Ondes mécaniques : célérité, période, longueur d'onde

Ce qu'il faut savoir avant de commencer

Rien de neuf n'est demandé, juste trois réflexes :

• Une vitesse, c'est une distance divisée par une durée (des mètres par seconde).
• Les unités de base : le mètre (m) pour une longueur, la seconde (s) pour une durée, le hertz (Hz) pour une fréquence.
• Savoir isoler une inconnue dans une égalité : si $v = \dfrac{\lambda}{T}$, alors $\lambda = v \times T$ et $T = \dfrac{\lambda}{v}$.

En mots simples : une onde mécanique, c'est une perturbation qui voyage dans un milieu (l'eau, l'air, le sol). Elle transporte de l'énergie mais pas de matière : chaque point du milieu bouge sur place, seule la perturbation avance. Pense à une vague : elle traverse le lac, mais l'eau, elle, reste à peu près au même endroit.

Quand la source répète toujours le même mouvement (source périodique), on décrit l'onde avec trois grandeurs : la période $T$ (en s), la célérité $v$ (en m·s$^{-1}$) et la longueur d'onde $\lambda$ (en m).

La formule qui sauve, plus un exemple

Retiens surtout ces trois relations, elles se déduisent l'une de l'autre :

$f = \dfrac{1}{T}$ (la fréquence $f$ en Hz est l'inverse de la période $T$ en s).

$\lambda = v \times T = \dfrac{v}{f}$ (la longueur d'onde est la distance parcourue pendant une période).

$v = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda \times f$ (la relation « maîtresse » : c'est elle qu'on réutilise le plus).

Sur la figure, $\lambda$ est simplement la distance entre deux crêtes qui se suivent.

Exemple entièrement traité. Un son a une fréquence $f = 440 \text{ Hz}$ et se propage dans l'air à $v = 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$. Quelle est sa longueur d'onde ?

1) On repère les données : $v = 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$, $f = 440 \text{ Hz}$, inconnue $\lambda$.

2) On choisit la relation avec $v$, $f$ et $\lambda$ : $\lambda = \dfrac{v}{f}$.

3) On remplace : $\lambda = \dfrac{340}{440}$.

4) On calcule : $\lambda \approx 0{,}77 \text{ m}$.

Réponse : la longueur d'onde vaut environ $0{,}77 \text{ m}$, soit à peu près $77 \text{ cm}$. Voilà, tu sais déjà traiter la question la plus fréquente.

Définitions propres

Une onde mécanique progressive est une perturbation qui se propage dans un milieu matériel. Le mot « progressive » dit qu'elle avance ; le mot « mécanique » dit qu'il lui faut un milieu (l'eau, l'air, un solide) — elle ne se propage pas dans le vide.

Point clé : l'onde transporte de l'énergie, pas de matière. Les particules du milieu oscillent autour de leur position d'équilibre et y reviennent ; elles ne partent pas avec l'onde. Un bouchon sur l'eau monte et descend au passage de la vague, il n'est pas emporté (voir figure).

Exemples à connaître : les vagues à la surface de l'eau, les ondes sonores dans l'air, les ondes sismiques dans le sol.

Une onde est dite périodique lorsque la source répète indéfiniment le même mouvement : c'est le cas qui permet de définir $T$, $v$ et $\lambda$.

Les trois grandeurs et leur sens physique

Période $T$ (en s) : durée d'une oscillation complète de la source. Chaque point du milieu reproduit le même mouvement au bout d'une durée $T$.

Célérité $v$ (en m·s$^{-1}$) : vitesse à laquelle la perturbation avance dans le milieu. Elle dépend du milieu (sa nature, sa température…) et pas de la source. Par exemple : $v_{\text{son, air}} \approx 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ et $v_{\text{son, eau}} \approx 1500 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Longueur d'onde $\lambda$ (en m) : distance parcourue par la perturbation pendant une période. C'est aussi la distance entre deux points consécutifs en phase (deux crêtes qui se suivent, par exemple).

Astuce pour ne plus confondre : il y a deux périodicités. Si tu prends une photo de l'onde à un instant donné et que tu regardes l'espace, le motif se répète tous les $\lambda$ (en mètres). Si tu fixes un seul point et que tu le regardes dans le temps, le motif se répète toutes les $T$ (en secondes). $\lambda$ vit dans l'espace, $T$ vit dans le temps.

Les relations, la méthode et deux exemples

Les trois relations à connaître :

$f = \dfrac{1}{T}$ ; $\quad \lambda = v \times T = \dfrac{v}{f}$ ; $\quad v = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda \times f$.

Méthode pas à pas.

1) Identifier les grandeurs connues ($v$, $T$, $f$, $\lambda$) et l'inconnue.

2) Rappeler la relation fondamentale : $v = \lambda \times f = \dfrac{\lambda}{T}$.

3) Isoler l'inconnue algébriquement, puis remplacer par les valeurs numériques.

4) Vérifier les unités : $[v] = \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, $[\lambda] = \text{m}$, $[T] = \text{s}$, $[f] = \text{Hz}$.

Exemple A — longueur d'onde d'un son. Données : $f = 440 \text{ Hz}$, $v = 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

$\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340}{440} \approx 0{,}77 \text{ m}$.

Exemple B — célérité d'une vague. Données : $\lambda = 3{,}0 \text{ m}$, $T = 2{,}0 \text{ s}$.

$v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{3{,}0}{2{,}0} = 1{,}5 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

La figure ci-dessous montre le graphe temporel d'un point : la période $T$ se lit entre deux maxima.

Ensemble 1 — trouver une longueur d'onde

Énoncé. Un diapason émet un son de fréquence $f = 440 \text{ Hz}$ dans l'air, où la célérité du son vaut $v = 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$. Calcule sa longueur d'onde $\lambda$.

On lit l'énoncé : on nous donne $f$ et $v$, on cherche $\lambda$. C'est donc la relation qui relie ces trois-là qu'il faut.

On écrit la relation : $\lambda = \dfrac{v}{f}$ (inutile de passer par $T$, on gagne une étape).

On remplace, en gardant les unités en tête : $\lambda = \dfrac{340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}{440 \text{ Hz}}$.

On calcule : $\lambda \approx 0{,}77 \text{ m}$.

On conclut par une phrase : la longueur d'onde de ce son dans l'air vaut environ $0{,}77 \text{ m}$. Petit contrôle de bon sens : quelques dizaines de centimètres pour un son, c'est crédible.

Ensemble 2 — remonter à la célérité

Énoncé. À la surface d'un lac, on mesure une distance $\lambda = 3{,}0 \text{ m}$ entre deux crêtes voisines, et chaque oscillation dure $T = 2{,}0 \text{ s}$. Calcule la célérité $v$ de la vague.

Traduction des mots : « distance entre deux crêtes voisines » c'est $\lambda$, « durée d'une oscillation » c'est $T$. On cherche $v$.

On choisit la relation avec $v$, $\lambda$ et $T$ : $v = \dfrac{\lambda}{T}$.

On remplace : $v = \dfrac{3{,}0 \text{ m}}{2{,}0 \text{ s}}$.

On calcule : $v = 1{,}5 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Vérification des unités : des mètres divisés par des secondes donnent bien des $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, c'est une vitesse. Réponse cohérente.

Ensemble 3 — le piège des unités

Énoncé. Une onde le long d'une corde a une longueur d'onde $\lambda = 25 \text{ cm}$ et une période $T = 50 \text{ ms}$. Calcule sa célérité $v$ en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Ici tout est piégé dans les unités : avant tout calcul, on convertit dans les unités du Système international (mètres et secondes).

Conversion 1 : $\lambda = 25 \text{ cm} = 25 \times 10^{-2} \text{ m} = 0{,}25 \text{ m}$.

Conversion 2 : $T = 50 \text{ ms} = 50 \times 10^{-3} \text{ s} = 0{,}050 \text{ s}$.

On applique la relation : $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{0{,}25}{0{,}050}$.

On calcule : $v = 5{,}0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Le réflexe à garder : si on avait laissé les cm et les ms, le résultat aurait été faux d'un facteur $10$. On convertit d'abord, on calcule ensuite.

La subtilité qui rapporte des points

Retiens bien ce partage des rôles : la fréquence $f$ (et donc la période $T$) est fixée par la source ; la célérité $v$ est fixée par le milieu. Conséquence directe : quand une onde change de milieu, $f$ ne change pas, mais $v$ change — donc $\lambda = \dfrac{v}{f}$ change aussi.

Problème résolu. Une source émet un son de fréquence $f = 200 \text{ Hz}$. On donne $v_{\text{air}} = 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ et $v_{\text{eau}} = 1500 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$. Compare la longueur d'onde dans l'air et dans l'eau.

Dans l'air : $\lambda_{\text{air}} = \dfrac{v_{\text{air}}}{f} = \dfrac{340}{200} = 1{,}7 \text{ m}$.

Dans l'eau : $\lambda_{\text{eau}} = \dfrac{v_{\text{eau}}}{f} = \dfrac{1500}{200} = 7{,}5 \text{ m}$.

Conclusion : la fréquence est la même ($200 \text{ Hz}$ des deux côtés), mais comme le son va plus vite dans l'eau, sa longueur d'onde y est bien plus grande. C'est exactement ce que montre le schéma : même $f$, deux $\lambda$.

Problème résolu — tout lire sur les graphes

Énoncé. On dispose de deux graphes d'une même onde. Sur le graphe spatial (une photo à un instant donné), on lit une longueur d'onde $\lambda = 0{,}40 \text{ m}$. Sur le graphe temporel (un point suivi dans le temps), on lit une période $T = 0{,}20 \text{ s}$. Détermine la fréquence $f$ puis la célérité $v$.

Étape clé : ne pas confondre les deux graphes. Sur l'axe en mètres, l'écart qui se répète est $\lambda$. Sur l'axe en secondes, l'écart qui se répète est $T$.

Fréquence : $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}20} = 5{,}0 \text{ Hz}$.

Célérité : $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{0{,}40}{0{,}20} = 2{,}0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ (ou, de façon équivalente, $v = \lambda \times f = 0{,}40 \times 5{,}0 = 2{,}0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$).

Ce que le correcteur attend : la relation écrite en lettres avant l'application numérique, les unités présentes à chaque étape, un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données, et une phrase de conclusion. Donner deux méthodes qui tombent sur le même $v$ montre que le résultat est maîtrisé.

Les pièges classiques et comment les éviter

La liste des erreurs qui coûtent le plus cher :

• Confondre $T$ et $f$. $T$ est en secondes, $f$ en hertz, et $f = \dfrac{1}{T}$. Une période de $0{,}20 \text{ s}$ donne $5 \text{ Hz}$, pas $0{,}20 \text{ Hz}$.
• Croire que la célérité dépend de la fréquence. $v$ dépend du milieu, pas de la source. Changer la note (donc $f$) ne change pas la vitesse du son dans l'air.
• Oublier de convertir. Un $\lambda$ en cm ou un $T$ en ms doit repasser en m et en s avant tout calcul.
• Assimiler la longueur d'onde à un déplacement de matière. Les particules oscillent sur place ; seule la perturbation avance. $\lambda$ est une distance sur la forme de l'onde, pas un trajet fait par une particule.

Mini check-list avant de rendre : relation en lettres, conversions faites, unité finale correcte, phrase de conclusion. Quatre réflexes, souvent quatre points.

Pourquoi la longueur d'onde vaut la célérité fois la période

La formule $\lambda = v \times T$ n'est pas tombée du ciel, on peut la reconstruire. Par définition, la célérité est une distance divisée par une durée : $v = \dfrac{\text{distance}}{\text{durée}}$.

Prenons comme durée exactement une période $T$. Pendant ce temps, la perturbation parcourt une distance $d = v \times T$.

Or, pendant une période pile, la source a fait une oscillation complète et le motif de l'onde s'est reproduit une fois. La distance parcourue pendant cette période est donc, par définition, la longueur d'onde : $d = \lambda$.

En rapprochant les deux, on obtient $\lambda = v \times T$, et comme $f = \dfrac{1}{T}$, aussi $\lambda = \dfrac{v}{f}$. C'est ce que montre la figure : en une durée $T$, l'onde avance d'une longueur $\lambda$.

Les ponts vers d'autres notions

Ces trois grandeurs se retrouvent partout, pas seulement dans les vagues :

• Son et musique. La hauteur d'un son (grave ou aigu) est liée à sa fréquence : plus $f$ est grande, plus le son est aigu. Le diapason à $440 \text{ Hz}$ de nos exemples, c'est le « la » de référence des musiciens.
• Changement de milieu. On l'a vu : quand $v$ change et que $f$ reste fixe, $\lambda$ change. C'est le point de départ pour comprendre plus tard pourquoi une onde peut dévier en passant d'un milieu à un autre.
• La lumière aussi est une onde. Elle n'est pas mécanique (elle traverse le vide), mais elle possède elle aussi une fréquence et une longueur d'onde — la couleur y joue le rôle que la hauteur joue pour le son. Tu croiseras ça en détail en Terminale.

Un aperçu de la Terminale

L'an prochain, le même vocabulaire ($T$, $v$, $\lambda$, $f$) sert de socle à des phénomènes plus riches :

• La diffraction. Quand une onde passe par une ouverture étroite, elle s'étale au lieu d'aller tout droit (voir figure). L'effet est d'autant plus marqué que l'ouverture est petite devant $\lambda$.
• Les interférences. Deux ondes qui se rencontrent peuvent s'additionner ou s'annuler selon leur décalage — une histoire de $\lambda$, encore.
• L'effet Doppler. Une source qui se rapproche ou s'éloigne modifie la fréquence perçue : c'est pourquoi la sirène d'une ambulance change de son quand elle te dépasse.

Autrement dit, tout ce que tu viens d'apprendre ici n'est pas un chapitre isolé : c'est la grammaire de base de toutes les ondes. La maîtriser maintenant, c'est préparer le terrain pour l'an prochain.