Tu n'as jamais entendu parler de diffraction et d'interférences ? Pas de panique, on va te rendre opérationnel en un temps record. On part des ondes que tu as vues en Première : célérité, période, longueur d'onde. Puis on découvre deux phénomènes magiques de la lumière. Accroche-toi, c'est parti !
Rappel : les ondes mécaniques
Une onde est une perturbation qui se propage. On caractérise une onde périodique par :
sa période $T$ (en s) : durée d'un cycle complet
sa fréquence $f = 1/T$ (en Hz)
sa longueur d'onde $\lambda$ (en m) : distance parcourue par l'onde pendant une période
sa célérité $v$ (en m/s) : $v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$
Pour la lumière, dans le vide, $v = c = 3,00 \times 10^8$ m/s. La longueur d'onde détermine la couleur : 400 nm (violet) à 800 nm (rouge).
La diffraction
Quand une onde (lumière, son, etc.) rencontre un obstacle ou une ouverture de taille comparable à sa longueur d'onde $\lambda$, elle ne se propage plus en ligne droite : elle s'étale. C'est la diffraction.
Pour une fente de largeur $a$, l'angle de diffraction $\theta$ (en radian) est donné par $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ (valable si $\theta \ll 1$ rad).
Sur un écran placé à une distance $D$ de la fente, on observe une tache centrale brillante de largeur $L$ (entre les deux premiers minima) : $L = \frac{2\lambda D}{a}$.
Les interférences
Quand deux ondes de même fréquence et avec un déphasage constant (ondes cohérentes) se superposent, elles peuvent s'additionner (interférences constructives) ou s'annuler (interférences destructives).
L'expérience des fentes de Young utilise deux fentes fines écartées de $d$, éclairées par une même source. Chaque fente diffracte la lumière, et les deux faisceaux se superposent sur un écran à distance $D$. On observe une alternance de franges brillantes et sombres.
La différence de marche $\delta$ entre les deux ondes arrivant en un point de l'écran situé à une distance $x$ du centre est $\delta = \frac{d \cdot x}{D}$.
Si $\delta = n\lambda$ avec $n$ entier, les ondes sont en phase : frange brillante.
Si $\delta = (n + \frac{1}{2})\lambda$, elles sont en opposition de phase : frange sombre.
L'interfrange $i$ est la distance entre deux franges brillantes (ou sombres) consécutives : $i = \frac{\lambda D}{d}$. La frange centrale ($x=0$) est toujours brillante.
À toi de jouer
1. Complète les phrases suivantes avec les mots : longueur d'onde, diffraction, cohérentes, interfrange, brillante. a) La $\underline{\hspace{1.1em}}$ se produit lorsqu'une onde rencontre une ouverture de taille voisine de sa $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) Pour observer des interférences stables, les deux ondes doivent être $\underline{\hspace{1.1em}}$. c) Dans l'expérience de Young, la distance entre deux franges brillantes consécutives s'appelle l'$\underline{\hspace{1.1em}}$. d) Si la différence de marche est un multiple entier de $\lambda$, la frange est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) diffraction, longueur d'onde b) cohérentes c) interfrange d) brillante
2. On éclaire une fente de largeur $a = 0,10$ mm avec une lumière de longueur d'onde $\lambda = 600$ nm. L'écran est à $D = 2,0$ m. Complète le calcul de la largeur $L$ de la tache centrale. $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm. (Aide : convertir tout en mètres : $a = 0,10$ mm = $1,0 \times 10^{-4}$ m, $\lambda = 600$ nm = $6,00 \times 10^{-7}$ m.)
Ah, ces formules te rappellent quelque chose ? On va remettre tout ça en ordre avec la méthode pas-à-pas. Tu vas voir, c'est toujours la même logique.
Méthode : diffraction par une fente
1. Repérer les données : largeur de la fente $a$, longueur d'onde $\lambda$, distance fente-écran $D$. 2. Convertir toutes les longueurs en mètres. 3. Calculer l'angle de diffraction $\theta = \frac{\lambda}{a}$ (en rad). Vérifier que $\theta \ll 1$ rad (sinon l'approximation n'est plus valable). 4. Calculer la largeur de la tache centrale : $L = \frac{2\lambda D}{a}$. 5. Interpréter : si $a$ diminue, $L$ augmente (la diffraction est plus marquée).
Méthode : interférences (Young)
1. Identifier l'écartement des fentes $d$, la longueur d'onde $\lambda$, la distance fentes-écran $D$. 2. Convertir en mètres. 3. Calculer l'interfrange : $i = \frac{\lambda D}{d}$. 4. Position d'une frange brillante d'ordre $n$ : $x_n = n \cdot i$ (attention, la frange centrale correspond à $n=0$). 5. Pour déterminer la nature d'une frange en un point d'abscisse $x$ : - Calculer la différence de marche $\delta = \frac{d \cdot x}{D}$. - Calculer le rapport $\frac{\delta}{\lambda}$. - Si le résultat est un entier, la frange est brillante (ordre = cet entier). - Si le résultat est un demi-entier (..., -1,5 ; -0,5 ; 0,5 ; 1,5 ; ...), la frange est sombre. 6. Pour mesurer une longueur d'onde inconnue : mesurer la longueur $l$ occupée par $N$ interfranges, en déduire $i = l/N$, puis $\lambda = \frac{i \cdot d}{D}$.
À toi de jouer
1. Une fente de largeur $a = 0,080$ mm est éclairée par une lumière de longueur d'onde $\lambda = 500$ nm. L'écran est placé à $D = 2,0$ m. a) Calcule $\theta$ : $\theta = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ rad. b) Vérifie que $\theta \ll 1$ rad : $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non). c) Calcule $L$ : $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
a) $\theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{5,00 \times 10^{-7}}{8,0 \times 10^{-5}} = 6,25 \times 10^{-3}$ rad. b) oui. c) $L = \frac{2 \times 5,00 \times 10^{-7} \times 2,0}{8,0 \times 10^{-5}} = 2,5 \times 10^{-2}$ m = 2,5 cm.
2. Dans l'expérience de Young, les fentes sont séparées de $d = 0,40$ mm, la distance à l'écran est $D = 1,8$ m et la longueur d'onde est $\lambda = 650$ nm. a) Calcule l'interfrange $i$ : $i = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ mm. b) Déduis la position de la 3e frange brillante (ordre $n=3$) : $x_3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times i = \underline{\hspace{1.1em}}$ mm.
Corrigé
a) $i = \frac{6,50 \times 10^{-7} \times 1,8}{4,0 \times 10^{-4}} = 2,925 \times 10^{-3}$ m = 2,93 mm. b) $x_3 = 3 \times 2,93 = 8,79$ mm.
3. On réalise une expérience de Young avec $d = 0,30$ mm et $D = 1,5$ m. On mesure que 8 interfranges occupent une longueur totale $l = 14,4$ mm. a) Déduis $i$ : $i = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ mm = $\underline{\hspace{1.1em}}$ m. b) Calcule $\lambda$ : $\lambda = \frac{i \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ nm.
Corrigé
a) $i = \frac{14,4 \text{ mm}}{8} = 1,8$ mm = $1,8 \times 10^{-3}$ m. b) $\lambda = \frac{1,8 \times 10^{-3} \times 3,0 \times 10^{-4}}{1,5} = 3,6 \times 10^{-7}$ m = 360 nm.
C'est l'heure de la répétition mécanique : 5 fois le même calcul, avec des nombres différents, pour que ça devienne un réflexe. Tu vas enchaîner les calculs de largeur de tache de diffraction. Prêt ?
À toi de jouer
1. 1) $a = 0,12$ mm, $\lambda = 550$ nm, $D = 1,5$ m. Calcule $L$. $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$L = \frac{2 \times 5,50 \times 10^{-7} \times 1,5}{1,2 \times 10^{-4}} = 1,375 \times 10^{-2}$ m = 1,38 cm.
2. 2) $a = 0,15$ mm, $\lambda = 600$ nm, $D = 2,0$ m. Calcule $L$. $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$L = \frac{2 \times 6,00 \times 10^{-7} \times 2,0}{1,5 \times 10^{-4}} = 1,60 \times 10^{-2}$ m = 1,60 cm.
3. 3) $a = 0,20$ mm, $\lambda = 500$ nm, $D = 1,0$ m. Calcule $L$. $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$L = \frac{2 \times 5,00 \times 10^{-7} \times 1,0}{2,0 \times 10^{-4}} = 5,0 \times 10^{-3}$ m = 0,50 cm.
4. 4) $a = 0,080$ mm, $\lambda = 450$ nm, $D = 2,5$ m. Calcule $L$. $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$L = \frac{2 \times 4,50 \times 10^{-7} \times 2,5}{8,0 \times 10^{-5}} = 2,81 \times 10^{-2}$ m = 2,81 cm.
5. 5) $a = 0,10$ mm, $\lambda = 630$ nm, $D = 3,0$ m. Calcule $L$. $L = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$L = \frac{2 \times 6,30 \times 10^{-7} \times 3,0}{1,0 \times 10^{-4}} = 3,78 \times 10^{-2}$ m = 3,78 cm.
Maintenant, on passe aux exercices type contrôle, comme au bac. Plus de trous, à toi de jouer !
À toi de jouer
1. On éclaire une fente de largeur $a = 0,12$ mm avec un laser de longueur d'onde $\lambda = 532$ nm. L'écran est placé à $D = 2,5$ m. a) Calculer l'angle de diffraction $\theta$ en radian. Vérifier que l'approximation des petits angles est valide. b) Calculer la largeur $L$ de la tache centrale de diffraction. c) Que devient $L$ si on remplace la fente par une autre deux fois plus étroite ? Justifier sans calcul.
Corrigé
a) $\theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{5,32 \times 10^{-7}}{1,2 \times 10^{-4}} = 4,43 \times 10^{-3}$ rad. On a bien $\theta \ll 1$ rad, l'approximation est valide. b) $L = \frac{2\lambda D}{a} = \frac{2 \times 5,32 \times 10^{-7} \times 2,5}{1,2 \times 10^{-4}} = 2,22 \times 10^{-2}$ m = 2,22 cm. c) $L$ est inversement proportionnel à $a$. Si $a$ est divisé par 2, $L$ double. Donc $L' = 2 \times 2,22 = 4,44$ cm.
2. Un laser hélium-néon ($\lambda = 633$ nm) éclaire deux fentes de Young séparées de $d = 0,40$ mm. L'écran est à $D = 2,0$ m. a) Calculer l'interfrange $i$. b) Calculer la position $x_5$ de la 5e frange brillante (ordre $n=5$).
Corrigé
a) $i = \frac{\lambda D}{d} = \frac{6,33 \times 10^{-7} \times 2,0}{4,0 \times 10^{-4}} = 3,165 \times 10^{-3}$ m = 3,17 mm. b) $x_5 = 5 \times i = 5 \times 3,165 \times 10^{-3} = 1,58 \times 10^{-2}$ m = 15,8 mm.
3. Expérience de Young : $d = 0,35$ mm, $D = 1,6$ m. On mesure que 12 interfranges occupent une longueur de 21,6 mm. a) Déduire l'interfrange $i$. b) Calculer la longueur d'onde $\lambda$. c) Cette lumière est-elle visible ? Si oui, de quelle couleur approximative ? (400-800 nm)
Le domaine visible est donné entre 400 nm et 800 nm. Or $\lambda = 394 \text{ nm} < 400 \text{ nm}$ : cette longueur d'onde est donc en dehors du domaine visible, dans le proche ultraviolet. Cette lumière n'est pas visible à l'œil nu.
4. Expérience de Young : $d = 0,30$ mm, $D = 2,2$ m, $\lambda = 580$ nm. a) Calculer l'interfrange $i$. b) Calculer la position $x_3$ de la 3e frange brillante. c) En un point d'abscisse $x = 10,6$ mm, calculer la différence de marche $\delta$ et déterminer la nature (brillante ou sombre) et l'ordre de la frange.
Corrigé
a) $i = \frac{\lambda D}{d} = \frac{5,80 \times 10^{-7} \times 2,2}{3,0 \times 10^{-4}} = 4,253 \times 10^{-3}$ m = 4,25 mm. b) $x_3 = 3 \times 4,253 = 12,76$ mm. c) $\delta = \frac{d \cdot x}{D} = \frac{3,0 \times 10^{-4} \times 10,6 \times 10^{-3}}{2,2} = 1,445 \times 10^{-6}$ m. $\frac{\delta}{\lambda} = \frac{1,445 \times 10^{-6}}{5,80 \times 10^{-7}} = 2,49 \approx 2,5$. Le rapport est un demi-entier, la frange est donc sombre, d'ordre $n=2$ (car $2 + 0,5 = 2,5$).
5. Expérience de Young : $d = 0,50$ mm, $D = 1,5$ m. On mesure que 12 interfranges occupent 21,6 mm. a) Déduire l'interfrange $i$. b) Calculer la longueur d'onde $\lambda$ et identifier la couleur (violet 400-450 nm, bleu 450-500 nm, vert 500-570 nm, jaune 570-590 nm, orange 590-610 nm, rouge 610-800 nm). c) Pour distinguer les franges à l'œil nu, il faut un interfrange $i \ge 3,0$ mm. Calculer la distance minimale $D'$ entre les fentes et l'écran qui permet de satisfaire cette condition avec cette source.
Corrigé
a) $i = \frac{21,6 \text{ mm}}{12} = 1,80$ mm = $1,80 \times 10^{-3}$ m. b) $\lambda = \frac{i \cdot d}{D} = \frac{1,80 \times 10^{-3} \times 5,0 \times 10^{-4}}{1,5} = 6,00 \times 10^{-7}$ m = 600 nm. Cette longueur d'onde correspond à l'orange (590-610 nm). c) On veut $i' = \frac{\lambda D'}{d} \ge 3,0 \times 10^{-3}$ m, donc $D' \ge \frac{i' \cdot d}{\lambda} = \frac{3,0 \times 10^{-3} \times 5,0 \times 10^{-4}}{6,00 \times 10^{-7}} = 2,5$ m. La distance minimale est de 2,5 m.
Tu maîtrises le programme ? On va plus loin : des situations inédites pour préparer le supérieur. Ces exercices te feront réfléchir autrement.
Compléments
Principe de Babinet : la figure de diffraction produite par un obstacle opaque (cheveu, fil) est identique à celle d'une fente de même largeur. On peut ainsi mesurer de très petits objets.
Lumière blanche : une source blanche contient toutes les longueurs d'onde du visible. En interférences, chaque couleur donne un système de franges avec un interfrange $i = \lambda D/d$ différent. La frange centrale reste blanche (toutes les couleurs en phase), puis les franges se colorent et se brouillent rapidement.
À toi de jouer
1. Mesure de l'épaisseur d'un cheveu par diffraction. On remplace la fente par un cheveu tendu verticalement. On éclaire le cheveu avec un laser de longueur d'onde $\lambda = 650$ nm. On observe sur un écran placé à $D = 3,0$ m une figure de diffraction identique à celle d'une fente de même largeur. La tache centrale a une largeur $L = 4,5$ cm. a) En utilisant la formule de la diffraction par une fente, exprimer la largeur $a$ du cheveu en fonction de $L$, $\lambda$ et $D$. b) Calculer $a$ en mètres puis en micromètres. c) Ce résultat est-il cohérent avec l'ordre de grandeur d'un cheveu (50 à 100 µm) ?
Corrigé
a) $L = \frac{2\lambda D}{a}$ donc $a = \frac{2\lambda D}{L}$. b) $a = \frac{2 \times 650 \times 10^{-9} \times 3,0}{4,5 \times 10^{-2}} = \frac{3,9 \times 10^{-6}}{4,5 \times 10^{-2}} = 8,67 \times 10^{-5}$ m = 86,7 µm. c) Oui, 86,7 µm est bien dans l'intervalle 50-100 µm, donc cohérent.
2. Interférences en lumière blanche. On réalise l'expérience de Young avec une source de lumière blanche (contenant toutes les longueurs d'onde du visible). On observe sur l'écran une frange centrale blanche et, de part et d'autre, des franges irisées (colorées) qui se brouillent rapidement. a) Expliquer pourquoi la frange centrale est blanche. b) Pourquoi les franges sont-elles colorées ? c) Pourquoi le phénomène d'interférences n'est-il observable que sur quelques franges près du centre ?
Corrigé
a) En $x=0$, la différence de marche est nulle quelle que soit la longueur d'onde, donc toutes les couleurs interfèrent constructivement : la superposition donne du blanc. b) L'interfrange $i = \lambda D/d$ dépend de $\lambda$. Chaque couleur produit son propre système de franges avec un espacement différent. À une distance $x$ du centre, certaines couleurs sont en phase (brillantes) et d'autres en opposition de phase (sombres), d'où une teinte colorée. c) En s'éloignant du centre, les systèmes de franges des différentes couleurs se décalent de plus en plus et finissent par se superposer de manière désordonnée : on obtient un blanc sale (brouillage). Les irisations nettes ne sont visibles que pour les premiers ordres.
3. Influence du milieu. On reproduit l'expérience de Young dans l'eau (indice de réfraction $n = 1,33$). La longueur d'onde dans l'eau devient $\lambda' = \lambda / n$. On utilise un laser de longueur d'onde dans le vide $\lambda = 632$ nm, $d = 0,50$ mm, $D = 1,5$ m. a) Calculer l'interfrange $i$ dans l'air. b) Calculer l'interfrange $i'$ dans l'eau. c) Conclure sur l'effet du milieu.
Corrigé
a) $i = \frac{\lambda D}{d} = \frac{632 \times 10^{-9} \times 1,5}{5,0 \times 10^{-4}} = 1,90 \times 10^{-3}$ m = 1,90 mm. b) $\lambda' = 632 / 1,33 = 475$ nm. $i' = \frac{475 \times 10^{-9} \times 1,5}{5,0 \times 10^{-4}} = 1,43 \times 10^{-3}$ m = 1,43 mm. c) L'interfrange diminue dans l'eau car la longueur d'onde est plus petite. Les franges sont donc plus resserrées.
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