' A B A' B'

On sort le brouillon et on fait deux exemples ensemble, ligne par ligne. Tu suis le doigt, tu ne subis rien. À la fin, la méthode sera dans les mains, pas juste dans le cahier.

Exemple guidé : image réelle d'une lentille convergente

On le fait ensemble. Lentille convergente, $f' = 10$ cm, objet AB de $2$ cm de haut placé à $30$ cm devant la lentille. On veut la position, la nature et la taille de l'image.

Ligne 1 — on traduit l'énoncé en signes. « Objet réel à $30$ cm devant » se lit $\overline{OA} = -30$ cm. « Convergente » se lit $f' = +10$ cm. On note ce qu'on cherche : $\overline{OA'}$ puis $\gamma$.

Ligne 2 — on écrit la relation dans le bon sens. On veut $\overline{OA'}$, donc on isole son inverse : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}$.

Ligne 3 — on remplace. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-30}$.

Ligne 4 — même dénominateur. $\dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30}$, donc $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$.

Ligne 5 — on inverse (attention, on inverse à la fin, pas avant). $\overline{OA'} = \dfrac{30}{2} = +15$ cm.

Ligne 6 — on lit la nature. $\overline{OA'} \gt 0$ : image réelle, à $15$ cm derrière la lentille (on pourrait la recueillir sur un écran).

Ligne 7 — le grandissement. $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{+15}{-30} = -0{,}5$.

Ligne 8 — on traduit $\gamma$ en français. $\gamma \lt 0$ donc renversée ; $|\gamma| = 0{,}5 \lt 1$ donc réduite de moitié. La taille de l'image : $|\gamma| \times 2 = 1$ cm.

Exemple guidé : la loupe (objet tout près de la lentille)

On change un seul paramètre : on rapproche l'objet. Même lentille convergente $f' = 10$ cm, mais l'objet est maintenant à $5$ cm devant elle, donc entre O et le foyer. C'est le principe de la loupe. Regarde ce qui change.

Ligne 1 — signes. $\overline{OA} = -5$ cm, $f' = +10$ cm.

Ligne 2 — relation isolée. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-5}$.

Ligne 3 — même dénominateur. $\dfrac{1}{10} - \dfrac{2}{10} = -\dfrac{1}{10}$.

Ligne 4 — on inverse. $\overline{OA'} = -10$ cm.

Ligne 5 — surprise du signe. $\overline{OA'} \lt 0$ : l'image est virtuelle, à gauche de la lentille, du même côté que l'objet. On ne peut pas la projeter sur un écran, mais l'œil la voit.

Ligne 6 — grandissement. $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{-10}{-5} = +2$.

Ligne 7 — lecture. $\gamma \gt 0$ : image droite (dans le bon sens) ; $|\gamma| = 2 \gt 1$ : image agrandie deux fois. Voilà pourquoi une loupe grossit : objet dans la distance focale, image virtuelle, droite et agrandie.

Sur le schéma, les traits pleins sont les vrais rayons, les traits en pointillés sont leur prolongement en arrière : c'est là, à l'intersection des pointillés, que l'œil voit l'image virtuelle B'.

O F F' A B A' B' oeil de l observateur

Exemple guidé : de la distance focale à la vergence

Un réflexe de calcul rapide. On te donne une lentille de distance focale $f' = 20$ cm et on demande sa vergence.

Ligne 1 — le piège des unités. La vergence exige $f'$ en mètres. Donc $f' = 20$ cm $= 0{,}20$ m.

Ligne 2 — la formule. $V = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}20}$.

Ligne 3 — résultat. $V = 5$ dioptries, soit $V = 5\ \delta$.

À retenir : une focale plus courte donne une vergence plus grande (la lentille converge plus fort). Une lentille divergente aurait $f' \lt 0$, donc $V \lt 0$.

Niveau contrôle : le prof va te tendre des pièges gentils, surtout sur les signes et sur la lentille divergente que tout le monde oublie. On les désamorce un par un, et on rédige comme le correcteur aime.

Problème résolu : la lentille divergente

Le cas qui piège la classe. Lentille divergente de distance focale $f' = -15$ cm. Un objet réel est placé à $30$ cm devant elle. Position, nature, taille de l'image ?

Étape 1 — signes, et attention au signe de $f'$. Objet réel : $\overline{OA} = -30$ cm. Lentille divergente : $f' = -15$ cm (négatif, c'est la clé).

Étape 2 — relation isolée. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{-15} + \dfrac{1}{-30}$.

Étape 3 — même dénominateur. $\dfrac{1}{-15} = \dfrac{-2}{30}$, donc $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{-2}{30} + \dfrac{-1}{30} = \dfrac{-3}{30} = -\dfrac{1}{10}$.

Étape 4 — on inverse. $\overline{OA'} = -10$ cm.

Étape 5 — nature. $\overline{OA'} \lt 0$ : image virtuelle, à $10$ cm devant la lentille (même côté que l'objet).

Étape 6 — grandissement. $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{-10}{-30} = +\dfrac{1}{3} \approx +0{,}33$. Image droite et réduite au tiers.

Conclusion à énoncer : une lentille divergente donne toujours, d'un objet réel, une image virtuelle, droite et réduite, située entre O et F'. C'est un résultat général qu'on peut réutiliser pour se relire (si tu trouves une image réelle avec une divergente, tu t'es trompé de signe quelque part).

O F' F A B A' B'

Ce que le correcteur attend + pièges classiques

La rédaction qui rapporte tous les points :

  • écrire les données algébriques avec leur signe avant tout calcul ($\overline{OA} = -30$ cm, $f' = \dots$) ;
  • poser la relation de conjugaison littérale puis l'application numérique ;
  • donner $\overline{OA'}$ avec son unité et son signe ;
  • calculer $\gamma$, puis conclure par une phrase : réelle/virtuelle, droite/renversée, agrandie/réduite.

Les pièges à éviter (ils coûtent cher) :

  • Le signe de l'objet. $\overline{OA}$ est négatif pour un objet réel : écris $-30$ cm, jamais $+30$ cm. C'est l'erreur numéro un.
  • La vergence en centimètres. $V = \dfrac{1}{f'}$ exige $f'$ en mètres : $f' = 20$ cm $= 0{,}20$ m donne $V = 5\ \delta$ (et non $0{,}05$).
  • Confondre $|OA|$ et $\overline{OA}$. On garde les valeurs algébriques jusqu'au bout ; ne prends jamais la valeur absolue en cours de route.
  • Le grandissement à l'envers. C'est $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$ (image sur objet), et non l'inverse.
  • Inverser trop tôt. La relation donne d'abord $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$ ; on inverse seulement à la toute fin, une fois la fraction réduite.
  • Oublier le signe de $f'$ pour une divergente. Une divergente, c'est $f' \lt 0$ : si tu mets $f'$ positif, toute la suite est fausse.

Astuce d'autocontrôle : une convergente peut donner une image réelle (objet loin) ou virtuelle et agrandie (objet dans la focale, cas loupe) ; une divergente donne toujours une image virtuelle réduite. Si ton résultat contredit ça, relis tes signes.

Tu as tout pour le contrôle. Maintenant, un pas de côté : à quoi ça sert vraiment, d'où sortent ces formules qui semblent tomber du ciel, et où le sujet t'emmène l'an prochain.

À quoi ça sert vraiment : l'œil, l'appareil photo, la loupe

Ce chapitre n'est pas qu'un jeu de fractions : c'est le fonctionnement de tous les instruments d'optique.

  • L'œil est une lentille convergente (le cristallin) qui forme sur la rétine, qui joue le rôle d'écran, une image réelle et renversée — comme dans l'exemple du palier 2. Le cerveau la remet à l'endroit. C'est le sujet de la fiche voisine Modèle de l'œil, défauts et corrections.
  • L'appareil photo fait exactement pareil : l'objectif projette une image réelle sur le capteur.
  • La loupe, elle, utilise le cas « objet dans la focale » vu au palier 3 : image virtuelle, droite et agrandie.

Pour accommoder (voir net de près comme de loin), l'œil change la vergence de son cristallin : il déforme la lentille pour toujours ramener l'image sur la rétine. Myopie et hypermétropie sont des défauts de cette mise au point, corrigés par une lentille supplémentaire (convergente ou divergente selon le défaut).

cristallin retine objet image renversee

D'où vient la relation de conjugaison

La relation $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ n'est pas magique : elle se démontre avec de la simple géométrie du collège.

L'idée de la démonstration. Sur la construction, on trace les rayons caractéristiques et on repère des triangles semblables (théorème de Thalès). Le rayon passant par O donne un premier rapport de proportionnalité : $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. Le rayon passant par le foyer F' donne un second rapport faisant intervenir $f'$. En égalant les deux expressions du grandissement et en réarrangeant, on obtient exactement la relation de conjugaison.

Autrement dit : le grandissement se lit de deux façons (par O et par F'), et l'égalité de ces deux lectures est la relation de conjugaison. Cette formule porte le nom de relation de conjugaison de Descartes. La comprendre comme une conséquence de Thalès, et non comme une formule à réciter, est le vrai saut de niveau.

Aperçu de la suite

Quelques portes qui s'ouvrent au-delà du programme de 1re :

  • Lentilles accolées. Quand on colle deux lentilles minces, leurs vergences s'ajoutent : $V = V_1 + V_2$. C'est pour ça qu'on empile des lentilles dans un objectif photo, et comment on corrige finement un défaut de vision.
  • Instruments d'optique. Microscope et lunette astronomique combinent plusieurs lentilles : l'image de la première sert d'objet à la seconde. La méthode « conjugaison + grandissement » se répète, étage par étage.
  • Les limites du modèle. On a supposé la lentille mince et les rayons proches de l'axe. En vrai, les bords d'une lentille dévient trop : ce sont les aberrations, que les vrais objectifs corrigent avec plusieurs verres.
  • Le retour des ondes. Ce chapitre traite la lumière comme des rayons (optique géométrique). Plus tard, on la revoit comme une onde (diffraction, interférences) : deux descriptions complémentaires du même phénomène, la lumière.

Tu as construit ici une brique qui resservira partout où de la lumière traverse du verre. Pas mal pour un chapitre qui commençait par des barres au-dessus des lettres.