Tu n'as jamais entendu parler de lunette astronomique et le contrôle est dans deux jours ? Pas de panique, on va te rendre fonctionnel assez vite. On rappelle d'abord les indispensables sur les lentilles, puis on entre dans le vif du sujet avec la lunette afocale. Tout ça avec des petits trous à compléter pour te guider.
Prérequis : les lentilles convergentes
Une lentille convergente est caractérisée par sa distance focale $f'$, positive, qui représente la distance entre le centre optique $O$ et le foyer image $F'$. Si un objet est situé à l'infini (comme une étoile), tous les rayons arrivent parallèles à l'axe optique et convergent en $F'$. L'image se forme donc à une distance $f'$ derrière la lentille, elle est réelle, renversée et plus petite.
La lunette astronomique en un clin d'œil
Une lunette astronomique est composée de deux lentilles convergentes coaxiales. La première, de grande distance focale, s'appelle l'objectif (distance focale $f'_{\text{obj}}$). La seconde, de courte distance focale, s'appelle l'oculaire (distance focale $f'_{\text{oc}}$). La lunette est dite afocale (réglée sur l'infini) lorsque le foyer image de l'objectif $F'_{\text{obj}}$ coïncide avec le foyer objet de l'oculaire $F_{\text{oc}}$.
Dans ces conditions :
L'image finale est à l'infini, l'œil n'accommode pas.
La longueur de la lunette (distance entre les centres optiques $O_1$ et $O_2$) est $\overline{O_1 O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$.
Le grossissement angulaire $G$ (rapport entre l'angle sous lequel on voit l'image à travers la lunette et l'angle sous lequel on voit l'objet à l'œil nu) est :
$$ G = -\frac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}} $$
Le signe négatif indique que l'image est renversée. On utilise souvent la valeur absolue $|G|$ pour parler du grossissement.
À toi de jouer
1. Complète le texte suivant avec les mots proposés (certains peuvent être utilisés plusieurs fois) : convergentes, objectif, oculaire, afocale, coïncide, infini. Une lunette astronomique est un système optique formé de deux lentilles coaxiales. La première, de grande distance focale, s'appelle l' ; la seconde, de courte distance focale, l'. La lunette est dite lorsque le foyer image de l'objectif avec le foyer objet de l'oculaire. Dans ces conditions, l'image finale est à l'.
Corrigé
Une lunette astronomique est un système optique formé de deux lentilles convergentes coaxiales. La première, de grande distance focale, s'appelle l'objectif ; la seconde, de courte distance focale, l'oculaire. La lunette est dite afocale lorsque le foyer image de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire. Dans ces conditions, l'image finale est à l'infini.
2. Complète les formules essentielles ci-dessous : Grossissement : $G = -\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ Longueur de la lunette afocale : $\overline{O_1O_2} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
3. Application numérique simple : une lunette afocale a pour distances focales $f'_{\text{obj}} = 80$ cm et $f'_{\text{oc}} = 4$ cm. Complète les étapes de calcul : $G = -\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc l'image est (droite/renversée). La longueur de la lunette est $\overline{O_1O_2} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$G = -\frac{80}{4} = -20$, donc l'image est renversée (car $G < 0$). Longueur : $\overline{O_1O_2} = 80 + 4 = 84$ cm.
Ah oui, je me souviens, on l'a vue en cours. On réactive ça proprement. Voici la méthode structurée et des exercices pour vérifier que tu sais appliquer. Là encore, les trous t'aident à ne rien oublier.
Rappel de cours : la lunette afocale
Une lunette astronomique est constituée d'un objectif et d'un oculaire, deux lentilles convergentes. L'objet (astre) est à l'infini, donc les rayons arrivent parallèles à l'axe. L'objectif en forme une image intermédiaire située exactement dans son plan focal image, à une distance $f'_{\text{obj}}$ derrière l'objectif. Cette image est réelle, renversée et plus petite. L'oculaire agit comme une loupe et renvoie cette image à l'infini si son foyer objet coïncide avec le foyer image de l'objectif. La lunette est alors afocale.
1. Repérer les données : $f'_{\text{obj}}$ et $f'_{\text{oc}}$ sont généralement fournies. 2. Pour une lunette afocale, appliquer directement $G = -\frac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}$ et $\overline{O_1O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$. 3. Interpréter le signe de $G$ : négatif = image renversée, positif = image droite (rare pour une lunette astronomique simple). 4. Si l'objet n'est pas à l'infini (objet proche), utiliser la relation de conjugaison $\frac{1}{\overline{O_1A'}} - \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{1}{f'_{\text{obj}}}$ pour déterminer la position de l'image intermédiaire.
À toi de jouer
1. Une lunette afocale a pour distances focales $f'_{\text{obj}} = 60$ cm et $f'_{\text{oc}} = 2{,}5$ cm. Complète les calculs : $G = -\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc l'image est (droite/renversée). Longueur : $\overline{O_1O_2} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
2. On remplace l'oculaire par un autre de distance focale $f'_{\text{oc}} = 5{,}0$ cm. Complète le nouveau grossissement : $G = -\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$G = -\frac{60}{5{,}0} = -12$. Le grossissement est divisé par deux.
3. Une lunette afocale mesure $90$ cm de long. L'objectif a une distance focale $f'_{\text{obj}} = 85$ cm. Détermine $f'_{\text{oc}}$ et le grossissement $G$.
Corrigé
La lunette est afocale, donc $\overline{O_1O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}}$, d'où $f'_{\text{oc}} = \overline{O_1O_2} - f'_{\text{obj}} = 90 - 85 = 5{,}0$ cm. Grossissement : $G = -\frac{85}{5{,}0} = -17$.
On automatise le calcul. Cinq fois la même chose, avec des nombres qui changent. Tu verras, ça rentre tout seul. Complète les trous, c'est mécanique.
À toi de jouer
1. 1. $f'_{\text{obj}} = 50$ cm, $f'_{\text{oc}} = 2$ cm. $G = -\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\overline{O_1O_2} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Maintenant on passe aux exercices type contrôle. Plus de trous, à toi de jouer. Tu vas résoudre des problèmes complets, avec des questions qui demandent de réfléchir un peu, comme au bac. Prends ton temps, et pense à la méthode.
À toi de jouer
1.Exercice 1 : Grossissement et longueur Une lunette astronomique est réglée sur l'infini. Son objectif a une distance focale $f'_{\text{obj}} = 80$ cm et son oculaire $f'_{\text{oc}} = 2{,}5$ cm. 1) Calculer le grossissement $G$ de cette lunette. L'image est-elle droite ou renversée ? 2) Calculer la longueur $\overline{O_1 O_2}$ de la lunette dans ce réglage. 3) On remplace l'oculaire par un autre de distance focale $f'_{\text{oc}} = 5{,}0$ cm. Quel est le nouveau grossissement ?
Corrigé
1) $G = -\frac{80}{2{,}5} = -32$. L'image est renversée car $G<0$. 2) $\overline{O_1 O_2} = 80 + 2{,}5 = 82{,}5$ cm. 3) $G = -\frac{80}{5{,}0} = -16$.
2.Exercice 2 : Image intermédiaire Un télescope de jardin possède un objectif de distance focale $f'_{\text{obj}} = 50$ cm. On observe un arbre situé à $4{,}00$ m de l'objectif ($\overline{O_1 A} = -400$ cm). 1) L'arbre peut-il être considéré comme un objet à l'infini au sens optique ? Justifier par un calcul de rapport. 2) En appliquant la relation de conjugaison, calculer la position $\overline{O_1 A'}$ de l'image intermédiaire formée par l'objectif. 3) Comparer $\overline{O_1 A'}$ à $f'_{\text{obj}}$. La lunette est-elle rigoureusement en réglage afocal pour cet objet ?
Corrigé
1) On compare la distance de l'objet à la focale : $\frac{|\overline{O_1A}|}{f'_{\text{obj}}} = \frac{400}{50} = 8$. Ce rapport est faible (on considère un objet à l'infini quand ce rapport est très grand, typiquement >100). L'arbre n'est pas à l'infini optiquement. 2) Relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{O_1A'}} = \frac{1}{f'_{\text{obj}}} + \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{1}{50} + \frac{1}{-400} = \frac{8-1}{400} = \frac{7}{400}$, donc $\overline{O_1A'} = \frac{400}{7} \approx 57{,}1$ cm. 3) $\overline{O_1A'} \approx 57{,}1 > 50$, donc l'image est au-delà du foyer image de l'objectif. La lunette n'est pas afocale pour cet objet.
3.Exercice 3 : Observer la Lune On observe la Lune avec une lunette afocale ($f'_{\text{obj}} = 100$ cm, $f'_{\text{oc}} = 4{,}0$ cm). Vue à l'œil nu, la Lune sous-tend un angle $\alpha = 0{,}50°$. La limite de résolution angulaire de l'œil est $\varepsilon = 1' = \frac{1}{60}°$. 1) Calculer $|G|$, le grossissement de la lunette. 2) Calculer $|\alpha'|$, l'angle sous lequel le diamètre de la Lune est vu à travers la lunette. 3) La Lune apparaît-elle comme un disque étendu à travers la lunette ? Justifier par comparaison avec $\varepsilon$.
Corrigé
1) $|G| = \frac{100}{4} = 25$. 2) $|\alpha'| = |G| \times \alpha = 25 \times 0{,}50 = 12{,}5° = 750$ minutes d'arc. 3) $750'$ est très supérieur à $1'$, donc la Lune apparaît comme un disque bien étendu, bien résolu par l'œil.
4.Exercice 4 : Concevoir une lunette Un astronome amateur souhaite construire une lunette afocale de grossissement $|G| = 40$ avec un oculaire de distance focale $f'_{\text{oc}} = 2{,}5$ cm. 1) Calculer la distance focale $f'_{\text{obj}}$ requise pour l'objectif. 2) Calculer la longueur totale de la lunette. 3) Seul un objectif de $f'_{\text{obj}} = 95$ cm est disponible en magasin. Quel grossissement $|G'|$ obtient-on avec cet objectif et le même oculaire ? 4) Une planète sous-tendant $\alpha = 5{,}0 \times 10^{-4}$ rad apparaîtra sous quel angle $|\alpha'|$ à travers cette lunette ?
Curieux de voir ce qui t'attend après le bac ? On dépasse le programme avec des situations où la lunette n'est plus parfaitement afocale et on utilise les relations de conjugaison pour les deux lentilles. C'est un aperçu de l'optique géométrique post-bac, où l'on étudie des systèmes optiques complexes.
À toi de jouer
1.Exercice 1 : Observation d'un objet terrestre On utilise une lunette astronomique de distances focales $f'_{\text{obj}} = 50$ cm et $f'_{\text{oc}} = 2{,}0$ cm pour observer un parterre de fleurs situé à $5{,}00$ m devant l'objectif. La lunette est réglée en configuration afocale pour un objet à l'infini, c'est-à-dire que $\overline{O_1O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}} = 52$ cm. 1) Déterminer par le calcul la position de l'image intermédiaire $\overline{O_1A'}$ formée par l'objectif. 2) L'image intermédiaire sert d'objet pour l'oculaire. Où se trouve-t-elle par rapport au foyer objet de l'oculaire ? Calculer la distance $\overline{F_{\text{oc}}A'}$. 3) En déduire la position de l'image finale $\overline{O_2A''}$ formée par l'oculaire en utilisant la relation de conjugaison pour l'oculaire. 4) L'image finale est-elle à l'infini ? L'œil doit-il accommoder ? 5) Conclure sur la notion de lunette afocale : est-elle adaptée pour observer un objet proche ?
Corrigé
1) Relation de conjugaison pour l'objectif : $\frac{1}{\overline{O_1A'}} = \frac{1}{f'_{\text{obj}}} + \frac{1}{\overline{O_1A}} = \frac{1}{50} + \frac{1}{-500} = \frac{10-1}{500} = \frac{9}{500}$, donc $\overline{O_1A'} = \frac{500}{9} \approx 55{,}6$ cm. 2) $\overline{O_2A'} = \overline{O_1A'} - \overline{O_1O_2} = 55{,}6 - 52 = 3{,}6$ cm. Le foyer objet de l'oculaire $F_{\text{oc}}$ est à $f'_{\text{oc}} = 2{,}0$ cm à gauche de $O_2$, donc $\overline{O_2F_{\text{oc}}} = -2{,}0$ cm (sens algébrique). La distance $\overline{F_{\text{oc}}A'} = \overline{O_2A'} - \overline{O_2F_{\text{oc}}} = 3{,}6 - (-2{,}0) = 5{,}6$ cm à droite de $F_{\text{oc}}$. 3) Relation de conjugaison pour l'oculaire (on prend $\overline{O_2A'} = 3{,}6$ cm comme objet): $\frac{1}{\overline{O_2A''}} = \frac{1}{f'_{\text{oc}}} + \frac{1}{\overline{O_2A'}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3{,}6} = \frac{1{,}8 + 1}{3{,}6} = \frac{2{,}8}{3{,}6}$, donc $\overline{O_2A''} = \frac{3{,}6}{2{,}8} \approx 1{,}3$ cm (image réelle à droite de l'oculaire). 4) Non, l'image finale n'est pas à l'infini, elle est réelle à 1,3 cm de l'oculaire. L'œil doit accommoder pour voir cette image nette. 5) Une lunette réglée afocale pour l'infini n'est pas adaptée à l'observation d'objets proches car l'image finale n'est pas à l'infini, ce qui fatigue l'œil.
2.Exercice 2 : Réglage pour un œil myope Un observateur myope ne peut pas voir nettement au-delà de $50$ cm. Il souhaite utiliser une lunette astronomique ($f'_{\text{obj}} = 80$ cm, $f'_{\text{oc}} = 4{,}0$ cm) pour observer la Lune sans lunettes correctrices. L'objectif forme toujours l'image intermédiaire à sa distance focale. On suppose l'œil placé contre l'oculaire. 1) Rappeler la distance $\overline{O_1O_2}$ en configuration afocale. 2) On décale l'oculaire d'une distance $d = \overline{O_1O_2}$ inconnue. Exprimer $\overline{O_2A'}$ en fonction de $f'_{\text{obj}}$ et $d$. 3) On souhaite que l'image finale soit réelle et située à $50$ cm de l'oculaire ($\overline{O_2A''} = 50$ cm). En utilisant la relation de conjugaison pour l'oculaire, déterminer la nouvelle distance $\overline{O_2A'}$ (position de l'objet pour l'oculaire). 4) En déduire la distance $d$ entre l'objectif et l'oculaire nécessaire. 5) Comparer cette distance à la distance afocale. Faut-il rapprocher ou éloigner l'oculaire ?
Corrigé
1) En configuration afocale, l'image intermédiaire $A'$ se trouve dans le plan focal objet de l'oculaire : $\overline{O_1O_2} = f'_{\text{obj}} + f'_{\text{oc}} = 80 + 4{,}0 = 84$ cm.
2) Pour un objet à l'infini, l'objectif forme $A'$ à $\overline{O_1A'} = f'_{\text{obj}} = 80$ cm. En notant $d = \overline{O_1O_2}$ la nouvelle distance entre les deux lentilles : $\overline{O_2A'} = \overline{O_1A'} - d = f'_{\text{obj}} - d = 80 - d$ (en cm).
3) Un observateur myope dont le punctum remotum est à 50 cm ne peut voir nettement que si l'image finale est virtuelle, placée à 50 cm en amont de l'œil, du même côté que l'objectif. L'œil étant accolé à l'oculaire, on a donc $\overline{O_2A''} = -50$ cm.
Relation de conjugaison pour l'oculaire : $\dfrac{1}{\overline{O_2A''}} - \dfrac{1}{\overline{O_2A'}} = \dfrac{1}{f'_{\text{oc}}}$
Donc $\overline{O_2A'} = -\dfrac{100}{27} \approx -3{,}70$ cm.
$A'$ est en amont de $O_2$ ($\overline{O_2A'} < 0$) : c'est bien un objet réel pour l'oculaire (les rayons divergent depuis $A'$ avant d'atteindre l'oculaire).
4) D'après la question 2) : $80 - d = -3{,}70$, d'où $d = 80 + 3{,}70 = 83{,}70$ cm.
5) $d = 83{,}70$ cm est inférieur à la distance afocale $d_0 = 84$ cm : il faut rapprocher l'oculaire de l'objectif d'environ 3 mm. Physiquement, en rapprochant l'oculaire, $A'$ se retrouve entre l'oculaire et son plan focal objet ($|\overline{O_2A'}| = 3{,}70$ cm $< f'_{\text{oc}} = 4{,}0$ cm). L'oculaire fonctionne alors comme une loupe et produit une image virtuelle à 50 cm côté objectif, que l'œil myope perçoit nettement à son punctum remotum.
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