Modèle de l'œil, défauts et corrections

L'œil = une lentille + un écran

D'abord les prérequis, pour être sûr qu'on parle la même langue. Une lentille convergente fait converger la lumière ; sa vergence $V$ (en dioptries, notées D) mesure à quel point elle est convergente. Tu as déjà croisé la relation de conjugaison avec les lentilles minces, et le fait que les distances se comptent avec un signe (ce sont des mesures algébriques). C'est tout ce qu'il faut.

L'idée du chapitre tient en une phrase : on modélise l'œil par une lentille mince convergente (la cornée et le cristallin réunis), de centre optique $S$, placée devant un écran fixe — la rétine — situé à une distance $d \approx 17$ mm derrière. Pour voir net, l'image de ce que tu regardes doit se former pile sur la rétine.

Comme la rétine ne bouge pas, c'est le cristallin qui s'adapte : il change de courbure pour garder l'image nette selon que l'objet est loin ou près. Ce réglage automatique s'appelle l'accommodation.

Les formules à avoir sous la main :
Vergence : $V = \dfrac{1}{f'}$ (avec $V$ en D et $f'$, la distance focale, en m).
Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{SA'}} - \dfrac{1}{\overline{SA}} = V$.
Objet très loin (« à l'infini ») : le terme $\dfrac{1}{\overline{SA}}$ devient nul, et la vergence de l'œil au repos vaut $V_{\text{repos}} = \dfrac{1}{d}$.

Deux réflexes de signe qui sauvent des points : un objet réel est devant l'œil, à gauche de $S$, donc $\overline{SA} \lt 0$ ; l'image se forme sur la rétine, derrière, donc $\overline{SA'} \gt 0$. Et surtout : $d$ se met en mètres.

Un premier calcul pour se rassurer

Objectif : trouver la vergence de l'œil au repos (sans accommoder) quand il regarde au loin. On prend un œil normal, avec la rétine à $d = 17{,}0$ mm.

1. On convertit tout de suite en mètres : $d = 17{,}0$ mm $= 0{,}0170$ m.

2. L'objet est très loin (« à l'infini ») : $\overline{SA} \to -\infty$, donc $\dfrac{1}{\overline{SA}} = 0$.

3. L'image nette est sur la rétine : $\overline{SA'} = d = 0{,}0170$ m.

4. On applique la conjugaison : $V_{\text{repos}} = \dfrac{1}{\overline{SA'}} - \dfrac{1}{\overline{SA}} = \dfrac{1}{0{,}0170} - 0$.

5. Résultat : $V_{\text{repos}} \approx 58{,}8$ D. Voilà, ton œil au repos, c'est une lentille d'environ $59$ dioptries. Retiens surtout la démarche — convertir, poser les signes, appliquer la formule — c'est exactement ce qu'on te demandera.

Le modèle propre : accommodation, PR et PP

Le modèle. L'œil est modélisé par une lentille mince convergente de centre optique $S$ (cornée + cristallin) et par un écran fixe, la rétine, situé à $d \approx 17$ mm. Voir net, c'est former l'image exactement sur la rétine.

L'accommodation. Le cristallin peut modifier sa courbure, donc sa vergence. Ce mécanisme, qui permet de rester net quand l'objet se rapproche, s'appelle l'accommodation. Au repos, l'œil n'accommode pas ; en accommodant au maximum, il atteint sa vergence la plus grande.

On repère alors deux points limites du champ de vision nette.

Punctum Remotum (PR) : le point le plus éloigné vu net sans accommoder. Pour un œil normal, dit emmétrope, le PR est à l'infini (il voit net très loin, sans effort).

Punctum Proximum (PP) : le point le plus proche vu net avec l'accommodation maximale. Pour un jeune adulte emmétrope, le PP est à environ $25$ cm.

Entre le PP et le PR s'étend le domaine de vision nette : tout ce qui s'y trouve peut être vu net, le reste est flou.

Les relations à connaître

Quatre relations suffisent pour tout le chapitre.

Vergence. $V = \dfrac{1}{f'}$, avec $V$ en dioptries (D) et $f'$ (distance focale image) en mètres. Plus $V$ est grand, plus l'œil est convergent.

Relation de conjugaison (au centre optique $S$) : $\dfrac{1}{\overline{SA'}} - \dfrac{1}{\overline{SA}} = V$, où $\overline{SA}$ repère l'objet et $\overline{SA'}$ l'image (mesures algébriques, avec leur signe).

Œil au repos, objet à l'infini. Quand $\overline{SA} \to -\infty$, le terme $\dfrac{1}{\overline{SA}}$ tend vers $0$. L'image nette étant sur la rétine, $\overline{SA'} = d$, d'où $V_{\text{repos}} = \dfrac{1}{d}$. C'est la vergence minimale de l'œil.

Amplitude d'accommodation. $A = V_{\text{max}} - V_{\text{repos}}$ : l'écart entre la vergence maximale (accommodation maximale, objet au PP) et la vergence au repos. Elle se mesure aussi en dioptries.

Côté signes, garde le cap : objet réel devant l'œil $\Rightarrow \overline{SA} \lt 0$ ; image sur la rétine $\Rightarrow \overline{SA'} \gt 0$ ; et $d$ toujours en mètres.

Les trois défauts (et la presbytie)

Un défaut, c'est une image qui ne tombe pas là où il faut. Trois cas au programme.

Myopie. L'œil est trop convergent (ou trop long) : l'image d'un objet lointain se forme avant la rétine, d'où une vision floue de loin. Le PR n'est plus à l'infini mais à distance finie. On corrige avec une lentille divergente ($V \lt 0$).

Hypermétropie. L'œil n'est pas assez convergent (ou trop court) : l'image se formerait après la rétine. L'œil doit alors accommoder en permanence, même pour voir de loin, ce qui fatigue. On corrige avec une lentille convergente ($V \gt 0$).

Presbytie. Avec l'âge, le cristallin perd son élasticité : il accommode moins, l'amplitude d'accommodation diminue et le PP s'éloigne (on tend le journal à bout de bras). Ce n'est pas un défaut de forme de l'œil, mais une perte de souplesse. On corrige la vision de près avec une lentille convergente.

Exemple 1 — la vergence au repos (objet à l'infini)

Énoncé. Un œil emmétrope a sa rétine à $d = 17{,}0$ mm. Il regarde un objet très lointain. Quelle est sa vergence au repos ?

1. On convertit. $d = 17{,}0$ mm $= 0{,}0170$ m. (Le piège classique, c'est d'oublier cette conversion — on l'expédie tout de suite.)

2. On traduit « objet à l'infini ». L'objet est infiniment loin : $\overline{SA} \to -\infty$, donc $\dfrac{1}{\overline{SA}} = 0$.

3. On place l'image. Elle est nette sur la rétine : $\overline{SA'} = d = 0{,}0170$ m.

4. On applique la conjugaison. $V_{\text{repos}} = \dfrac{1}{\overline{SA'}} - \dfrac{1}{\overline{SA}} = \dfrac{1}{0{,}0170} - 0$.

5. On calcule. $V_{\text{repos}} = \dfrac{1}{0{,}0170} \approx 58{,}8$ D.

Conclusion. Au repos, l'œil emmétrope a une vergence d'environ $58{,}8$ D : c'est sa vergence minimale, celle qui suffit à voir net à l'infini sans forcer.

Exemple 2 — la vergence maximale et l'amplitude (objet au PP)

Énoncé. Le même œil ($d = 17{,}0$ mm) regarde maintenant un objet placé à son Punctum Proximum, à $25{,}0$ cm. On veut la vergence maximale, puis l'amplitude d'accommodation.

1. On place l'objet (avec son signe). Objet réel devant l'œil, à $25{,}0$ cm : $\overline{SA} = -0{,}250$ m. Surtout, ne pas oublier le signe moins.

2. L'image reste sur la rétine. $\overline{SA'} = +0{,}0170$ m.

3. Conjugaison. $V_{\text{max}} = \dfrac{1}{\overline{SA'}} - \dfrac{1}{\overline{SA}} = \dfrac{1}{0{,}0170} - \dfrac{1}{-0{,}250}$.

4. Attention au double signe. $-\dfrac{1}{-0{,}250} = +\dfrac{1}{0{,}250} = +4{,}0$, donc $V_{\text{max}} = 58{,}8 + 4{,}0 = 62{,}8$ D.

5. Amplitude. $A = V_{\text{max}} - V_{\text{repos}} = 62{,}8 - 58{,}8 = 4{,}0$ D.

Conclusion. Pour passer de « voir à l'infini » à « voir à $25$ cm », l'œil ajoute $4{,}0$ D en bombant son cristallin. C'est exactement ce que montre le schéma : peu bombé de loin, très bombé de près.

Problème résolu — corriger une myopie

Énoncé. Un myope voit net jusqu'à son Punctum Remotum situé à $2{,}00$ m ; au-delà, tout est flou. Quelle lentille correctrice (quelle vergence) lui faut-il ?

Idée physique. Le verre de lunette est placé devant l'œil. Il doit prendre un objet lointain (à l'infini) et en donner une image virtuelle pile au PR, à $2{,}00$ m : là, l'œil myope sait la voir nette. Le verre « rapproche » donc l'infini jusqu'au PR.

1. Objet à l'infini. $\overline{SA} \to -\infty$, donc $\dfrac{1}{\overline{SA}} = 0$.

2. Image au PR, du côté objet (donc virtuelle). Elle est à $2{,}00$ m devant le verre : $\overline{SA'} = -2{,}00$ m.

3. Vergence de correction. $V_{\text{corr}} = \dfrac{1}{\overline{SA'}} - \dfrac{1}{\overline{SA}} = \dfrac{1}{-2{,}00} - 0 = -0{,}50$ D.

4. Vérification du signe. $V_{\text{corr}} \lt 0$ : c'est bien une lentille divergente, exactement ce qu'il faut pour un myope. Cohérent.

Conclusion. Il faut un verre divergent de $-0{,}50$ D (chez l'opticien, on dirait « moins zéro cinquante »).

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Ce qui rapporte les points.

Convertir en mètres avant de calculer ($17$ mm $= 0{,}017$ m).
Écrire les mesures algébriques avec leur signe et le justifier (objet devant $\Rightarrow$ négatif ; image virtuelle du côté objet $\Rightarrow$ négative).
Poser la relation de conjugaison littéralement avant de remplacer les valeurs.
Donner la vergence en dioptries et conclure par une phrase de cohérence : « $V \lt 0$, donc lentille divergente, cohérent avec la myopie ».

La méthode générale pour choisir la correction.

1) Repérer où se forme l'image d'un objet lointain : avant la rétine $\Rightarrow$ myopie ; après $\Rightarrow$ hypermétropie.
2) Myopie $\Rightarrow$ lentille divergente ($V \lt 0$) ; hypermétropie $\Rightarrow$ lentille convergente ($V \gt 0$).
3) Poser l'objet à l'infini ($\overline{SA} \to -\infty$, donc $\dfrac{1}{\overline{SA}} = 0$) : l'image doit se former au PR (myopie) ou sur la rétine (hypermétropie).
4) Calculer $V_{\text{corr}} = \dfrac{1}{\overline{SA'}}$, puisque le terme en $\overline{SA}$ est nul.

Les pièges classiques (ceux qui coûtent cher).

Oublier la conversion : $d = 17$ mm $= 0{,}017$ m, et surtout pas $0{,}17$ m.
Oublier le signe de $\overline{SA}$ : un objet réel est à gauche de $S$, donc $\overline{SA} \lt 0$ ; un signe faux et tout le résultat bascule.
Croire que le myope voit toujours mal de près : faux — son PP peut être plus proche que celui d'un emmétrope, il voit souvent très bien de près.
Confondre presbytie et hypermétropie : la presbytie est une perte d'accommodation liée à l'âge, pas un défaut de forme de l'œil.

Pourquoi la vergence au repos vaut 1 sur d

On part de la seule relation qui compte, la conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{SA'}} - \dfrac{1}{\overline{SA}} = V$.

Étape 1 — l'objet est à l'infini. Regarder « au loin », c'est regarder un objet dont la distance devient énorme : $\overline{SA} \to -\infty$. Or diviser $1$ par un nombre de plus en plus grand donne un résultat de plus en plus petit : $\dfrac{1}{\overline{SA}} \to 0$. Ce terme disparaît.

Étape 2 — l'image est nette. Une image nette se forme sur la rétine, donc $\overline{SA'} = d$.

Étape 3 — on remplace. Il ne reste que $V_{\text{repos}} = \dfrac{1}{d} - 0 = \dfrac{1}{d}$. Voilà d'où vient la formule : ce n'est pas une règle à apprendre par cœur, c'est simplement la conjugaison dans le cas particulier de l'infini.

Au passage, comme $d$ est fixe, $V_{\text{repos}}$ est la plus petite vergence que l'œil puisse avoir : dès qu'il accommode, il ne fait qu'augmenter sa vergence au-dessus de cette valeur.

L'amplitude d'accommodation, autrement

On peut montrer que, pour un emmétrope, l'amplitude ne dépend que de la distance du PP. Reprenons $A = V_{\text{max}} - V_{\text{repos}}$.

1. Au repos : $V_{\text{repos}} = \dfrac{1}{d}$.

2. Objet au PP : $V_{\text{max}} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{\overline{SA_{\text{PP}}}}$ (la rétine est toujours à $\overline{SA'} = d$).

3. On soustrait, et le terme $\dfrac{1}{d}$ s'élimine : $A = \left(\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{\overline{SA_{\text{PP}}}}\right) - \dfrac{1}{d} = -\dfrac{1}{\overline{SA_{\text{PP}}}}$.

4. Pour un jeune emmétrope, $\overline{SA_{\text{PP}}} = -0{,}250$ m, donc $A = -\dfrac{1}{-0{,}250} = \dfrac{1}{0{,}250} = 4{,}0$ D. On retrouve bien le résultat de l'échauffement.

Ce que ça dit. La distance rétinienne $d$ a disparu : l'amplitude ne dépend que de la position du PP. Plus le PP est proche, plus l'amplitude est grande. Et ça explique la presbytie d'un coup : quand le PP s'éloigne avec l'âge, $\left|\overline{SA_{\text{PP}}}\right|$ augmente, donc $\dfrac{1}{\overline{SA_{\text{PP}}}}$ se rapproche de $0$, c'est-à-dire qu'il augmente algébriquement (il passe par exemple de $-4{,}0$ à $-1{,}0$ D) ; et comme $A = -\dfrac{1}{\overline{SA_{\text{PP}}}}$, $A$ diminue (de $4{,}0$ D à $1{,}0$ D). Attention au piège de signe : $\overline{SA_{\text{PP}}}$ est négatif, donc « le PP s'éloigne » veut dire « $\overline{SA_{\text{PP}}}$ devient plus négatif », pas « $1/\overline{SA_{\text{PP}}}$ diminue ». Tout se tient.

Les liens, et l'an prochain

Ce chapitre n'est qu'une application. La relation de conjugaison et les histoires de lentilles convergentes ou divergentes, tu les as vues dans « Lentilles et formation des images ». L'œil, c'est juste « une lentille + un écran » : le même tracé de rayons, les mêmes signes. Si tu sais construire l'image donnée par une lentille mince, tu sais déjà expliquer myopie, hypermétropie et leurs corrections.

Une subtilité qu'on a glissée sous le tapis. On a supposé le verre correcteur collé à l'œil. En réalité, les lunettes sont à quelques centimètres devant, et les vraies corrections en tiennent compte (c'est aussi pour ça que lunettes et lentilles de contact n'ont pas exactement la même valeur). Rien d'exigé au programme, mais c'est là que le modèle simple montre ses limites.

Un avant-goût de l'an prochain. En terminale, on n'assemble plus une seule lentille mais plusieurs pour fabriquer de vrais instruments d'optique — la lunette astronomique par exemple : un objectif forme une image intermédiaire, qu'un oculaire agrandit pour l'œil. Et côté « ondes et signaux », la lumière se révélera aussi une onde (diffraction, interférences). Ton œil restera le tout premier instrument optique que tu auras appris à modéliser.