Physique-Chimie · Terminale

Bilan énergétique — Rendement

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique. On va poser les bases du bilan énergétique et du rendement en partant de ce que tu sais déjà sur l'énergie. L'objectif : que tu sois capable de reconnaître et d'utiliser la formule du rendement d'ici la fin de cette fiche. On y va ensemble, étape par étape.

Prérequis : les formes d'énergie et la conservation

Tu as déjà rencontré plusieurs formes d'énergie au collège et en seconde : énergie cinétique (liée au mouvement), énergie potentielle (liée à la position, par exemple de pesanteur), énergie thermique (liée à la température), énergie électrique, énergie lumineuse, énergie chimique...

La conservation de l'énergie est un principe fondamental : l'énergie ne se crée pas et ne se détruit pas, elle se transforme d'une forme en une autre. Quand tu allumes une lampe, l'énergie électrique est convertie en énergie lumineuse ET en énergie thermique (la lampe chauffe). La quantité totale d'énergie reste la même.

L'idée du rendement

Dans un convertisseur d'énergie (moteur, panneau solaire, pile, lampe...), on fournit une certaine énergie, notée E_fournie. Une partie de cette énergie est convertie en l'effet recherché : c'est l'énergie utile, notée E_utile. Le reste est dissipé, généralement sous forme de chaleur : ce sont les pertes, notées E_perdue.

Le rendement, noté par la lettre grecque η (êta), mesure l'efficacité de la conversion. Il compare l'énergie utile à l'énergie fournie.

Formule à retenir absolument :

$$\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}}$$

Le rendement est un nombre sans unité, toujours compris entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %). Un rendement de 1 (ou 100 %) signifierait une conversion parfaite, sans aucune perte, ce qui est impossible dans la réalité.

Bilan d'énergie

La conservation de l'énergie se traduit par le bilan :

$$E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}$$

Ce bilan permet de calculer les pertes si on connaît l'énergie fournie et l'énergie utile, ou inversement.

À toi de jouer

1. On le fait ensemble. Une lampe à incandescence reçoit une énergie électrique $E_{\text{fournie}} = 100$ J. Elle produit $E_{\text{utile}} = 5$ J d'énergie lumineuse. Le reste est dissipé sous forme de chaleur.

Complète les phrases et les calculs :

a) L'énergie utile est l'énergie $\underline{\hspace{1.1em}}$ (mot). L'énergie perdue est l'énergie $\underline{\hspace{1.1em}}$ (mot).
b) $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
c) Le rendement $\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Ce rendement, exprimé en pourcentage, est $\eta_{\%} = \underline{\hspace{1.1em}} \times 100 = \underline{\hspace{1.1em}} \%$.

Corrigé

a) L'énergie utile est l'énergie lumineuse. L'énergie perdue est l'énergie thermique (ou chaleur).
b) $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = 100 - 5 = 95$ J.
c) Le rendement $\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \frac{5}{100} = 0,05$.
d) Ce rendement, exprimé en pourcentage, est $\eta_{\%} = 0,05 \times 100 = 5\%$.

2. Un moteur électrique reçoit une énergie électrique $E_{\text{fournie}} = 500$ J. Il convertit cette énergie en énergie mécanique (utile) avec un rendement $\eta = 0,80$.

Complète :
a) $E_{\text{utile}} = \eta \times E_{\text{fournie}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
b) $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.
c) Le rendement en pourcentage est $\underline{\hspace{1.1em}} \%$.

Corrigé

a) $E_{\text{utile}} = \eta \times E_{\text{fournie}} = 0,80 \times 500 = 400$ J.
b) $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = 500 - 400 = 100$ J.
c) Le rendement en pourcentage est $80\%$.

3. Parmi les valeurs suivantes, entoure celles qui peuvent correspondre à un rendement :
$\underline{\hspace{1.1em}}$ 1,2
$\underline{\hspace{1.1em}}$ 0,75
$\underline{\hspace{1.1em}}$ 150 %
$\underline{\hspace{1.1em}}$ 0,01
$\underline{\hspace{1.1em}}$ 1,0
$\underline{\hspace{1.1em}}$ -0,5

Corrigé

Un rendement doit être compris entre 0 et 1 (ou 0 % et 100 %). Les valeurs possibles sont : 0,75, 0,01 et 1,0 (même si 1,0 est un cas idéal).
1,2 et 150 % sont supérieurs à 1 (impossible). -0,5 est négatif (impossible).

Ah, le rendement, cette petite lettre grecque qui revient tout le temps... Tu te souviens maintenant : énergie utile sur énergie fournie. On va remettre tout ça en place proprement, avec la méthode de calcul pas à pas, et on s'entraîne sur des cas concrets. Prêt à transformer l'essai ?

Rappel structuré : les formules du rendement

1. Bilan d'énergie (conservation) :

$$E_{\text{fournie}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}}$$

2. Rendement à partir des énergies :

$$\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}}$$

3. Rendement à partir des puissances (valable si les puissances sont constantes) :

$$\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}}$$

4. En pourcentage :

$$\eta_{\%} = \eta \times 100$$

5. Rendement d'une chaîne de convertisseurs :

$$\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots \times \eta_n$$

Attention : le rendement global est un produit, jamais une somme ou une moyenne !

Méthode pas à pas : calculer un rendement

Étape 1 : Identifier clairement l'énergie fournie (ce qui "entre" dans le convertisseur) et l'énergie utile (l'effet recherché, ce qui "sort" d'utile).

Étape 2 : Vérifier que les deux énergies sont exprimées dans la même unité (joules, kilojoules, kilowattheures...). Si ce n'est pas le cas, convertir.

Étape 3 : Appliquer la formule $\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}}$.

Étape 4 : Multiplier par 100 si l'énoncé demande un pourcentage.

Étape 5 (chaîne) : Multiplier les rendements successifs pour obtenir le rendement global.

Erreurs fréquentes à éviter

$\eta > 1$ : impossible physiquement. Si tu trouves un rendement supérieur à 1 (ou 100 %), tu as probablement inversé $E_{\text{utile}}$ et $E_{\text{fournie}}$.
Additionner les rendements d'une chaîne au lieu de les multiplier.
Oublier de convertir les unités (par exemple, mélanger des kJ et des J).
Confondre énergie et puissance : $\eta = P_{\text{utile}} / P_{\text{fournie}}$ n'est valable que si les puissances sont constantes et mesurées sur la même durée.

À toi de jouer

1. Un moteur thermique reçoit une énergie chimique $E_{\text{fournie}} = 900$ J par cycle et produit une énergie mécanique utile $E_{\text{utile}} = 270$ J.

Complète les étapes de la méthode :

a) Énergie fournie = $\underline{\hspace{1.1em}}$ J, énergie utile = $\underline{\hspace{1.1em}}$ J. Même unité ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).
b) $\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) En pourcentage : $\eta_{\%} = \underline{\hspace{1.1em}} \times 100 = \underline{\hspace{1.1em}} \%$.
d) Énergie perdue : $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J.

Corrigé

a) Énergie fournie = 900 J, énergie utile = 270 J. Même unité ? oui.
b) $\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \frac{270}{900} = 0,30$.
c) En pourcentage : $\eta_{\%} = 0,30 \times 100 = 30\%$.
d) Énergie perdue : $E_{\text{perdue}} = 900 - 270 = 630$ J.

2. Un chauffe-eau solaire a un rendement $\eta = 60\%$. Il reçoit une énergie solaire $E_{\text{fournie}} = 15,0$ kWh en une journée.

Complète :
a) $\eta$ en décimal : $\eta = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{100} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) $E_{\text{utile}} = \eta \times E_{\text{fournie}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ kWh.
c) $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ kWh.
d) Vérification du bilan : $E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ kWh. Est-ce égal à $E_{\text{fournie}}$ ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).

Corrigé

a) $\eta$ en décimal : $\eta = \frac{60}{100} = 0,60$.
b) $E_{\text{utile}} = 0,60 \times 15,0 = 9,0$ kWh.
c) $E_{\text{perdue}} = 15,0 - 9,0 = 6,0$ kWh.
d) Vérification : $9,0 + 6,0 = 15,0$ kWh. Est-ce égal à $E_{\text{fournie}}$ ? oui.

3. Un transformateur électrique reçoit une puissance $P_{\text{fournie}} = 4,0$ kW. Les pertes par effet Joule sont de $P_{\text{perdue}} = 200$ W.

Attention aux unités !

Complète :
a) Conversion de $P_{\text{fournie}}$ en W : $4,0$ kW = $\underline{\hspace{1.1em}}$ W.
b) $P_{\text{utile}} = P_{\text{fournie}} - P_{\text{perdue}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ W.
c) $\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) En pourcentage : $\eta_{\%} = \underline{\hspace{1.1em}} \%$.

Corrigé

a) Conversion : $4,0$ kW = 4000 W.
b) $P_{\text{utile}} = 4000 - 200 = 3800$ W.
c) $\eta = \frac{3800}{4000} = 0,95$.
d) En pourcentage : $\eta_{\%} = 95\%$.

Maintenant que la méthode est claire, on passe au pilotage automatique. Cinq exercices quasi identiques pour ancrer le calcul du rendement. Tu vas voir, à la fin, ce sera un réflexe. Prêt pour le cinq sur cinq ?

À toi de jouer

1. Exercice 1
Un panneau solaire reçoit une énergie lumineuse $E_{\text{fournie}} = 800$ J. Il produit une énergie électrique utile $E_{\text{utile}} = 160$ J.
Calcule le rendement $\eta$ (en décimal puis en pourcentage) et l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$.

Corrigé

$\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \frac{160}{800} = 0,20$, soit $20\%$.
$E_{\text{perdue}} = 800 - 160 = 640$ J.

2. Exercice 2
Une éolienne reçoit une énergie cinétique du vent $E_{\text{fournie}} = 2 500$ J. Elle produit une énergie électrique utile $E_{\text{utile}} = 1 000$ J.
Calcule le rendement $\eta$ (en décimal puis en pourcentage) et l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$.

Corrigé

$\eta = \frac{1000}{2500} = 0,40$, soit $40\%$.
$E_{\text{perdue}} = 2500 - 1000 = 1500$ J.

3. Exercice 3
Une pile à combustible reçoit une énergie chimique $E_{\text{fournie}} = 1 200$ J. Elle produit une énergie électrique utile $E_{\text{utile}} = 600$ J.
Calcule le rendement $\eta$ (en décimal puis en pourcentage) et l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$.

Corrigé

$\eta = \frac{600}{1200} = 0,50$, soit $50\%$.
$E_{\text{perdue}} = 1200 - 600 = 600$ J.

4. Exercice 4
Un moteur électrique reçoit une énergie électrique $E_{\text{fournie}} = 3 000$ J. Il produit une énergie mécanique utile $E_{\text{utile}} = 2 550$ J.
Calcule le rendement $\eta$ (en décimal puis en pourcentage) et l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$.

Corrigé

$\eta = \frac{2550}{3000} = 0,85$, soit $85\%$.
$E_{\text{perdue}} = 3000 - 2550 = 450$ J.

5. Exercice 5
Une lampe fluocompacte reçoit une énergie électrique $E_{\text{fournie}} = 60$ J. Elle produit une énergie lumineuse utile $E_{\text{utile}} = 15$ J.
Calcule le rendement $\eta$ (en décimal puis en pourcentage) et l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$.

Corrigé

$\eta = \frac{15}{60} = 0,25$, soit $25\%$.
$E_{\text{perdue}} = 60 - 15 = 45$ J.

Tu maîtrises le calcul simple. Passons aux choses sérieuses : des exercices de type contrôle, avec des conversions d'unités, des calculs de puissance, et surtout la fameuse chaîne de rendements. C'est le moment de montrer que tu sais analyser des situations plus complexes. Reste méthodique, et tout ira bien.

À toi de jouer

1. Exercice 1 : Moteur thermique
Un moteur thermique reçoit, à chaque cycle, une énergie chimique $E_{\text{fournie}} = 750$ J issue de la combustion du carburant et produit une énergie mécanique $E_{\text{utile}} = 225$ J. La durée d'un cycle est $\Delta t = 40$ ms.

a) Calcule l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$ par cycle.
b) Calcule le rendement $\eta$ du moteur, exprimé en pourcentage.
c) Calcule la puissance mécanique développée $P_{\text{mec}}$ en W.

Corrigé

a) $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = 750 - 225 = 525$ J.
b) $\eta = \frac{225}{750} = 0,30$, soit $30\%$.
c) $P_{\text{mec}} = \frac{E_{\text{utile}}}{\Delta t} = \frac{225}{40 \times 10^{-3}} = 5\,625$ W, soit $5,6$ kW (en arrondissant).

2. Exercice 2 : Chauffe-eau solaire
Un chauffe-eau solaire thermique a un rendement $\eta = 70\%$. Il reçoit une énergie solaire $E_{\text{fournie}} = 10,0$ kWh en une journée.

a) Calcule l'énergie thermique utile $E_{\text{utile}}$ transmise à l'eau.
b) Calcule l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$.
c) Vérifie la cohérence de tes résultats en appliquant le bilan d'énergie.

Corrigé

a) $E_{\text{utile}} = \eta \times E_{\text{fournie}} = 0,70 \times 10,0 = 7,0$ kWh.
b) $E_{\text{perdue}} = E_{\text{fournie}} - E_{\text{utile}} = 10,0 - 7,0 = 3,0$ kWh.
c) $E_{\text{utile}} + E_{\text{perdue}} = 7,0 + 3,0 = 10,0$ kWh, ce qui est bien égal à $E_{\text{fournie}}$. Le bilan est vérifié.

3. Exercice 3 : Transformateur électrique
Un transformateur fonctionne en régime continu. Il reçoit une puissance $P_{\text{fournie}} = 8,0$ kW ; les pertes par effet Joule sont $P_{\text{perdue}} = 240$ W.

a) Calcule la puissance utile $P_{\text{utile}}$ délivrée en sortie.
b) Calcule le rendement $\eta$ du transformateur, exprimé en pourcentage.
c) Si le transformateur fonctionne pendant $t = 1,5$ h, calcule l'énergie perdue $E_{\text{perdue}}$ en joules.

Corrigé

a) Conversion : $P_{\text{fournie}} = 8,0$ kW $= 8\,000$ W.
$P_{\text{utile}} = P_{\text{fournie}} - P_{\text{perdue}} = 8\,000 - 240 = 7\,760$ W.
b) $\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}} = \frac{7\,760}{8\,000} = 0,97$, soit $97\%$.
c) $t = 1,5$ h $= 1,5 \times 3\,600 = 5\,400$ s.
$E_{\text{perdue}} = P_{\text{perdue}} \times t = 240 \times 5\,400 = 1\,296\,000$ J, soit environ $1,3 \times 10^6$ J.

4. Exercice 4 : Centrale à gaz — Chaîne de conversion
Une centrale à gaz convertit l'énergie chimique du méthane en électricité en deux étapes :
Étape 1 — turbine à gaz : rendement $\eta_1 = 40\%$.
Étape 2 — alternateur : rendement $\eta_2 = 95\%$.

a) Calcule le rendement global $\eta_{\text{global}}$ de la centrale.
b) La centrale consomme $E_{\text{fournie}} = 4\,000$ GJ de méthane en une heure. Calcule l'énergie électrique produite $E_{\text{élec}}$.
c) Déduis-en la puissance électrique moyenne $P_{\text{élec}}$, exprimée en MW.

Corrigé

a) $\eta_{\text{global}} = \eta_1 \times \eta_2 = 0,40 \times 0,95 = 0,38$, soit $38\%$.
b) $E_{\text{élec}} = \eta_{\text{global}} \times E_{\text{fournie}} = 0,38 \times 4\,000 = 1\,520$ GJ.
c) $t = 1$ h $= 3\,600$ s. $E_{\text{élec}} = 1\,520$ GJ $= 1\,520 \times 10^9$ J.
$P_{\text{élec}} = \frac{E_{\text{élec}}}{t} = \frac{1\,520 \times 10^9}{3\,600} \approx 4,22 \times 10^8$ W, soit $422$ MW.

5. Exercice 5 : Temps de retour énergétique d'un panneau solaire
Un panneau solaire photovoltaïque de surface $S = 1,5$ m² présente un rendement $\eta = 22\%$. L'irradiance solaire (puissance lumineuse reçue par mètre carré) est $I = 1\,000$ W/m².

a) Calcule la puissance lumineuse totale reçue $P_{\text{fournie}}$ par le panneau.
b) Calcule la puissance électrique $P_{\text{élec}}$ produite par le panneau.
c) Calcule l'énergie électrique produite en une heure, exprimée en kWh.
d) On estime à 1 200 kWh l'énergie de fabrication du panneau (énergie grise). En supposant 4 heures d'ensoleillement efficace par jour, calcule le temps de retour énergétique en jours, puis en années (1 an = 365 jours).

Corrigé

a) $P_{\text{fournie}} = I \times S = 1\,000 \times 1,5 = 1\,500$ W.
b) $P_{\text{élec}} = \eta \times P_{\text{fournie}} = 0,22 \times 1\,500 = 330$ W.
c) $E_{\text{élec}} = P_{\text{élec}} \times t = 330 \times 1 = 330$ Wh $= 0,330$ kWh.
d) Énergie produite par jour : $E_{\text{jour}} = 0,330 \times 4 = 1,32$ kWh.
Temps de retour en jours : $\frac{1\,200}{1,32} \approx 909$ jours.
Temps de retour en années : $\frac{909}{365} \approx 2,5$ ans (soit environ 2 ans et demi).

Tu es au point sur le rendement ? Parfait. On va maintenant pousser la réflexion un cran au-dessus. Ces exercices te préparent aux attentes du supérieur : analyse critique, optimisation, et mise en relation avec d'autres notions comme la résistance thermique ou le pouvoir calorifique. De quoi aborder sereinement la physique post-bac.

À toi de jouer

1. Exercice 1 : Comparaison de deux technologies de chauffage
Un particulier hésite entre deux systèmes de chauffage pour sa maison :
- Un radiateur électrique à effet Joule, de rendement $\eta = 100\%$ (toute l'énergie électrique est convertie en chaleur dans la pièce).
- Une pompe à chaleur (PAC) qui, pour une énergie électrique fournie $E_{\text{fournie}} = 1$ kWh, transfère une énergie thermique utile $E_{\text{utile}} = 3$ kWh à l'intérieur de la maison (le reste est prélevé sur l'air extérieur).

a) Le rendement de la PAC, tel qu'on l'a défini dans ce chapitre, dépasse-t-il 1 ? Est-ce physiquement acceptable selon la définition stricte du rendement ?
b) Pourquoi utilise-t-on plutôt le terme de coefficient de performance (COP) pour la PAC, défini comme $COP = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}}$, et pourquoi celui-ci peut-il être supérieur à 1 ?
c) En considérant le système global (maison + environnement extérieur), explique qualitativement pourquoi le principe de conservation de l'énergie n'est pas violé.

Corrigé

a) Selon la définition $\eta = E_{\text{utile}} / E_{\text{fournie}}$, la PAC aurait un rendement de $3/1 = 3$, soit $300\%$. Ceci est inacceptable pour un rendement au sens strict, car il ne peut dépasser 1 (ou 100 %) pour un convertisseur qui transforme une forme d'énergie en une autre.
b) La PAC ne "convertit" pas l'électricité en chaleur : elle transfère de la chaleur d'une source froide (l'extérieur) vers une source chaude (l'intérieur) en utilisant l'électricité comme énergie de pompage. Le COP peut être supérieur à 1 car l'énergie utile provient majoritairement de l'environnement extérieur, et non de la seule électricité fournie.
c) Le bilan global reste conservé : l'énergie thermique fournie à la maison (3 kWh) est la somme de l'énergie électrique consommée (1 kWh) et de l'énergie thermique prélevée à l'extérieur (2 kWh). L'énergie totale est conservée, mais la PAC a "déplacé" de la chaleur plutôt que de la créer.

2. Exercice 2 : Optimisation d'une chaîne de conversion
Une installation industrielle utilise une chaîne de trois convertisseurs successifs, de rendements respectifs $\eta_1 = 0,90$, $\eta_2 = 0,80$ et $\eta_3 = 0,70$.

a) Calcule le rendement global actuel de la chaîne.
b) L'ingénieur envisage d'améliorer le rendement d'un seul des trois convertisseurs de 10 points de pourcentage (par exemple, passer $\eta_2$ de $0,80$ à $0,90$).
Détermine, sans refaire tous les calculs, quel convertisseur il vaut mieux améliorer pour maximiser le rendement global. Justifie ta réponse en analysant l'impact de chaque amélioration sur le produit.
c) Vérifie ton raisonnement en calculant le rendement global dans les trois cas d'amélioration possible.

Corrigé

a) $\eta_{\text{global}} = 0,90 \times 0,80 \times 0,70 = 0,504$, soit $50,4\%$.
b) Dans un produit, une amélioration relative a le même impact quel que soit le terme amélioré. Augmenter le plus petit rendement ($\eta_3 = 0,70$) donne la plus forte augmentation relative : passer de $0,70$ à $0,80$ correspond à une augmentation de $14,3\%$, contre $12,5\%$ pour $\eta_2$ et $11,1\%$ pour $\eta_1$. C'est donc $\eta_3$ qu'il faut améliorer en priorité.
c) Amélioration de $\eta_1$ : $1,00 \times 0,80 \times 0,70 = 0,560$ ($56,0\%$).
Amélioration de $\eta_2$ : $0,90 \times 0,90 \times 0,70 = 0,567$ ($56,7\%$).
Amélioration de $\eta_3$ : $0,90 \times 0,80 \times 0,80 = 0,576$ ($57,6\%$).
L'amélioration de $\eta_3$ donne bien le meilleur rendement global.

3. Exercice 3 : Rendement et résistance thermique (ouverture vers la thermodynamique)
Un mur sépare l'intérieur d'une maison (à $20^\circ$C) de l'extérieur (à $0^\circ$C). La puissance thermique (flux de chaleur) qui traverse le mur est donnée par la loi : $P_{\text{perdue}} = \frac{\Delta T}{R_{\text{th}}}$, où $\Delta T$ est la différence de température et $R_{\text{th}}$ la résistance thermique du mur.

Un radiateur électrique maintient la température intérieure constante en fournissant une puissance $P_{\text{fournie}}$. On considère que cette puissance est entièrement convertie en chaleur dans la pièce.

a) Exprime le rendement du système de chauffage (vu comme le rapport de la puissance utile au maintien de la température sur la puissance fournie) en fonction de $P_{\text{fournie}}$, $\Delta T$ et $R_{\text{th}}$.
b) Si $R_{\text{th}} = 2,5$ K/W et $\Delta T = 20$ K, quelle puissance $P_{\text{fournie}}$ minimale faut-il pour maintenir la température ? Quel est alors le rendement ?
c) Comment évolue le rendement si on améliore l'isolation (c'est-à-dire si on augmente $R_{\text{th}}$) ? Interprète physiquement.

Corrigé

a) La puissance utile est celle qui compense exactement les pertes thermiques à travers le mur. D'après la loi donnée :

$P_{\text{utile}} = P_{\text{perdue}} = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}}$

Le rendement est donc :

$$\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}} = \frac{\Delta T / R_{\text{th}}}{P_{\text{fournie}}} = \frac{\Delta T}{P_{\text{fournie}} \cdot R_{\text{th}}}$$

Cette expression est bien une fonction des trois grandeurs $P_{\text{fournie}}$, $\Delta T$ et $R_{\text{th}}$. On remarque que $\eta \leq 1$ : le rendement est maximal (égal à 1) uniquement lorsque la puissance fournie est exactement égale aux pertes, c'est-à-dire au minimum nécessaire.

b) Pour maintenir la température, le radiateur doit au minimum compenser toutes les pertes :

$P_{\text{fournie, min}} = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{th}}} = \dfrac{20}{2{,}5} = 8 \text{ W}$

Le rendement à cette puissance minimale est :

$\eta = \dfrac{\Delta T / R_{\text{th}}}{P_{\text{fournie, min}}} = \dfrac{8}{8} = 1$, soit $100\%$.

Toute la puissance fournie sert effectivement à compenser les pertes : rien n'est « gaspillé ».

c) Si on améliore l'isolation (augmentation de $R_{\text{th}}$), le flux de pertes $P_{\text{perdue}} = \Delta T / R_{\text{th}}$ diminue. La puissance minimale à fournir est donc plus faible.
Le rendement — au sens strict du rapport $\eta = \Delta T / (P_{\text{fournie}} \cdot R_{\text{th}})$ — reste égal à $100\%$ si le radiateur fonctionne au minimum, mais ce minimum lui-même est réduit. Le bénéfice réel de l'isolation n'est pas d'augmenter $\eta$ (qui est déjà maximal), mais de réduire la puissance nécessaire et donc la consommation énergétique du bâtiment. Cela illustre la limite du concept de rendement pour les systèmes de chauffage : ce qui compte ici est la performance énergétique globale, qui intègre à la fois les pertes et la puissance absorbée.