Diffraction et interférences — Exercices

Du phénomène observé à la mesure quantitative — cinq exercices de difficulté croissante.

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1Tache de diffraction/ 3 pts

On éclaire une fente de largeur $a = 0{,}10$ mm avec $\lambda = 589$ nm. L'écran est à $D = 2{,}0$ m.

Calculer $\theta$ et vérifier que l'approximation des petits angles est valide ($\theta \ll 1$ rad).
Calculer la largeur $L$ de la tache centrale.
Que devient $L$ si on réduit $a$ de moitié ?

2Fentes de Young — interfrange/ 3 pts

Un laser hélium-néon ($\lambda = 632$ nm) éclaire deux fentes séparées de $d = 0{,}50$ mm, écran à $D = 1{,}5$ m.

Calculer l'interfrange $i$.
Calculer la position $x_5$ de la 5e frange brillante ($n = 5$).

3Mesure d'une longueur d'onde/ 4 pts

Expérience de Young : $d = 0{,}40$ mm, $D = 1{,}2$ m. On mesure que 10 interfranges occupent $16{,}8$ mm.

Déduire $i$.
Calculer $\lambda$.
À quelle couleur du spectre visible correspond cette lumière ? (400–800 nm)

4Nature d'une frange/ 5 pts

Expérience de Young : $d = 0{,}25$ mm, $D = 2{,}0$ m, $\lambda = 550$ nm.

Calculer $i$.
Calculer $x_3$ (position de la 3e frange brillante).
En $x = 8{,}8$ mm, calculer $\delta$ et déterminer la nature et l'ordre de la frange.

5Identifier une source inconnue/ 5 pts

Expérience de Young : $d = 0{,}30$ mm, $D = 1{,}8$ m. On mesure que 20 interfranges occupent $56{,}4$ mm.

Déduire $i$, calculer $\lambda$ et identifier la couleur.
Pour distinguer les franges à l'œil nu il faut $i \ge 3{,}0$ mm. Calculer la distance minimale $D'$ satisfaisant cette condition.

Corrigé détaillé

1Tache de diffraction

a) $\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{589 \times 10^{-9}}{0{,}10 \times 10^{-3}} = 5{,}89 \times 10^{-3} \text{ rad}$ $\theta = 5{,}89 \times 10^{-3} \text{ rad} \ll 1 \text{ ; de plus } a/D = 5 \times 10^{-5} \ll 1 \text{ : approximation valide.}$

b) $L = \dfrac{2\lambda D}{a} = \dfrac{2 \times 589 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{1{,}0 \times 10^{-4}} = \dfrac{2{,}356 \times 10^{-6}}{1{,}0 \times 10^{-4}}$ $L = 2{,}36 \times 10^{-2} \text{ m} \approx 2{,}4 \text{ cm}$

c) $L' = \dfrac{2\lambda D}{a/2} = 2 \times \dfrac{2\lambda D}{a} = 2L = 2 \times 2{,}36 \times 10^{-2}$ $L' = 4{,}72 \times 10^{-2} \text{ m} \approx 4{,}7 \text{ cm : la tache double de largeur.}$

2Fentes de Young — interfrange

a) $i = \dfrac{\lambda D}{d} = \dfrac{632 \times 10^{-9} \times 1{,}5}{0{,}50 \times 10^{-3}} = \dfrac{9{,}48 \times 10^{-7}}{5{,}0 \times 10^{-4}}$ $i = 1{,}896 \times 10^{-3} \text{ m} \approx 1{,}90 \text{ mm}$

b) $x_5 = 5 \times i = 5 \times 1{,}896 \times 10^{-3}$ $x_5 = 9{,}48 \times 10^{-3} \text{ m} \approx 9{,}5 \text{ mm}$

3Mesure d'une longueur d'onde

a) $10\,i = 16{,}8 \text{ mm} \Rightarrow i = \dfrac{16{,}8}{10}$ $i = 1{,}68 \text{ mm} = 1{,}68 \times 10^{-3} \text{ m}$

b) $\lambda = \dfrac{i \cdot d}{D} = \dfrac{1{,}68 \times 10^{-3} \times 0{,}40 \times 10^{-3}}{1{,}2} = \dfrac{6{,}72 \times 10^{-7}}{1{,}2}$ $\lambda = 5{,}60 \times 10^{-7} \text{ m} = 560 \text{ nm}$

c) $400 \text{ nm} \le 560 \text{ nm} \le 800 \text{ nm}$ $\text{Lumière visible, couleur jaune-vert.}$

4Nature d'une frange

a) $i = \dfrac{\lambda D}{d} = \dfrac{550 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{0{,}25 \times 10^{-3}} = \dfrac{1{,}10 \times 10^{-6}}{2{,}5 \times 10^{-4}}$ $i = 4{,}4 \times 10^{-3} \text{ m} = 4{,}4 \text{ mm}$

b) $x_3 = 3 \times i = 3 \times 4{,}4 \times 10^{-3}$ $x_3 = 1{,}32 \times 10^{-2} \text{ m} = 13{,}2 \text{ mm}$

c) $\delta = \dfrac{d \cdot x}{D} = \dfrac{0{,}25 \times 10^{-3} \times 8{,}8 \times 10^{-3}}{2{,}0} = \dfrac{2{,}2 \times 10^{-6}}{2{,}0} = 1{,}10 \times 10^{-6} \text{ m} = 1100 \text{ nm} = 2 \times 550 \text{ nm} = 2\lambda$ $\delta = 2\lambda \Rightarrow \text{frange brillante d'ordre } n = 2.$

5Identifier une source inconnue

a) $i = \dfrac{56{,}4 \text{ mm}}{20} = 2{,}82 \text{ mm} \quad;\quad \lambda = \dfrac{i \cdot d}{D} = \dfrac{2{,}82 \times 10^{-3} \times 0{,}30 \times 10^{-3}}{1{,}8} = \dfrac{8{,}46 \times 10^{-7}}{1{,}8}$ $\lambda = 4{,}70 \times 10^{-7} \text{ m} = 470 \text{ nm} \quad (\text{bleu-violet, visible})$

b) $D' = \dfrac{i' \cdot d}{\lambda} = \dfrac{3{,}0 \times 10^{-3} \times 0{,}30 \times 10^{-3}}{470 \times 10^{-9}} = \dfrac{9{,}0 \times 10^{-7}}{4{,}70 \times 10^{-7}}$ $D' = 1{,}91 \text{ m} \approx 1{,}9 \text{ m}$