Lunette astronomique — Exercices

Du réglage afocal au problème complet. Corrigé détaillé en fin de fiche.

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1Grossissement et longueur/ 3 pts

Une lunette astronomique est réglée sur l'infini. Son objectif a une distance focale $f'_{\text{obj}} = 60$ cm et son oculaire $f'_{\text{oc}} = 2{,}5$ cm.

Calculer le grossissement $G$ de cette lunette. L'image est-elle droite ou renversée ?
Calculer la longueur $\overline{O_1 O_2}$ de la lunette dans ce réglage.
On remplace l'oculaire par un autre de distance focale $f'_{\text{oc}} = 5{,}0$ cm. Quel est le nouveau grossissement ?

2Image intermédiaire/ 4 pts

Un télescope de jardin possède un objectif de distance focale $f'_{\text{obj}} = 60$ cm. On observe un arbre situé à $3{,}00$ m de l'objectif ($\overline{O_1 A} = -300$ cm).

L'arbre peut-il être considéré comme un objet à l'infini au sens optique ? Justifier par un calcul de rapport.
En appliquant la relation de conjugaison, calculer la position $\overline{O_1 A'}$ de l'image intermédiaire formée par l'objectif.
Comparer $\overline{O_1 A'}$ à $f'_{\text{obj}}$. La lunette est-elle rigoureusement en réglage afocal pour cet objet ?

3Observer la Lune/ 4 pts

On observe la Lune avec une lunette afocale ($f'_{\text{obj}} = 90$ cm, $f'_{\text{oc}} = 3{,}0$ cm). Vue à l'œil nu, la Lune sous-tend un angle $\alpha = 0{,}50°$. La limite de résolution angulaire de l'œil est $\varepsilon = 1' = \dfrac{1}{60}°$.

Calculer $|G|$, le grossissement de la lunette.
Calculer $|\alpha'|$, l'angle sous lequel le diamètre de la Lune est vu à travers la lunette.
La Lune apparaît-elle comme un disque étendu à travers la lunette ? Justifier par comparaison avec $\varepsilon$.

4Concevoir une lunette/ 5 pts

Un astronome amateur souhaite construire une lunette afocale de grossissement $|G| = 45$ avec un oculaire de distance focale $f'_{\text{oc}} = 2{,}0$ cm.

Calculer la distance focale $f'_{\text{obj}}$ requise pour l'objectif.
Calculer la longueur totale de la lunette.
Seul un objectif de $f'_{\text{obj}} = 88$ cm est disponible en magasin. Quel grossissement $|G'|$ obtient-on avec cet objectif et le même oculaire ? Une planète sous-tendant $\alpha = 4{,}0 \times 10^{-4}$ rad apparaîtra sous quel angle $|\alpha'|$ à travers cette lunette ?

Corrigé détaillé

1Grossissement et longueur

a) $G = -\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}} = -\dfrac{60}{2{,}5} =$ $G = -24 \quad (\text{image renversée car } G \lt 0)$

b) $\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}} = 60 + 2{,}5 =$ $62{,}5 \text{ cm}$

c) $G = -\dfrac{60}{5{,}0} =$ $-12 \quad \text{Le grossissement est divisé par deux.}$

2Image intermédiaire

a) $\dfrac{|\overline{O_1 A}|}{f'_{\text{obj}}} = \dfrac{300}{60} = 5$ $\text{Ce rapport est trop faible (idéalement } \gg 1\text{) : l'arbre n'est pas à l'infini au sens optique.}$

b) $\dfrac{1}{\overline{O_1 A'}} = \dfrac{1}{f'_{\text{obj}}} + \dfrac{1}{\overline{O_1 A}} = \dfrac{1}{60} + \dfrac{1}{-300} = \dfrac{5-1}{300} = \dfrac{4}{300}$ $\overline{O_1 A'} = \dfrac{300}{4} = 75 \text{ cm}$

c) $\overline{O_1 A'} = 75 \text{ cm} \gt f'_{\text{obj}} = 60 \text{ cm}$ $\text{L'image est au-delà de } F'_{\text{obj}} \text{ : la lunette n'est pas en réglage afocal pour cet objet.}$

3Observer la Lune

a) $|G| = \dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}} = \dfrac{90}{3{,}0} =$ $30$

b) $|\alpha'| = |G| \times \alpha = 30 \times 0{,}50° =$ $15°$

c) $|\alpha'| = 15° \gg \varepsilon = \dfrac{1}{60}° \approx 0{,}017°$ $\text{Oui : } 15° \gg \varepsilon \text{, la Lune apparaît bien comme un disque étendu.}$

4Concevoir une lunette

a) $|G| = \dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}} \Rightarrow f'_{\text{obj}} = |G| \times f'_{\text{oc}} = 45 \times 2{,}0 =$ $90 \text{ cm}$

b) $\overline{O_1 O_2} = 90 + 2{,}0 =$ $92 \text{ cm}$

c) $|G'| = \dfrac{88}{2{,}0} = 44 \quad ; \quad |\alpha'| = 44 \times 4{,}0 \times 10^{-4} =$ $1{,}76 \times 10^{-2} \text{ rad}$